Jeder Mensch kann mathematisch denken und davon profitieren
(quantamagazine.org)- Der Mathematiker David Bessis betrachtet Mathematik nicht als Manipulation von Symbolen, sondern als Dialog zwischen Intuition und Logik; Menschen denken im Alltag bereits auf diese Weise
- Mathematica: A Secret World of Intuition and Curiosity verbindet Mathematik über das, was im Kopf von Mathematikern geschieht, mit der inneren Erfahrung des Menschen
- Die Beispiele Bill Thurston, Alexander Grothendieck und René Descartes stützen die Vorstellung, dass mathematische Fähigkeit weniger eine angeborene Eigenschaft ist als vielmehr Training darin, die eigene Intuition zu hinterfragen und zu verfeinern
- Schulmathematik ist stark auf Logik und Formalismus ausgerichtet, doch Menschen arbeiten in ihrem Kopf bereits mit Kreisen und Zahlen, haben abstrakte Zahlensysteme verinnerlicht und betreiben so tiefgehende Mathematik
- Wer mathematisches Denken entwickelt, kann davon über das Lösen von Aufgaben hinaus profitieren: als Methode der Selbstentwicklung, die Freude, Klarheit, Selbstvertrauen, Kreativität und auch das Gefühlsleben stärkt
Mathematik ist eher ein unsichtbarer Prozess als sichtbare Zeichen
- Was David Bessis an der Mathematik anzog, hängt eng mit dem zusammen, warum viele Menschen Abstand zu ihr halten
- Musik ist hörbar und Bilder sind sichtbar, doch Mathematik ist größtenteils ein innerer Prozess und tritt nach außen kaum in Erscheinung
- In diesem unsichtbaren Prozess empfindet er eine fast magische Faszination
- Bessis promovierte Ende der 1990er-Jahre an der Paris Diderot University in Mathematik und forschte anschließend rund zehn Jahre lang zur geometrischen Gruppentheorie
- 2010 verließ er die mathematische Forschung und gründete ein Machine-Learning-Startup
- Er blieb nicht beim Lösen von Problemen stehen, sondern fragte weiter, wie Mathematiker tatsächlich denken und arbeiten
Was Mathematica über mathematisches Denken sagt
- 2022 veröffentlichte Bessis Mathematica: A Secret World of Intuition and Curiosity
- Das Buch versucht zu erklären, was im Gehirn eines Menschen geschieht, der Mathematik betreibt
- Zugleich behandelt es die innere Erfahrung des Menschen
- Das französische Original wurde 2024 ins Englische übersetzt
- Der Kernpunkt ist, dass Menschen ständig Mathematik betreiben, auch wenn sie sich dessen nicht bewusst sind
- Bessis ist der Ansicht, dass Menschen ihre mathematischen Fähigkeiten weit stärker ausbauen können, als sie glauben
- Auch die Fähigkeiten von Mathematikern wie Bill Thurston und Alexander Grothendieck lassen sich schwer allein durch angeborene Genialität erklären
- Sie stellten ihre eigene Intuition unablässig infrage und verfeinerten sie
- Sie entwickelten neue Ideen, prüften sie mit Logik und Sprache und verbesserten sie dadurch
Das Hin und Her zwischen Intuition und Logik
- Für Bessis ist Mathematik eine Tätigkeit, bei der äußere Formen und innere Vorstellungen miteinander in Einklang gebracht werden
- Die inneren Vorstellungen entsprechen der Intuition
- Die äußeren Vorstellungen sind logische und formale Ausdrücke
- Formale Systeme können seltsam und starr wirken, werden aber zu Werkzeugen, um Intuition zu prüfen, neu auszurichten und zu stärken
- Schulmathematik betont vor allem den logikbasierten Teil dieses Prozesses
- Bessis hält die Intuition für das wichtigere Element
- Mathematik ist ein Dialog zwischen Vernunft und Instinkt
- Sie ist auch ein Dialog zwischen Sprache und Abstraktion
- Er vergleicht Mathematik mit einer körperlichen Praxis wie Yoga oder Kampfsport, die sich durch Training verbessern lässt
- Es ist nötig, in einen kindlichen Zustand einzutreten
- Auch Vorstellungskraft und die dabei entstehenden Fehler müssen akzeptiert werden
Mathematik, die alle bereits betreiben
- Bessis meint, Menschen sollten sich ihrer eigenen mathematischen Schulung bewusst werden
- Menschen können sich im Kopf einen Kreis vorstellen, ihn vergrößern, verkleinern oder bewegen
- Auch wenn das wie einfache Visualisierung wirkt, handelt es sich um abstrakte Manipulation
- Auch auf die Frage „Was ist eine Milliarde minus 1?“ fällt den meisten sofort eine Antwort ein
- Um sie auszusprechen, mag Nachdenken nötig sein, doch das Ergebnis selbst erscheint im Kopf
- Selbst wenn es keine visuelle Wahrnehmung ist, gibt es ein starkes Gefühl für das Ergebnis
- Bessis betrachtet dies als mathematische Intuition
- Historisch war diese Fähigkeit nicht selbstverständlich
- Menschen, die vor 2.000 Jahren römische Zahlen verwendeten, hätten dieselbe Frage vermutlich nicht leicht beantworten können
- Die Arithmetik, die modernen Menschen einfach erscheint, ist das Ergebnis verinnerlichter abstrakter Zahlensysteme
- Auch scheinbar einfache Mathematik ist in Wirklichkeit tiefgehende Mathematik; der Mensch hat sich dafür gewissermaßen selbst verdrahtet
Genialität ist eher ein Zustand als ein Wesen
- Bessis bestreitet nicht, dass es Menschen gibt, die in Mathematik außergewöhnlich gut sind
- Er sagt, es gebe Kinder, die schon mit fünf Jahren wie mathematische Genies wirken
- Er sieht darin jedoch keine angeborene Wesenseigenschaft
- Genialität ist kein Wesen, sondern ein Zustand
- Sie ist eher ein Zustand, der durch bestimmte Tätigkeiten aufgebaut wird
- Mathematik ist eine Reise und hat mit Plastizität zu tun
- Das bedeutet nicht, dass Mathematik leicht ist
- Bessis sagt, Mathematik sei schwierig
- Zugleich hält er alles, was man im Leben tut, für sehr schwierig
- Auf die Frage, ob man Mathematik wie Thurston betreiben könne, antwortet er verneinend
- Thurston hinterließ ausführliche Beschreibungen dazu, wie er sich schon in jungen Jahren entschied, diese Selbstbildung jeden Tag zu praktizieren
- Bessis glaubt nicht, dass man dieses Niveau einholen kann
- Ein Grund, warum Schülerinnen und Schüler in der Oberstufe an Mathematik leiden, ist der Glaube, sie bräuchten dafür eine angeborene Fähigkeit, die ihnen fehlt
- Tatsächliche Mathematik beruht seiner Ansicht nach auf derselben Art von Fähigkeit wie die Intuition, die man im Alltag nutzt
Wie man mathematisches Denken entwickelt
- Wenn eine Abweichung zwischen dem eigenen Bauchgefühl und dem, was rational richtig erscheint, sichtbar wird, entsteht eine Gelegenheit zu neuem Verständnis
- Von dort aus kann der Hin-und-her-Prozess beginnen
- Man prüft, ob man die eigene Intuition in Worte fassen kann
- Man untersucht, ob sie sich in eine rationale Diskussion einordnen lässt
- Wenn weiterhin eine Abweichung besteht, versucht man zu visualisieren, warum das so ist
- Wiederholt man diesen Prozess, wird die Vorstellungskraft nach und nach umgebaut
- Wer beharrlich weitermacht, kann Instinkt und Vernunft in Einklang bringen und klüger werden, so die Annahme
- Bessis nennt diesen Prozess mathematisches Denken
Mathematik kann eine Methode der Selbstentwicklung sein
- Bessis ist der Ansicht, dass die Verbesserung mathematischen Denkens Freude, Klarheit und Selbstvertrauen bringen kann
- Kinder lernen schnell, weil sie diesen Prozess ständig durchlaufen
- Weil sie die Welt nicht verstehen, müssen sie immer wieder neue Einsichten gewinnen
- Babys sind seiner Ansicht nach glücklich, weil sie den ganzen Tag Einsichten gewinnen
- Für Erwachsene kann diese Denkweise sehr langsam sein
- Wer dennoch nicht aufgibt, kann mit Intuition weit mehr erreichen, als erwartet
- Bessis versteht sein Buch nicht nur als Werk für Menschen, die mathematische Konzepte lernen wollen, sondern als Lebenslektion für alle kreativen Menschen
- Über die Bezeichnung als einfaches Selbsthilfebuch hinaus sieht er Mathematik selbst als eine Art Methode der Selbstentwicklung
Training in Ehrlichkeit und Kreativität
- Mathematiker müssen sehr ehrlich damit sein, was sie nicht verstehen und was sie denken
- Diese Ehrlichkeit führt zu mehreren Urteilen
- Man kann erkennen, dass ein Objekt schlecht definiert ist
- Man kann erkennen, dass eine andere Definition eine Theorie einfacher machen kann
- Man kann wichtige von unwichtigen Begriffen unterscheiden
- Auszudrücken, was man tatsächlich empfindet, ist sehr schwierig und braucht Übung
- Beim Betreiben von Mathematik tritt der menschliche Denkprozess in sehr reiner Form zutage
- Mathematik bedeutet nicht einfach, etwas zu verstehen, sondern zu üben, es wie ein Kind tief, unschuldig, klar und selbstverständlich zu verstehen
- Für Bessis ist Mathematik Kreativitätstraining und ein Sprungbrett für die Vorstellungskraft
- Er sagt, die Fähigkeit, mathematisch zu denken, habe ihm geholfen, persönliche Schwierigkeiten zu überwinden, und hält Mathematik auch aus emotionaler Sicht für alle Menschen für notwendig
1 Kommentare
Meinungen auf Hacker News
Dieser Einschätzung stimme ich zu. Eine Kultur, die auf angeborenes mathematisches Talent und Genialität fixiert ist, halte ich für schädlich für das Growth Mindset, das man braucht, um etwas zu lernen.
Ich habe als Erwachsener meine Mathematikkenntnisse ziemlich stark ausgebaut; früher dachte ich: „Wenn es schwer ist, bist du schon an deine Grenze gestoßen und verschwendest deine Zeit.“ Tatsächlich ist es aber eher umgekehrt: Wenn es leicht ist, kann es sein, dass man es schon kennt und damit seine Zeit verschwendet.
Der Autor des Buchs hat sich einfach die Mathematik ausgesucht, die ihn interessierte; dieses Prinzip gilt eigentlich für alle Bereiche. Manche Menschen wirken zwar, als hätten sie angeborenes Talent, aber meist ist es eher die Fähigkeit, sich auf ein Thema hyperzufokussieren – ob Mathematik, Star Trek, Dinosaurier oder alte Konsolenspiele aus den 1980ern.
Kindern einzureden, manche ihrer Altersgenossen seien einfach „von Natur aus begabt“, nimmt ihnen den Willen, es weiter zu versuchen. Was wir Kindern beibringen sollten, ist wie man lernt; sinngemäß: „Wenn man Mathematik unterrichtet, lernen sie Mathematik, aber wenn man ihnen das Lernen beibringt, lernen sie alles.“
Es stimmt, dass Mathematik Anstrengung erfordert und dass man ein gewisses Vorwissen braucht, damit das Verständnis wirklich einrastet. Aber eine Haltung wie „X bleibt dem Leser als Übungsaufgabe überlassen“ ist eine Geisteshaltung, die es genießt, dem Leser ohne Grund das Leben schwer zu machen.
Beim oft zitierten „Elfenbeinturm“ fungiert der Turm auch als Mittel zur Selbstvermarktung und Selbstverteidigung. Denn damit verkauft man die Vorstellung: „Unsere Rolle ist unverzichtbar, und wer etwas wissen will, muss zwingend über uns gehen, um sein Ziel zu erreichen.“
Lineare Algebra zum Beispiel ist seit Jahrzehnten bekannt, trotzdem waren Lehrmaterialien vom Einsteiger- bis zum Fortgeschrittenenniveau oft übermäßig obskur und schwer zu entschlüsseln. Als dann Machine Learning populär wurde, tauchten plötzlich jede Menge Materialien auf, die fortgeschrittene Themen wie Dimensionsreduktion und Zerlegung in Teilräume klar und fast trivial erklärten. Geändert hatte sich nur die Art der Leute, die sich mit dem Thema beschäftigten.
Ich habe Psychologiestudierenden Mathematik beigebracht, und es gab Fälle, in denen sie es wirklich nicht verstanden haben. Ich erinnere mich auch daran, wie der Fachbereichsleiter bei der Frage „Was ist eine Quadratwurzel?“ verzweifelte. Es lässt sich nicht einfach sagen, alle hätten die Fähigkeit gehabt und es sei nur „die Schuld der Lehrkraft“ gewesen; man muss auch den Unterschied zwischen den Studierenden erklären, die sich schwertaten, und denen, denen es leichtfiel.
Bei Musik ist es genauso. Auch wenn Studierende am Konservatorium hart arbeiten, sind manche besser, und einige wenige strahlen wirklich. Die Aussage „Jeder kann Rachmaninow spielen“ fällt mir schwer zu glauben. Wenn man den Maßstab für mathematische Fähigkeit nicht ziemlich niedrig ansetzt oder keine solide Grundlage dafür hat, riecht die Behauptung „jeder kann es“ nach Unsinn.
Im Alltag hält die Arbeit manche einfachen Fähigkeiten aufrecht; wenn man eine Fähigkeit aber eine Weile nicht genutzt hat, ist es keine schlechte Idee, zunächst ein paar einfache Wiederholungen zu machen, bevor man sie auf schwierige Weise mit anderen Fähigkeiten kombiniert.
Ich lese gerade das Buch Mathematica des Autors und finde es wirklich gut. Allein am Titel dieses Artikels werden die Stärken des Buchs nicht richtig deutlich.
Der Autor zeigt, dass mathematische Fähigkeit weniger ein Wissenstalent ist, sondern eher einem sportlichen Talent ähnelt. Seine These ist, dass Menschen lernen müssen, mathematische Objekte im Kopf zu manipulieren – etwa wie gedrehte Formen, Slotmaschinen oder Origami. Es wirkt wie eine Art Vorstellungssport.
Dadurch lerne ich auf MathAcademy.com gerade viele Grundlagen der Mathematik neu; es macht sehr viel Spaß und ist auch stressig. Inzwischen habe ich das Gefühl, einen Tetris-Effekt mit Polynomen zu bekommen.
Wenn man im Flow ist, fühlt es sich an, als hätte jede Funktion ihre eigene Form und Stimmung. Man sieht eine saubere kleine Kastenfunktion, eine große, hässliche, wütende Seeigel-Funktion oder eine nutzlose kleine Kreisfunktion, die nichts tut, und notiert sich, sie später zu löschen. Über den Datenfluss wirkt der gesamte Graph bis zu einem gewissen Grad verbunden.
Ich frage mich auch, ob MathAcademy etwas taugt. Ich überlege, es etwa einen Monat auszuprobieren, bin mir aber nicht sicher, ob „stressig“ ein Tippfehler war oder nicht.
Mathematica habe ich in der örtlichen Bibliothek bestellt; ich kann es einfach vergessen, bis irgendwann die SMS kommt, dass es angekommen ist. Danke für die Bestätigung, dass es lesenswert ist.
Wenn das Buch in dieser Hinsicht besser ist, würde ich es gern lesen; wenn es viele Geschichten und Ballast enthält, würde ich es lieber auslassen. Mich interessiert, was man tatsächlich aus dem Buch mitnimmt und wie praktisch und anwendbar es sich anfühlt.
Der Grund, warum Mathematik schwierig erscheint, ist, dass Menschen lange Manipulationsketten nur schwer im Kopf behalten können. Das gilt besonders, wenn man große Objekte manipuliert, die sich über Hunderte von Schritten allmählich verändern; das liegt nicht an einem Mangel der Menschen, sondern daran, wie der menschliche Geist nun einmal funktioniert.
Richtig ist es, Mathematik als grundlegende Axiome und Manipulationsregeln zu lehren und zu zeigen, wie man mit diesen Regeln die Axiome entfaltet. Man muss lernen, jeweils eine gültige Änderung auf einmal vorzunehmen, und natürlich braucht das viel Arbeit auf Papier und Geduld. Mathematik bedeutet, aus Wahrheiten und Regeln neue Wahrheiten und Regeln zu erzeugen.
Ich bringe es meinem Kind auf diese Weise bei, und es reagiert oft mit: „Das ist alles? Einfach mühsame Papierarbeit?“ Zurzeit lernt es mit dieser Methode und mithilfe von LLMs Algorithmen und Datenstrukturen. Wenn man bei den Anfangsbedingungen startet und darauf aufbaut, entstehen auch Algorithmen, die vorher wie ein Gebiet neuer Erfindungen wirkten, ganz natürlich aus selbst durchgeführten manuellen Schritten, und diese überträgt man dann in ein Programm.
Wenn man den Ballast entfernt, bleiben in der Mathematik nur Geduld und Papierarbeit übrig.
In der Mathematik gilt vorschnelle Formalisierung als ein Hauptgrund dafür, dass Menschen sich von Mathematik entfremdet und gegaslightet fühlen. Konzepte auf Symbole und deren Manipulation zu reduzieren, sollte erst später kommen; sie von Anfang an so einzuführen, ist falsch.
Menschen sollten zuerst in einfacher natürlicher Sprache sprechen. Mathematikern, die sagen: „Englisch ist nicht präzise genug“, möchte ich sagen: Verzieht euch. Man muss erst laufen lernen, bevor man rennen kann.
Motivierende Beispiele sollten vor der mathematischen Methode kommen, und Formeln und Beweise gehören nicht auf Seite 1, sondern in den Anhang. Mit Englisch ist hier natürliche Sprache gemeint.
Wer nicht in STEM-nahen Bereichen arbeitet, braucht außer einfacher Algebra und Geometrie sowie ein paar finanzbezogenen Konzepten und Formeln kaum etwas davon. Geometrie ist vor allem für Bastelhobbys oder Heimwerkerprojekte nützlich.
So wie es aussieht, werde ich bis zu meinem Tod keinen Grund finden, zu integrieren. Wenn ich also wieder mit Mathematik anfangen will, ist tatsächlicher Bedarf keine Motivation. Ohne Anwendung sind höchstens unterhaltsame Matheaufgaben nicht langweilig, aber selbst dann denke ich, dass ich lieber ein Buch lese oder etwas anderes mache.
Viele Schüler, zumindest ich, entwickelten erstmals Interesse an Mathematik, als sie in der Geometrie der Oberstufe Beweise und in der Physik der Oberstufe reale Anwendungen kennenlernten. Dass Mathematik eine Methode sein kann, von einer Wahrheit zur nächsten zu gehen und neue Wahrheiten zu finden, fühlte sich wie eine Offenbarung an.
Leider steigen viele Schüler vorher aus, weil die endlosen Mathe-Drills so langweilig sind. Wenn Wissenslücken entstehen, kommt man kaum weiter, solange man sie nicht schließt. Für viele Schüler endet es bei Brüchen, für andere bei Algebra, und für Studierende bei der Analysis.
Nur Mathematikstudierende und einige Studierende der Ingenieur-, Natur- und Computerwissenschaften kommen über den „Standard-Mathekurs“ an der Uni hinaus und lernen die wirklich interessanten Dinge kennen, die danach kommen.
Die Sünde der modernen Mathematik besteht darin, dass diese Metasprache nicht gut genug definiert ist, sodass man einen Turm aus Software braucht, um widerspruchsfrei mit ihr umzugehen. Alles als S-Expressions neu zu schreiben und darunter ein Term-Rewriting-System für Beweise unter sequenzieller Berechnung zu legen, ist ein hervorragender erster Schritt zu mehr Zugänglichkeit.
Wenn man sehen will, wie Mathematik spricht, und nicht, worüber sie spricht, kann man Briefmarken sammeln.
Aus der Perspektive von jemandem, der Mathematik bis zum Graduiertenniveau studiert hat, waren Schulmathematik und die meisten Fächer wirklich langweilig. Was in der Primar- und Sekundarbildung fehlt, ist Kontext, und deshalb wird es langweilig. Mathematik war leicht, nicht weil ich besonders gut darin war, sondern weil es im Grunde darum ging, Formeln blind zu folgen und grundlegende Logik anzuwenden.
Der Großteil der Mathematik auf Primar- und Sekundarniveau ist grundlegende Logik; wenn jemand mit diesem Bildungsstand sagt: „Ich bin schlecht in Mathe“ oder „Ich verstehe Mathe nicht“, bedeutet das, dass es an sehr grundlegender Logik und Schlussfolgerungsfähigkeit mangelt.
Mathematik sollte nicht nur über Anwendungen, sondern im Kontext gelehrt werden. Die Erfahrung des Schlussfolgerns und Erkundens sollte reichhaltiger werden und Anwendungen einschließen, aber nicht auf Anwendungen beschränkt bleiben. Manchmal sollte man einfach lernen und nachdenken, ohne an willkürliche Anwendungskriterien gebunden zu sein.
Neue Lehrbücher mag ich nicht, weil sie zu sehr auf sofortige Befriedigung zugeschnitten sind. Sie zeigen nicht, wie man eine Lösung aufbaut, sondern sagen einem direkt, wie man das Problem löst. Selbst wenn später ein wenig erklärt wird, warum es funktioniert, ist die Reihenfolge meiner Ansicht nach völlig verkehrt. Sie nehmen einem die Gelegenheit, selbst darüber nachzudenken, zu erahnen, wie sich am Ende alles zusammenfügt, und zwischendurch Aha-Momente zu erleben.
Diese Methode verstärkt auch die Tendenz, Mathematik auf Symbolmanipulation zu reduzieren. Wenn im ersten Absatz eine Formel steht, ist jede spätere Erklärung auf diese Formel fixiert. Mathematische Notation ist am besten als Formalisierungswerkzeug und Gedächtnisstütze, um bereits einigermaßen verstandene Konzepte zu festigen, und am schlechtesten, wenn sie als primärer Kommunikationskanal verwendet wird.
Das ist zwar eine schöne Haltung, aber es ist auch klar, dass viele Menschen nicht einmal grundlegendes mathematisches Denken lernen und dadurch stark verwirrt sind. Ich frage mich, ob es wissenschaftliche Studien gibt, die die Behauptung stützen, dass diese Menschen es leicht lernen könnten, oder ob hier einfach ein egalitäres Argument konstruiert wird, das gut in ein populärwissenschaftliches Mathebuch passt.
Auch die allgemeine Intelligenz scheint seit den 1970er-Jahren rückläufig zu sein. Das ist der sogenannte umgekehrte Flynn-Effekt[3], der in den USA und Europa gemessen wurde
Dass Bildungssysteme und andere Faktoren eine Rolle spielen, stimmt. Aber ich halte die Vorstellung „jeder kann X“ für falsch und schädlich. Das ist so, als würde man sagen: „Niemand braucht einen Rollstuhl“ oder „alle können perfekt sehen“. Menschen sind unterschiedlich, und viele Nerds bewegen sich nur unter Nerds, wodurch ihre Wahrnehmung der Gesellschaft verzerrt wird
[1]: https://www.thenationalliteracyinstitute.com/post/literacy-s...
[2]: https://leo.blogs.uni-hamburg.de
[3]: https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S016028962...
Zwischen dem, was Menschen theoretisch erreichen können, und dem, was sie tatsächlich erreichen, liegt eine sehr große Lücke
Ich bin kein Mathematiklehrer, aber ich mag Mathematik und habe Familienmitgliedern und Freunden schon mehrfach bei Mathekursen geholfen
Ich denke seit Langem, dass fast alle in der Lage sind, Mathematik ungefähr auf Highschool-Niveau zu lernen. Für manche Menschen ist dafür nur mehr Aufwand nötig. Der Schlüssel, um kontinuierliche Anstrengung aufrechtzuerhalten, ist Motivation, und viele Menschen, die Mathematik hassen oder glauben, schlecht darin zu sein, haben einfach nie die passende Motivation gefunden
Sobald die Motivation da ist, der Stoff verständlich wird und man Aufgaben lösen kann, wird es viel leichter. Persönlich habe ich besonders beim Lernen etwas höherer Mathematik, einschließlich Herleitungen und Beweisen auf niedrigem Niveau, das Gefühl gehabt, dass sich meine Denkweise auch außerhalb der Mathematik verbessert hat
Beim Helfen von Familie und Freunden habe ich auch gelernt, dass Menschen sehr unterschiedliche Zugänge haben können, um neue Inhalte zu verstehen. Manche kommen über Geometrie oder Graphen leichter hinein, andere kommen besser zurecht, wenn sie sich von Anfang an in Formeln vertiefen. Eine einzige Methode passt nicht für alle
Aus pädagogischer Sicht liegt das Hauptproblem, an dem die meisten Menschen in Mathematik scheitern, meiner Meinung nach nicht in der Komplexität, sondern in der trockenen Art des Unterrichtens. Sprachregeln sind mindestens genauso komplex, aber viel mehr Menschen lernen Sprachkompetenz auf Highschool-Niveau. Dafür gibt es viele Gründe; der offensichtlichste ist, dass Sprache im Alltag viel häufiger verwendet wird
Ich kann mich ganz und gar nicht als ernsthaften Mathematiker bezeichnen, aber in den letzten Jahren, in denen ich dieses Ziel ernst genommen habe, habe ich weit mehr gelernt als in den Jahrzehnten, in denen ich mich selbst als minderwertig abgestempelt und es beiseitegeschoben hatte
Einer der sehr großzügigen Mentoren, die mich dazu gebracht haben, es wenigstens zu versuchen, sagte einmal: „Es gibt keine schlechten Matheschüler. Es gibt nur schlechte Mathelehrer, und auch sie hatten schlechte Mathelehrer“
Wenn man zu viele solcher Leute trifft, und wenn solche Leute in diesem Fachgebiet verbreitet sind, ist leicht zu verstehen, warum Menschen die Motivation verlieren und aufgeben
An einem bestimmten Punkt im Bildungsweg kommen viele junge Menschen mit abstraktem mathematischem Denken in Berührung, verstehen es am Ende aber nicht und steigen aus. Es ist bedauerlich, dass hier etwas schiefläuft und die Kluft danach immer größer wird.
Der Umgang mit Symbolen und Gleichungen sollte eigentlich breiter zugänglich sein. Das ist fast wie ein Spiel und sollte kein Gefühl der Ausgrenzung erzeugen.
Vielleicht ist es ein Versagen der Lehrenden, die Wege nicht richtig zu erkennen, über die das Gehirn abstraktere Darstellungen und Manipulationsformen akzeptiert.
Nebenbei: Mathematiker scheinen an der Lösung dieses Problems nicht besonders interessiert zu sein, und viele scheinen kindische Freude daran zu haben, Mathematik so exklusiv wie möglich zu machen. Typisch ist etwa, dass visuelle Darstellungen abgelehnt werden, obwohl sie zwar ungenau sind, aber beim Aufbau von Intuition helfen.
Faktorisieren hat in meiner Klasse ebenfalls viele abgehängt. Es wirkte völlig nutzlos, zugleich steckte im Vorgehen viel Raten, was sehr frustrierend war; einige Mitschüler reagierten, als hätte man sie aufgefordert, mit einem Löffel einen Graben auszuheben und wieder zuzuschütten: „Dann kann mir Mathe für immer gestohlen bleiben.“
[0] https://en.wikipedia.org/wiki/Do_Not_Erase:_Mathematicians_a...
Ich sehe das Problem darin, dass die meisten Menschen gar nicht erst bis zu den interessanten Teilen kommen. Ich erinnere mich, dass ich Mathematik nicht besonders mochte, bis ich an der Uni im ersten Semester Mengenlehre lernte, Zahlensysteme von Grund auf definierte und dann zu Monoiden, Gruppen, Ringen usw. überging.
Dieses Definieren von Grund auf war wirklich befriedigend.
Es hat eine Weile gedauert, aber inzwischen ist es viel besser. Ich nehme es als eine Art kleines Spiel, dessen Regeln ich teilweise kenne. Heute akzeptiere ich, dass Mathematiker sich oft um maximale Abstraktion oder seltsame pathologische Randfälle sorgen. Dadurch kann ich mich durch die Komplexität bewegen, ohne mich wie früher überwältigt zu fühlen.
Wenn man etwas einmal verstanden hat, ist es wirklich schwer, in die Denkweise des Nichtverstehens zurückzukehren und eine Erklärung zu finden, bei der die Idee „klick“ macht. Viel Mathematik ist deutlich einfacher, als sie aussieht, aber oft fehlt die Erklärung, die einem die Kernidee leicht greifbar macht.
Zum Beispiel wollte ich ein Explorable[0] schreiben, das Stellenwertsysteme zu einer beliebigen ganzzahligen Basis so erklärt, dass ein Kind, das eine Uhr lesen kann, folgen kann. Multiplikation ließe sich vermutlich gleich mit vermitteln.
Der Kern ist, sich einen Zähler vorzustellen, der wie eine analoge Uhr aussieht. Er hat die Ziffern 0 bis 9 sowie +1- und -1-Tasten und kann von 0 bis 9 zählen. Addiert man zu 9 eine 1, springt er wieder auf 0 zurück; um das zu lösen, hängt man einen zweiten Zähler an. Jedes Mal, wenn der erste Zähler eine volle Runde dreht, erhöht man den zweiten Zähler um 1. Eine Runde des ersten Zählers sind 10 Schritte, also bedeutet ein Schritt des zweiten Zählers 10 Schritte. Wenn auch der zweite Zähler 10 Schritte zählen soll, hängt man einen dritten an.
Dann lautet die natürliche Frage, was passiert, wenn es weniger Ziffern als 0 bis 9 gibt. Bei 0 bis 7 ist es Oktal, bei 0 und 1 Binär, und mehr Ziffern fügt man etwa mit Buchstaben hinzu.
Das ist eine sehr physische Darstellung des dezimalen Stellenwertsystems und macht es leicht, zu zählen und zu folgen. Fortgeschrittene Konzepte wie „Basis“ oder „Potenzen“ braucht man nicht, aber später entsteht daraus eine Abstraktion, auf die sich gut aufbauen lässt.
Freunde mit Kindern sagten mir, dass Kinder meist mit 4 bis 6 Jahren die Uhr lesen und etwa mit 8 alle bis 100 zählen können. Theoretisch könnten sie mit diesem Ansatz in diesem Alter wohl schon die Idee von Binär- und Hexadezimalzahlen verstehen.
Interessanterweise sagt auch der Artikel, dass dank des Stellenwertsystems fast alle Erwachsenen auf „Was ist eine Milliarde minus 1?“ sofort antworten können.
[0] https://explorabl.es/
https://softwarefoundations.cis.upenn.edu/
Auch Grenzwerte und Ableitungen: Wenn man ordentliche Definitionen bekommt, kann man all die Formeln und Sätze aus der Schule ziemlich leicht herleiten. In der Schule haben wir meistens nur gerechnet und einfache Schlüsse gezogen, an der Uni haben wir alles bewiesen. Mir gefiel dieser Perspektivwechsel.
Formal hatte ich die Voraussetzung erfüllt, aber praktisch war es nur ein grundlegender Logikkurs für Informatik, daher war ich völlig überfordert. Trotzdem war es eine der interessantesten Veranstaltungen, die ich an der Uni besucht habe.
Den genauen Text der Abschlussprüfungsfragen bekamen wir einige Wochen vorher, und zur Vorbereitung war alles erlaubt, einschließlich Zusammenarbeit mit anderen Studierenden oder Nachfragen bei anderen Professoren. Auch andere Professoren hatten meist keine richtige Ahnung. Das Ziel war, 1 bis 2 von 10 Fragen zu beantworten; selbst wenn man es nicht schaffte, bekam man mindestens ein B+.
Ich wünschte, meine Erinnerung wäre besser, aber eine der Fragen, die ich erfolgreich beantwortete, war wohl, Posts Satz mithilfe einer Turingmaschine zu beweisen. Dieses Wissen aus dem Kurs habe ich nie wieder verwendet, aber ich denke immer noch daran. Ich würde gern diesen faszinierenden Schnittpunkt von Philosophie und Informatik noch einmal lernen.
Am besten gefiel mir die Verbindung aus schwieriger Mathematik und obskuren metaphysischen Fragen über Mathematik, die viele Praktiker nicht mögen, weil sie ihre Arbeit zu untergraben scheinen. Wenn man so tief einsteigt, merkt man, dass man unweigerlich mit noch kopfzerbrechenderen Themen in Berührung kommt.
In der Highschool bekam man faktisch nur Training in angewandter Mathematik, insbesondere darin, Analysis gut zu beherrschen. Selbst das war größtenteils „Einsetzen“, und solche Arbeit lässt sich mit Mathematica leicht automatisieren.
Als ich an die Uni kam und Zahlentheorie sowie abstrakte Algebra belegte, war ich schockiert darüber, dass Mathematik auf schwer zu beschreibende Weise schön ist. Erst als ich reelle Analysis hörte, sah ich, dass es auch an der Analysis Seiten gibt, die nicht wie Zeitverschwendung wirken.
Eines Tages ging ich zurück an meine Highschool und fragte Andrew Merrill, der damals mein Informatik-Mentor war, leidenschaftlich, warum er mich nicht mit Gruppentheorie in Berührung gebracht hatte. Die Antwort war: der SAT. Solche Inhalte kämen im SAT nicht vor, also gebe es keine Rechtfertigung, sie zu unterrichten.
Analysis wurde gelehrt, weil sie Voraussetzung für Ingenieurwesen und Physik ist und weil das nach dem Wettlauf ins All als wichtig galt.
[0] https://en.wikipedia.org/wiki/SAT_Subject_Tests
Auch in Kanada gab es bis zum ersten Studienjahr einen ähnlichen, auf Analysis ausgerichteten Lehrplan, mit etwas linearer Algebra darin. Der Grund ist, dass Analysis für Ingenieurwesen, Physik, Teile von Chemie und Biologie, Statistik, Teile der Wirtschaftswissenschaften usw. gebraucht wird.
In der Gesellschaft ist Mathematik vor allem ein Werkzeug. Das sage ich als jemand, der reine Mathematik studiert und sich auf Algebra und Zahlentheorie konzentriert hat. Für die große Mehrheit der Studierenden ist tatsächlich der praktische Nutzen der Kernpunkt. Mathematik hat, anders als Natur- oder Geisteswissenschaften, eine Abstraktionsebene, die ohne bewusstes Framing schwer zu genießen ist.
Man möchte sagen: „It's the economy, stupid.“ Mentale Spielräume sind ebenfalls eine Ressource. Die meisten Menschen beschäftigen sich nicht mit Mathematik, nicht weil sie nicht wollen, sondern weil sie es nicht können.
Wenn man in einer Umfrage fragt, was Menschen tun würden, wenn sie ein Grundeinkommen bekämen, das alle Ausgaben und Bedürfnisse deckt, würden vermutlich viele Selbstvervollkommnung oder Kunst wählen. Mathematik zu üben und zu lernen fällt ebenfalls unter beides.
In diesem Punkt kann es sehr helfen, sich auf Achtsamkeit wie vipassana zu konzentrieren. Allerdings ist Achtsamkeit kein intellektuelles Training, sondern etwas, das man tatsächlich leben muss. Wenn man täglich mehrere Stunden meditiert, kommt man innerhalb weniger Monate an einen guten Ort.
Zumindest anekdotisch aus meinem Umfeld hatten stattdessen viele Leute mehr Kinder.
Es ist kein Wettbewerb, also muss ich nicht besser in Mathematik sein als andere, aber andere Bestrebungen wie Kryptografie, bessere Algorithmen oder das Verständnis von Physik werden durch mein primitives Mathematikverständnis begrenzt.
Wenn ich Millionär wäre, wäre eines der Dinge, denen ich nachgehen würde, in einem Haus am Strand zu entspannen und in meiner Freizeit viel Mathematik zu lernen.