Ein rätselhaftes Zusammentreffen
- Die Frage, warum π² fast gleich g ist
- π ist eine dimensionslose Zahl, g hingegen eine physikalische Größe
- Die beiden Werte sind nicht exakt gleich
Kein einfaches Problem
- Der Wert von g wird in der Einheit m/s² ausgedrückt
- In anderen Einheiten verschwindet diese Übereinstimmung
- Dazu muss man die Definition von Meter und Sekunde verstehen
Die Definition des Meters
- Ein Meter ist die Strecke, die Licht im Vakuum in 1/299.792.458 Sekunde zurücklegt
- In dieser Definition kommt π nicht vor
Die Geschichte der Standards
- Früher wurde Länge anhand von Körperteilen des Menschen gemessen
- Mit dem Bedarf an Standardisierung wurden Definitionen auf Basis von Naturkonstanten vorgeschlagen
Der Traum von Standardisierung und die Schwerkraft
- Im 17. Jahrhundert schlug Christiaan Huygens vor, den Meter über die Länge eines Pendels zu definieren
- Es ergab sich das Problem, dass die Pendellänge je nach Ort auf der Erde variiert
Die erstaunliche Gleichung
- In der Formel für die Schwingungsdauer eines Pendels taucht π auf
- Setzt man Huygens’ Pendelparameter ein, ergibt sich π² = g
Die Französische Revolution und die Veränderung des Meters
- 1791 änderte die Französische Akademie der Wissenschaften die Definition des Meters
- Er wurde als ein Vierzigmillionstel des Pariser Meridians definiert
Der wahre Meter
- Der Meter wurde durch eine tatsächliche Vermessung des Pariser Meridians definiert
- Da die Abplattung der Erde nicht berücksichtigt wurde, entstand ein kleiner Fehler
Fazit
- Die Differenz zwischen π² und g beträgt etwa 0,06
- Wäre die Definition des Meters nicht geändert worden, hätte die elegante Gleichung π² = g gegolten
# GN⁺-Zusammenfassung
- Dieser Artikel untersucht die Beziehung zwischen π² und g und erklärt den historischen Hintergrund sowie die wissenschaftlichen Prinzipien
- Er behandelt die Fehler, die durch die mehrfachen Änderungen der Meterdefinition entstanden sind
- Er hilft dabei, eine interessante Verbindung zwischen Mathematik und Physik zu verstehen
- Als ähnliches Thema wird „Die Geschichte der Naturkonstanten und Einheiten“ empfohlen
1 Kommentare
Hacker-News-Kommentare
Interessant, aber an dieser Stelle möchte ich widersprechen: „In anderen Einheiten ausgedrückt verschwindet die Magie sofort. Also ist es kein Zufall“
Normalerweise ist genau das eher ein starkes Indiz für Zufall. Wenn man eine Heuristik sucht, um zu prüfen, ob etwas kein Zufall ist, dann ist „Bleibt es bei einem Wechsel der Einheiten erhalten?“ der richtige Maßstab.
Allerdings scheint dies hier ein ungewöhnlicher Fall zu sein, in dem diese Heuristik versagt.
Wenn π² exakt gleich g wäre und die „Magie“ in anderen Einheiten verschwände, dann könnte man sagen: „Also ist es kein Zufall“, und schließen, dass es mit der Einheit selbst zusammenhängt.
Aber π² ist nur ungefähr gleich g, und in anderen Einheiten verschwindet die Magie; hätte ich den Artikel vorher nicht gelesen, hätte ich es daher wahrscheinlich für Zufall gehalten.
Als Physiker ergibt das Sinn. π = 3, π² = 10, und das ist g.
Ich weiß nicht, warum alle überrascht sind.
Ach ja, und ein Jahr war, wenn ich mich recht erinnere, π*10e9 Sekunden.
Ein weiterer „schöner Zufall“ ist, dass bei der Umrechnung von Meilen in Kilometer die Konstante 1,609344 auftaucht: kilometers = miles * 1.609344. Nennen wir diese 1,609344 die „km“-Konstante.
Wie sich herausstellt, liegt km sehr nahe am Goldenen Schnitt (sqrt(5)+1)/2 = 1.618033989... Der Unterschied beträgt nur etwa 0,5 % (100 * (gr/km - 1) = 0.54%)! Um es mit den Worten des Originalautors zu sagen: „In anderen Einheiten ausgedrückt verschwindet die Magie sofort. Also ist es kein Zufall ...“ – äh ... Moment mal?
Es gibt noch eins. π (3.141592654...) liegt sehr nahe bei 4 / sqrt(gr) (3.144605511...); nennen wir Letzteres „ap“ für „almost pi“. Das verbindet π mit dem Goldenen Schnitt, und der Unterschied beträgt nur 0,096 % (100 * (pi/ap - 1)). Da muss doch bestimmt etwas dahinterstecken?
Und zum Schluss mein Favorit: 111111111^2 = 12345678987654321. Das ist ... äh ... Moment ...
Hätte man die Länge des Meters als Länge eines Sekundenpendels definiert, dann wäre g exakt π² geworden. Aus der Pendelgleichung:
T = 2π√(L/g)Setzt man T = 2 s und L = 1 m ein:
2 s = 2π√(1 m / g)Nach g aufgelöst:
g = π² m/s²Das gilt unabhängig davon, wie stark die Gravitation ist, allerdings hätte sich die Länge des Meters entsprechend geändert.
[1]. Tatsächlich schlug Talleyrand dies 1790 vor. Stell dir eine Welt vor, in der das Wirklichkeit geworden wäre.
Dazu gibt es noch etwas, das ich mag. Warum sind die Avogadro-Zahl und die Boltzmann-Konstante ungefähr Kehrwerte voneinander, also N ~ 1/k? Wegen der Einheiten ist der Satz an sich unsinnig, aber im MKS-Einheitensystem stimmt er.
Weil ihr Produkt die Gaskonstante ergibt, die ungefähr 1 ist. Beide sind Zahlen, die von mikroskopischen Einheiten auf menschengroße Einheiten übertragen, und in der Gaskonstante, die Gase auf menschlicher Größenskala beschreibt, heben sie sich gegenseitig auf.
Der Temperaturbereich ist relativ eng (100–1000), und wenn Meter, Sekunde und Kilogramm anders definiert wären, gäbe es keinen Grund, warum der Bereich von P*V nicht weit davon entfernt liegen sollte, etwa bei 0,01–0,1.
Schlechter hätte man das wohl kaum erklären können
Für welche Leser ist dieser Text gedacht? Für Menschen ohne Physikkenntnisse ist das eine viel zu lange und verwirrende Erklärung. Viel wichtiger als die lange Vorgeschichte des Längenstandards wäre zu erklären, dass manche Einheiten von anderen abhängen, und warum die Fähigkeit, das metrische System selbst reproduzieren zu können, wichtig ist.
Viele Fragen bleiben unbeantwortet. Wodurch wurde die Sekunde definiert? Misst man Zeit nicht mit einem Pendel? Warum war eine astronomische Definition verlässlicher?
Für Menschen mit Physikkenntnissen ließe sich das viel kürzer und klarer schreiben. Zum Beispiel: „Eine universelle Definition des Meters braucht eine in der Natur vorkommende Konstante, etwa die Gravitation. Man könnte messen, wie weit ein Körper in einer bestimmten Zeit fällt, aber ein Pendel zu verwenden ist einfacher. Ein Pendel schwingt näherungsweise mit einer Periode von 2πsqrt(Fadenlänge/Gravitation). Setzt man die Gravitation auf π², kürzt sich das π nach der Quadratwurzel heraus, und es ergibt sich T = 2*sqrt(Length). Ein 1-Meter-Pendel braucht für eine Hin- und Herbewegung 2 Sekunden, für einen einzelnen Ausschlag also 1 Sekunde, was nützlich ist. Die Uhren jener Zeit waren ziemlich genau, und die Sekunde ließ sich durch astronomische Beobachtungen reproduzieren. Also konnte man ein Pendel nehmen, seine Länge so einstellen, dass es exakt einmal pro Sekunde schwang, und dann mit diesem Faden oder Stab alles Mögliche messen. Weil das gut aussah, änderte man die Gravitationskonstante so, dass sie π² (9,87 m/s²) wurde. Verkürzt man den Meter, wird alles andere länger. Später stellte man fest, dass sich die Gravitation an der Erdoberfläche unterscheidet und sich ein perfektes mathematisches Pendel schwer reproduzieren lässt, und wechselte daher zu einer astronomisch basierten Definition anhand der Erdgröße. Auch das hatte Probleme, also bewahrte man in Paris einen physischen 1-Meter-Stab auf. Seit einigen Jahren verwenden Physiker die Planck-Konstante, die kleinste messbare Entfernung.“
Die Lichtgeschwindigkeit ist nun kein Messwert mehr, sondern ein definierter Wert. Das ist ziemlich tiefgehend, denn unser Einheitensystem beruht nun auf der Gültigkeit der speziellen Relativitätstheorie.
1 - https://en.wikipedia.org/wiki/Metre
Das war eine schöne Wendung aus der Geschichte der Meterdefinition und ein hervorragender Artikel.
Beim Lesen musste ich an Mathematiker wie Ramanujan denken – Leute, die ziemlich viel Zeit damit verbrachten, mit scheinbar zufälligen Zahlen herumzuspielen und Verbindungen zu finden. In diesem Fall dürfte der Autor die Geschichte allerdings von Anfang an gekannt haben.
Jedenfalls habe ich das Gefühl, dass ein Mathematikstudium einem bis zu einem gewissen Grad den Spaß am Erkunden von Zahlenbeziehungen austreibt. Als Kind mochte ich es, wie mit seltsamen Kritzeleien Verbindungen herzustellen und zu finden; gegen Ende des Studiums wollte ich eher über Verbindungen zwischen den abstrakteren Grundbausteinen nachdenken, die ich gelernt hatte.
Trotzdem scheinen viele erfolgreiche Mathematiker immer noch auf diese Weise zu arbeiten: Sie bemerken eine merkwürdige Verbindung, füllen dann die Theorie dazu nach, warum sie besteht, und manchmal führt das zu wirklich interessanten Ergebnissen.
Passend dazu empfehle ich Ken Alders The Measure of All Things, über die Ursprünge des metrischen Systems und die erste wissenschaftliche Fachkonferenz. Liest sich überraschend fesselnd.
https://www.simonandschuster.com/books/The-Measure-of-All-Th...
Das hat überhaupt nichts mit dem Inhalt zu tun, sondern mit der Website selbst.
Wenn ich die Seite aufrufe, ist sie komplett kaputt. Nach etwas Nachforschen stellte sich heraus: Wenn Stylus (eine Erweiterung zum Einschleusen von CSS) mit irgendeiner Regel aktiviert ist, selbst nur mit globalen Regeln, wird die Seite unbenutzbar. Weil sie mit einem React-Framework gebaut ist, sieht sie nicht einfach nur komisch aus, sondern bricht komplett.
Ich habe ein Ticket erstellt und schnell eine Antwort vom Stylus-Entwickler bekommen; offenbar werfen diese Website und alle mit caseme.io erstellten Websites einen Fehler und brechen ab, wenn sie in `` einen injizierten Node erkennen.
[1] https://github.com/openstyles/stylus/issues/1803
Ich bezweifle sehr, dass die Strategie „Wenn man mehr Stoff kaufen musste, hätte man den größten Menschen im Dorf geholt und den Stoff mit dessen Elle messen lassen“ bei tatsächlichen Stoffhändlern funktioniert hätte.
Offizielle Maßeinheiten hatten sie vielleicht nicht, aber dumm waren sie nicht.