Lemniskatenkonstante (ϖ): der dunkle Zwilling von π

 (mathstodon.xyz)
1 Punkte von GN⁺ 2024-12-25 | 1 Kommentare | Auf WhatsApp teilen
  • ϖ (varpi) ist eine Konstante, die mit der ∞-förmigen Lemniskate und den verallgemeinerten trigonometrischen Funktionen sl, cl verbunden ist – so wie π mit dem Kreis und den trigonometrischen Funktionen verknüpft ist
  • Die Lemniskate ist ein Spezialfall des Cassini-Ovals, bei dem das Produkt der Abstände zu zwei Punkten konstant ist, und wird in Polarkoordinaten durch r² = cos2θ beschrieben
  • So wie der Umfang des Einheitskreises 2π ist, beträgt der Umfang dieser Lemniskate 2ϖ, und ϖ ≈ 2.62205755... wurde bereits auf mehr als eine Billion Stellen berechnet
  • sl und cl sind lemniskatische elliptische Funktionen als Gegenstücke zu sin und cos und erfüllen verallgemeinerte Identitäten wie sl²θ + cl²θ + sl²θ cl²θ = 1
  • ϖ ist auch mit der gaußschen elliptischen Kurve und dem arithmetisch-geometrischen Mittel verbunden; das Verhältnis AGM(1, √2) = π/ϖ wird als Gaußsche Konstante bezeichnet

Die π-ähnliche Konstante ϖ

  • ϖ ist wie der „böse Zwilling“ von π und besitzt viele ähnliche Eigenschaften und Formeln
  • So wie π mit dem Kreis sowie den trigonometrischen Funktionen sin und cos verbunden ist, ist ϖ mit der ∞-förmigen Lemniskate und den Funktionen sl, cl verbunden
  • ϖ wird die Lemniskatenkonstante genannt
  • Das Unicode-Symbol ϖ ist eine handschriftliche Form des griechischen Buchstabens pi und wird auch varpi oder pomega genannt

Integralformeln und ähnliche Produktdarstellungen

  • Auch in Integralformeln lassen sich π und ϖ in ähnlicher Form vergleichen
    • π = ∫_{-1}^1 dx / √(1 - x²) ≈ 3.14159
    • ϖ = ∫_{-1}^1 dx / √(1 - x⁴) ≈ 2.622057
  • Beide Konstanten sind außerdem mit Produktdarstellungen in verschachtelten Wurzelformen verbunden
    • Die Formel auf der π-Seite stellt 2/π dar
    • Die Formel auf der ϖ-Seite behält eine ähnliche Struktur bei, wobei einige Terme in eine Divisionsform übergehen

Lemniskate und Umfang

  • Die Kurvenfamilie, bei der das Produkt der Abstände zu zwei Punkten konstant ist, heißt Cassini-Oval
  • Darunter ist die besondere ∞-förmige Kurve die Lemniskate, die direkt mit ϖ verbunden ist
  • Die Polargleichung dieser Lemniskate lautet wie folgt
    • r² = cos2θ
  • So wie der Umfang des Einheitskreises 2π ist, beträgt der Umfang dieser Kurve 2ϖ
    • ϖ ≈ 2.62205755...
    • Diese Zahl wurde bereits auf mehr als eine Billion Stellen berechnet

Die Funktionen sl, cl und verallgemeinerte trigonometrische Funktionen

  • So wie sich auf dem Kreis sin und cos definieren lassen, kann man auf der Lemniskate die Funktionen sl und cl definieren
  • Für viele gewöhnliche trigonometrische Identitäten gibt es entsprechende verallgemeinerte Versionen mit sl und cl
  • Eine typische Entsprechung ist die folgende
    • Gewöhnliche trigonometrische Funktion: sin²θ + cos²θ = 1
    • Lemniskatenfunktion: sl²θ + cl²θ + sl²θ cl²θ = 1
  • Grafiken von sl und cl sind unter Lemniscate elliptic functions zu sehen

Elliptische Kurven und die Gaußsche Konstante

  • ϖ und seine verallgemeinerten trigonometrischen Funktionen sind mit der gaußschen elliptischen Kurve verbunden
  • Teilt man die komplexe Ebene in ein quadratisches Gitter, erhält man diese elliptische Kurve
    • Ein beliebiges Gitter in der komplexen Ebene erzeugt elliptische Kurven und elliptische Funktionen
    • Das Quadrat besitzt mehr Symmetrie als andere Parallelogramme und ist deshalb hier ein besonders gutes Beispiel
  • Gauß entdeckte, dass diese elliptische Kurve mit dem arithmetisch-geometrischen Mittel verbunden ist
  • Das arithmetisch-geometrische Mittel von 1 und √2 ist π/ϖ, und diese Zahl wird die Gaußsche Konstante genannt
  • Eine entsprechende Erklärung findet sich unter Lemniscate constant
  • Es gibt auch die weiter verallgemeinerte Zahlenfolge ϖₙ
    • π ist ϖ₂
    • ϖ ist ϖ₄
    • ϖₙ scheint mit bestimmten symmetrischen hyperelliptischen Funktionen zusammenzuhängen
    • Ein verwandter Beitrag steht unter June 2022 diary entry

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1 Kommentare

 
GN⁺ 2024-12-25
Hacker-News-Kommentare

  • Durch diese Diskussion habe ich eine neue Lieblingskartenprojektion gefunden: Peirce quincuncial projection
    [https://en.wikipedia.org/wiki/File:Peirce_Quincuncial_Projec...](https://en.wikipedia.org/wiki/File:Peirce_Quincuncial_Projection_1879.jpg)

    • Weitere Projektionen gibt es in dem freundlichen PDF „An Album of Map Projections“, die obige Projektion steht auf Seite 190
      Ein festlicheres Beispiel ist die Berghaus star projection auf Seite 156
      [1]: https://pubs.usgs.gov/pp/1453/report.pdf (1989)
    • Das sieht einem maximal erweiterten Penrose diagram ziemlich ähnlich
    • Ich glaube, ich habe dieselbe Projektion in einem Quake-3-Mod gesehen, wo sie dazu verwendet wurde, das Sichtfeld drastisch zu vergrößern

  • Man kann auch ein Glücksbringer-Amulett in Form eines vierblättrigen Kleeblatts dagegen einsetzen. Der Polarkoordinaten-Graph ist r=cos(2theta)
    https://www.wolframalpha.com/input?i=+plot+r%3Dcos%282theta%...
    Sein Umfang lässt sich auch als Konstante 4*E(-3) ≈ 4 * 2.4221 definieren
    [https://www.wolframalpha.com/input?i=plot+r%3Dcos%282theta%29+from+theta+%3D+-pi%2F4+to+pi%2F4\)" class="ud link">https://wolframalpha.com/input/…

  • Die Formulierung „Diese ∞-förmige Kurve heißt ‚leminscate‘, und ϖ wird ‚lemniscate constant‘ genannt. Im nächsten Beitrag werde ich die leminiscate zeigen“ war verwirrend, also habe ich nachgesehen: Die korrekte Schreibweise ist lemniscate

  • π stammt vom Kreis, der über den Abstand zu einem Punkt definiert ist, und ϖ stammt von der Lemniskate von Bernoulli, die über Abstände zu zwei Punkten definiert ist
    Gibt es dann auch eine ähnliche Konstante, die aus einer über Abstände zu drei Punkten definierten Figur entsteht?

    • Ja. π ist der Umfang des Kreises, und ϖ ist der Umfang der Lemniskate. Mit drei Punkten entstehen drei Tropfenformen, und ihren Umfang kann man berechnen
      Nennen wir sie vorerst trilemniscate ;)
      Hier ist ein 3D-Graph. Wenn man von +Z nach unten blickt, sieht man dort, wo die XY-Ebene das Volumen schneidet, die trilemniscate. Zur Visualisierung des Ebenenschnitts habe ich im Produkt 1 abgezogen; man kann auch die 3-Punkt-Version ausschalten und die 2-Punkt-Version einschalten, um zu vergleichen
      https://www.desmos.com/3d/dl9v2vqbqb
      Interessanterweise ist bei zwei und drei Punkten die Fläche im Inneren der Lemniskate bzw. der trilemniscate gleich. Das gilt auch für mehr Punkte, wenn sie gleichmäßig auf einem Kreis verteilt sind. Der Umfang geht natürlich gegen unendlich, je mehr Punkte man hinzufügt
    • Das Konzept des Abstands zu drei Punkten wird kompliziert, weil es mit der Abstandsfunktion oder sogar Maßtheorie verflochten ist
      Zwei Punkte haben immer einen kürzesten Pfad, der sie verbindet, sodass sich die Konstante auf diese Tatsache bezieht; ab drei Punkten muss man jedoch die ganze Menge möglicher Dreiecksformen behandeln

  • Zu der Stelle „Ich bin kein solcher Kulturrelativist, dass ich glauben würde, es gäbe eine Zivilisation, die die ∞-Form für wichtiger hält als die ◯-Form“: Solche Wesen könnten keine „linearen“ Wesen wie wir sein, sondern logarithmische Wesen
    Die Lemniskate basiert auf dem geometrischen Mittel, also im Grunde auf einem multiplikativen Mittel oder einem Mittel im Log-Raum. Das steht im Gegensatz zum arithmetischen Mittel im linearen Raum
    Wenn wir lineare Wesen sind, die stark in intuitiver Addition, aber schwach in intuitiver Multiplikation sind, könnte es auch Wesen geben, die im Log-Raum leben und deren Denken auf Multiplikation beruht. Für sie wäre der Kreis eine Lemniskate

    • Menschen denken intuitiv eigentlich eher auf einer logarithmischen Skala. Menschen ohne frühe westliche Arithmetikbildung neigen dazu, stärker in Verhältnissen als in Differenzen zu denken, und es gibt auch die Theorie, dass das evolutionär adaptiver ist
      https://www.scientificamerican.com/article/a-natural-log/
    • Beim Menschen gibt es ziemlich viele logarithmische Reaktionen, etwa bei Lichthelligkeit, Lautstärke, musikalischen Oktaven und relativer Tonhöhe

  • Wie der Professor angemerkt hat, beträgt das Verhältnis von π zu seinem bösen Zwilling ungefähr 1,198, und das ist das arithmetisch-geometrische Mittel von sqrt(2) und 1
    Auf der geometrischen Seite kommt eine Quadratwurzel vor, und Quadratwurzeln sind teuer. Deshalb dachte ich: Wenn das arithmetische Mittel gegen das geometrische Mittel konvergiert, müsste es nach der Ungleichung zwischen arithmetischem, geometrischem und harmonischem Mittel auch gegen das harmonische Mittel konvergieren, und beim harmonischen Mittel braucht man keine teure Quadratwurzel
    https://imgur.com/a/UkxkPzW
    Die Konvergenz des arithmetisch-geometrischen Mittels ist fast sofort da, zwei Schritte reichen; deshalb ist es ziemlich erstaunlich, dass man mit dem harmonischen Mittel etwa 15 Schritte braucht, um eine für die Gauss-Konstante brauchbare Konvergenz zu bekommen. Man kann teure Operatoren wie die Quadratwurzel eliminieren, bezahlt dafür aber mit mehr Iterationen

    • Der berechnete Wert c hängt von der Berechnung des Werts b ab, es handelt sich also nicht um eine Rekursion, die Quadratwurzeln vermeidet
      Man berechnet dieselbe arithmetisch-geometrische Mittelwertfolge und nimmt anschließend einen bestimmten gewichteten harmonischen Mittelwert über dieser Folge; da die ursprüngliche Folge konvergiert, konvergiert auch dieser
      Nebenbei: Das beabsichtigte arithmetisch-harmonische Mittel ist einfach das geometrische Mittel. Nicht das arithmetisch-geometrische Mittel, sondern das reine geometrische Mittel: https://mathworld.wolfram.com/Arithmetic-HarmonicMean.html

  • Weitere bemerkenswerte Konstanten und wo sie auftreten: Die Euler–Mascheroni-Konstante in Integralen und Summen mit harmonischer Reihe und Gammafunktion, die Catalan-Konstante in bestimmten trigonometrischen Reihen und Gitter-Green-Funktionen, die Feigenbaum-Konstante bei der logistischen Abbildung und Chaos in dynamischen Systemen, die Khinchin-Konstante bei den Teilquotienten einfacher Kettenbrüche, die Glaisher–Kinkelin-Konstante in der asymptotischen Entwicklung der Barnes-G-Funktion, in kombinatorischen Grenzwerten und bestimmten Produktentwicklungen, die Ramanujan-Konstante bei der komplexen Multiplikation elliptischer Kurven, die Omega-Konstante in Ωe^Ω=1, der Lambert-W-Funktion und x^x^x^...=2

    • Ich verstehe nicht, was x^x^x^... = 2 bedeuten soll. Ist die Lösung nicht sqrt(2)?
    • Es wäre eine Erklärung nötig, wie die Ramanujan-Konstante mit Operationen auf elliptischen Kurven zusammenhängt

  • Es scheint ziemlich klar, dass diese keine Zwillinge sind. Man kann nur sagen, dass π und ϖ zwei unter unendlich vielen Geschwistern ϖₙ sind

  • Warum nur zwei? Warum nicht drei Punkte? Kann man interessante Figuren auf Kurven finden, bei denen das Produkt der Abstände zu N Punkten konstant ist?
    In höheren Dimensionen ergibt ein Punkt ja eine Kugel; welche Form hat man bei zwei Punkten? Eher eine doppelte Tropfenform wie eine Sanduhr?

    • Es gibt eine Verallgemeinerung. Bevor Twitter zu einer Nazi-Bar wurde, hatte ich eine Challenge gepostet, Zahlen wie pi jeweils zusammen mit einem eigenen Bündel von Formeln als Serie zu finden, und @duetosymmetry nahm sie an und konstruierte die ϖₙ
    • Was drei Punkte betrifft: Ein Punkt und zwei Punkte sind Sonderfälle. In diesen Fällen gibt es, abgesehen von Translation und gleichmäßiger Skalierung, nur eine einzige Anordnung
      Ab drei Punkten gibt es jedoch so viele Anordnungen wie Ähnlichkeitsklassen von Dreiecken. Für jede Ähnlichkeitsklasse eines Dreiecks kann man zwar eine Zahl erhalten, aber man sollte nicht erwarten, dass über alle Ähnlichkeitsklassen hinweg dieselbe Konstante herauskommt

  • In „Diese ∞-förmige Kurve heißt ‚leminscate‘, und ϖ wird ‚lemniscate constant‘ genannt. Im nächsten Beitrag werde ich die leminiscate zeigen“ scheinen zwei der drei Schreibweisen falsch zu sein