Bildungsprobleme in der höheren Mathematik

• Mangelhafte Erklärungen in der Schulmathematik können dazu führen, dass sich Schülerinnen und Schüler von der Mathematik abwenden und am Ende nur stark motivierte Lernende übrig bleiben
• Viele Beweise in Lehrbüchern zur höheren Mathematik sind eher Überblicke auf höherer Ebene als vollständige Beweise, sodass Studierende die Rechtfertigung jeder Zeile selbst ergänzen müssen
• In Stewarts Galois Theory dauerte es zwei Tage, die Argumentation für einen bestimmten Fall auszuarbeiten, und selbst für professionelle Mathematiker waren die Zwischenschritte unklar
• Wenn man alle Details aufnehmen würde, könnte ein 200-seitiges Lehrbuch zu 2000 Seiten werden, weshalb Auslassungen unvermeidlich sind – doch Zahl und Umfang dieser Auslassungen sind schmerzhaft groß
• Es werden Materialien benötigt, die schwierige Argumentationen wie ergänzende Notizen guter Universitäten zu strengen Beweisen und Intuition ausarbeiten; geplant ist, zunächst für einige Themen solche Begleitnotizen zu erstellen

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Erklärungslücken in der Lehre höherer Mathematik

• Mangelhafte Erklärungen im Mathematikunterricht der Primar- und Sekundarstufe können dazu führen, dass sich Lernende der Mathematik lebenslang entfremden und letztlich nur stark motivierte Personen dabeibleiben
• Mathematik wird als Fach verstanden, das strenges Schlussfolgern, gedankliche Klarheit und das Einüben des Aufbaus von Argumentationen aus ersten Prinzipien vermittelt
• Ein ähnliches Problem setzt sich auch in der höheren Mathematik fort, und viele Beweise in Lehrbüchern auf Graduiertenniveau sind eher Überblicke auf höherer Ebene als vollständige Beweise
• Wenn Lehrbücher die Zwischenschritte nicht ausreichend zeigen, müssen Studierende großen Aufwand betreiben, um jede Zeile zu verstehen und zu rechtfertigen
• Eine zehnzeilige Argumentation in einem Lehrbuch kann ausgeschrieben leicht zehn Seiten eines nachvollziehbaren Beweises umfassen

Auslassungen in Lehrbüchern und der Bedarf an Ergänzungen

• Selbst wenn man gemeinsam mit professionellen Mathematikern die Zwischenschritte eines Lehrbuchs ausarbeitet, bleiben die Zwischenstufen bestimmter Beweise selbst für Fachmathematiker unklar
• In Stewarts Galois Theory dauerte es zwei Tage, die komplexe Argumentation für einen bestimmten Fall auszuarbeiten; das Ergebnis musste zugleich korrekt, vollständig und für ausreichend motivierte Studierende zugänglich sein
• Dass Witze wie 'proof by obviousness' und 'proof by intimidation' funktionieren, liegt daran, dass solche Situationen in realen Lehrbüchern tatsächlich häufig vorkommen
• Das Problem besteht nicht nur darin, dass grundlegende Resultate aus der Algebra wie Gruppentheorie oder Körpertheorie ausgelassen werden; selbst wenn man den gesamten Stoff des Grundstudiums kennt, wird oft nicht ausreichend sichtbar, warum die Beweise in Lehrbüchern auf Graduiertenniveau funktionieren
• Studierende müssen Themen innerhalb begrenzter Fristen lernen; wenn die Erklärungen im Lehrbuch nicht ausreichen, fehlt ihnen die Zeit, jede zehnzeilige Argumentation selbst zu einem zehnseitigen Beweis auszuarbeiten, sodass sie den genauen Grund am Ende womöglich nie lernen
• In Forschungsarbeiten ist das Problem noch gravierender, doch hier liegt der Fokus auf Lehrbüchern
• Es gibt auch erhebliche praktische Grenzen dafür, dass fortgeschrittene Lehrbücher jede Argumentation vollständig rechtfertigen
  • Würde man alle Details aufnehmen, könnte ein 200-seitiges Lehrbuch zu 2000 Seiten werden
  • Weder Studierende noch Lehrende haben Zeit oder Geduld, Tausende Seiten technisch wenig interessanter Argumentationen zu lesen
  • Autorinnen und Autoren konzentrieren sich auf die interessanten Teile und erwarten, dass Studierende die ausgelassenen Passagen selbst ergänzen
• Trotzdem sind Zahl und Umfang der Auslassungen in gewöhnlichen Lehrbüchern so groß, dass sie schmerzhaft wirken
• Viele gute Universitäten stellen ergänzende Notizen bereit, die schwierige Argumentationen ausarbeiten und bei strengen Beweisen sowie der Intuition helfen; das erscheint als gute Praxis
• Lehrbücher auf Graduiertenniveau sind, weil sie Themen überhaupt erst zugänglich machen, weitaus besser als gar keine Lehrbücher, doch das Material bleibt oft schwer zugänglich
• Wenn unbegrenzt Zeit vorhanden wäre, würde man gern ergänzende Materialien erstellen, die alle Argumentationen dieser Lehrbücher ausführlich ausformulieren, doch das ist realistisch nicht möglich
• Dennoch ist geplant, mit Begleitnotizen zu Themen zu beginnen, bei denen die Qualität der Erklärung als besonders wichtig empfunden wird; genannt werden etwa s-arc transitivity von Graphen und Themen im Zusammenhang mit Körpererweiterungen

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Lobste.rs-Meinungen

• Ah, das tut weh. Als persönliche Anekdote und kleines Lamento: Einer der Gründe, warum ich in Software Engineering und nicht in Mathematik/Informatik gelandet bin, ist, dass der Unterschied in meinem Mathematikverständnis zwischen dem mündlichen Unterricht und dem eigenständigen Lesen von Büchern einfach zu groß war
  Ich brauche ungewöhnlich viel Zeit, um einen aufgeschriebenen Satz zu verstehen, und am Ende stellt sich oft heraus, dass der Inhalt eigentlich einfach war, nur für meinen Geschmack miserabel erklärt — was mich sehr unzufrieden macht
  Meine Diagnose ist allerdings etwas anders. Ich glaube nicht, dass es an fehlenden Details liegt, sondern eher an fehlender Motivation und Übersicht. Beweise wirken, als wären sie komplett rückwärts geschrieben. Man denkt lange über das Problem nach, findet den Beweis, löscht dann den Denkprozess und beginnt, den Beweis vom letzten Schritt an aufzuschreiben
  Zum Beispiel beginnt ein Beweis oft mit „Wähle ɛ = n^2 / 36“, und man muss erst einmal lesen, warum dieses Epsilon mechanisch notwendig ist, dann noch einmal darüber nachdenken, um die Idee hinter diesem technischen Trick zu verstehen, dann mit dieser Idee im Kopf einen informellen Beweis durchspielen und schließlich den Beweis noch einmal lesen, um zu prüfen, ob er mit dieser Idee im Hinterkopf eine korrekte Formalisierung ist. Die Formalisierung ist nützlich, aber nicht das Verstehen selbst
  Reed-Solomon ist ebenfalls ein Beispiel. Wiki hätte sagen können: „Ein Polynom vom Grad N lässt sich aus N+1 Punkten interpolieren. Wenn man K Punkte redundant mitsendet, kann man die Koeffizienten auch dann rekonstruieren, wenn ein Teil verloren geht.“ Stattdessen folgt eine langatmige und schwer zugängliche Erklärung (previously)
  Ein aktuelleres Beispiel ist Satz 1.5.8 in Taos Analysis, also die Aussage, dass in kompakten Mengen jede offene Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung besitzt. Es geht sofort los mit „Wähle y, wähle V_a, es gibt eine Kugel, einen Radius r, ...“ — nicht falsch, aber es ist schwer zu sehen, warum man genau das tut
  Erst nachdem man die Form absorbiert hat, wird die zentrale Idee sichtbar. Da wir eine endliche Teilüberdeckung brauchen, ist es natürlich, gierig die „größten“ Mengen zu wählen, aber man muss festlegen, was „größte“ bedeutet. Fixiert man einen Punkt, kann man relativ zu diesem Punkt die größte Menge wählen, und man kann die Kugel wachsen lassen, bis nur noch ein einziges Element der Überdeckung übrig bleibt. Die Kugeln können nicht unendlich klein werden; dann würde man mit Kompaktheit einen Punkt mit einer Kugel vom Radius 0 auswählen. Also haben die Kugeln mindestens Breite ɛ, und man kann für noch nicht überdeckte Punkte immer wieder die größte Menge wählen. Wenn der Prozess nach endlich vielen Schritten endet, ist alles gut; wenn nicht, erhält man eine Folge von Punkten, die jeweils um ɛ voneinander getrennt sind, was der Kompaktheit widerspricht
  Die Kernidee ist fast immer viel einfacher als die Formalisierung, und sobald man sie einmal erfasst hat, scheint es fast selbstverständlich, dass sich irgendeine Formalisierung durch genügendes Nachschärfen der Ungleichungen ergeben wird. Die Formalisierung ist trotzdem nötig. Sonst weiß man womöglich nicht, ob man versehentlich vom Auswahlaxiom abhängt. Aber als Mittel, um die Idee zu vermitteln, ist sie miserabel. Es ist, als würde man Quicksort aus Assembler-Code rückwärts rekonstruieren
  Ich denke, die richtige Art, Mathematik darzustellen, besteht darin, den Satz nicht als Ausgangspunkt, sondern als Ergebnis zu nehmen und im Modus „Wie hätte man das entdecken können?“ zu erklären
  Natürlich will ich nicht bestreiten, dass es manchmal Argumente gibt, die man „so lange packen und schütteln muss, bis man wirklich glaubt, dass sie etwas beweisen“, aber in der vergleichsweise sanften Mathematik, der ich begegnet bin, ist das eher selten

  • Dieser Kommentar erinnert mich ans Kuchenbacken
    Die Sätze im Lehrbuch sind wie Fotos von fertigen Kuchen in einem Kochbuch, und die Beweise sind wie die Rezepte. Das Chaos, das beim Backen des Kuchens entsteht, sieht man dabei kaum
    Was fehlt, ist, dass man, um denselben Kuchen zu backen, trotzdem noch Verständnis und handwerkliches Können fürs Backen braucht. Im Rezept kann fehlen, wie dick der Teig sein sollte oder wie man etwas rettet, wenn es schiefgeht. Außerdem wird man nicht allein dadurch zum Bäcker, dass man die „ersten Prinzipien“ des Backens kennt. Man hat vielleicht die Grundideen, aber man muss sie kombinieren, um den Kuchen tatsächlich zu backen
    Ich glaube, in der Mathematik ist es wie in anderen modernen Disziplinen. In der Auslage stehen jede Menge Kuchen, und die besten Bäcker bekommen Forschungsgelder dafür, noch mehr Kuchen zu backen. Wenn man selbst Bäcker werden will, muss man in einer Bäckerei in die Lehre gehen, Kniffe lernen und anfangen, eigene Kuchen zu backen, statt nur die Rezepte des Chefs zu benutzen. Das kostet Zeit, Mühe und ein bisschen Glück
  • Kalid Azad von BetterExplained hat das in „Developing Your Intuition For Math“ ziemlich gut zusammengefasst
    https://betterexplained.com/articles/…
    Eine DNA-Sequenz kann eine sehr präzise Beschreibung einer Katze sein, aber nur dadurch kann man sich dieses Tier noch nicht im Kopf vorstellen
  • Übrigens ist es auch Teil des Problems, dass die „Oversampling“-Darstellung bei Reed-Solomon in der Praxis gar nicht verwendet wird. Stattdessen nimmt man die Nachricht als Koeffizienten eines Polynoms und fügt noch ein paar zusätzliche Koeffizienten hinzu, sodass das gesamte Polynom an allen Punkten außer 0 den Wert 0 hat
    In diesem Format sind Prüfung und Korrektur effizienter, und das nennt man die BCH-Perspektive auf R-S. Allerdings ist BCH auch die Bezeichnung für eine ganze Klasse von Codes
    Trotzdem stimme ich zu, dass die Wikipedia-Artikel zu R-S und BCH größtenteils unverständlich sind, selbst nachdem man beim Implementieren wirklich sehr viel darüber gelesen hat. Ohne die großartige, literate-programming-artige gf256-Bibliothek, insbesondere gf256::rs, wäre ich wohl nicht weitergekommen
  • Als jemand, der Mathematik auf Bachelor-Niveau studiert hat, kann ich das nachvollziehen. Viele Beweise ergeben im Rückblick Sinn, aber beim ersten Lesen denkt man oft: „Wie um alles in der Welt ist man darauf gekommen?“
    Aus meiner Erfahrung sind manche Sätze allerdings leichter zu beweisen als andere. In einer Algebra-I-Vorlesung bestand eine der Prüfungen darin, einen beliebigen Satz zu beweisen, den der Professor spontan auswählte. Das wirkt vielleicht einschüchternd, aber wenn man sich lange genug damit beschäftigt, bereits bewiesene Dinge zu beweisen, beginnt man Muster zu erkennen. Außerdem merkt man sich mehr Sätze, die in anderen Beweisen verwendet werden
    Ich will nicht sagen, dass es einfach ist, aber wenn man auf diesem Niveau Mathematik studiert, hat man das Gefühl, dass sich im Kopf etwas öffnet und Dinge möglich werden. Die Formalisierung mag übertrieben wirken, aber sie ist auch das, was Mathematikern erlaubt, zu Schlussfolgerungen zu gelangen, die andere nicht sehen

• Aus persönlicher Erfahrung in den physikalischen Wissenschaften würde ich sagen, dass vieles aus der Art kommt, wie wissenschaftliche Arbeiten geschrieben, veröffentlicht und begutachtet werden
  Der Prozess des Schreibens und Veröffentlichens von Artikeln ermutigt einen nicht wirklich dazu, Wissenschaft zu erklären, sondern eher dazu, Dinge so zu formulieren, dass sie plausibel und ein wenig überzeugend wirken, ohne dabei zu viel Zeit für Details zu „verschwenden“. Diese Verzerrung scheint mir derjenigen in Beweisen sehr ähnlich
  Verlage sollten aus der Wissenschaft verschwinden

  • Nicht nur „ohne zu viel Zeit zu verschwenden“ — es ist noch schlimmer
    Um zu erklären, „wie man das gefunden hat“, muss man vage und grobe Aussagen machen, die weder vollständig gerechtfertigt noch präzise sind. Gutachter — selbst wenn es sich um selbstveröffentlichte, aber indexierte Conference Proceedings oder Overlay Journals handelt — möchten ungern Sätze im finalen angenommenen Text sehen, die in gewissem Sinne falsch sind
    Deshalb werden intuitive Erklärungen manchmal am Ende entfernt, selbst wenn sie in der ersten Einreichung noch enthalten waren
    Es wird noch schlimmer. Ein Co-Autor von mir, der sehr gut darin ist, Einleitungen zu schreiben und Paper darauf zu optimieren, eher angenommen zu werden, erklärt oft, dass es bei der Wahl der Formulierung einer Aussage meist einen Trade-off gibt. Die Version, die am leichtesten angenommen wird, ist oft die schlechteste für diejenigen, die das Paper mögen und zitieren werden. Das gilt sogar dann, wenn alle Versionen wahr sind und sich mit gleich guter Beweisqualität zeigen lassen
  • Stimme zu. Nach meiner begrenzten Erfahrung in der theoretischen Informatik führt die Seitenbegrenzung bei Konferenzen oft dazu, dass der vollständige Beweis aus dem Haupttext herausfällt und in einen Anhang verschoben wird, der meist nicht gründlich begutachtet oder manchmal nur informell veröffentlicht wird
    Die Anreize stimmen also nicht. In diesem Fall liegt die Schuld vielleicht aber weniger bei Verlagen als an einem System, in dem Wissenschaftler anhand von Publikationsmetriken belohnt werden statt für die tatsächliche Arbeit, die sie leisten sollten
    Was Lehrbücher angeht, stimme ich der Aussage des Artikels nicht unbedingt zu. Gute Auslassungen können einen Beweis lesbarer machen und den Leser zum Mitdenken anregen. Im schlimmsten Fall schaut man eben in andere Lehrbücher oder die Originalquelle. Aber auf unvollständige Beweise in Forschungsarbeiten zu stoßen, kann extrem frustrierend sein. Da schleicht sich dann der Verdacht ein, ob überhaupt irgendjemand den vollständigen Beweis wirklich hat, und ehe man sich versieht, sind eine Woche / ein Monat / ein Jahr vergangen

• Als Mathematik-Doktorand sehe ich bei diesem Problem zwei Seiten. Manchmal ist ein präsentierter Beweis ziemlich anspruchsvoll und es ist frustrierend, wenn ich einen bestimmten Schritt wirklich nicht verstehe, aber umgekehrt ist das Ausfüllen der Lücken für die Entwicklung der eigenen Fähigkeiten oft hilfreicher, als alles vollständig vorgesetzt zu bekommen
  Wenn ein Beweis von Aussage 1 zu Aussage 2 springt und das nicht sofort klar ist, vermittelt einem das erstens eine Intuition dafür, was der Autor und darüber hinaus die mathematische Gemeinschaft dieses Gebiets als offensichtlich ansehen. Das ist wertvoll, weil es zeigt, welche Resultate man intuitiv tief verinnerlichen sollte
  Zweitens wird man sich die Zwischenschritte viel besser merken, wenn man sie selbst ergänzt und sich überzeugt, dass das Argument trägt, als wenn man diese Schritte einfach nur auf der Seite liest
  Mein persönlicher „Sweet Spot“ ist, wenn es 30 Sekunden bis 5 Minuten dauert, einen einzelnen Beweisschritt zu rechtfertigen. Dauert es länger, wird es schnell frustrierend und ich lerne meist weniger dabei

• Warte einfach, bis du Beweise in echten Papers siehst
  Etwas ernster gesagt: Natürlich gibt es Mathematikbücher, die schlecht geschrieben und pädagogisch untauglich sind. Aber ich denke, ein durchschnittlicher Beweis auf Graduiertenniveau kann unmöglich alle Details hinschreiben. Dann wäre er mühsam zu lesen und extrem langweilig
  Von Mathematikern wird erwartet, Lücken in Beweisen im Kopf zu füllen, und diese Fähigkeit muss man lernen

  • Die meisten studieren Mathematik auf Graduiertenniveau, um wenigstens mathematische Forschung lesen zu können; wenn das also als Filter wirkt, passt es zumindest bis zu einem gewissen Grad zu der Art Filter, in der Vorlesungswissen später eingesetzt wird. Manchmal ist das unglücklich
    Ich habe ein paar persönliche Anekdoten zum Thema Lückenfüllen
    In der Schulzeit hatte ich nach einer Diskussion über das nötige Detailniveau einmal die Vereinbarung, Beweise mit möglichst wenigen Auslassungen zu schreiben. Wenn ich zeigen konnte, dass ich die Lücken füllen konnte, sollten viele Texte, die deutlich skizzenhafter geschrieben waren, trotzdem als ausreichender Nachweis des nötigen Verständnisses gelten
    Ich erinnere mich daran, mindestens drei Ebenen verschachtelter Klammern vom Typ „das braucht eigentlich keinen expliziten Beweis, aber wir hatten es so vereinbart“ verwendet zu haben. In einer der untersten Klammern stand etwas wie „Beweisen wir per Induktion, dass 2^n>0“. Die oberste Aussage hatte vermutlich mit Grenzwerten zu tun. Zur Ehrenrettung sei gesagt, dass wir uns einig waren, dass die Beweise auf der untersten Ebene tatsächlich übertrieben waren
    In Schule und Studium habe ich beim Mitschreiben oft schon die Kernaussage dessen notiert, was als Nächstes offensichtlich gesagt werden würde, und mir so Zeit verschafft, wenn der folgende Teil ausführlichere Notizen erforderte. Später, als ich Postdoc war, hörte ich einem Kollegen zu, der ein Problem erklärte, und unterbrach ihn mit „Diesen Teil kannst du überspringen, ich sehe, welches Lemma du sagen willst und wie es zu beweisen ist“
    Es stellte sich heraus, dass ich falschlag. Er behauptete das Resultat nicht, sondern stellte eine Frage. Allerdings landete der Beweis, der aus meiner erratenen Skizze hervorging, am Ende tatsächlich in einem Paper

• Unter Leuten wie uns, die eher konkrete Mathematik machen, gibt es eine ganze Welt, die versucht, dieses Detailproblem mit Proof Assistants wie Lean, Agda und Coq zu beheben. Aber ich vermute, fast niemand verwendet Proof Assistants für den „normalen“ Mathematikunterricht. Warum eigentlich?

  • In der Diskreten Mathematik kommt das vor; manche Informatik-Fachbereiche machen das, damit Studierende besser mit Beweisen in Informatik/Diskreter Mathematik interagieren können
    In der Analysis gibt es eine gewisse Darstellungsdiskrepanz zwischen der üblichen Schreibweise und Proof Assistants für Logik höherer Ordnung. Um mit einer Formalisierung in erststufiger Mengenlehre ausreichend weit zu kommen, braucht man einige Definitionen, die meines Wissens noch nicht als konsistentes Gesamtpaket vorliegen