Wie ich mein Gehirn neu verdrahtete, um in Mathematik sattelfest zu werden (2014)

• Eine Person, die in Schulmathematik und -naturwissenschaften Schwierigkeiten hatte, lernte ab dem Alter von 26 noch einmal von Fördermathematik an und wurde schließlich Professor für Ingenieurwissenschaften. Daran wird der Wert von Wiederholung und Auswendiglernen beim Lernen im Erwachsenenalter neu sichtbar.
• Wenn in Mathematik und Naturwissenschaften nur das konzeptuelle Verstehen betont wird, kann es im Unterricht zwar so wirken, als sei alles verstanden worden. Ohne Verinnerlichung durch das Lösen von Aufgaben können jedoch Sicherheit und Anwendungskompetenz fehlen.
• Japanische partizipative Unterrichtsformen werden oft als Vorbild genannt, doch außerschulisches Lernen wie Kumon fördert zugleich durch Auswendiglernen, Wiederholung und mechanisches Üben die Beherrschung des Stoffes.
• So wie man beim Sprachenlernen Vokabeln, Grammatik und Einsatzbedingungen durch Wiederholung einübt, lässt sich dieser Ansatz auch auf mathematische Gleichungen und Verfahren anwenden. Das steht in enger Verbindung mit Chunking, also dem Bilden von Mustern im Langzeitgedächtnis.
• Tiefes Verständnis komplexer Themen entsteht nicht allein durch Erklärungen, sondern durch Flüssigkeit, die durch Wiederholung, Übung und Auswendiglernen aufgebaut wird und sogar Berufswahl und Denkweise erweitern kann.

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Vom Mathe-Schreck zum Professor für Ingenieurwissenschaften

• Als Kind lag die Nähe eher zur Literatur, Mathematik und Naturwissenschaften wurden gemieden. Später wurde daraus jedoch ein Professor für Ingenieurwissenschaften, der täglich mit Mathematik wie Dreifachintegralen, Fourier-Transformationen und Euler-Gleichungen arbeitet.
• Mathematik und Naturwissenschaften in Grundschule, Mittelstufe und Oberstufe wurden nie wirklich gemeistert; erst nach dem Verlassen der Army mit 26 begann Fördermathematik.
• Die Erfahrung, als Erwachsener Mathematik und Naturwissenschaften neu zu lernen, wurde zu einem Anlass, neuronale Plastizität im Erwachsenenalter und Erwachsenenlernen von innen heraus zu betrachten.
• Ein Promotionsstudium in Systemtechnik sowie Forschung und Schreiben über menschliches Denken bildeten die Grundlage dafür, Neurowissenschaften des Lernens und Kognitionspsychologie zu deuten.

Mathematiklernen reicht nicht mit reinem Konzeptverständnis

• Viele Schüler lernen in Grundschule, Mittelstufe und Oberstufe, dass das Verstehen von Mathematik durch Diskussion und Erklärung der Kern des Lernens sei.
• Japan gilt oft als Vorbild für aktive, verständnisorientierte Unterrichtsformen, zugleich betont die Kumon-Methode aber Auswendiglernen, Wiederholung und mechanisches Lernen ebenso wie die Beherrschung des Stoffes.
  • Ähnliche außerschulische Programme werden in Japan und weltweit von vielen Eltern als Ergänzung der Ausbildung ihrer Kinder akzeptiert.
  • Wenn partizipativer Unterricht durch genügend Übung und Wiederholung sowie intelligent gestaltetes Auswendiglernen ergänzt wird, wächst die Flüssigkeit im Umgang mit mathematischem Stoff.
• In den USA wirkt die Betonung des konzeptuellen Verständnisses in Mathematik und Naturwissenschaften bisweilen nicht ergänzend zu älteren Lernformen, sondern ersetzend.
• Der Common Core versucht, konzeptuelles Verständnis, prozedurale Fertigkeiten und Flüssigkeit sowie Anwendungskompetenz in Mathematik gleichwertig zu behandeln. In der praktischen Umsetzung rückt jedoch das Konzeptverständnis leicht ins Zentrum der Unterrichtszeit.
• Wer sich nur auf Verständnis konzentriert, kann zwar die Kerngedanken wichtiger Ideen erfassen, sie ohne Integration durch Übung und Wiederholung aber schnell wieder verlieren.
  • Man kann in die Illusion der Kompetenz geraten und glauben, etwas verstanden zu haben, obwohl das nicht der Fall ist.
  • Wie im Fall von Ingenieurstudierenden kann man sich im Unterricht verstanden vorkommen; ohne Übung, die Konzepte im Einsatz zu verinnerlichen, bleiben die Ergebnisse jedoch schwach.

Flüssigkeit als Wissenseinheit, die durch Wiederholung entsteht

• So wie ein Golfschwung über Jahre hinweg so oft wiederholt wird, bis sich der Körper mit nur einem Gedanken bewegt, brauchen auch Mathematik und Naturwissenschaften einen Zustand, in dem Verfahren nicht jedes Mal neu erklärt werden müssen.
• So wie man 5×5=25 nicht jedes Mal wieder mit Perlen neu anordnen muss, lässt sich auch das Verfahren, beim Multiplizieren von Zahlen mit gleicher Basis die Exponenten zu addieren, durch wiederholte Anwendung direkt aus dem Gedächtnis abrufen.
• Wenn man ein Verfahren in verschiedenen Aufgaben immer wieder verwendet, versteht man auch besser, warum es funktioniert und wie es arbeitet.
• Größeres Verständnis ist das Ergebnis davon, dass der Geist Bedeutungsmuster bildet; wenn man sich weiter nur auf Verständnis selbst fokussiert, kann das das Lernen sogar behindern.

Strategie aus dem Russischlernen

• Weil nach dem Highschool-Abschluss weder Geld noch Fähigkeiten für ein College vorhanden waren, führte der Weg zunächst in die Army und dort am Defense Language Institute zum Russischlernen.
• Im Russischunterricht stand nicht bloßes Verstehen, sondern Flüssigkeit im Vordergrund.
  • Es reichte nicht zu wissen, dass понимать „verstehen“ bedeutet; das Wort wurde in verschiedenen Zeiten und Sätzen immer wieder verwendet.
  • Geübt wurde nicht nur, wann diese Verbform zu verwenden ist, sondern auch, wann nicht.
  • Wörter und Strukturen wurden so lange wiederholt, bis sie sich schnell abrufen und verändern ließen.
• Man kann Wörter und Grammatik technisch verstehen; wenn man gesprochene Sprache bei hohem Tempo nicht verarbeiten kann, ist man dennoch kaum flüssig.
• Dieser Ansatz führte zu guten Unterrichtsergebnissen und wurde später zur intuitiven Grundlage, um Chunking als Kern der Entwicklung von Expertise zu verstehen.

Die Verbindung zwischen Chunking und Expertise

• In Herbert Simons Schachanalysen wurde Chunking als neuronale Einheit konzeptualisiert, die auf verschiedene Schachmuster reagiert.
• Spätere Neurowissenschaftler gingen davon aus, dass Experten wie Schachgroßmeister Tausende solcher Wissens-Chunkes zu ihrem Fachgebiet im Langzeitgedächtnis speichern.
• Schachmeister können Zehntausende Schachmuster erinnern; Experten anderer Gebiete rufen ebenfalls gut gebündelte neuronale Subroutinen ins Bewusstsein, um neue Situationen zu analysieren und darauf zu reagieren.
• Studien zu Schachmeistern, Notaufnahmemedizinern und Kampfpiloten zeigen, dass unter akutem Stress nicht vor allem bewusste Analyse arbeitet, sondern der schnelle Abruf tief eingeprägter neuronaler Subroutinen.
• In manchen Momenten kann der Versuch, bewusst zu verstehen, warum man gerade so handelt, den Fluss unterbrechen und Entscheidungen verschlechtern.

Sprachlernmethoden auf Mathematik und Ingenieurwesen übertragen

• Als Erwachsener wurden beim Lernen von Mathematik und Ingenieurwesen genau dieselben Strategien verwendet wie zuvor beim Russischlernen.
• Am Beispiel von Newtons zweitem Gesetz f = ma wurde die Bedeutung jedes Buchstabens fast körperlich verankert.
  • f stand für Kraft, m für den schweren Widerstand gegen ein Anschieben, a für das Gefühl von Beschleunigung.
  • Die Gleichung wurde auswendig gelernt und im Kopf bewegt: Was geschieht mit f, wenn m und a groß sind? Wie verändert sich m, wenn f groß und a klein ist? Wie stimmen die Einheiten auf beiden Seiten überein?
• Mit Gleichungen zu spielen war ähnlich wie das Konjugieren eines Verbs und wurde zu einer täglichen Methode, um rund um eine einfache Formel gechunkte Subroutinen aufzubauen, die sich leicht aus dem Langzeitgedächtnis abrufen lassen.
• Professoren für Mathematik und Naturwissenschaften haben immer wieder gesagt, dass es für den Erfolg entscheidend ist, durch Übung und Wiederholung gut eingeprägte Chunkes von Expertise aufzubauen.
• Nicht Verständnis erzeugt Flüssigkeit, sondern Flüssigkeit erzeugt Verständnis, und echtes Verständnis komplexer Themen entsteht aus dieser Flüssigkeit.

Alte Flüssigkeit kann wieder aufleben

• Nachdem der Weg zum Elektroingenieur und Professor für Ingenieurwissenschaften geführt hatte, geriet Russisch in den Hintergrund. 25 Jahre später wurde es auf einer Reise mit der Familie in der Transsibirischen Eisenbahn wieder gebraucht.
• Beim Einsteigen wurde Russisch zunächst wie von einem zweijährigen Kind gesprochen: Wörter fehlten, Kasus und Verbbeugungen waren falsch, die Aussprache war schlecht.
• Trotzdem war die Grundlage geblieben, und Tag für Tag verbesserte sich das Russisch wieder, bis alltägliche Bedürfnisse auf der Reise bewältigt werden konnten.
• Später baten Reiseleiter sogar um Übersetzungshilfe für andere Fahrgäste.
• Als in Moskau ein Taxifahrer einen Umweg fuhr, um mehr Geld zu verlangen, kamen plötzlich russische Wörter heraus, die jahrzehntelang nicht gesprochen worden waren; selbst Wörter, von denen nicht bewusst war, dass sie noch vorhanden waren, tauchten im entscheidenden Moment auf.
• Flüssigkeit verankert Verständnis tief und lässt es bei Bedarf wieder auftauchen.

Lehren für den Mathematik- und Naturwissenschaftsunterricht

• Angesichts des Mangels an Absolventen in Mathematik und Naturwissenschaften und der heutigen Lerntrends können Lernende bessere Methoden nutzen.
• Eltern und Lehrkräfte können einfache und zugängliche Methoden einsetzen, die Verständnis tief und flexibel machen.
• So lässt sich dazu ermutigen, sich neu an Fächer heranzuwagen, die als zu schwierig galten, etwa Mathematik, Tanz, Physik, Sprachen, Chemie oder Musik.
• Grundlegende und tiefe Flüssigkeit ist in Mathematik und Naturwissenschaften wichtiger als bloßes Verständnis und kann Türen zu spannenden Berufen öffnen.
• Dieselbe Fähigkeit zur Flüssigkeit, die Liebe zu Literatur und Sprache entstehen ließ, führte am Ende auch zur Liebe für Mathematik und Naturwissenschaften und veränderte und bereicherte das Leben.

[GN⁺]

Hacker-News-Kommentare

• Mir hat dieser Artikel wirklich gefallen, besonders der Satz: „Nicht Verständnis schafft Flüssigkeit, sondern Flüssigkeit schafft Verständnis.“
  Ich mochte Mathematik und habe sie an der Universität studiert, aber meine Familie war zwar naturwissenschaftlich geprägt, empfand Mathematik selbst jedoch wohl als undurchsichtig und bedrohlich. Ich wünschte, ich hätte damals geantwortet: Damit der Satz des Pythagoras intuitiv wirkt, braucht man keine tiefe Einsicht in den euklidischen Raum, sondern so viel Übung, dass einem beim Anblick eines rechtwinkligen Dreiecks sofort drei Beweise einfallen. Dass der Autor viel über sich selbst spricht, passt ebenfalls. Um die subjektive kognitive Erfahrung des Übergangs von Matheangst zu mathematischer Gewandtheit zu erklären, kommt man nicht darum herum, den Hintergrund und die Wahrnehmung der inneren Prozesse zu beschreiben.

  • Das erinnert mich an den Vortrag von Grant Sanderson (3blue1brown) https://youtu.be/z7GVHB2wiyg?si=jcUtUo-TT3ycpTpD
    Oberflächlich geht es darin um das Selbstbild in der Mathematik, aber ich glaube, dass der Wunsch, klug zu wirken, der mathematischen Fähigkeit auf die im Ausgangstext beschriebene Weise hilft. Wenn man klug wirken will, ist es nicht wichtig, ob man etwas selbst erdacht oder in einem Buch gelesen hat; wichtig ist, zu zeigen, was man weiß, und Probleme leicht zu lösen. Also liest und memoriert man eifrig, baut eine riesige mentale Datenbank auf, mit der man prahlen kann, und wird am Ende tatsächlich gut darin.
  • Die Aussage „Wenn man ein rechtwinkliges Dreieck sieht und einem sofort drei Beweise des Satzes des Pythagoras einfallen, wird er intuitiv wahr“ klingt für mich letztlich so, als bedeute sie, sich im Raum der Mathematik orientieren zu können.
    Wenn man sowohl über Wegmarken in Form von Beweisen als auch über ein tiefes Verständnis des Raums selbst den Weg finden kann, dann scheint es für mathematische Intuition zwei Pfade zu geben: den Weg von Übung und Flüssigkeit sowie den Weg tiefer Einsicht und des Verstehens.
  • „Junger Mann, in der Mathematik versteht man Dinge nicht. Man gewöhnt sich einfach an sie.“

• Bei dem, was „Mathematik“ genannt wird, scheint es grob zwei Kategorien zu geben. A ist die Mathematik, von der in diesem Artikel die Rede ist: das, was normale Leute Mathematik nennen und was Ingenieure und die meisten Wissenschaftler verwenden. B ist die Mathematik, die Mathematikstudenten und Mathematiker verwenden: abstrakt, mit vielen Bereichen, deren Namen auf „Theorie“ enden.
  Ich frage mich, ob man mit dem Ansatz des Artikels Mathematik B lernen kann. Ich habe es mehrfach versucht und bin gescheitert, während ich in Mathematik A — Differentialgleichungen, linearer Algebra, symbolischer Manipulation, Geometrie und der Anwendung auf reale Probleme — geübt bin. Mathematik B dagegen scheint schwer erreichbar zu sein; in der Programmierung fühlt sie sich so schwer fassbar an wie Haskell oder rein funktionale Programmierung. Ich frage mich, ob das teils genetisch ist und teils etwas, das man als Kind lernen muss, oder ob man dafür einfach einen formalen Lernpfad braucht.

  • Es scheint hier auch eine Mathematik C zu geben. Das ist alltägliches Kopfrechnen, und obwohl ich einen Ingenieurabschluss habe und in Mathematik A gut bin, bin ich darin miserabel.
    Ein weiteres Element von Mathematik C ist Zahlensinn: Er lässt einen erkennen, ob eine Schätzung oder ein Wert auf dem Taschenrechnerdisplay plausibel oder offensichtlich falsch ist. Dass ich im Kopfrechnen schwach bin, liegt wohl auch daran, dass ich das Einmaleins nie richtig auswendig gelernt habe, und auch daran, dass meinem Gehirn in dieser Hinsicht etwas fehlt, ähnlich wie bei einem schlechten Orientierungssinn. Aber symbolische Manipulation, bei der Zahlen bis zum Schluss keine Rolle spielen, beherrsche ich gut.
  • In der Highschool bekam ich im ersten Semester Analysis eine D-Note und erklärte: „Mit Mathe bin ich durch.“ Bis dahin hatte ich den Taschenrechner als Krücke benutzt, aber Analysis verlangte symbolische Manipulation, bei der man nicht schummeln konnte.
    Der Einfluss meines Vaters, der oft sagte, er sei „schlecht in Mathe“, war groß, und das war ein bequemer Ausweg. Später lernte ich ernsthaft Programmieren, eignete mir mehrere Sprachen an und begann direkt in der Webentwicklung zu arbeiten. Nach ein paar Jahren langweilte mich das, und ich schrieb mich an einem Community College ein, um es mit Ingenieurwesen zu versuchen; dort hatten alle ingenieurwissenschaftlichen Kurse Mathematik als Voraussetzung. Als ich mich zum ersten Mal wirklich anstrengte, stellte sich heraus, dass ich nicht grundsätzlich schlecht in Mathe war, sondern nur unmotiviert. Ich arbeitete in einem Nachhilfezentrum, wechselte später an eine Universität und belegte immer mehr Mathe-Vorkurse, bis ich schließlich Mathematik als Hauptfach wählte und heute einen Doktortitel in Mathematik habe. Bis Mitte 20 glaubte ich nicht einmal, Mathematik A zu können, aber wegen des Ingenieurwesens wurde ich gut darin und wechselte dann direkt zu Mathematik B. Programmieren hat mir beigebracht, streng und abstrakt zu denken, und da ich Mathematik B erst nach dem 25. Lebensjahr betrieben habe, widerspreche ich der Vorstellung, dass das angeboren sei oder unbedingt in der Kindheit gelernt werden müsse. Der Vorteil formaler Bildung lag allerdings darin, dass es externe Verstärkung gab: eine Gruppe von Mitstudierenden, Abgabefristen für Aufgaben und Prüfungen.
  • Ich mochte Mathematik A und wählte deshalb das Fach als Hauptfach, aber als ich tiefer ins Studium einstieg, verwandelte es sich in Mathematik B.
    Damals mochte ich Mathematik B nicht, hielt mich aber mit überdurchschnittlichen Noten über Wasser. Rückblickend gefällt sie mir sogar, und ich würde diese Kurse aus heutiger Perspektive gern noch einmal belegen. Ein Hauptgrund, warum ich sie anfangs nicht mochte, war, dass es sich wie ein Köder-und-Wechsel-Trick anfühlte: Ich hatte mit einem Fach begonnen, das ich mochte und in dem ich gut war, und plötzlich wurde daraus etwas völlig anderes.
  • Rein funktionale Programmierung ist tatsächlich sehr leicht zu verstehen. Man muss Programmieren nicht als etwas auffassen, das Zustand anfasst oder verändert, sondern als etwas, das aus Eingaben Ausgaben erzeugt.
    Auch analoge Elektronik arbeitet größtenteils in einem rein funktionalen Bereich. Ein Verstärker versucht nicht, das Eingangssignal zu verändern, sondern erzeugt ein stärkeres Ausgangssignal, das der Eingangsform folgt; auch die Klangquelle eines Instruments bringt nicht die Taste zum Schwingen, sondern erzeugt je nach gedrückter Taste ein Audiosignal. Der einfachste Weg, praktische rein funktionale Programmierung auszuprobieren, besteht darin, Unix-Prozesse per Pipe zu verbinden: cat somefile.py | egrep '^def \w+' | wc -l. Das ist eine punktfreie Map-Reduce-Pipeline und zugleich reine Funktionskomposition; sie zählt die Top-Level-Funktionen in einer Python-Datei. Updates funktionieren, indem man die Ausgabe wieder als Eingabe zurückführt und nach Abschluss der Berechnung auf die „nächste Version“ umschaltet. Conways Game of Life sieht zwar wie eine In-place-Aktualisierung aus, aber der neue Zustand des Gitters wird vollständig aus dem vorherigen Zustand berechnet, und dieses neue Gitter wird dann zum aktuellen Gitter. Im Allgemeinen kann man auch das Universum als rein funktionale Berechnung sehen, bei der der nächste Zustand eine Funktion vergangener Zustände ist und die Vergangenheit unveränderlich bleibt.
  • Das Geheimnis ist, dass man den Großteil von Mathematik B wie Mathematik A behandeln kann, wenn man ihn in Regeln eines Term-Rewriting-Systems übersetzt.
    Man kann jeden Schritt eines Beweises als Regel betrachten, die einen Term — also einen mathematischen Ausdruck — umformt. Ich habe kein Buch gesehen, das das vollständig explizit macht, aber Bücher über Sequenzenkalkül bringen einen schon halb dorthin. Der Rest von Mathematik B besteht aus Intuition, die dabei hilft, neue Vermutungen aufzustellen und effizient einen Weg von den Annahmen zu der Aussage zu erahnen, die man beweisen möchte.

• Als ich nach Bachelor und Master in Informatik an die medizinische Fakultät kam, kam ich zu einem ähnlichen Schluss über den Wert des Auswendiglernens.
  In der Informatik wird Auswendiglernen eigentlich nicht besonders betont, deshalb brauchte ich eine Weile, um Massen-Auswendiglernen als Lerntechnik zu akzeptieren. Mit der Zeit merkte ich aber, dass schnelles Abrufen das begriffliche Verständnis nicht ersetzt, sondern es eher stärkt. Vor ein paar Jahren habe ich auch darüber geschrieben: https://samrawal.substack.com/p/on-the-relationship-between-...

  • Aus Nicholas Carrs The Shallows habe ich einen ähnlichen Schluss gezogen. Zu wissen, wie man Informationen herleitet oder wo man sie findet, ist etwas anderes, als diese Informationen zu kennen; um im Kopf Verbindungen auf höherer Ebene zu schaffen, muss man die Informationen tatsächlich kennen.
  • Zugehöriger Thread: „Learning Is Remembering“: https://news.ycombinator.com/item?id=32982513

• Der Autor scheint seine eigene Geschichte wirklich zu mögen. Ich habe zwar weitergelesen, aber der ganze Text fühlte sich wie eine lange Einleitung ohne Belohnung an.
  Wenn man wissen will, wie man besser in Mathematik wird und sein Gehirn auf Mathematik umstellt, ist man nach der Lektüre vermutlich nicht viel schlauer.

  • Die rein biografischen Absätze habe ich übersprungen; der wichtige Teil ist ungefähr dieser:
    Auswendiglernen und Wiederholen sind wichtig fürs Lernen, und das damals angesagte reine „Verstehen“ reicht nicht. Mit dieser Grundlage kann man sich auf höhere Ebenen wie das Verstehen und Anwenden von Formeln konzentrieren. Experten bilden Gedächtnis-Chunks und nutzen sie ähnlich wie ein Schachmeister, der Tausende früherer Partien, Eröffnungen und Varianten abrufen kann.
  • Ich bin mir nicht sicher, was „das Gehirn neu verdrahten“ genau bedeuten soll. Man muss einfach lange lernen.
    Für Erwachsene ist das Schwierige, sich die Zeit zu nehmen, vor allem wenn die Arbeit ohnehin schon geistig belastend ist.
  • Ich glaube, man könnte diesen Artikel auf einen Satz reduzieren: „Verlasse dich bei Konzepten, die du verinnerlichen willst, nicht auf bloßes Auswendiglernen, sondern manipuliere sie und spiele mit ihnen.“
    Dass es sinnlos ist, Dinge wie f=ma nur auswendig zu lernen, ohne theoretische und praktische Anwendungen zu versuchen, wirkt offensichtlich. Auch der Versuch, Fremdsprachenlernen mit STEM zu verbinden, war holprig; am Ende läuft es eher auf die Erkenntnis hinaus, dass alles eine Kunstfertigkeit ist und man üben muss, um perfekt zu werden.
  • Ich will wissen, „wie er sein Gehirn neu verdrahtet hat, um in Mathematik flüssig zu werden“, aber bisher habe ich nur gelesen, wie großartig der Autor ist. Dieser Artikel ist nicht gut.
  • Enttäuschend. Gerade weil ich das Buch A Mind For Numbers des Autors gut fand.

• Zugehörige Links:
  I Rewired My Brain to Become Fluent in Math - https://news.ycombinator.com/item?id=33890921 - Dezember 2022
  I Rewired My Brain to Become Fluent in Math (2014) - https://news.ycombinator.com/item?id=13674101 - Februar 2017
  The building blocks of understanding are memorization and repetition - https://news.ycombinator.com/item?id=12508776 - September 2016
  How I Rewired My Brain to Become Fluent in Math - https://news.ycombinator.com/item?id=8402859 - Oktober 2014
  How I Rewired My Brain to Become Fluent in Math - https://news.ycombinator.com/item?id=8400837 - Oktober 2014

• Ich fände es gut, wenn in der Mathematikbildung mehr Geschichte und Philosophie vorkämen. Dass ich in der Schule in Mathematik nicht gut war, lag weniger an mangelnder Begabung als daran, dass es zu langweilig war und von dem abgekoppelt, wofür ich mich als Kind interessierte.
  Als ich Jahre später versuchte, mein Mathematikwissen langsam aufzuholen, fand ich am spannendsten die Leben der Mathematiker, den Einfluss historischer Ereignisse auf ihre Forschung und Themen rund um die Philosophie der Mathematik. Im Schulunterricht ging es nur um Rechnen und Formeln; solche Inhalte kamen nicht vor. Bei Buchhaltung war es genauso. Isoliert war sie langweilig, aber verbunden mit der Geschichte der doppelten Buchführung in Italien oder dem Welthandel seit dem 16. Jahrhundert wurde sie interessant.

  • Mir geht es ähnlich. Nach Jahren in der Softwareentwicklung sehe ich die Gemeinsamkeiten zwischen Mathematik und Software Engineering und beginne erst jetzt, Mathematik zu mögen.
    Mathematik fühlt sich an wie „Softwaresysteme für Zahlen bauen, wobei ich gleichzeitig der Compiler bin“. Aus intellektueller Sicht würde ich Mathematik gern quantitative Philosophie nennen, und Philosophie mag ich ebenfalls.
  • Das gilt für alle Fächer. Das öffentliche Bildungssystem ist insgesamt ziemlich schlecht: Kinder werden 20 Jahre lang acht Stunden am Tag in Kästen gesteckt und lernen verschiedene Themen auf die trockenste Weise.
    Nicht nur fehlt die Freiheit, persönlichen Interessen nachzugehen; auch Hauptfächer wie Geschichte, Mathematik oder Biologie werden auf Bündel von Fakten reduziert, die man in ein Lehrbuch packen und mit Multiple-Choice-Tests abprüfen kann.
  • Vielleicht mag man in Wirklichkeit gar nicht Buchhaltung oder Mathematik, sondern Geschichte.
  • Die große Lüge der Mathematikbildung ist, dass alles heute Bekannte so unterrichtet wird, als sei es Mathematikern mit angeborenem mathematischem Denken plötzlich in fertiger Form im Kopf erschienen.
    In Wirklichkeit entstand jeder Fortschritt in der Mathematik daraus, dass Menschen, meist für technische Anwendungen, jahrzehntelang mit Zahlen und früheren Formen der Mathematik arbeiteten. Wenn Schülerinnen und Schüler wüssten, dass auch mathematische Innovatoren lange an denselben Stellen festhingen, könnten sie mehr Vertrauen in ihre eigenen Fähigkeiten haben.
  • Dann unterrichtet man vielleicht eher Philosophie und Geschichte als Mathematik.
    Das kann ein großartiger erzählerischer Aufhänger für den Einstieg in ein Thema sein, aber letztlich geht es in Mathematik doch um Rechnen, Formeln und Beweise, oder?

• Zur Unterzeile „Tut mir leid für die Bildungsreformer, aber was wir immer noch brauchen, sind Auswendiglernen und Wiederholung“ würde mich interessieren, was Bildungsreformer dazu sagen würden.
  Das klingt unnötig konfrontativ und geht auch ein wenig am Kern des Textes vorbei. Der Text sagt, dass Übung und wiederholte Anwendung in der Mathematik wichtig sind, meint aber wohl nicht, dass wir zur amerikanischen Mathematikdidaktik von vor 40 Jahren zurückkehren sollten. In der Highschool wurde ich danach bewertet, wie schnell ich Matrizen multiplizieren konnte, und hielt Matrizen für dumm; an der Uni lernte ich dann lineare Algebra und gekoppelte Oszillatoren kennen und fand sie großartig. Deshalb dachte ich, Bildungsreform bedeute, sinnlose repetitive Arbeit zu reduzieren und sich auf den Kontext zu konzentrieren, in dem etwas tatsächlich verwendet wird. Liege ich da falsch?

  • Ich habe einmal ein Interview mit einer Frau gehört, die in Großbritannien etwas Ähnliches wie Charter Schools gemacht hat und mit Schülern erfolgreich war, die als leistungsschwach galten.
    Der Kern war Drill, viel Drill, noch mehr Drill. Lehrkräfte mögen ihn nicht, weil das Korrigieren langweilig ist, und Schüler mögen ihn nicht, weil er keinen Spaß macht, aber wiederholtes Üben wirkt. Es ist nicht anders, als in Super Mario Bros. dasselbe Level so lange zu wiederholen, bis das Timing der Sprünge stimmt. Ich habe oft gedacht, dass man Drill gamifizieren sollte, wenn man Dinge wie mathematische Fakten vermitteln will, aber das US-Bildungssystem scheint gegen solche Ansätze allergisch zu sein. Stattdessen wirkt es, als sei das US-Bildungssystem süchtig danach, dem Geldfluss folgend von einem überzogenen Hype zum nächsten zu wechseln.
  • Das ist im Bildungsbereich eine ziemlich umstrittene Position, daher gibt es einen Grund, sie etwas kämpferisch zu formulieren.
    Viel Bildung betont, die Lernenden dort abzuholen, wo sie gerade stehen, verdeckt dabei aber manchmal genau die Komplexität, die unvermeidlich ist, wenn man bestimmten Wissensgebieten konzeptionell begegnet. Manchmal kann es besser sein, sich zuerst große, schwer zu durchdringende Abstraktionen einzuprägen und deren Bedeutung dann durch Anwendung aufzubauen. Viel Wissen wird klarer, wenn man voranschreitet, obwohl man nur verschwommen versteht, was gesagt wird, und wenn man das Selbstvertrauen und den Willen hat, es auszuprobieren – vor allem aber einen Feedback-Mechanismus.
  • Bei mir war es ähnlich, aber an der Kunstschule gab es keine Algebra. Als ich herausfinden wollte, wie Computer funktionieren, lernte ich, warum Mathematik interessant ist.
    Ich weiß, dass ich große Lücken habe, aber ich kann Mathematik so weit einsetzen, wie ich sie brauche. Inzwischen versuche ich, Mathematik selbst zu vermeiden und nur die Form der Mathematik zu verwenden.
  • Auf dem britischen Lehrer-Twitter gibt es zwei laute, aber höflich streitende Lager: Traditionalisten und Progressive.
    Beide Seiten berufen sich auf bildungspsychologische Forschung; die Progressiven stützen sich vor allem auf große Institutionen und internationale Studien, während die Traditionalisten oft im eigenen Klassenzimmer forschen. In britischen standardisierten Abschlussprüfungen scheinen Schüler der Traditionalisten besser abzuschneiden, aber das könnte auch ein Produkt der Prüfungen sein. Außerdem verlässt die Hälfte der Lehrkräfte den Beruf innerhalb von fünf Jahren. Vierzig Jahre bedeuten ungefähr acht Lehrergenerationen, die jeweils mit ihren eigenen Vorannahmen ausgebildet wurden, ihre Vorstellungen im Klassenzimmer verfeinerten und dann die nächste Generation ausbildeten. Dazu kommen die Modezyklen bildungspsychologischer Schulen und wechselnde Regierungspolitik; deshalb ist Unterrichtspraxis von vor 40 Jahren weniger Geschichte als vielmehr Archäologie.
  • Als ich Mathematik an der Universität unterrichtete, gab es viele Studierende, die nicht nur keine schnelle Matrizenmultiplikation beherrschten, sondern nicht einmal schnell multiplizieren konnten.
    Zwangsläufig mussten wir ständig von der hohen Abstraktionsebene, die wir eigentlich lernen wollten, hinuntersteigen, um die niedrige Abstraktionsebene der Arithmetik zu bearbeiten, und dadurch lernten sie die höhere Abstraktion nicht. Man kann sich eine objektorientierte Sprache vorstellen, die allerlei Abstraktionen erzeugen kann, aber keine Zahlen multiplizieren kann. Wie ineffizient wäre es, wenn man jedes Mal, wenn ein Algorithmus eine Multiplikation braucht, selbst ein paar Assembly-Zeilen schreiben müsste, die immer dasselbe tun? Man muss einfach Multiplikation üben.

• Als ich Mathematikvorlesungen an der Uni besuchte, sah ich immer eine große Lücke zwischen dem, was ich zu verstehen glaubte, und dem, wie verwirrend die tatsächlichen Aufgaben waren. Es freut mich, dass die Autorin dieses Phänomen anspricht.
  Für die wenigen Studierenden, die ein Thema wirklich verstanden haben, sind Aufgaben bloße Wiederholungsarbeit; für diejenigen, die es nicht verstanden haben, sind sie der wichtigste Teil des Lernprozesses. Es gibt genau eine Methode, Mathematik zu verstehen: tatsächlich Mathematik zu machen. Diese Methode kann viele Formen annehmen, aber Aufgaben zu lösen ist wichtig. Ich glaube, dass Aufgaben interessant sein sollten, aber auch wiederholtes Abrufen ist wichtig.

  • Beim Programmieren ist es genauso. Selbst wenn man in ein Problem sehr gut vorbereitet hineingeht und glaubt zu wissen, was zu tun ist, braucht man in der Praxis oft viele wiederholte Experimente und mehrere Anläufe, bis man das Wissen hat, um das Problem geschickt zu lösen.

• Erst als ich sah, wo die Autorin Professorin ist, stellte ich die Verbindung her. Sie ist eine der Dozentinnen von Learning How To Learn auf Coursera: https://www.coursera.org/learn/learning-how-to-learn

• Wenn man sich auf FAANG-Interviews vorbereitet und dann durchfällt, wirkt es im Nachhinein so, als bliebe einem zum Bestehen nur, LeetCode durchzuarbeiten und Muster für Graph Traversal, Breitensuche und Tiefensuche in Bäumen, Rekursionsmuster usw. auswendig zu lernen.
  Wenn man die Aufgaben auf natürliche Weise durch Problemlösen angeht, dauert eine einzelne LeetCode-Aufgabe Stunden bis Tage. Nach dem Artikel und den Maßstäben der Tech-Branche ist Auswendiglernen also Intelligenz. Ich habe mein Leben lang versucht, Themen zu verstehen und Auswendiglernen zu vermeiden, aber jetzt leide ich unter einem heftigen Impostor-Syndrom. Ich überlege sogar, meinen aktuellen Tech-Job freiwillig zu kündigen, weil ich mich frage, ob ich es überhaupt verdiene, unter den klügeren Leuten zu sein, die die Interviews bestanden haben. Ist die Interviewpraxis der Tech-Branche wirklich richtig? Ich brauche Hilfe.

  • Ich arbeite schon sehr lange in der Tech-Branche, hatte aber nie etwas, das einem FAANG-Interview besonders nahekam, und es hat auch nie länger als eine Woche vom Interview bis zum Angebot gedauert.
    Ich verdiene zwar nicht auf FAANG-Niveau, aber in einer US-Stadt dritter Größenordnung habe ich konstant mehr als das 2,5-Fache des regionalen Medianeinkommens meiner Altersgruppe verdient. FAANG-Interviews sind ein Spiel. Dass sie so schrecklich sind und Vorbereitung zwingend ist, liegt meiner Ansicht nach daran, dass sie den Kandidatenpool zugunsten bestimmter passender Leute verzerren, Leute auswählen, die verzweifelt genug sind oder viel Zeit haben, den Wechsel zu gleichrangigen Unternehmen erschweren und so die Löhne drücken, und schließlich durch eine Art Initiationsritual Zusammenhalt schaffen. Man muss das nicht persönlich nehmen.
  • Die meisten LeetCode-Aufgaben basieren auf Stoff, den frische CS-Absolventen gelernt haben, wenn sie vor Kurzem einen Kurs mit CLRS als Lehrbuch besucht haben.
    Wenn man diesen Hintergrund voraussetzt, liegt der Schlüssel zum Erfolg darin, Problemlösungsfähigkeiten aufzubauen. Wenn man nicht kürzlich einen CLRS-basierten Kurs besucht hat, ist es ganz natürlich, dass man diese Konzepte stärker auswendig lernen und üben muss.
  • Ich habe bei Apple Interviews geführt und dort gearbeitet, aber die Unterschiede zwischen Teams sind sehr groß, daher sollte man das nur als Anhaltspunkt nehmen.
    Was man grundsätzlich gut beherrschen sollte, ist, sich die Laufzeitkomplexität wichtiger Datenstrukturen zu merken und mit den zentralen Strukturen vertraut zu sein, die auf der Plattform verfügbar sind, für die man Code schreibt. In Java-orientierten Teams war es wichtig, sich an verschiedene Map-Typen, PriorityQueue, Stack, Arrays und das Referenzverhalten von Java zu erinnern. Wenn man einigermaßen intuitiv weiß, wann solche Strukturen nützlich sind, ist der Algorithmusteil gar nicht so schwer. In Interviews mochte man zum Beispiel offenbar LRU-Caches, insbesondere die Implementierung eines LRU-Caches, bei dem alle Operationen konstante Zeit haben. Der einfachste Weg ist, eine doppelt verkettete Liste zu bauen und ihre Knoten auf Wrapper-Typen in einer HashMap zeigen zu lassen. Das ist nicht extrem schwierig, aber man muss damit vertraut sein, welche Datenstrukturen nützlich sind; ein häufiger Anfängerfehler ist in diesem Fall, es mit einem Min-Heap zu versuchen.
  • Tiefensuche bedeutet, wie der Name sagt, zuerst in die Tiefe zu suchen. Ich weiß nicht genau, was man daran „auswendig lernen“ müsste, aber wenn es darum geht, die Abkürzung zu kennen, halte ich das schon für wichtig.