Warum steigt die kinetische Energie bei zunehmender Geschwindigkeit quadratisch und nicht linear? (2011)
(physics.stackexchange.com)- Die kinetische Energie eines nicht rotierenden Körpers, $\frac{1}{2}mv^2$, ist nicht einfach eine auswendig gelernte Formel, sondern eine Frage der Intuition: Warum braucht die Beschleunigung von $1\to2\ \mathrm{m/s}$ mehr Energie als die von $0\to1\ \mathrm{m/s}$?
- Die Kernerklärung liegt in der Galilei-Invarianz und der Energieerhaltung: Betrachtet man denselben Stoß in einem anderen Bezugssystem, ergibt sich $E(2v)=4E(v)$, wodurch die quadratische Abhängigkeit von der Geschwindigkeit sichtbar wird.
- Der Impuls $p=mv$ wächst linear mit der Geschwindigkeit, aber wenn ein Körper mit doppelter Geschwindigkeit durch dieselbe Kraft angehalten wird, verdoppeln sich sowohl die Zeit als auch die mittlere Geschwindigkeit, sodass Bremsweg und Arbeit viermal so groß werden.
- Beispiele mit Fallenlassen und Werfen zeigen den Zusammenhang zwischen Höhe, potenzieller Energie und Geschwindigkeit: Ein Ball, der aus 2 m Höhe fällt, ist nicht doppelt so schnell wie ein Ball aus 1 m Höhe.
- $\frac{1}{2}mv^2$ ist die newtonsche Näherung für niedrige Geschwindigkeiten; in der speziellen Relativitätstheorie gilt $K=mc^2(1/\sqrt{1-v^2/c^2}-1)$, was nur bei niedrigen Geschwindigkeiten nahezu denselben Wert liefert.
Kern der Frage
- In der klassischen Mechanik ist die kinetische Energie eines nicht rotierenden Körpers durch $\frac{1}{2}mv^2$ gegeben.
- Im Mittelpunkt der Frage steht weniger die Formel selbst, sondern der Punkt, dass ihr Wachstum mit der Geschwindigkeit quadratisch und nicht linear ist und damit der Intuition zu widersprechen scheint.
- Ein typisches Beispiel ist die Frage, warum mehr Energie nötig ist, um von $1\ \mathrm{m/s}$ auf $2\ \mathrm{m/s}$ zu beschleunigen, als von $0\ \mathrm{m/s}$ auf $1\ \mathrm{m/s}$.
Die quadratische Beziehung über Galilei-Invarianz betrachtet
- Eine Erklärung setzt kinetische Energie als die Wärmemenge an, die entsteht, wenn eine Tonkugel der Masse $m$ mit Geschwindigkeit $v$ gegen eine Wand prallt.
- Lässt man zwei Tonkugeln gleicher Masse nebeneinander aufprallen, entsteht doppelt so viel Wärme; die Energie ist also proportional zur Masse.
- $E(m,v)=mE(v)$
- Wenn zwei Tonkugeln gleicher Masse $m$ jeweils mit Geschwindigkeit $v$ frontal zusammenstoßen, kommen beide wegen der Symmetrie zum Stillstand, und die gesamte Wärmemenge beträgt $2mE(v)$.
- In einem Bezugssystem, das sich mit einer der Kugeln mitbewegt, sieht dasselbe Ereignis anders aus:
- Die erste Kugel ist anfangs in Ruhe.
- Die zweite Kugel nähert sich mit Geschwindigkeit $2v$.
- Nach dem Stoß bewegt sich das aneinanderhaftende System beider Kugeln mit Geschwindigkeit $v$.
- Die anfängliche kinetische Energie in diesem Bezugssystem ist $mE(2v)$; nach dem Stoß bleiben Wärme $2mE(v)$ und die kinetische Energie des Klumpens mit doppelter Masse, $2mE(v)$, übrig.
- Wendet man Energieerhaltung an, erhält man folgende Beziehung:
- $mE(2v)=2mE(v)+2mE(v)$
- $E(2v)=4E(v)$
- Verdoppelt man die Geschwindigkeit, vervierfacht sich die Energie; daher ist die kinetische Energie proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit.
Unterschied zwischen Impuls und Energie
- Diese Frage ist besonders wichtig, wenn man Impuls und Energie unterscheidet.
- Die kinematische Größe, die linear proportional zur Geschwindigkeit ist, ist der Impuls.
- $p=mv$
- Eine Impulsänderung ist proportional zum Kraftstoß.
- $F\Delta t=\Delta p$
- Das steht im Zusammenhang mit Newtons zweitem Gesetz $F=ma$.
- Angenommen, die Körper A und B werden mit derselben Kraft $F$ angehalten:
- A hat die Geschwindigkeit $v$.
- B hat die Geschwindigkeit $2v$.
- Der Impuls von B ist doppelt so groß wie der von A.
- Bei Verzögerung mit derselben Kraft braucht B doppelt so lange zum Anhalten wie A.
- Da B außerdem die doppelte Anfangsgeschwindigkeit und damit die doppelte mittlere Geschwindigkeit hat, wird der Bremsweg $2 \times 2=4$-mal so lang.
- Arbeit ist das Produkt aus Kraft und Weg, $W=Fs$; ist der Bremsweg bei gleicher Kraft viermal so lang, ist auch die erforderliche Arbeit viermal so groß.
- Kinetische Energie ist die Größe, die diese Arbeit beschreibt; deshalb ist die kinetische Energie bei doppelter Geschwindigkeit viermal so groß.
Intuition über Fallen und Schwerkraft
- Man kann die Frage auch umformulieren: nicht „Warum ist kinetische Energie nicht linear, sondern quadratisch in der Geschwindigkeit?“, sondern „Warum wächst Geschwindigkeit wie die Quadratwurzel der kinetischen Energie?“
- Wenn man einen Ball aus 1 m Höhe fallen lässt und er beim Auftreffen auf den Boden die Geschwindigkeit $v$ hat, dann hat ein aus 2 m Höhe fallender Ball nicht die Geschwindigkeit $2v$.
- Im zweiten 1-m-Abschnitt bewegt sich der Ball bereits, durchquert diesen Abschnitt daher in kürzerer Zeit und hat weniger zusätzliche Zeit, um weiter Geschwindigkeit aufzunehmen.
- Nahe der Erdoberfläche ist die gravitative potenzielle Energie proportional zur Höhe, und die Fallhöhe eines Körpers ist proportional zum Quadrat seiner Geschwindigkeit.
- Damit Energie erhalten bleibt, muss auch die kinetische Energie proportional zu $v^2$ sein.
- Auch beim Hochwerfen ergibt sich derselbe Schluss:
- Ist die Anfangsgeschwindigkeit bei gleicher gravitativer Verzögerung doppelt so groß, ist auch die Zeit bis zum Stillstand doppelt so lang.
- Die mittlere Geschwindigkeit ist ebenfalls doppelt so groß.
- Die erreichte Höhe ist viermal so groß.
- Verknüpft man dies mit der potenziellen Energie $mgh$, ist die anfängliche kinetische Energie gleich der potenziellen Energie im Moment des Stillstands, woraus die Form $\frac{1}{2}mv^2$ folgt.
Arbeit-Energie-Satz und Erhaltungsgrößen
- Mathematisch ergibt sich die Form der kinetischen Energie aus Newtons zweitem Gesetz und der Definition von Arbeit.
- Newtons zweites Gesetz:
- $\sum \vec F=m\vec a$
- Definition der Arbeit:
- $W=\int d\vec s\cdot \vec F$
- Integriert man entlang des Weges, ergibt sich:
- $\sum W=m\int d\vec s\cdot \vec a$
- $=m\int dt,\vec v\cdot \frac{d\vec v}{dt}$
- $=\frac{1}{2}m(v_f^2-v_i^2)$
- Damit ist die Definition der Arbeit direkt mit der quadratischen Abhängigkeit von der Geschwindigkeit verbunden.
- Bei konservativen Kräften hängt $\int d\vec s\cdot\vec F$ nicht vom Weg, sondern nur von den Endpunkten ab und kann durch eine Potenzialfunktion ausgedrückt werden.
- Ohne nichtkonservative Kräfte wie Reibung bleibt die Summe aus kinetischer und potenzieller Energie als Erhaltungsgröße unverändert.
Warum „Definition“ allein nicht ausreicht
- In der klassischen Mechanik wird kinetische Energie als $\frac{1}{2}mv^2$ definiert; sie ist nützlich, weil diese Größe zusammen mit einem ortsabhängigen Term erhalten bleibt, wenn die physikalischen Gesetze zeitlich unverändert sind.
- Wenn die Beschleunigung wie beim Gravitationsgesetz, Coulomb-Gesetz oder Hooke'schen Gesetz eine Funktion des Ortes und zeitlich konstant ist, kann man aus der Geschwindigkeit an einem Ort über Energieerhaltung die Geschwindigkeit an einem anderen Ort bestimmen.
- „Weil man es so definiert hat“ lässt aber die Frage offen, warum genau diese Definition nützlich ist.
- Mehrere Erklärungen sehen diese Nützlichkeit mit Erhaltungsgrößen, Symmetrien und Galilei-Invarianz verknüpft.
Lagrange-Formalismus und Symmetrieperspektive
- Nutzt man Homogenität des Raums, Homogenität der Zeit und Isotropie des Raums, darf die Lagrange-Funktion eines freien Teilchens nicht explizit von Ort oder Zeit abhängen.
- Ist der Raum isotrop, darf die Lagrange-Funktion nicht von der Richtung des Geschwindigkeitsvektors abhängen, sondern nur vom Betrag der Geschwindigkeit oder von Potenzen davon.
- Setzt man die Lagrange-Funktion eines freien Teilchens in der Form $\mathcal{L}=\alpha v^n$ an und berechnet den Impuls als $p=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial v}$, ergibt sich $p=\alpha nv^{n-1}$.
- Fordert man im nichtrelativistischen Grenzfall, dass der Impuls linear in der Geschwindigkeit ist, erhält man $n=2$; die kinetische Energie ist also proportional zu $v^2$.
- Die Aussage, dass der Impuls linear mit der Geschwindigkeit ist, gilt nur im nichtrelativistischen Grenzfall.
Relativistischer Grenzfall und Skalarbedingung
- Kinetische Energie ist nicht exakt immer proportional zu $v^2$; in der speziellen Relativitätstheorie verwendet man:
- $K=mc^2(1/\sqrt{1-v^2/c^2}-1)$
- Bei niedrigen Geschwindigkeiten ist diese Formel praktisch identisch mit $\frac{1}{2}mv^2$.
- Dass kinetische Energie ein Skalar ist, während Geschwindigkeit ein Vektor ist, ist ebenfalls ein Grund, der eine lineare Abhängigkeit ausschließt.
- Wäre kinetische Energie linear in der Geschwindigkeit, würde sich ihr Wert ändern, wenn man $\mathbf{v}$ durch $-\mathbf{v}$ ersetzt; sie wäre also richtungsabhängig.
- Der $v^2$-Term der newtonschen Mechanik und die relativistischen Korrekturterme $v^4$, $v^6$ usw. erfüllen die Bedingung, dass kinetische Energie ein Skalar ist und unter $\mathbf{v}\to-\mathbf{v}$ invariant bleibt.
Gedankenexperimente und Alltagsbeispiele
- Ein Gedankenexperiment mit einer Feder und zwei Kisten nutzt die Situation, dass die potenzielle Energie einer komprimierten Feder in die kinetische Energie zweier Körper umgewandelt wird.
- In einem Bezugssystem bringt die Feder eine Kiste zum Stillstand und beschleunigt die andere auf $2v$; in einem anderen Bezugssystem bewegen sich die beiden Kisten mit jeweils $v$ in entgegengesetzte Richtungen.
- Wenn die potenzielle Energie unter Galilei-Transformationen invariant ist und kinetische Energie sich über Massen addiert, folgt $KE(m,2v)=4KE(m,v)$.
- Das Beispiel eines Autounfalls erklärt anhand der Tatsache, dass während der ersten Hälfte der Verzögerungszeit 3/4 des gesamten Anhaltewegs zurückgelegt werden, dass der Schaden eher proportional zur zurückgelegten Strecke als zur Zeit ist.
- Ein Gedankenexperiment, bei dem eine Feder wiederholt verwendet wird, um die Geschwindigkeit eines Balls auf $0,1,2,3,4$ zu erhöhen, zeigt, dass die kinetische Energie in der Form $0,1,4,9,16$ wächst.
1 Kommentare
Meinungen auf Hacker News
Am einfachsten versteht man es als Umwandlung von potenzieller Energie
Eine Kugel auf einer 20-ft-Leiter hat doppelt so viel potenzielle Energie wie eine Kugel auf einer 10-ft-Leiter, und wenn sie den Boden erreicht, wird entsprechend viel davon in kinetische Energie umgewandelt.
Aber die Aufprallgeschwindigkeit einer Kugel, die aus doppelt so großer Höhe fällt, ist bei Weitem nicht doppelt so hoch. Die Schwerkraft ist eine Kraft, die im freien Fall unabhängig von der Geschwindigkeit eine konstante Beschleunigung liefert, und die Zunahme der Geschwindigkeit passiert „pro Zeit“, nicht „pro Strecke“.
Nehmen wir an, eine Kugel, die aus 10 ft fällt, hat nach 1 Sekunde kinetische Energie 10 und Geschwindigkeit 100 erreicht. Auch eine Kugel, die aus 20 ft fällt, hat in dem Moment, in dem sie die ersten 10 ft hinter sich hat, genau dieselbe kinetische Energie 10 und Geschwindigkeit 100.
Entscheidend sind die verbleibenden 10 ft. Da sie bereits mit Geschwindigkeit 100 in diesen Abschnitt eintritt, durchquert sie ihn in kürzerer Zeit als die ersten 10 ft, und die Schwerkraft fügt entsprechend weniger Geschwindigkeit hinzu. Daran sieht man, dass die Beziehung nicht linear ist.
Rechnet man es tatsächlich aus oder probiert es experimentell, muss eine Kugel aus vierfacher Höhe fallen, damit sie den Boden mit doppelt so hoher Geschwindigkeit wie eine andere Kugel erreicht; auch ihre kinetische Energie ist dann viermal so groß.
Die Frage selbst geht ja von der Intuition aus, dass kinetische Energie linear mit der Geschwindigkeit steigen würde, aber diese Intuition ist tatsächlich falsch.
https://www.omnicalculator.com/physics/free-fall
Am Ende ist es aber auch eine Frage dessen, welche Einheiten und Größen wir messen wollen. Wenn man zum Beispiel „Squenergy“ in Sqoules misst und 1Sq² = 1J definiert, dann wächst Squenergy plötzlich linear mit der Geschwindigkeit.
Natürlich wird dann an anderer Stelle alles komplizierter, etwa weil die potenzielle Squenergy zu sqrt(MgH) wird und sich nicht mehr addieren lässt.
Zehnmal aus 1 ft Höhe fallen zu lassen ist nicht so energiereich oder zerstörerisch wie einmal aus 10 ft Höhe.
Für mich ist die intuitivste Erklärung diese: Kraft = Impulsänderung über die Zeit, Energie = Kraft × Strecke.
Wenn man betrachtet, wie viel Energie sich bei einer Geschwindigkeit v über eine kleine Strecke dx durch eine kleine Impulsänderung dissipieren lässt, erhält man dE = Fdx = (dp/dt)dx = m(dv/dt)dx = mdv(dx/dt) = mv*dv.
Um eine Kraft über eine bestimmte Strecke wirken zu lassen, muss man die Geschwindigkeit des Objekts um dv ändern, aber die in dieser Zeit zurückgelegte Strecke hängt ebenfalls von der aktuellen Geschwindigkeit v ab. Deshalb ist die gesamte Energie nicht einfach proportional zur Geschwindigkeit.
Addiert man alle kleinen dE für die Geschwindigkeitsänderung von der Anfangsgeschwindigkeit bis 0, erhält man die Formel für kinetische Energie.
Allerdings geht diese Intuition letztlich von „Kraft = Impulsänderung über die Zeit“ aus. Die Definitionen von „Kraft“, „Impuls“ und „Energie“ sind mathematisch klar, und es gibt eine gemeinsame Realität, aber sie können sich dennoch ärgerlich zirkulär anfühlen.
„Doppelt so schnell“ lässt sich gut als doppelter Impuls begreifen, aber kinetische Energie ist Impuls × Geschwindigkeit und daher abstrakter.
Es gibt eine kleine Anekdote dazu.
Ein blaues Auto fährt mit Geschwindigkeit 70, und ein rotes Auto desselben Modells holt mit Geschwindigkeit 100 auf. Als beide nebeneinander sind, taucht hinter einer Kurve ein Hindernis auf, das beide Fahrspuren blockiert, und beide Autos bremsen mit gleicher Stärke und Verzögerung.
Das blaue Auto kommt direkt vor dem Hindernis zum Stehen. Das rote Auto war schneller unterwegs und kann trotz Bremsung im gleichen Verhältnis nicht anhalten. Mit welcher Geschwindigkeit prallt es auf das Hindernis?
Nach ½mv² verliert das blaue Auto ungefähr 70² = 4900 Einheiten Energie. Das rote Auto hatte anfangs 100² = 10000 Einheiten kinetische Energie; wenn es ebenfalls 4900 verliert, bleiben 5100 übrig. Die Aufprallgeschwindigkeit beträgt daher √5100 ≈ 71.
Numberphile: https://www.youtube.com/watch?v=i3D7XYQExt0
Deshalb erreichen F1-Autos beim Bremsen 4G. Ken Blocks letztes monströses Custom-Auto oder Autos wie der Valkyre nutzen aktive aerodynamische Bremsen noch stärker.
Für solche einfachen virtuellen Autoexperimente ist BeamNG.drive ein ziemlich guter Physiksimulator. Man kann die integrierten Tools öffnen und selbst Bremstests laufen lassen.
Die beiden Autos können mit derselben Verzögerung, also bezogen auf die Beschleunigung, bremsen, oder mit derselben Stärke, also bezogen auf die Rate, mit der kinetische Energie in Wärme umgewandelt wird; weil ihre Geschwindigkeiten unterschiedlich sind, können beide Werte aber nicht gleichzeitig gleich sein.
Die obige Rechnung basiert auf der Stärke, nicht auf Kraft oder Beschleunigung. Durch das Quadrat in der Formel für kinetische Energie wird der Unterschied überzeichnet. Rechnet man kraftbasiert, ergibt sich ein sanfterer, linearer Unterschied.
Auch die Formulierung „im gleichen Verhältnis gebremst“ ist trickreich. Normalerweise meint „Verhältnis“ Kraft oder Beschleunigung, hier wird aber mit der Rate der Umwandlung von kinetischer Energie in Wärme gerechnet.
Eine gleiche Energiewandlungsrate bedeutet, dass auf das schnellere Auto eine deutlich geringere tatsächliche Bremskraft wirkt. Das ist dieselbe Mathematik wie beim Bergabfahren mit niedriger Geschwindigkeit, wo dieselbe Kraft noch in Ordnung ist, während bei hoher Geschwindigkeit mit derselben Kraft die Bremsen überhitzen.
Im Kern wurde also eine Rechnung für einen Lkw bergab — bei der die Grenze nicht die Reibung ist, sondern wie viel Wärme die Bremsen abführen können — als Autostopp-Problem umformuliert und daraus eine Fangfrage gemacht.
Ron Maimon hat ein Argument geschrieben, das sich rein auf Symmetrie stützt. Es umgeht viele der Standarderklärungen in diesem Thread und wirkt, soweit ich es verstehe, wie eine vereinfachte Version des Noether-Theorems.
Nebenbei: Soweit ich weiß, wurde Ron Maimons Account gesperrt, nachdem er den Charakter einer Person infrage gestellt hatte, die bei einer Moderatorwahl um Stimmen warb. Seine Position war, dass man bei jemandem, der für ein Wahlamt kandidiert, auch über den Charakter sprechen dürfe.
Die Stack-Overflow-Sites hatten die strikte Regel, Fragen zu kritisieren, aber nicht Personen; die Moderatoren stützten darauf eine dauerhafte Sperre.
Ich erinnere mich, damals Beiträge von Ron gelesen zu haben, in denen er schrieb, die SO-Sites seien wegen ihrer Richtlinien korrupt geworden und würden bald keinen Wert mehr liefern. Das war ungefähr Ende der 2000er oder Anfang der 2010er; rückblickend wirkt das ziemlich weitsichtig.
Inzwischen kommen noch immer seltsamere Managemententscheidungen dazu, mit denen man offenbar möglichst viel Geld herausziehen will, bevor AI SE vollständig nutzlos macht; aber Aggressivität und Feindseligkeit waren von Anfang an schwer erträglich.
Dutzende Male wollte ich auf StackOverflow nur 10 Sekunden lang etwas nachsehen und wieder gehen, blieb dann aber mehrere Minuten lang fassungslos in den Kommentaren hängen, weil ich nicht glauben konnte, wie die Leute dort miteinander umgehen.
Auch nachdem ich einige Antworten gelesen habe, habe ich noch keine wirklich intuitive Antwort gesehen. Warum braucht man so viel mehr Energie, um von 1 auf 2 zu kommen, als von 0 auf 1?
Wenn man stillsteht, kann man die Umgebung nutzen, etwa indem man sich von einer Wand abstößt, um Geschwindigkeit zu gewinnen.
Wenn man bereits Geschwindigkeit hat, bewegt sich die Umgebung relativ zu einem in die entgegengesetzte Richtung; jede weitere Einheit Geschwindigkeit kostet dann mehr Mühe.
Es hilft, die Voraussetzung umzuformulieren.
Bei einem Objekt, auf das eine konstante Kraft wirkt, wächst die zurückgelegte Strecke im Lauf der Zeit quadratisch.
Energie ist Kraft × Weg. Das entspricht der Intuition, dass die Energie zum Anheben eines Objekts proportional zur angehobenen Höhe ist.
Eine konstante Kraft erzeugt also eine konstante Beschleunigung, wodurch die Strecke quadratisch wächst.
Wenn man akzeptiert, dass Energie Kraft × Weg ist, dann wächst in dieser Situation auch die Energie, die nötig ist, um das Objekt zu bewegen, quadratisch.
Anders gesagt: Wenn man eine Kraft F eine Sekunde lang ausübt, hängt die Energiemenge, die diese Kraft überträgt, davon ab, wie schnell sich das Objekt bereits bewegt. Auf ein bereits schnelles Objekt eine Kraft auszuüben erfordert sehr viel mehr Energie. Die Intuition ist: Man muss erst Energie aufwenden, um auf die Geschwindigkeit des bewegten Objekts zu kommen, und erst dann kann man anfangen, die Kraft auszuüben.
Man kann es über eine kontrafaktische Annahme verstehen.
Nehmen wir an, die kinetische Energie hinge linear von der Geschwindigkeit |v| ab, also E = m|v|. Wie sähe das Universum dann aus?
Der klassische Lagrange-Operator ist L = 1/2 mv^2 - V(x). Mit dieser kinetischen Energie ergäbe sich eine andere Formel: L = m|v|ln|v|-V(x).
Leitet man die zugehörigen Bewegungsgleichungen her, erhält man p = m(1+ln|v|)sgn(v), ma = |v|F.
Aus diesen Formeln lässt sich einiges ablesen. Erstens wäre die galileische Relativität verletzt; es gäbe keine Boost-Invarianz. Es müsste zwingend ein ausgezeichnetes Bezugssystem geben, in dem das Universum ruht, also einen Äther, und alle Dynamik müsste relativ zu diesem Bezugssystem verstanden werden.
Zweitens bekäme Newtons erstes Gesetz in Bezug auf dieses Bezugssystem eine pathologische Interpretation. Es gilt ma = |v|F, und wenn |v| = 0 ist, dann ist a = 0, egal welche Kraft F man ausübt. Ein Objekt, das relativ zum Äther ruht, könnte durch keine Kraft in Bewegung versetzt werden.
Ein Objekt, das sich relativ zum Äther bewegt, würde sich ohne äußere Kraft weiterbewegen, und auch Newtons drittes Gesetz bliebe wahr; aber ein solches Universum ergibt praktisch keinen Sinn.
Aus anthropischer Sicht könnte man sagen, dass ein solches Universum eine so pathologische Dynamik hätte, dass es kein Leben zuließe und daher von uns nicht beobachtet werden könnte.
Wenn das StackExchange-Argument lautet: „Aus galileischer Relativität folgt ein quadratisches Skalierungsgesetz“, dann ist dieses Argument die Kontraposition: „Ohne quadratisches Skalierungsgesetz gibt es auch keine Relativität.“
Der Punkt des Kontrafaktischen ähnelt Richard Feynmans „Warum“-Argumentation https://www.youtube.com/watch?v=36GT2zI8lVA
Es gibt keinen fundamentalen Grund, warum eine solche Dynamik nicht existieren könnte. Wir können Erklärungen nur auf grundlegendere Intuitionen über dasselbe Universum zurückführen, in dem wir leben, etwa vom Skalierungsgesetz der kinetischen Energie zur galileischen Relativität. Solange es keinen mathematischen Beweis gibt, dass Alternativen schon prinzipiell widersprüchlich sind, ist es völlig legitim, sich alternative Universen mit anderer Dynamik vorzustellen. Nur ist es eben nicht unser Universum.
Trickantwort: Geschwindigkeit ist ein Vektor und kann negativ sein, kinetische Energie ist aber ein Skalar und muss positiv sein. Also quadriert man v, um das Minuszeichen loszuwerden.
Warum nicht den Betrag nehmen? Weil die Natur so etwas nicht mag. Vermutlich, weil er bei 0 nicht differenzierbar ist. Deshalb nimmt man das Quadrat.
Es ist der Unterschied zwischen einer glatten parabolischen Schüssel und der unnatürlich spitzen Spitze eines Kegels. Das zeigt sich auch bei Dingen wie der Standardabweichung.
Nebenbei frage ich mich, ob bei neuronalen Netzen mit komplexwertigen Größen eine Aktivierungsfunktion der Form sum(inputs)*conj(sum(inputs)), mit einer Schwelle normalisiert durch sqrt(num_inputs), vielleicht am allgemeinsten wäre. Inkohärente Eingaben haben einen mittleren Betrag von sqrt(N), kohärente Eingaben werden wie ein Laser zu N. Die quadrierte Amplitude wird zwischen einer unkorrelierten und einer korrelierten Gruppe zu N versus N^2.
Und die Frage, wie man mit der Singularität bei 0 umgeht, ist für die Struktur dieser Wechselwirkung sehr wichtig.
Wenn man die Geschwindigkeit verdoppelt, legt man in derselben Zeit doppelt so viel Strecke zurück. Man ist nicht nur doppelt so schnell; beides beeinflusst die Arbeit.
In Michael Spivaks Physics for Mathematicians finden sich viele Argumente wie in der Top-Antwort hier, die erklären, warum die Mathematik der klassischen Mechanik diese Form hat.