Alles ist Logarithmus

• Wenn man den Logarithmus nicht als Zahlenfunktion, sondern als Verhältnis eines basislosen Logarithmus als abstraktem Objekt betrachtet, liest sich (\log_b N = \log N / \log b) wie eine Einheitenumrechnung
• (\log 2) wird zu einer Maßeinheit wie Bits, (\log e) zu einer wie Nats; die Formel zum Basiswechsel ähnelt dem Schreiben derselben Größe in verschiedenen Einheiten
• (p)-adische Bewertung, die Ordnung von Nullstellen und Polen sowie die Komponentenextraktion durch Ableitung lassen sich alle als Projektionen von Logarithmus-Komponenten deuten
• Es ergeben sich mehrere Entsprechungen: Vektoren als Logarithmen von Verschiebungsoperatoren, Dimensionen als Logarithmen der Größe von Vektorräumen über endlichen Körpern, und Basen als Objekte, die der Logarithmus zurückgibt
• Die gesamte Diskussion ist weniger ein strenger vereinheitlichender Satz als eine Erkundung der Dopplungen in Notation und Struktur; eine mathematische Sichtweise, die Koordinaten und Einheiten trennt, kann diese Muster ordnen

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Basislose Logarithmen und Einheitenumrechnung

• Der gewöhnliche Logarithmus wird als (\log_b x) mit expliziter Basis (b) geschrieben und bezeichnet die Lösung von (b^y=x)
• Die Formel zum Basiswechsel (\log_b x = \log_a x / \log_a b) lässt sich ähnlich wie eine Einheitenumrechnung interpretieren
  • Sie hat dieselbe Struktur wie (2 \text{ km} = 2000 \text{ m} / (1000 \text{ m}/1 \text{ km}))
  • „Wie oft passt (b) in (x)?“ kann als der Quotient aus „der Anzahl von (a) in (x)“ und „der Anzahl von (a) in (b)“ gelesen werden
• Wenn man (\log N) nicht als Zahl, sondern als abstraktes Objekt auffasst, wird ein Logarithmus mit Basis zum Verhältnis zweier basisloser Logarithmen
  • (\log_2 N = \log N / \log 2)
  • (\log 2) wird wie die Einheit „Bits“ behandelt
  • (\log e) wird wie die Einheit „Nats“ behandelt
• In dieser Sicht hat (\log N) selbst keine direkte numerische Bedeutung; erst durch Division durch (\log b) erhält man einen Zahlenwert in einer bestimmten Einheit
• Ein basisloses Gegenstück zum Exponenten wie ((*)^{\log N}) scheint sich nicht sinnvoll konstruieren zu lassen
  • Das übliche (\log_b N) wird als Verhältnis zweier einheitenloser Objekte, (\log N) und (\log b), geordnet

Die Ähnlichkeit von Logarithmen und Vektoren

• So wie man geometrische Vektoren ohne Koordinaten von Koordinatenvektoren in einem bestimmten Bezugssystem unterscheidet, kann auch (\log N) als Objekt vor der Wahl einer Basis verstanden werden
• Die unübliche Schreibweise, einen Vektor (\mathbf{v}) durch einen Referenzvektor (\mathbf{x}) zu teilen, um seine Komponente zu messen, hat dieselbe Struktur wie die Bestimmung eines Werts in Bits durch (\log N / \log 2)
  • (\mathbf{v}/\mathbf{x}=v_x)
  • (\log N / \log 2=\log_2 N)
• Eine Gleichung, die denselben Logarithmus in verschiedenen Einheiten schreibt, entspricht einer Gleichung, die denselben Vektor in verschiedenen Basen schreibt
  • (\log N = \log_2(N)\text{ bits} = \ln(N)\text{ nats})
  • (\mathbf{v}=v_x\mathbf{x}=v_{x'}\mathbf{x'})
• Die Formel zum Basiswechsel übernimmt dieselbe Rolle wie eine Koordinatentransformation bei Vektoren
  • (\log_2 N = \log_2(e)\ln N)
  • (v_x = (\mathbf{x'}/\mathbf{x})v_{x'})

Operationen, die Logarithmus-Komponenten extrahieren

• Für gewöhnliche Logarithmen gibt es keine Schreibweise für eine partielle Projektion, die wie eine partielle Ableitung nur eine bestimmte Komponente herauszieht
  • Wenn (N=2^a3^b) ist, dann misst (\log N/\log 2 = a + b\log_2 3) die gesamte Größe in einer Einheit
  • Es gibt keine Standardnotation, um die (\log 2)- und (\log 3)-Komponenten getrennt zu extrahieren
• Die zahlentheoretische p-adische Bewertung lässt sich als Operation verstehen, die in der Primfaktorzerlegung einer natürlichen Zahl den Koeffizienten der (\log p)-Komponente herauszieht
  • (\log n = n_2\log2+n_3\log3+n_5\log5+\cdots)
  • (\nu_p(n)=n_p)
  • Auch logarithmische Identitäten wie (\nu_p(m/n)=\nu_p(m)-\nu_p(n)) bleiben erhalten
• Erweitert man auf rationale Zahlen oder Zahlen mit Wurzeln, werden die Koeffizienten ganzzahlig oder rational, und das resultierende Objekt nähert sich einem echten Vektorraum an
• Die Ordnung einer Nullstelle oder eines Pols in der komplexen Analysis kann ebenfalls als ähnlicher Grenzwert eines logarithmischen Verhältnisses ausgedrückt werden
  • (\text{ord}a f(z)=\lim{z\to a}\log f(z)/\log(z-a))
  • Damit wird die Ordnung des dominanten Terms in der Laurent-Reihe extrahiert
• (p)-adische Bewertung, partielle Ableitungen und Ordnungsbestimmung in der komplexen Analysis ähneln sich, aber eine vereinheitlichende Theorie dafür ist noch nicht klar

Fälle, in denen auch Vektoren als Logarithmen gesehen werden können

• In der Differentialgeometrie dienen Vektoren als Basis partieller Differentialoperatoren; exponentiert man sie, erhält man Verschiebungsoperatoren
  • (T^{\mathbf{v}}=e^{v_x\partial_x+v_y\partial_y})
  • (e^{v_x\partial_x+v_y\partial_y}f(x,y)=f(x+v_x,y+v_y))
• In flachen Räumen zerfällt ein Verschiebungsoperator in das Produkt koordinatenweiser Verschiebungen
  • (T^{\mathbf{v}}=T_x^{v_x}T_y^{v_y})
  • In nichtflachen Räumen müssen Verschiebungen entlang verschiedener Koordinaten nicht kommutieren, was die Sache komplizierter macht
• In diesem Sinn kann ein Vektor als Logarithmus eines Verschiebungsoperators dargestellt werden
  • (\ln T^{\mathbf{v}}=v_x\partial_x+v_y\partial_y)
• Statt sich auf die natürliche Logarithmusbasis (e) zu stützen, scheint es angemessener, mit einer allgemeinen Verschiebungsbasis (T) zu schreiben: (\mathbf{v}=\log_T T^{\mathbf{v}})
• Auch gewöhnliche Multiplikation kann als Verschiebung in den Koordinaten (\ln a) gesehen werden, doch ob diese Deutung praktisch nützlich ist, bleibt offen

Die Beziehung zwischen Logarithmen und Ableitungen

• Der natürliche Logarithmus kann durch (\ln x=\lim_{a\to0}(x^a-1)/a) definiert werden
  • Entwickelt man (x^a=e^{a\ln x}) in eine Taylor-Reihe, erscheint (\ln x)
• Setzt man ((1+x)) ein, erhält man die Taylor-Reihe von (\ln(1+x)) zurück
  • (x-\frac12x^2+\frac13x^3-\cdots)
• Dieser Ausdruck sieht wie eine Ableitung aus und kann als (\ln x=\partial_y x^y|_{y=0}) geschrieben werden
• (\ln x) verhält sich in mancher Hinsicht wie (x^0)
  • (\ln x\sim (x^0-1)/0)
  • Formal wirkt (\partial_x\ln x=\partial_x((x^0-1)/0)=1/x)
• Dieser Teil ist nicht direkt mit den übrigen Argumenten des Textes verknüpft, ergänzt aber die Sicht auf den Logarithmus als erste Änderung in der Umgebung von (x^0)

Dimension verhält sich wie ein Logarithmus

• In endlichdimensionalen Vektorräumen erfüllt (\dim_K) Identitäten, die denen des Logarithmus ähneln
  • (\dim_K K^n=n)
  • (\dim_K(U\oplus V)=\dim_KU+\dim_KV)
  • (\dim_K(U/V)=\dim_KU-\dim_KV)
  • (\dim_K(U\otimes V)=\dim_KU\times\dim_KV)
• Für einen endlichdimensionalen Vektorraum (V\simeq K^n) über einem endlichen Körper (K) gilt tatsächlich eine echte logarithmische Beziehung zwischen Größe und Dimension
  • Ein Vektor kann als Funktion verstanden werden, die jedem Basiselement einen Koeffizienten aus (K) zuweist
  • (|V|=|K|^{\dim_K V})
  • Daher (\dim_K V=\log_{|K|}|V|)
• In unendlichdimensionalen Räumen oder über unendlichen Körpern ist diese Interpretation weniger stabil, und statt der Kardinalität könnte ein anderer Größenbegriff wie Numerosität) nötig sein
• Mit einer basislosen Dimensionsnotation ließe sich schreiben (\dim K^n=n\dim K) und (\dim_K V=\dim V/\dim K)
• Beim Tensorprodukt entsteht beim bloßen Multiplizieren der Dimensionen ein zusätzlicher Faktor (\dim K); das Tensorprodukt über (K), also (\otimes_K), kann dann als Herausdividieren dieses Faktors über den Quotienten der Skalaranteile verstanden werden

Basis und span als Logarithmus und Exponentialfunktion

• Wenn Dimension die Kardinalität einer Basis ist, könnte der Logarithmus nicht die Kardinalität, sondern die Basis selbst zurückgeben
  • Hat (V\simeq K^3) die Basis ((\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z})), könnte man (\log_K V=(\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z})) schreiben
  • (\dim_KV=|\log_KV|)
• Da man ein bestimmtes Basissystem wählen muss, ist es vielleicht treffender, (\log_KV) als Objekt zu verstehen, das alle möglichen Basen von (V) zugleich bezeichnet
  • Für einen beliebigen Referenzrahmen (X_0) und (\Lambda\in GL(V)) sei (X={\Lambda X_0\mid \Lambda\in GL(V)})
  • Dieses Objekt kann als (GL(V))-Torsor betrachtet werden
• Die Umkehroperation des Logarithmus lässt sich als span deuten, also als Wiederaufbau des Vektorraums aus einer Basis
  • (\span_K(X)=K^X=V)
• Diese Interpretation benutzt reichlich missbräuchliche Notation und ist vielleicht nicht optimal, legt aber nahe, (\dim) und (\span) als lineare Algebra-Analoga von (\log) und (\exp) zu betrachten
• Aus der Perspektive des basislosen Logarithmus könnte sogar (\log K) selbst als „Basis von (K)“ verstanden werden, doch das bleibt einer abstrakteren Fortsetzung vorbehalten

Vermutungen über die Beziehung zwischen Funktionen und Logarithmen

• Das Anheben arithmetischer Operationen auf Mengenoperationen wird als etwas nahe an einer „setification“ behandelt
  • Addition, Multiplikation und Potenzieren natürlicher Zahlen entsprechen jeweils disjunkter Vereinigung, Produkt und Funktionenmenge von Mengen
  • Für endliche Mengen bewahrt die Kardinalität diese Operationen gut
• Wenn etwa (A={a,b}) und (X={x,y}) sind, kann man bei der Entwicklung von ((a+b)^{x+y}) die vier Funktionen (X\to A) als Terme auflisten
  • (a^xb^y) kann als die Funktion mit (x\mapsto a), (y\mapsto b) interpretiert werden
  • Setzt man einige Variablen auf (0) oder (1), verhält sich das wie Funktionsauswertung oder Einschränkung
• Fakultäten und Kombinationen lassen sich auf ähnliche Weise durch Aufzählung von Permutationen und Kombinationen als Terme darstellen
• Gewöhnlich wird eine Funktion (f:X\to A) als Relation ({(x,f(x))\mid x\in X}) modelliert, aber (a^xb^y) ist selbst schon eine einzelne Funktion und hat daher Kardinalität 1
• (\log f ;?; x\log a+y\log b) ähnelt der Relationen-Darstellung einer Funktion, doch dieser Teil ist noch nicht hinreichend ausgearbeitet

Allgemeine Kovarianz und Schluss

• Die gesamte Diskussion konzentriert sich auf den einfachen Fall, in dem der Logarithmus als Isomorphismus verstanden wird, der multiplikative Darstellungen in additive überführt
  • Komplexe Logarithmen oder Matrixlogarithmen werden als kompliziertere Fälle ausgeklammert
• Verschiedene mathematische Operationen wie (\dim), (\nu_p) und das totale Differential besitzen Strukturen, die mit Logarithmen identisch oder ihnen sehr nahe sind
• Diese Verbindungen haben etwas von „Numerologie“, sind aber zu sauber, um sie einfach zu ignorieren
• Auch in der mathematischen Physik, besonders im Operatorformalismus der Quantenmechanik, tauchen ähnliche Strukturen auf; die Physik legt dabei Beschränkungen auf mathematische Notation und Koordinatenwahl
• General covariance ist die Idee, dass Eigenschaften eines Objekts unabhängig von der Wahl der Koordinaten sein sollten; der basislose Logarithmus kann als ein Versuch gesehen werden, den Isomorphismus zwischen multiplikativen und additiven Darstellungen von der Wahl der Einheit zu trennen

[GN⁺]

Hacker-News-Kommentare

• Der basislose Logarithmus hier ist einfach ein Torsor [0]
  Dinge wie Position, Währungswert oder Kalenderdatum kann man ebenfalls als Torsor auffassen. Der Wert selbst ist willkürlich, und es ändert funktional nichts, wenn man alles um einen bestimmten Betrag verschiebt oder die Skala ändert. Mit einem Torsor kann man über solche Objekte sprechen, ohne diese willkürlichen Festlegungen im Voraus zu treffen
  Beim basislosen Logarithmus ist die Grundmenge die „Informationseinheit“. log 2 ist ein Bit, log e ein Nat, log 10 eine Ziffer, und die Umrechnungsfaktoren bilden die Gruppe des Torsors. Eine bestimmte Einheit besonders hervorzuheben bedeutet nur, den Torsor zu trivialisieren
  Auch die Notation der Vektordivision kodiert einen g-Torsor genau auf dieselbe Weise wie Längeneinheiten
  Bisher waren alle Beispiele Torsoren über abelschen Gruppen, aber um eine Position anzugeben, muss man sowohl einen Ursprung als auch eine Längeneinheit wählen. Die Gruppe dieses Torsors ist ein geeigneter Halbdirektprodukts aus Translation und Skalierung und damit eine nichtabelsche Gruppe
  Die meisten wählen implizit eine Trivialisierung, und dadurch entsteht die Verwirrung, das Objekt mit den Operationen auf dem Objekt gleichzusetzen. Zum Beispiel vermischt man, einen Vektor als Position zu sehen, mit ihm als Translation zu sehen. Der Autor geht auf diesen Punkt auch in seinem Artikel über Probleme der geometrischen Algebra [1] ein
  [0]:https://math.ucr.edu/home/baez/torsors.html
  [1]:https://alexkritchevsky.com/2024/02/28/geometric-algebra.htm...

  • Dem mathematischen Konzept das Wort torsor zu geben, war eine sehr schlechte Wahl. Es gibt keinen klaren Bezug zur ursprünglichen Bedeutung des Wortes, und in der klassischen Mechanik wurde es schon lange für ein völlig anderes Konzept verwendet, nämlich für die Größe, die bei einem starren Körper null sein muss, damit Gleichgewicht herrscht, also das Paar aus resultierender Kraft und resultierendem Drehmoment
    Leider hat die Mathematik schon lange die Tradition, gewöhnliche Wörter als Namen für Konzepte wiederzuverwenden, die mit ihrer ursprünglichen Bedeutung nichts zu tun haben. Dadurch werden selbst mathematische Bücher oder Aufsätze, die nur triviale Tatsachen ausdrücken, undurchsichtig, wenn man mit dem Fachjargon des jeweiligen Teilgebiets nicht vertraut ist
  • Ich kannte Torsoren, aber auf diese Verbindung wäre ich nicht gekommen. Ich finde den Begriff ehrlich gesagt nicht besonders nützlich; selbst wenn man weiß, was ein Torsor ist, fühlt es sich immer noch schwer an, darüber nachzudenken. Vermutlich muss ich mich einfach stärker an das Konzept gewöhnen
    Hier in einem anderen Kommentar war die Formulierung meines Basis-Logarithmus als „GL(V)-Torsor“ viel knapper als das, was ich mir mühsam von Hand zurechtgeschrieben hatte
    Unabhängig von der Terminologie fand ich es interessant, weil ich Logarithmen noch nie auf diese Weise betrachtet hatte

• Logarithmen sind großartig. Ich habe einmal angefangen, Mathematik-Lehrbücher aus den 1920er Jahren zu lesen, und alle Rechnungen stützten sich auf tabellierte Logarithmen. Man wandelte Zahlen aus Tabellen in Logarithmen um, verringerte so die Ordnung der Operationen und wandelte sie dann wieder in die gewöhnliche Darstellung zurück
  Selbst so etwas wie das Ziehen einer Kubikwurzel lässt sich auf Division reduzieren, und wenn man auf log-log wechselt, kann man es noch weiter zu einer Subtraktion vereinfachen und danach wieder in die ursprüngliche Notation zurückführen. Wenn man es von Hand macht, fühlt es sich wirklich an, als würde man ein magisches Wurmloch benutzen

  • Die physische Version dieses magischen Wurmlochs ist der Rechenschieber
  • Ein PDF wäre schön. Ich mag solche alten Bücher
  • Mich würde interessieren, ob du den Titel des Buches nennen kannst
  • Noch bis in die 2010er Jahre wurden in Schulprüfungen Handrechnungen und Logarithmentafeln verwendet, weil Taschenrechner nicht erlaubt waren
    Ein- oder zweimal in einer Prüfung gab es Aufgaben, bei denen man tatsächlich Logarithmentafeln brauchte. Zum Beispiel wurde eine Division zu lookup(a)-lookup(b), und diesen Wert suchte man dann wieder als Antilogarithmus, also in der exp-Tafel

• Charles Petzolds The Lost Art of Logarithms lässt sich gut lesen. Es ist noch in Arbeit
  https://www.lostartoflogarithms.com/

  • Charles Petzold schreibt immer mit großer Klarheit und Tiefe

• Dieselbe Idee taucht auch in der Physik auf. In der Quantenphysik erscheint die Wirkung S als eine logarithmusartige Größe hinter der Amplitude e^iS/(h^bar)
  In der statistischen Mechanik ist die Entropie der Logarithmus der Anzahl möglicher Mikrozustände Omega: S = log(Omega)
  Es sind Konzepte aus unterschiedlichen Bereichen der Physik, aber beide spiegeln dasselbe Prinzip wider, logarithmen zu verwenden, um multiplikative Beziehungen in additive Beziehungen umzuwandeln

• Auf die Frage „Wenn es einen Logarithmus ohne Basis log(N) gibt, gibt es dann auch eine ‚basislose Exponentialfunktion‘?“ lautet die Antwort: Mit naiver Algebra offenbar ja.
  Wenn man bei log(x,base) die base weglassen kann, dann kann man sie auch bei pow(base,x) weglassen. Da bits=log(2) gilt, wird pow(bits)=2. Vielleicht lässt sich das auch mit umgekehrten Konzepten wie dem Integral verknüpfen.
  Als spielerische Notationsübung:
  log(freq) = pitch
freq = pow(pitch)
octave = log(2)
400*Hz = 100*Hz*4 // Die Frequenz 400 Hz ist das Vierfache von 100 Hz
log(400*Hz) = log(100*Hz) + log(4)
log(400*Hz) = log(100*Hz) + 2*log(2)
log(400*Hz) = log(100*Hz) + 2*octave
log(400*Hz) = log(100*Hz) + 2*octave // Die Tonhöhe von 400 Hz liegt 2 Oktaven über 100 Hz
cent = log(2)/1200
A4 = log(440*Hz)
B4 = A4 + 200*cent // Die Tonhöhe von B4 liegt 200 Cent über A4
B4 = log(440*Hz) + 200*log(2)/1200
B4 = log(440*Hz) + log(2^(2/12))
B4 = log(440*Hz * 2^(2/12))
pow(B4) = 493.883 Hz // Die Frequenz von B4 beträgt 493.883 Hz
  Mir gefällt die Intuition, die diese basislose Logarithmus-Schreibweise vermittelt, und man muss auch keinen bestimmten Referenzpunkt wählen. Man kann auch eine beliebige Basis wählen und direkt ausrechnen:
  pow(log(440*Hz) + 200*log(2)/1200)
exp(ln(440) + 200*ln(2)/1200)

  • Damit ließen sich wohl auch Dezibel mit echten Einheiten versehen
    dB_P = log(10)/10
dB_F = log(10)/20
log(10*V) = log(V) + 20*dB_F // Der Pegel von 10 V liegt 20 dB über dem Leistungspegel von 1 V
SPL = 20*10^-6 * Pa
hearing_damage = log(SPL) + 90*dB_F // Gehörschäden treten bei mehr als 90 dB_F über SPL auf (A-Bewertung ignoriert)
pow(hearing_damage) = pow(log(SPL) + 90*dB_F))
pow(hearing_damage) = pow(log(SPL) + 90*log(10)/20))
pow(hearing_damage) = SPL*pow(90*log(10)/20))
pow(hearing_damage) = SPL*31622.7766 // Der Druck für Gehörschäden liegt mehr als 31622-fach über SPL
pow(hearing_damage) = 0.632455532 Pa // Der Druck für Gehörschäden liegt über 0.632 Pa
    Wirklich nützlich. Man könnte sich vorstellen, die lächerliche Liste von Dezibel-Suffixen in einer einheitlichen Notation zusammenzufassen. Wenn man zuerst den Logarithmus schreibt, bleiben auch die Positionen von + und - erhalten
    log(reference_unit) + value*dB_F (or dB_P)
log(reference_unit) - value*dB_F (or dB_P)
    https://en.wikipedia.org/wiki/Decibel#List_of_suffixes
  • Ja. Man könnte die Exponentialfunktion einfach curryen und das dann eine basislose Potenz nennen. Eine saubere Notation habe ich aber nicht gefunden

• Dieser Beitrag braucht ein Typsystem. Jedes Mal, wenn man „log“ schreibt, muss man sagen, wovon der Logarithmus genommen wird und wohin er abbildet
  Das ist ähnlich wie im Audio-Bereich, wenn Leute nur „dB“ sagen und dabei so tun, als hätten sie damit die folgenden Fragen beantwortet. Relativ worauf? Wie wurde gemessen? Auf wen ist die Gewichtung abgestimmt? All das fehlt
  Der Autor sollte sich https://en.wikipedia.org/wiki/Lie_theory noch einmal ansehen

  • Die wichtige Eigenschaft des Logarithmus ist strukturell. Außer bei tatsächlichen numerischen Berechnungen kümmert man sich normalerweise kaum um Einheiten oder die Basis
    Wie im Beitrag informell, aber weitgehend ausreichend ausgeführt, zeigt die Basiswechsel-Formel, dass die Wahl der Basis meist nicht wichtig ist. Logarithmen mit verschiedenen Basen sind bis auf einen konstanten Faktor äquivalent
    Die Taylor-Entwicklung von exp gibt der Exponentialfunktion eine intrinsischere und allgemeinere Definition. Deshalb lässt sich exp strukturell auf viele algebraische Umgebungen verallgemeinern, sofern geeignete Konvergenzbedingungen erfüllt sind. Dazu gehören etwa die komplexe Exponentialfunktion und ihre verschiedenen möglichen Logarithmen sowie die Matrix-Exponentialfunktion
  • Ich verstehe immer noch nicht, warum dB im Audio negativ sind. Relativ wozu? Was passiert bei 0 dB?
  • Im ersten Abschnitt erklärt der Autor ausführlich, dass er basislose „log N“ nicht als Zahl, sondern als abstraktes Objekt versteht. Oder meinst du einen anderen Teil?

• Was beim komplexen Logarithmus passiert, scheint im Wesentlichen dasselbe zu sein wie ein Logarithmus, der alle möglichen Basismengen eines Vektorraums ausgibt
  Der komplexe Logarithmus erzeugt einen Z-Torsor, der Basis-Logarithmus einen GL(V)-Torsor. Es scheint eine Möglichkeit zu geben, die Wahl des Verzweigungsschnitts als Teil der Basiswahl des komplexen Logarithmus auszudrücken, und entsprechend könnte man auch die Wahl einer bestimmten Basis als Teil der Basiswahl des Vektorraum-Basis-Logarithmus auffassen

  • Interessant. Ich hatte nicht daran gedacht, dass das zwei Beispiele desselben Phänomens sein könnten. Trotzdem fühlt sich die komplexe Analysis weiterhin schwer greifbar an

• Der Begriff „basenloser Logarithmus“ ist wirklich unsinnig, und ihn zu verwenden ist ein großer Fehler
  Trotzdem hat der Autor des Originaltexts in einem Punkt recht: Ein Logarithmus ist eine physikalische Größe derselben Art wie Länge, Fläche oder Volumen, und die sogenannte Wahl der „Basis“ entspricht der Wahl der Maßeinheit für den Logarithmus
  Logarithmen kommen in den Dimensionsgleichungen vieler abgeleiteter physikalischer Größen vor. Um etwa Dämpfung oder Verstärkung bei der Ausbreitung von Wellen zu beschreiben, verwendet man Größen wie Logarithmus pro Länge oder Logarithmus pro Zeit
  Ändert man die „Basis“ des Logarithmus, dann ändern sich die Zahlenwerte aller abgeleiteten Größen genau so, wie sie sich auch beim Wechsel grundlegender Maßeinheiten wie Länge oder Zeit ändern
  Der vollständige Wert jeder physikalischen Größe eines Logarithmus ist unabhängig von der Maßeinheit, denn er ist das Produkt aus Zahlenwert und Einheit. Ändert man die Maßeinheit, ändern sich Zahlenwert und Einheit gemeinsam, und das Produkt bleibt gleich. Das heißt: Egal mit welcher Basis der Zahlenwert berechnet wird, der Logarithmus entspricht demselben Verhältnis
  Heutzutage wählt man für Logarithmen als Einheit gewöhnlich Oktave (binärer Logarithmus), Neper (hyperbolischer Logarithmus) oder Bel (dekadischer Logarithmus)
  Die Maßeinheit eines Logarithmus ist nicht die Basis selbst, sondern der Logarithmus der Basis. Deshalb wird zum Beispiel der Wert der Zahl „e“, die die Basis des hyperbolischen Logarithmus ist, für keine Rechnung benötigt. Benötigt wird nur „ln 2“ oder dessen Kehrwert „log2 e“; diese dienen zur Umrechnung von Logarithmuswerten zwischen den Maßeinheiten des binären und des hyperbolischen Logarithmus (auch Naturallogarithmus genannt, wobei der hyperbolische Logarithmus nicht „natürlicher“ ist als andere Logarithmen)

  • Dass „basenloser Logarithmus“ unsinnig sei, stimmt nicht. Gegeben sei:
    d(logₐx)/dx = 1/(x log(a))
    Ein basenloser Logarithmus ist einfach eine Familie von Funktionen mit ähnlichen Eigenschaften. Wenn der Autor statt „basenloser Logarithmus“ etwas wie „Logarithmus-Eigenschaft“ gesagt hätte, wäre es vielleicht klarer gewesen, aber das ist eher Wortklauberei und polemisch
    Zu der Aussage, dass sich beim Wechsel der Basis die Zahl ändert: Ich frage mich, ob hier fortgeschrittene lineare Algebra oder genauer Tensoren gelernt wurden. Der Kern von Tensoren ist, dass sie auf ein Objekt unabhängig von der Basis auf dieselbe Weise wirken. Anders gesagt: Wenn a und b dasselbe Objekt in verschiedenen Basen darstellen, dann sind T(a) und T(b) äquivalent, wenn T(x) ein Tensor ist
    Der Punkt ist, dass jede Zahl eine willkürliche Wahl ist und nicht die zugrunde liegende Struktur definiert. Der Autor spricht hier von der Logarithmus-Struktur
    Deshalb lernt man in der linearen Algebra verschiedene Basen und die Umrechnungen zwischen ihnen. Aus demselben Grund gibt es schon in der Schule Polarkoordinaten und kartesische Koordinaten. Das dient der Vorbereitung darauf, Struktur zu verstehen. Bei Gruppen lernt man dann, dass die Gruppen A und B dieselbe mathematische Struktur haben, wenn sie isomorph sind
    Das gilt auch dann, wenn sich die Zahlen ändern

• Ich kann nicht glauben, dass ein gewöhnlicher Logarithmus als „based“ bezeichnet wurde

• Wenn das alles tatsächlich helfen würde, eine neue mathematische Tatsache zu zeigen, wäre es viel interessanter. Im Moment ist es eher ein Notationstrick

  • Neue Tatsachen, Sätze und Beweise halte ich für ziemlich überschätzt. Selbst wenn man eine neue Tatsache findet, landet sie nur als weiterer Eintrag auf einem riesigen Haufen nutzlos herumliegender Fakten. Nützlicher Fortschritt in der Mathematik entsteht durch Refactoring-Bemühungen, die Dinge einfacher und intuitiver machen
    Ich will nicht sagen, dass genau dieser Text das leistet, aber ich denke, unsere heutige Situation ist eher die, dass es zu viele Fakten gibt und zu wenige einfache Sichtweisen, die sie nützlich und zugänglich machen
    Das ist natürlich nur meine persönliche Meinung
  • Ich lese solche Texte als Teil des Prozesses, in dem neue Gedanken Gestalt annehmen. Man betreibt groß angelegtes Pattern Matching, legt mehrere ähnliche Fälle nebeneinander und sucht nach der wesentlichen Grundlage ihrer Ähnlichkeit
    Wenn man solche Muster öffentlich macht, kann sich der Denkprozess verteilen. Vielleicht erkennt jemand anderes darin eine Einsicht