π in anderen Universen

• π ist das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser eines Kreises, doch je nachdem, wie man „Abstand“ definiert, können Kreise mit demselben Radius eine andere Form haben und auch der Wert von π kann sich ändern
• Eine mathematische Metrik (metric) legt vier Bedingungen fest, die eine Abstandsfunktion erfüllen muss, und ermöglicht es, Geometrie, Analysis und Topologie auch außerhalb des euklidischen Abstands mit gewissen Anpassungen zu behandeln
• Beim Manhattan-Abstand und beim Maximum-Abstand erscheinen Kreise jeweils wie ein gedrehtes Quadrat bzw. wie ein Quadrat; die Umfangsberechnung ergibt in beiden Fällen π=4
• Die p-Norm ist eine unendliche Familie von Metriken, die Manhattan, Euclidean und maximal distance umfasst; das π=3,14159… des gewöhnlichen euklidischen Abstands bei p=2 ist der kleinstmögliche Wert in dieser Familie
• Erweitert man den Blick auf alle Metriken, liegt π zwischen 3 und 4; bei einer bestimmten hexagonalen Metrik hat der Kreis mit Radius 1 den Umfang 6, sodass π=3 gilt

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Warum sich der Wert von π ändert

• Üblicherweise erscheint π in der Beziehung C = 2πr zwischen dem Umfang C eines Kreises und seinem Radius r
• Mathematisch ist ein Kreis die Menge aller Punkte, die vom Mittelpunkt denselben Abstand haben
• Daher hängt π von der Definition des Abstands ab, mit der Umfang und Radius des Kreises gemessen werden
• Die Form der Punkte mit denselben „Kosten“ ist nicht immer ein euklidischer Kreis
  • Punkte, die man vom Zentrum aus in derselben Zeit laufend erreichen kann, können einen Kreis bezüglich eines zeitbasierten Abstands bilden
  • Auch Punkte, die man mit derselben Kraftstoffmenge fahrend erreichen kann, lassen sich als Kreis bezüglich eines kraftstoffbasierten Abstands betrachten
  • Segelt man an einem Tag mit starkem Wind, liegen die mit demselben Aufwand erreichbaren Punkte je nach Windrichtung auf einer zu einer Seite verschobenen Ellipse

Welche Abstandsfunktion ist eine Metrik?

• In der Mathematik legt eine Metrik fest, welche Bedingungen eine Funktion erfüllen muss, um als Abstandsfunktion zu gelten
• Eine Metrik muss die folgenden Regeln erfüllen
  • Der Abstand eines Punkts zu sich selbst ist immer 0
  • Der Abstand zwischen zwei verschiedenen Punkten ist immer positiv
  • Der Abstand von a nach b ist derselbe wie der Abstand von b nach a
  • Der direkte Abstand von a nach c ist nicht größer als der Abstand von a über b nach c
• „Der zum Segeln nötige Aufwand“ ist schwer als Metrik zu fassen
  • Denn der Aufwand ist unterschiedlich, wenn man mit Rückenwind fährt oder gegen den Wind kreuzt, sodass die dritte Bedingung nicht erfüllt ist
• Der euklidische Abstand d = sqrt(x² + y²) ist die traditionelle Abstandsdefinition, die schon in der antiken griechischen Geometrie und in Newtons Analysis verwendet wurde
• Anfang des 20. Jahrhunderts erkannten Mathematiker, dass jede Funktion, die die grundlegenden Anforderungen erfüllt, als Abstandsfunktion verwendet werden kann und dass sich viele mathematische Ergebnisse mit gewissen Anpassungen darauf anwenden lassen

π beim Manhattan-Abstand

• Der Manhattan-Abstand ist der Abstand in einer Rasterstadt, in der man sich nicht diagonal bewegt, sondern die Bewegungen in x- und y-Richtung addiert
• Die Abstandsformel wird als d = x + y ausgedrückt
• Trägt man zum Beispiel die Prognosefehler für Bevölkerungsveränderungen zweier Städte auf der x- und y-Achse auf, bilden die Punkte mit einem Gesamtfehler von 1.000 Personen einen „Kreis“
• In dieser Metrik sieht ein Kreis wie ein um 45 Grad gedrehtes Quadrat aus
• Bei einem Radius von 1.000 hat jede Seite eine Manhattan-Länge von 2.000, und der Umfang der vier Seiten beträgt 8.000
• Da 8.000 = 2π(1.000), gilt in diesem Abstandssystem π=4

π beim Maximum-Abstand

• Der Maximum-Abstand ist eine Metrik, bei der der größere der beiden Werte x und y als Abstand verwendet wird
• Die Abstandsformel wird als d = max(x, y) ausgedrückt
• Das entspricht Situationen, in denen bei paralleler Arbeit die Gesamtzeit durch den am längsten dauernden Teil bestimmt wird
• Als Beispiel lässt sich ein Kochwettbewerb nennen, bei dem zwei Zutaten parallel vorbereitet werden und beide Zutaten zwischen 55 und 65 Minuten fertig sein müssen
• Der Kreis in diesem Abstandssystem hat die Form eines Quadrats
• Bei Radius 5 beträgt der Abstand jeder Seite 10, und der Umfang der vier Seiten beträgt 40
• Da 40 = 2π(5), gilt auch beim Maximum-Abstand π=4

π in der p-Norm-Familie

• Die p-norm metric ist eine unendliche Familie von Metriken, definiert durch d = (x^p + y^p)^(1/p)
• p kann jeden Wert ab 1 annehmen
• Die p-Norm verallgemeinert die oben genannten Abstände
  • p=1 entspricht Manhattan distance
  • p=2 entspricht Euclidean distance
  • p=∞ entspricht maximal distance
• Je nach Wert von p ändert sich auch die Form des „Kreises“
• Bei allgemeinen p-Werten ist der Umfang nicht unmittelbar visuell berechenbar; man kann ihn daher berechnen, indem ein Computer entlang des Kreisumfangs läuft und die zurückgelegte Strecke verfolgt
• Nach den Ergebnissen eines bestehenden Papers lauten die π-Werte je nach p-Norm wie folgt
  • p=1: π=4
  • p=1.1: π=3.757…
  • p=2: π=3.141…
  • p=2.25: π=3.155…
  • p=3: π=3.259…
  • p=11: π=3.757…
  • p=∞: π=4
• Das Paper beweist außerdem, dass 3,14159… der kleinstmögliche π-Wert innerhalb der gesamten p-Norm-Familie ist

π-Bereich über alle Metriken

• Es gibt unendlich viele p-Normen, aber noch mehr Metriken, die keine p-Normen sind
• Sahoos Paper beweist, dass π über alle Metriken hinweg zwischen 3 und 4 liegt
• Metriken mit π=4 sieht man beim Manhattan distance und beim maximal distance
• Ein Beispiel für π=3 erhält man aus der hexagonalen Metrik in einer StackExchange-Antwort
• Die entsprechende Abstandsformel lautet wie folgt

d = 1 / (2√3) * Σ(n=1..6) | x sin(πn/3) + y cos(πn/3) |

• Das in dieser Formel verwendete π ist das gewöhnliche π aus den euklidischen trigonometrischen Funktionen
• Der Kreis dieser Metrik wird zu einem Hexagon
• Berechnet man mit der Abstandsformel die Länge jeder Seite des Hexagons, ist jede Seite 1 lang und der Gesamtumfang beträgt 6
• Bei Radius 1 gilt 6 = 2π(1), daher ist in dieser Metrik π=3

Statt π-Day ein π-Month

• Der π-Day am 14. März ist auf das gewöhnliche π=3,14… abgestimmt
• Da π über alle Metriken hinweg zwischen 3 und 4 liegen kann, könnte man, wenn man für jedes Datum die passende Metrik findet, den gesamten März wie einen π-Month feiern

[GN⁺]

Meinungen auf Hacker News

• Die Formulierung, Mathematik als ein „Spiel zu betrachten, das von Annahmen ausgeht und daraus mögliche logische Schlussfolgerungen findet“, bringt einen Gedanken, der mir schon länger im Kopf herumging, wirklich gut auf den Punkt

  • Genau deshalb sind Lean4 und mathlib interessant
    Je mehr Menschen formal verifizierte Beweise in mathlib einpflegen, desto leichter wird es, darauf aufbauend weitere Sätze formal zu beweisen
    Wenn man bei null anfängt, ist selbst ein einfacher Beweis wegen all der Umschreibungen und Detailangaben fast reine Fleißarbeit, aber in mathlib scheinen Werkzeuge wie simp oder linarith viel von der schweren repetitiven Arbeit zu übernehmen
    Dieser Schneeballeffekt ist wirklich spannend, aber vermutlich ist das, was ich verstehe, ohnehin schon alles enthalten, sodass es schwer wäre, sinnvoll beizutragen
  • Es ist verblüffend, Mathematik und Logik wie einen riesigen zellulären Automaten zu betrachten
    „Axiome“ entsprechen nicht unbedingt „Wahrheit“, sondern sind eher beliebige Einschränkungen, die Komplexität hervorbringen, und manchmal wird das resultierende System nützlich
  • Mathematik ist das älteste, breiteste und komplexeste Spiel, das die Menschheit betreibt
    Sie ist auch nützlich, und über diese Nützlichkeit kann man philosophisch viel nachdenken, aber das ist für mich eine von dem Spiel selbst getrennte Eigenschaft
    Dieses Spiel kann sogar nutzlos sein, Wissen nicht vermehren und im Gegenteil einen negativen Nutzen haben – so wie ein Kochbuch aus Spaß in Hexadezimalzahlen umzuwandeln – und man kann es trotzdem tun
    Der Versuch, die Vermutung über Primzahlzwillinge zu beweisen, ist einfach ein sehr viel schwierigeres Level, und dieses Spiel kann unabhängig von Alter und Können gespielt werden: im Kopf, mit Papier und Bleistift oder mit dem größten Rechencluster der Welt
    Technisch gesehen sind auch alle anderen Spiele Teilmengen dieses Spiels, und man kann auf die gewünschte Weise spielen, ob man nun schöne Bilder ausmalt, Atome kollidieren lässt oder bis zur größtmöglichen Zahl zählt
  • Dasselbe Prinzip gilt auch für die Programmierung
    Je weniger eine Funktion über ihre Argumente weiß, desto allgemeiner lässt sie sich verwenden
  • Ein gutes Beispiel dafür ist der Einfluss des Auswahlaxioms auf Maßtheorie und Wahrscheinlichkeitstheorie
    Das Auswahlaxiom impliziert die Existenz von Mengen, die nicht Lebesgue-messbar sind, aber man kann kein konkretes Beispiel für solche nicht messbaren Mengen angeben, sondern nur ihre Existenz beweisen
    Umgekehrt werden in einer alternativen Theorie mit dem Axiom der Determiniertheit alle Teilmengen der reellen Zahlen messbar
    https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_choice
    https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_determinacy
    https://en.wikipedia.org/wiki/Lebesgue_measure

• Selbst wenn π in der Geometrie eines anderen Universums anders wäre, gäbe es wahrscheinlich weiterhin wichtige Konstanten mit demselben Wert wie unser π
  Zum Beispiel sind die Nullstellen der durch die Reihe x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ... definierten Funktion für ganze Zahlen n gleich nπ, wobei π hier unser π ist
  Auch in der Exponentialfunktion taucht unser π auf; die Periode ist 2πi

  • Stimmt. Ein konkreteres Beispiel: Die folgenden Werte bleiben unabhängig von der Geometrie weiterhin mit unserem π verknüpft
    Die Summe der Reihe 4(1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + …) ist π: https://en.wikipedia.org/wiki/Leibniz_formula_for_%CF%80
    Die Summe der Reihe (1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + …) ist π²/6: https://en.wikipedia.org/wiki/Basel_problem
    Daher nähert sich die Wahrscheinlichkeit, dass zwei gleichverteilt aus [1…N] gewählte Zahlen teilerfremd sind, für wachsendes N dem Wert 6/π² an
    Auch das Produkt 2(4/3)(16/15)(36/35)(64/63)(100/99)… ist π: https://en.wikipedia.org/wiki/Wallis_product
    Für großes n nähert sich (n!/(√n (n/e)^n))²/2 sehr langsam π an: https://en.wikipedia.org/wiki/Stirling%27s_approximation Beispiel: https://www.wolframalpha.com/input?i2d=true&i=N%5C%2891%29Di...
    Darüber hinaus gibt es viele weitere nichtgeometrische Resultate: https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=List_of_formulae_...
  • Ich würde eher das Gegenteil vermuten
    So wie ich es verstehe, haben Menschen der europäischen Zivilisation historisch die komplexe Exponentialfunktion so definiert, dass sie zur Periode der bereits definierten sin- und cos-Funktionen passt, also mit der Periode 2πi
    Man hätte sie auch mit einer anderen Periode definieren können. Wenn man zum Beispiel „360 Grad“ nicht als 2π, sondern als 1 gesetzt und sin0=0, sin0.25=1, sin0.5=0, sin0.75=-1, sin1=0 definiert hätte, dann hätte man auch die Periode von e^ix als 1 definiert
    Mit dem Dezimalsystem ist es ähnlich. Historisch benutzen wir es nur, weil wir zehn Finger haben, und es gibt keinen Grund, warum Außerirdische ebenfalls zehn Finger haben sollten
  • Es ist wohl besser zu sagen, dass π überall dieselbe Zahl 3.14... ist
    Nur könnte man in einem anderen Universum π vielleicht nicht in der Formel für die Kreislinie verwenden
    In der Manhattan-Metrik (L_1) gilt C = 8 R, in der euklidischen Metrik (L_2) C = 2π R, und in der Maximum-Metrik (L_infinity) C = 8 R
  • Wenn man die Einheitsdistanz, etwa den Abstand zwischen 2 und 3 oder zwischen 5 und 6, über deren Metrikfunktion definiert, frage ich mich, ob ihr π dann wieder auftauchen würde
    Das wirkt ähnlich wie ein Basiswechsel in einem Zahlensystem

• Es gibt mehrere Möglichkeiten, für die Einheitskugel der p-Norm eine π-ähnliche Konstante zu definieren, und für p != 2 müssen diese nicht übereinstimmen
  Definiert man π über die Fläche der Einheitskugel, erhält man völlig andere Werte, und diese Definition erfüllt schöne Eigenschaften, etwa dass sie die Periodenkonstante einer natürlichen Menge trigonometrischer Funktionen zum p-Kreis wird
  Darüber hinaus gilt pi(p) = 2 Beta(1/p,1/p)/p...
  Dagegen hat eine auf Umfang/Bogenlänge basierende π-Definition die interessante Eigenschaft pi(p) = pi(q) für konjugierte p, q
  „Squigonometry: The Study of Imperfect Circles“ ist eine unterhaltsame Referenz zu diesem Thema

  • Ich frage mich, ob die Tatsache, dass es sich nicht um einen Hilbert-Raum handelt, die Geometrie auf unangenehme Weise beeinflusst
    Wahrscheinlich müsste man die Polarisationsidentität aufgeben, und dann hätte das wohl auch Auswirkungen auf das Parallelogramm, aber genau weiß ich es nicht

• pi = 3.14159… taucht auch in der Analysis und ihrer Erweiterung, der Statistik, auf und ist daher von der Geometrie unabhängig
  Auch Außerirdische in einem anderen Universum würden diesen Wert kennen, nur hätten sie für Kreise eine andere Konstante
  Da sie ohnehin keine griechischen Buchstaben verwenden würden, bräuchte es eine Übersetzung, und es wirkt weniger seltsam, 3.14159… als π zu betrachten, als ihr 3.757… mit „π“ gleichzusetzen
  Natürlich ist umstritten, ob 3.14…(π), 6.28…(2π) oder 0.785…(π/4) die grundlegende Konstante sein sollte, und Außerirdische könnten das anders sehen
  Der Artikel führt den Begriff der Metrik ein, um die Kreiskonstante in anderen Universen zu erklären, aber eine beliebige Metrik garantiert weder lineare Skalierung noch Translationsinvarianz
  Um eine Kreiskonstante sinnvoll zu definieren, braucht man stärkere Annahmen als nur eine Metrik, etwa einen normierten Vektorraum, und auch die gezeigten Beispiele scheinen in Wahrheit keine bloßen metrischen Räume, sondern normierte Vektorräume zu sein

  • Der erste Punkt ist nicht überraschend
    Unser π ist an die einzige Metrik gebunden, bei der der Einheitskreis vollständig stetig und differenzierbar ist
    Die 2-Norm ist aus vielen Gründen etwas sehr Besonderes, und es wirkt natürlich, dass die Konstante, die den Abstand zu einem Punkt mit dem Ergebnis verknüpft, eine Konstante entlang des von diesen Punkten gebildeten Pfads zu integrieren, häufiger auftaucht als andere Konstanten
    Wenn der Einheitskreis dieser Metrik nicht überall Stetigkeit und Differenzierbarkeit besitzt, kann vieles andere dominoartig zusammenbrechen
    In der knappen Beziehung zwischen Punkten, Abständen und Pfaden steckt etwas einzigartig Zentrales
  • Der erste Punkt interessiert mich
    Wie in einem anderen Kommentar erklärt, lässt sich der Wert von π, 3.14159, allein aus reiner Zahlentheorie herleiten, spielt aber wie durch Magie auch eine große Rolle bei der Formung der physikalischen Welt, die wir kennen
    Könnte es in einem anderen Universum eine andere Zahlentheorie geben, oder ist Zahlentheorie unabhängig vom Universum wahr? Ich frage mich, wie eine alternative Zahlentheorie überhaupt aussehen würde
  • https://tauday.com/tau-manifesto#table-quadratic_forms
    Ich will nicht wie Buzzfeed klingen, aber Tabelle 3 ergibt ziemlich viel Sinn
  • Stimmt. Sogar im Beispiel wird tatsächlich immer wieder 2pi verwendet

• Dieser Mensch scheint nichts vom Segeln zu verstehen
  Ein Halbwindkurs, also Segeln im rechten Winkel zum Wind, gehört wegen des Auftriebs der Segel zu den schnellsten Kursarten

  • Ich habe mit so einem Einwand gerechnet
    Gerade wegen solcher detaillierten Hinweise, die so konkret und präzise und doch unpräzise sind und einen nicht dazu bringen, den ganzen Artikel zu verwerfen, mag ich HN
  • Ich wusste überhaupt nichts über Segeln, aber dank dieses Kommentars habe ich den Point of Sail nachgeschlagen, und das lebenslange Rätsel, „wie ein Segelboot wirksam gegen den Wind vorankommen kann“, hat sich gelöst
    Das ist wirklich erstaunlich, und Segeln ist großartige Wissenschaft
  • Interessant ist auch, dass man, wenn man so die Rumpfgeschwindigkeit überschreitet, auf der eigenen Bugwelle surft
  • Halbwind ist nicht zwingend die schnellste Art zu segeln
    Das hängt vom Boot, der Effizienz der Segel und der Effizienz von Schwert/Kiel ab, also vom Auftriebs-Widerstands-Verhältnis; meistens ist irgendeine Form von Raumschotskurs wohl am schnellsten, aber nicht unbedingt exakt im rechten Winkel zur wahren Windrichtung
    Es hängt auch von Windstärke, Wellenhöhe, Gewichtsverteilung usw. ab
  • Ich frage mich, welche Form dieser „Kreis“ mit den richtigen Annahmen hätte

• Diese Beispiele setzen alle voraus, dass die zugrunde liegende Metrik euklidisch ist
  Wenn die zugrunde liegende zweidimensionale Metrik eine Projektion eines gekrümmten dreidimensionalen Raums wäre, könnte man das Zentrum des Kreises so verzerren, dass π beliebig groß wird

  • Hier gibt es kein Konzept einer „zugrunde liegenden Metrik“
    Sowohl Radius als auch Umfang werden mit der Metrik selbst gemessen, die sie definiert
    Wenn es eine Metrik wäre, die den Ursprung gegenüber der euklidischen Distanz verzerrt, müsste diese Abbildung stetig sein, und am Ende würden Radius und Umfang in dieser Metrik gemeinsam wachsen
    Eigentlich hatte ich einen Artikel verlinkt, der beweist, dass der π-Wert für jede Metrik immer zwischen 3 und 4 liegt, einschließlich der Endpunkte, aber offenbar hielt die Seite dem Traffic nicht stand, also hier ein Ersatzlink: https://www.researchgate.net/publication/353330827_Extremal_...
  • Nicht die zugrunde liegende Metrik, sondern die Raumgeometrie wurde als euklidisch vorausgesetzt
    In der nicht-euklidischen Geometrie ist das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser eines Kreises keine Konstante, sondern hängt vom Durchmesser ab; in so einem Fall kann man „π“ überhaupt nicht definieren
  • Etwas off-topic, aber fast alles, was ich über π verstanden habe, verdanke ich einem 3D-GIF-Modell, das ich nicht in der Schule gesehen habe
    Solches Material sollte viel früher zu den Kernbestandteilen der Lernkurve gehören als 3B1B

• Als Kind mochte ich es, mir solche Zusammenhänge vorzustellen
  Ich stellte mir vor, dass es einen Gott gab, der das Universum erschaffen hat, und dass vielleicht ein langweiliges Kind wie ich für eine Schulaufgabe ein Universum bastelte
  Wenn dieser Gott die Regler für π oder e auf rationale Zahlen gestellt hätte — natürlich unter der Annahme, dass man in Gottes Universum die Regler auch exakt auf irrationale Werte stellen kann — wäre unser Leben dann einfacher oder schwieriger geworden? Wahrscheinlich einfacher
  Wie wären die scheinbaren Größen von Erde/Mond/Sonne von der Erde aus? Das ist ein großartiger Hinweis, aber ohne diesen Zufall hätten wir vielleicht mehr Astronomie verstanden
  Die quantenmechanische Seltsamkeit des Universums oder Ungleichgewichte, die buchstäblich dunkle Materie erfordern, könnten in Wirklichkeit Bugs in der hastig zusammengeschusterten Hausaufgabe eines Kindes sein und von vornherein keinen Sinn ergeben
  Aber am längsten habe ich über irrationale Zahlen nachgedacht

• Wenn man dem HN-Gedankengang richtig folgt, darf Terence Taos Einführung in die Maßtheorie nicht fehlen
  https://news.ycombinator.com/item?id=38064211
  Aber im Ernst: Wer würde ein kostenloses 260-seitiges Buch über Maßtheorie lesen oder auch nur durchblättern?
  https://en.wikipedia.org/wiki/Measure_(mathematics)

  • Taos Vorlesungsnotizen sind nichts, was man einfach liest oder durchblättert
    Ich habe damit an der Uni Maßtheorie im Selbststudium gelernt, um Voraussetzungen zu überspringen, und es war wirklich schwer
    Etwa alle zwei Seiten kommen Übungsaufgaben, und wenn man sich nicht die Zeit nimmt, sie zu lösen, lernt man wahrscheinlich nicht viel
    Außerdem sind diese Übungsaufgaben schwer
  • Ich verstehe nicht, warum es so unglaubwürdig sein soll, ein 260-seitiges Buch zu lesen
    Menschen lesen ständig 260-seitige Bücher
    Ich würde dieses hier nicht lesen, weil es nicht mein Interessengebiet ist, aber ich bin damit beschäftigt, Bücher mit über 100 Seiten zu anderen Themen zu lesen

• Es gibt einen interessanten Raum aus p-adischen Zahlen, und wenn man darauf einen einfachen Abstand definiert, hat ein Kreis seltsame Eigenschaften
  Zum Beispiel werden der Durchmesser, also der Abstand zwischen den am weitesten entfernten Randpunkten, und der Radius, also der Abstand vom Rand zum Mittelpunkt, gleich
  Auch bei Fläche und Umfang der Kreisscheibe treten merkwürdige Dinge auf, und eine offene Kreisscheibe kann zugleich abgeschlossen sein
  Das, was dort dem π entspricht, ist völlig seltsam
  Leider erinnere ich mich nicht mehr an die Details. Das war um das Jahr 2000 eine Übungsaufgabe im Mathematikunterricht
  https://en.wikipedia.org/wiki/P-adic_number#Topological_prop...

• Die Bootsmetapher scheint besonders unpassend zu sein
  Es werden implizit ein Segelboot an einem windigen Tag und ein Segelboot an einem windstillen Tag verglichen, aber ohne Wind gäbe es von vornherein gar keinen Kreis
  Ich bin kein Bootsexperte, aber wenn der Wind X Knoten beträgt, kann ein Boot in Windrichtung bis zu X Knoten fahren und entgegen der Behauptung im Text in Querrichtung auch mit einem Mehrfachen von X
  Dann ergäbe sich zwar eine Ellipse ähnlich der Abbildung, aber die Richtung wäre umgekehrt
  Außerdem kann ein Boot mit Wenden und Halsen auch „gegen“ den Wind vorankommen