- Mathematik an der Universität ist nicht wie in der Schule ein Fach, in dem man auf fest vorgegebene Situationen einfach Algorithmen anwendet, sondern verlangt auch das Urteilsvermögen, auf Grundlage von Definitionen, Sätzen und Beweisen die passende Methode auszuwählen
- Definitionen kann man nicht mit bloßer Intuition übergehen; man muss ihre logische Struktur und ihren Geltungsbereich verstehen, sie an Beispielen und Gegenbeispielen prüfen und schließlich sogar ihre genaue Formulierung beherrschen
- Sätze, Propositionen, Lemmata und Korollare zeigen die Rolle und Bedeutung eines Resultats; man muss Annahmen und Schlussfolgerung, Anwendungsfälle und die Notwendigkeit der Voraussetzungen gemeinsam verstehen
- Beweise sind in der Hochschulmathematik keine optionale Zugabe; man muss zuerst die Aussage eines Satzes verstehen, dann die grobe Strategie erfassen und die ausgelassenen Details ergänzen, um ihn korrekt anwenden zu können
- Für Können beim Lösen von Aufgaben reicht bloßes Wiederholen nicht aus; man sollte verschiedene Lösungswege ausprobieren, zufällig gemischte Aufgaben bearbeiten und das Urteilsvermögen entwickeln, welche Technik wann einzusetzen ist
Worin sich Hochschulmathematik von Schulmathematik unterscheidet
- In der Schulmathematik wird viel Zeit auf Algorithmen und Umformungstechniken verwendet, und von den Schülerinnen und Schülern wird erwartet, dass sie diese in vorgegebenen Situationen anwenden
- Mit dieser Lerngewohnheit allein ist es schwer, der Hochschulmathematik zu folgen, und das kann sowohl bei Studierenden als auch bei Lehrenden zu Frustration führen
- Der erste große Unterschied der Hochschulmathematik besteht darin, dass sie den Teil, den Studierende oft Theorie nennen, viel stärker betont
- Definitionen und Sätze werden präzise formuliert
- Der logische Prozess, durch den ein Satz gilt, wird behandelt
- Es werden sowohl Beispiele gezeigt, die deutlich machen, warum eine Definition passend ist, als auch Wege, wie man einen Satz tatsächlich verwendet
- Wenn in einer Kursbeschreibung der Ausdruck
rigoroussteht, bedeutet das, dass Definitionen und Sätze sehr sorgfältig formuliert werden und dass man zu Sätzen keine bloß plausiblen Erklärungen, sondern Beweise gibt - Wer die Theorie nur oberflächlich liest und sofort zu den Aufgaben übergeht, bekommt in der Hochschulmathematik leicht Probleme
- Der zweite Unterschied betrifft die Art, wie Techniken und Anwendungsaufgaben behandelt werden
- In der Schule wird oft jeweils nur eine Technik auf einmal gelernt
- In der Hochschulmathematik sind für eine Aufgabe oft mehrere Zugänge möglich, und man muss entscheiden, welche Methode davon besser ist
- Deshalb braucht man Lerngewohnheiten, die nicht nur technische Routine, sondern auch Urteilsvermögen beim Problemlösen entwickeln
Wie man Definitionen lernt
- Eine mathematische Definition ist ein Satz, der ein Konzept präzise abgrenzt und benennt, indem er es mit zuvor definierten Begriffen oder undefinierten Begriffen wie
numberodersetverbindet - Ein intuitives Gefühl ist nötig, reicht auf Universitätsniveau aber nicht aus; man muss sich mit der formalen Formulierung einer Definition und ihrer Bedeutung direkt auseinandersetzen
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Genau verstehen, was eine Definition aussagt
- Definitionen sind kein Ort für Schnelllesen
- In etablierten Definitionen gibt es meist keine überflüssigen Wörter oder unnötigen Symbole, und kleine Wörter wie
and,or,if ... then,for all,there iszeigen die logische Struktur an - Zuerst muss man erkennen, welche allgemeine Kategorie von Objekten die Definition überhaupt betrifft
- Die Definition eines Polynoms betrifft eine bestimmte Art algebraischer Ausdrücke
- Die Definition einer stetigen Funktion betrifft eine bestimmte Art von Funktionen
- Die Definition einer Basis eines Vektorraums betrifft eine bestimmte Art von Vektormengen
- Danach muss man interpretieren, was genau zu zeigen ist, damit ein Objekt aus dieser allgemeinen Kategorie die Definition erfüllt
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Den Geltungsbereich einer Definition mit Beispielen prüfen
- Standardbeispiele sind nützlich, können aber den Eindruck erzeugen, alle Beispiele müssten den Standardfällen ähneln
- Um eine Definition zu verstehen, sollte man selbst Beispiele konstruieren
- Drei Beispiele bilden, die die Definition erfüllen und sich zugleich möglichst stark voneinander unterscheiden
- Zwei Beispiele bilden, die zur gleichen allgemeinen Kategorie gehören, die Definition aber nicht erfüllen
- Beweisen, dass diese fünf Beispiele tatsächlich so funktionieren wie beabsichtigt
- Solche Beweise sind meist kurz und folgen fast direkt der Struktur der Definition
- Selbst erstellte Beispiele haben bei der Wiederholung oft mehr Bedeutung als die Beispiele aus dem Buch oder von der Dozentin oder dem Dozenten
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Die genaue Formulierung auswendig kennen
- Um eine Definition zu verwenden, muss man wissen, was sie genau aussagt
- In Prüfungen können Aufgaben vorkommen, die nach der exakten Formulierung einer Definition fragen
- Solides Wissen über Definitionen macht einen großen Teil des gesamten Lernens aus, und die dafür aufgewendete Zeit ist keine Verschwendung
Umgang mit Sätzen, Propositionen, Lemmata und Korollaren
- Definitionen funktionieren in der Praxis erst dann wirklich, wenn sie miteinander verbunden werden und mit allgemeinen Problemen in Beziehung treten, und genau das leistet die Theorie
- Die Bezeichnungen für bewiesene Resultate geben bis zu einem gewissen Grad Auskunft über ihre relative Bedeutung und ihren vorgesehenen Gebrauch
- Ein Satz ist ein wichtiges Resultat, das wesentliche Einsichten darüber gibt, wie Begriffe zur Problemlösung eingesetzt werden oder wie ein Fachgebiet funktioniert; sein Beweis ist oft tief und komplex
- Eine Proposition ist ein kleineres Resultat, das häufig verschiedene Definitionen miteinander verbindet oder alternative Formen einer Definition liefert; ihr Beweis ist meist weniger komplex als der eines Satzes
- Ein Lemma ist ein technisches Resultat, das im Beweis eines Satzes verwendet wird; wenn derselbe Kniff mehrfach gebraucht wird, wird er oft abgespalten, um Wiederholungen im Beweis zu vermeiden
- Ein Korollar ist eine unmittelbare Folge eines Satzes; es gibt oft einen Spezialfall an oder macht das Interesse und die Bedeutung des Satzes sichtbar
- Wenn Autorin, Autor oder Lehrperson diese Bezeichnungen sorgfältig verwenden, hilft das dabei zu erkennen, was wichtig ist
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Die Aussage eines Satzes verstehen
- Sätze verwenden definierte Begriffe; um die Wörter eines Satzes zu verstehen, muss man möglicherweise die zugehörigen Definitionen noch einmal ansehen
- Man muss in der logischen Struktur eines Satzes zwischen Annahmen und Schlussfolgerung unterscheiden
- Man sollte prüfen, ob wirklich alle Annahmen nötig sind oder ob einige davon bereits ausreichen
- Die meisten Sätze sind nur anwendbar, wenn alle Annahmen erfüllt sind
- Über Situationen, in denen die Annahmen nicht erfüllt sind, sagt ein Satz gar nichts aus
- Die Annahmen zeigen, was man nachweisen muss, um den Satz auf einen konkreten Fall anzuwenden, und die Schlussfolgerung zeigt, was der Satz über diesen Fall aussagt
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Prüfen, wie ein Satz verwendet wird
- Man sollte nach Beispielaufgaben suchen, in denen der Satz eine Technik zum Finden der Antwort liefert
- Man sollte selbst Aufgaben erfinden und zeigen, wie der Satz dabei hilft
- Wenn man das aufschreibt, verankert sich der Satz besser im Kopf und lässt sich später leichter wiederholen
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Die Rolle der Annahmen prüfen
- Nützlich ist oft, Beispiele zu suchen, die zeigen, dass die Schlussfolgerung falsch werden kann, wenn man jeweils eine Annahme weglässt
- Viele Sätze der Analysis haben die Annahme, dass eine Funktion stetig ist; wenn diese Annahme fehlt, kann ein Beispiel besonders klar zeigen, warum der Satz scheitert
- Eine Liste solcher Beispiele ist nützlich; als Beispiele werden Bücher wie
Counterexamples in AnalysisundCounterexamples in Topologygenannt - In manchen Fällen steht eine Annahme nicht deshalb im Satz, weil sie für die Schlussfolgerung wesentlich ist, sondern weil sie den Beweis einfacher macht; daher findet man nicht immer ein Beispiel dafür, dass jede Annahme unbedingt notwendig ist
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Die genaue Formulierung eines Satzes auswendig kennen
- Um einen Satz zu verwenden, muss man wissen, was er genau aussagt, besonders im Hinblick auf die Annahmen
- Statt den Beweis eines Satzes auswendig zu lernen, ist es besser, ihn so gut zu verstehen, dass man ihn selbst rekonstruieren könnte
Die Gesamtstruktur des Fachs im Blick behalten
- Mathematik ist keine lose Sammlung von Tricks, sondern eine Denkweise und ein einheitliches Fach
- Ein Teil des Lernens besteht darin, die verschiedenen Definitionen und Sätze korrekt miteinander zu verknüpfen
- Diese Arbeit ist besonders gegen Ende des Semesters wichtig, aber auch während des Lernens hilft ein Bewusstsein für die Gesamtorganisation dabei, Inhalt und Aufbau des Fachs zu verstehen
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Rückwärts verfolgen
- Wenn man bei einem wichtigen Resultat angekommen ist, ist es nützlich zu betrachten, welche früheren Resultate in seinem Beweis verwendet wurden
- Verfolgt man dann weiter, durch welche noch früheren Resultate diese wiederum bewiesen wurden, kann man schließlich bis zu den Definitionen zurückgehen
- Allerdings werden manche Sätze auch ohne Beweis gegeben, etwa wenn in der Analysis der Beweis des Zwischenwertsatzes ausgelassen wird
- Ordnet man diese Informationen wie einen Stammbaum der Resultate, sieht man auf einen Blick, wie die Theorie ineinandergreift
- Im Beispiel des Mittelwertsatzes sind etwa der Satz von Rolle, ein passendes Hilfslemma, die Bedeutung des Vorzeichens der Ableitung, die Definition der Ableitung, die Definitionen von Maximum und Minimum, die Definition eines abgeschlossenen Intervalls, das Supremumsaxiom und die Definition der Stetigkeit miteinander verbunden
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Eine Definitionen-Sätze-Übersicht erstellen
- Wenn man bei jedem wichtigen Satz bis zu den Definitionen zurückverfolgt, kann man erkennen, welche Resultate vor anderen benötigt werden
- Manche Definitionen lassen sich sinnvoll kaum benennen, bevor ein bestimmter Satz bewiesen ist
- Die Dimension eines Vektorraums kann nur so heißen, wenn man weiß, dass die betreffende Zahl eindeutig ist, und dafür braucht man einen Satz
- Eine Definitionen-Sätze-Übersicht ist so angeordnet, dass jedes Resultat eingeführt wird, bevor es in einem Beweis benötigt wird
- Diese Übersicht sollte die genaue Formulierung aller Definitionen und Sätze sowie eine Skizze jedes Satzbeweises enthalten
- Die Beweisskizze zeigt, welche früheren Resultate verwendet wurden und wie sie kombiniert werden; alltägliche Schritte wie das Vereinfachen von Rechnungen oder das Prüfen von Annahmen werden meist ausgelassen
- Eine solche Übersicht ist ein guter Einstieg in die Wiederholung und später ein nützliches Nachschlagewerk
Wie man Beweise versteht
- Mathematik auf Universitätsniveau verlangt, viele Beweise nachzuvollziehen; das unterscheidet sie von der Schulmathematik, in der Beweise oft fehlten oder nur optional waren
- Beweise nachzuvollziehen ist ungewohnt und schwierig und deshalb möglicherweise nicht besonders beliebt
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Zuerst die Aussage des Satzes kennen
- Wenn man Annahmen und Schlussfolgerung verwechselt, weiß man nicht, was man voraussetzen darf und worauf man hinarbeiten muss
- Der erste Schritt zum Verständnis eines Beweises ist daher, genau zu wissen, was der betreffende Satz aussagt
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Die grobe Struktur des Beweises erfassen
- Zuerst sollte man ansehen, welche früheren Resultate verwendet werden und was die Grundstrategie des Beweises ist
- Beim ersten Durchgang sollte man Details auslassen, um die Gesamtrichtung nicht aus dem Blick zu verlieren
- Die meisten Sätze haben die Form einer Implikation, und die einfachste Beweisstruktur besteht darin, die Annahmen zu übernehmen und frühere Resultate so zu kombinieren, dass man zur Schlussfolgerung gelangt
- Auch Kontraposition, Widerspruchsbeweis, mathematische Induktion oder Formen des Auswahlaxioms wie Zorns Lemma können als Strategie verwendet werden
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Ausgelassene Details ergänzen
- Wenn man die Strategie verstanden hat, sollte man sich auf die Taktik konzentrieren
- In Beweisdarstellungen von Lehrbüchern für das Grundstudium und erst recht in höherer Mathematik werden viele alltägliche Schritte ausgelassen
- Wenn ein Ausdruck vereinfacht wurde, sollte man die Rechnungen zwischen den Zeilen selbst ergänzen
- Wenn ein Satz zitiert und angewendet wurde, muss man prüfen, ob alle Annahmen tatsächlich erfüllt sind
- Wenn ein Teil der Leserschaft überlassen wird, muss man diese Details selbst ausarbeiten
- Am Ende sollte man zu jedem Schritt wissen, warum er aus dem vorherigen folgt; man muss aber nicht unbedingt wissen, wie jemand auf genau diesen Beweis gekommen ist
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Warum man Beweise lernen sollte
- Für Mathematikstudierende liegt die Antwort nahe, weil ein großer Teil der Mathematik aus Beweisen besteht
- Aber auch für Studierende, die Mathematik anwenden wollen, sind Beweise notwendig
- Anwendungen in anderen Gebieten stimmen wahrscheinlich nicht exakt mit den Anwendungsaufgaben aus dem Mathematiklehrbuch überein
- Ein Mathematikkurs kann nicht alle bekannten Anwendungen abdecken, und es heißt, dass in der mathematischen Literatur alle zwei Wochen etwa 500 Arbeiten zu Anwendungen erscheinen
- Man muss die Annahmen eines Satzes kennen, damit man ihn nicht fälschlich dort anwendet, wo er gar nicht gilt
- Wenn nötig, hilft das Verständnis des Beweises auch dabei zu sehen, wie man mit einer fehlenden Annahme umgehen kann
- Eine der großen Fallen der angewandten Mathematik besteht darin, die Annahmen eines mathematischen Modells aus Bequemlichkeit zu ignorieren
- Diese Gefahr ist besonders groß, wenn Nichtmathematikerinnen oder Nichtmathematiker angewandte Mathematik betreiben
- Wenn Mathematikerinnen oder Mathematiker angewandte Mathematik betreiben, ist die größere Gefahr eher, Modelle zu bauen, die mit der Realität wenig zu tun haben
- Viele Anwendungen bestehen darin, in den Begriffen eines anderen Fachs Definitionen mathematischer Konzepte wiederzuerkennen
- Beweise können feine Unterschiede in Definitionen und unerwartete Äquivalenzformen klar sichtbar machen
- In der Mathematik ist der Beweis der letzte Test der Gültigkeit
- Wenn man den logischen Gang eines Beweises akzeptiert, können spätere Beobachtungen oder Änderungen der Mode die Gültigkeit eines mathematischen Resultats nicht mehr verändern
- Ohne Beweise fehlt der Mathematik etwas Grundlegendes; dann ist es streng genommen keine Mathematik mehr
Wie man Techniken zum Problemlösen entwickelt
- Etwa ein Drittel bis die Hälfte eines Mathematikkurses behandelt Techniken
- Techniken sind der Prozess, durch den Sätze nicht bloß in allgemeiner Form bleiben, sondern in konkreten Situationen wirksam werden
- In manchen Fällen liefert ein Beweis eine explizite Konstruktion, der man dann im Spezialfall einfach folgen kann
- In Fällen wie Integrationstechniken, in denen auf eine Aufgabe mehrere Zugänge und mehrere Kniffe anwendbar sind, braucht man Urteilsvermögen
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Zuerst Sätze und Beispiele lesen
- Wenn man das Lösen von Aufgaben wie einen von den übrigen Kursinhalten getrennten Prozess behandelt, wird das Lernen schwerer
- Aufgaben folgen oft Mustern, die bereits in den Beweisen wichtiger vorheriger Sätze ausdrücklich auftauchen
- Es ist leichter, das allgemeine Muster vorher zu kennen, als es erst durch Versuch und Irrtum zu entdecken
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Genug Aufgaben lösen, um Techniken einzuüben
- Man muss genügend viele Aufgaben lösen, damit eine einzelne Technik sich wirklich im Gedächtnis festsetzt
- Die letzte Verantwortung für die eigene Ausbildung liegt bei den Studierenden; wenn mehr Übung nötig ist als in den abgegebenen Aufgaben vorgesehen, muss man selbst zusätzlich trainieren
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Dieselbe Aufgabe auf mehrere Arten lösen
- Wenn man eine Technik übt, beginnt man leicht zu glauben, es gebe für eine Aufgabe nur einen einzigen Zugang
- Manche Zugänge sind einfach und andere kompliziert, aber oft funktionieren mehrere Lösungen ähnlich gut
- Ein komplizierterer Zugang ist gute Übung für Aufgaben, die viele Schritte und mehrere Techniken erfordern
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Zufällige Aufgabensammlungen erstellen
- Eine Schwierigkeit beim Lernen mehrerer Techniken besteht darin, dass man schon vor Beginn der Lösung entscheiden muss, welche Technik man verwenden will
- Aufgaben in Lehrbüchern sind oft so gruppiert, dass jeweils die gerade zuvor gelernte Technik verwendet werden soll, und genau das kann diese Schwierigkeit sogar verstärken
- Wenn man aus jeder Aufgabensammlung 2 oder 3 Aufgaben auswählt, sie auf 3×5-Karten schreibt und mischt, erhält man eine Übungssammlung, mit der man trainieren kann, welche Technik zu wählen ist
Letzte Lerngewohnheiten
- Mathematische Sätze enthalten sehr wenig Redundanz, und Mathematik ist ein stark kumulatives Fach
- Ein einmal eingeführter Begriff wird nur selten wiederholt, und später wird meist vorausgesetzt, dass man ihn bereits kennt
- Man sollte genügend Zeit einplanen, um den Text zu lesen, bevor man Aufgaben löst
- Die meisten Studierenden schreiben im Unterricht nicht schnell genug, um zugleich vollständige und gut lesbare Notizen anzufertigen
- Es ist nützlich, die Notizen direkt nach der Veranstaltung noch einmal durchzugehen und eine saubere Endfassung zu erstellen, in der Definitionen und Sätze klar notiert sind
- Das hilft auch dabei, rechtzeitig Stellen zu finden, die man nicht verstanden hat, und die Lehrperson dazu zu befragen
- Man sollte nicht in Rückstand geraten
- Mathematik verlangt Genauigkeit, klare Denkgewohnheiten und Übung
- Pauken unmittelbar vor der Prüfung führt nicht nur meist nicht zum gewünschten Prüfungsergebnis, sondern verstärkt auch die schlechte Gewohnheit, Mathematik durch Auswendiglernen statt durch Verstehen zu betreiben
- Ausreichend Schlaf und ein klarer Kopf helfen mehr als kurzfristiges Auswendiglernen in letzter Minute
1 Kommentare
Hacker-News-Kommentare
Ich habe in Mathematik promoviert und mehrere Arbeiten veröffentlicht, aber meine Empfehlung ist ein einziges Meta-Prinzip: Man muss Freude an Mathematik haben
Das ist ähnlich wie Benjamin Finegold sagte, das Geheimnis des Schachs bestehe darin, jeden Zug zu genießen. Persönlich hatte ich nie Schwierigkeiten mit Mathematik, und ich glaube, der Grund war, dass ich das Arbeiten mit Symbolen, das Lernen neuer Theorien und das eigene Konstruieren wirklich mochte.
Nicht jeder hat von Anfang an Freude an Mathematik, aber ich denke, mindestens die Hälfte davon liegt daran, dass sie keinen klaren Weg gefunden haben, Mathematik zu genießen. Schulmathematik wird meist nicht als großartige künstlerische und logische Erkundung vermittelt.
Deshalb ist es gut, einen Mentor zu finden, der diesen Weg bereits gefunden hat, und sich zeigen zu lassen, wie man Freude an Mathematik haben kann. Ich habe tatsächlich viele Schüler unterrichtet, die Mathematik hassten und als schwierig empfanden, und nach ein paar Sitzungen sah man oft diesen Blick: „Das ist ja ziemlich cool?“
Bevor man Logik, Lernmethoden oder langweilige Produktivitätstechniken anwendet, muss man zuerst einen Weg finden, es zu genießen.
Sie betrachten Mathematik wie das Einnehmen bitterer Medizin oder das Trainieren komplizierter, starrer Fertigkeiten, und entsprechend unbeholfen und autoritär unterrichten sie auch, wodurch Schüler passiv oder rebellisch werden.
Vor Kurzem hat die Regierung von Manitoba in Kanada die Anforderungen so geändert, dass Mathematiklehrer keine Mathematikkurse an der Universität mehr belegen müssen. Dass die pädagogischen Fakultäten der Universitäten dies stark vorantreiben, zeigt meiner Meinung nach, wie sehr Mathematiklehrer Mathematik hassen.
Viele Menschen verwechseln, etwas zu mögen, mit dem guten Gefühl, darin gut zu sein. Wenn ein Fach dann nicht mehr von selbst läuft, wechseln sie später das Hauptfach und gehen dorthin, wo ihre Stärken tragen.
Das Problem ist, zu früh aufzugeben, und um das zu verhindern, ist es wichtig, früh Selbstvertrauen aufzubauen. Wenn man das Gefühl hat, es nicht zu können, ist es fast unmöglich, Freude daran zu haben; grundlegende Beherrschung wird also zum ersten Schritt hin zu Freude und späterem Erfolg.
Ich bin zwar kein Doktor, habe aber ziemlich viel Mathe-Nachhilfe für jüngere Schüler gegeben und suche immer nach neuen Wegen, ihnen ein Gefühl dafür zu vermitteln, dass Mathematik Spaß macht und staunenswert ist.
Für viele Schüler ist Mathematik tief verwurzelt als fast sinnloser Schmerz, und sie ist auch stark mit Unzulänglichkeit oder Scham verbunden, was es nicht leicht macht.
Wie um alles in der Welt soll man sich da selbst dazu bringen, Mathematik zu genießen?
Im Studium war mein Geheimnis in allen Mathekursen: Aufgaben lösen.
Ich löste alle Aufgaben am Ende jedes Kapitels im Lehrbuch, suchte in der Bibliothek andere Lehrbücher und löste auch alle Kapitelaufgaben in diesen Büchern.
Im Graduiertenstudium habe ich das noch erweitert, indem ich jedes Kapitel des Lehrbuchs neu schrieb und die Zwischenschritte der Beweise ergänzte. Ich füllte sogar all die Stellen aus, an denen der Autor mit „daher …“ oder „offensichtlich …“ darüber hinweggegangen war.
Zwanzig Jahre später komme ich ohne Kontext überhaupt nicht mehr durch sie hindurch.
Ich übte grundlegende Definitionen wiederholt und wiederholte sie mit Spaced Repetition; die Cornell-Methode war praktisch fürs Mitschreiben und Wiederholen im Unterricht.
Ich führte ein Denktagebuch, in dem ich festhielt, welche Aufgaben ich nicht lösen konnte oder gelöst hatte, warum ich feststeckte und was funktioniert hatte; diese Metakognition war nützlich für den Transfer auf neue Aufgaben.
Auch Lerngruppen, in denen man sich viel gegenseitig erklärt, halfen enorm.
Für Menschen halte ich das nicht für die optimale Strategie. Wir sollten Mathematikmaterialien erstellen, die Schülern helfen, analytisch und konzeptuell zu lernen.
So wie man Biologie lernt.
Selbst wenn man keine Fragen hat, kann man in dieser Zeit Hausaufgaben machen und den Fragen der anderen zuhören.
Man lernt nicht nur mehr, sondern die Lehrassistenten bemerken auch den Einsatz, was die Chance erhöht, bei Teilpunkten oder Notengrenzen wohlwollender beurteilt zu werden.
Zum Beispiel halte ich es für unmöglich, alle Aufgaben in CLRS zu lösen. Ein Professor gab einmal eine Aufgabe zu universellem Hashing, und allein die zentrale Einsicht für den korrekten Beweis zu gewinnen, dauerte mehrere Stunden.
Bei so vielen konkurrierenden Prioritäten kann ich mir nicht vorstellen, wie man abgesehen von einigen wirklich Begabten alle Aufgaben schaffen soll.
Beim Übergang von der Schule zur Universität muss man sich als Erstes daran gewöhnen, völlig verloren zu sein und sich geschlagen zu fühlen.
Gegen Ende der Oberstufe konnte ich alles lösen, bei den IB-Prüfungen blieb viel Zeit übrig, und seit Monaten hatte ich keine Aufgabe aus dem regulären Lehrplan gesehen, die ich nicht lösen konnte.
An der Universität kamen dann Aufgaben, bei denen ich nicht einmal verstand, was sie mit der gerade gehörten Vorlesung und dem Übungsblatt zu tun hatten. Es fühlte sich an wie: „Ich habe diese Vorlesung gehört und soll mit diesen Informationen diese Aufgabe lösen, aber ich verstehe nicht einmal, was die Aufgabe bedeutet.“
Lernen geschieht genau in diesem frustrierenden Prozess, in dem man mit dem Kopf gegen die Wand rennt. Man liest, liest noch mehr und füllt seine Notizen mit nutzlosen Herleitungen, bis schließlich eine Form erkennbar wird.
An der Universität ist die Stoffmenge so riesig, dass niemand einem in der begrenzten Zeit alles erklären kann. Der Student muss die Kernideen aufgreifen und den Rest selbst mit Zeitaufwand auffüllen.
An meiner Universität gab es vor Semesterbeginn einen Mathe-Auffrischungskurs, der bei der Addition natürlicher Zahlen anfing. In zwei Tagen wurde alles wiederholt, was wir in 13 Jahren Schule gelernt hatten.
Das war eine brutale Neujustierung der Erwartungen, machte aber allen klar, dass dies nicht mehr Schule war und dass eine andere Art von Arbeit und Konzentration nötig sein würde.
Verwandte Links:
How to Study Mathematics (2017) - https://news.ycombinator.com/item?id=26524876 - März 2021, 73 Kommentare
How to Study Mathematics (2017) - https://news.ycombinator.com/item?id=16392698 - Februar 2018, 148 Kommentare
Bonus: Ask HN: How to Study Mathematics? - https://news.ycombinator.com/item?id=23074249 - Mai 2020, 31 Kommentare
Ask HN: How to self-study mathematics from the undergrad through graduate level? - https://news.ycombinator.com/item?id=18939913 - Januar 2019, 227 Kommentare
Ask HN: How to self-learn math? - https://news.ycombinator.com/item?id=16562173 - März 2018, 211 Kommentare
Interessanterweise sagt dieser Leitfaden, dass intuitives Verständnis für Mathematik auf Schulniveau passe, aber nicht für Mathematik auf Hochschulniveau.
David Bessis hingegen argumentiert in seinem jüngsten Buch „Mathematica: A Secret World of Intuition and Curiosity“, Intuition sei das „Geheimnis“ für das Verständnis von Mathematik auf allen Ebenen.
Ich weiß nicht, welche Schlussfolgerung man daraus ziehen sollte, aber meiner lange zurückliegenden Erfahrung mit Mathematik an der Uni nach war Intuition ein mächtiges Werkzeug, um das Verständnis eines Fachs weiterzuentwickeln.
Wenn ein Schüler der Oberstufe eine Schulmathematik-Aufgabe sieht, schöpft er seine Lösungsintuition aus der gesamten Erfahrung mit Mathematik von Klasse 1 bis 12. Beim Übergang zur Mathematik im Grundstudium reicht die bisherige Erfahrung nicht mehr aus, und es wird schwierig.
Gefragt sind abstraktere Probleme und ein viel höheres Maß an Strenge, und oft bewegen sich die Aufgaben in Blooms Taxonomie [1] auf einer höheren Ebene als Schulmathematik. Für durchschnittliche Oberstufenschüler ist das ein Bereich, mit dem sie kaum Erfahrung haben, sodass sich Intuition dort nicht gut ausbildet.
Mit zunehmender Erfahrung kehrt die Intuition in den späteren Bachelor-Jahren, im Graduiertenstudium und darüber hinaus zurück, aber es ist im Kern eine andere Art von Intuition. In der Schule war sie oft visuell und geometrisch; in höherer Mathematik wird sie zu einer Intuition für Abstraktionen und für die Werkzeuge, mit denen man ein Problem angeht.
Das ist nicht anders als bei einem Programmierer, der ein Problem sieht und sagt: „Hier brauche ich eine Hash Map, dann wird das Problem trivial.“
[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Bloom's_taxonomy
Denn im Alltag hat man ein Gefühl für geometrische Objekte oder für Dinge wie zweidimensionale Kurven in der Analysis.
Auf Hochschulniveau sind die Objekte abstrakter, sodass Alltagsintuition möglicherweise nicht mehr greift. Eine neue Art von Intuition kann entstehen, aber dafür muss man viel Zeit mit formalen Verfahren und Rechnungen verbringen, über diese Zeit reflektieren und aktiv neue Metaphern entwickeln, aus denen Intuition erwachsen kann.
Ich erinnere mich zum Beispiel noch daran, dass ein Professor die Ice-9-Metapher aus Cat's Cradle verwendete, um zu erklären, warum bei holomorphen Funktionen auf der komplexen Ebene eine lokal bewiesene Eigenschaft auch für das globale Verhalten gilt.
Nicht, dass sie nicht nötig wäre, sondern dass sie keine hinreichende Bedingung ist.
In Taos Worten: In der post-rigoren Phase, nachdem man die technischen Fähigkeiten ausreichend entwickelt hat, wird der Wert der Intuition deutlich größer.
https://terrytao.wordpress.com/career-advice/theres-more-to-...
Bessis führt tatsächlich auch Beispiele dafür an, wie Intuition und Techniken einander gut ergänzen.
Das Sitzfleisch-Zitat aus Gian-Carlo Rotas The Lost Cafe ist eindrucksvoll.
Das deutsche Wort Sitzfleisch bezeichnet die Fähigkeit, endlose Stunden am Schreibtisch zu verbringen und harte Arbeit zu bewältigen; Mathematiker halten es demnach für einen besseren Maßstab für Erfolg als die reizvollen Talentdefinitionen, die Psychologen gelegentlich vorlegen.
Stan Ulam kam jedoch auch ohne Sitzfleisch zurecht. Nach seiner Enzephalitis entwickelte er Ideen mit seiner unbeschädigten Vorstellungskraft und stützte sich für technische Unterstützung auf das Sitzfleisch anderer.
Dank der Schönheit seiner Einsichten und des Potenzials seiner Vorschläge waren junge Mitstreiter gern bereit, ihm ihre Zeit zu leihen, manchmal sogar auf die Gefahr hin, sie zu verschwenden.
Quelle ist ein hier gefundendes Zitat: http://www.romanpress.com/Rota/Rota.php
In meinem Fall hatte ich das Gefühl, ein völlig neues Niveau erreicht zu haben, als ich versuchte, alle Beweise selbst zu führen.
Früher habe ich ein Thema ein paar Mal gelesen und dann Definitionen und Beweise einzeln durchgegangen: zuerst die Aussage in Erinnerung rufen, danach versuchen, sie selbst zu beweisen. Damit erreicht man indirekt fast alles, was im Artikel beschrieben wird.
Interessant ist, dass sich danach die meisten Übungsaufgaben, die früher kompliziert wirkten, in Aufgaben verwandelten, die sich direkt lösen ließen. Es fühlte sich fast wie ein Cheatcode an, bei dem man kaum noch Übungsaufgaben machen muss.
Als ich an der Uni verschiedene Niveaus unterrichtete, fragte ich jedes Jahr, ob jemand zu Hause versucht habe, sich den Beweis eines Satzes herzuleiten; niemand hatte das getan. Wenn ich sagte, dass man das tun sollte, waren sie immer überrascht.
In diesem Artikel fehlt das Meta des Mathematiklernens.
Kreative Reflexion darüber, wie man selbst lernt, beginnt etwa ab der Mitte des Studiums wirklich Früchte zu tragen.
Das Verhältnis zu Konventionen wird genauso wichtig wie das Verhältnis zu Techniken. Um das „Ganze“ von etwas zu verstehen, muss man auch verstehen, durch welche Voreingenommenheiten die Darstellungsweise geprägt ist, die man gerade vor sich hat. Wahrscheinlich wird man diese Voreingenommenheiten abstreifen wollen.
Das gilt gleichermaßen, ob man die Mathematik verändern oder sie einfach lernen will. Eine passive Haltung, nur das zu tun, was andere von einem erwarten, ist ein Weg in die Frustration.
Ich habe mich nach einem Hinweis auf HN bei MathAcademy.com angemeldet, und meine jüngste Erfahrung war eine sehr angenehme Überraschung.
Mit Anfang 50 wollte ich den Schulstoff von vor 35 Jahren wieder auffrischen, habe mich schnell durch die Foundations-Reihe gearbeitet, bin derzeit etwa zur Hälfte durch Foundations 3 und habe in 9 Wochen mit 2 Stunden pro Tag rund 9000 XP gesammelt.
Für 2025 plane ich, in langsamerem Tempo 1 bis 3 Kurse auf Hochschulniveau auszuprobieren.
Als Autodidakt passte es gut zu meiner Lernweise. Es ist angenehm, messbar, im Schwierigkeitsgrad angepasst, man stößt nicht gegen „Wände“ oder „unerfüllte Abhängigkeiten“, und die Erklärungen zu nicht gelösten Aufgaben sind gründlich.
Die wichtigste Erkenntnis war, dass ich lernen kann, ohne viele Notizen zum Wiederholen und Auswendiglernen anzulegen. Erfahrung und Spaced Repetition reichten aus. Die Weihnachtspause wird der Prüfstein dafür sein, ob das Gelernte wirklich gefestigt ist.
9000 XP in 9 Wochen ist ein beeindruckendes Tempo.
Der Satz „Nicht zurückfallen“ hat mich stark getroffen.
Ich war einer dieser faulen Mathematikstudenten im ersten Jahr, die mit einigen Themen Schwierigkeiten hatten, aber weder Hilfe suchten noch genug Zeit investierten und sich am Ende nie wieder erholten.
Ich denke auch, dass die Lehre an vielen Stellen sehr schlecht war. Oft lief es auf „Glaubt es einfach“ hinaus oder auf „Das ist offensichtlich, die Ausarbeitung überlasse ich Ihnen“; für 18-Jährige ist das ehrlich gesagt katastrophal.
Ein System, in dem man in „Analysis 1“ 30 % erreicht und im nächsten Semester trotzdem direkt in „Analysis 2“ geschoben wird, in der Erwartung, dass man sich schon irgendwie fängt, ist aus meiner Sicht kein gutes System.
Meine Zeit mit Mathematik an der Uni war wirklich qualvoll, und vielleicht hätte ich etwas Anwendungsnäheres wie Ingenieurwesen oder Informatik machen sollen.
Jemand sagte einmal: „Wenn du in der Schule Biologie magst, studiere an der Uni Psychologie; wenn du Chemie magst, Biologie; wenn du Physik magst, Chemie; wenn du Mathematik magst, Physik; wenn du Philosophie magst, Mathematik.“ Ich hätte darauf hören sollen.
Allerdings kann man als vollständig erwachsener Mensch Mathematik jederzeit wieder anschauen, ohne unsinnige Zeitlimits und Notendruck.
Ich glaube, Mathematik passt schlecht zu Zeitdruck. Mathematik bedeutet, lange mit Ideen zu leben, mit ihnen zu spielen, Risiken einzugehen und auch dumme Vermutungen auszuprobieren. Im Kern ist sie Spiel, und Zeitdruck hilft niemandem.
Wenn das Interesse da war, kann man jederzeit zurückkehren und, wenn man möchte, auch wieder Kurse belegen. Es gibt viele gute Bücher für Autodidakten und Gemeinschaften, in denen man gemeinsam lernen kann.
Wenn man aber bis zum Grund der Dinge vordringen, alles verstehen und die grundlegenden Fragen der Wissenschaft lösen will, möchte man ihn vielleicht eher umdrehen.
Wenn man Biologie mochte, studiert man Chemie, weil Lebensprozesse elektrochemische Prozesse sind; wenn man Chemie mochte, studiert man Physik, weil Moleküle und Atome, ihre Bildung und Reaktionen physikalische Prozesse sind, und so weiter.