Lemniskatenkonstante (ϖ): Der dunkle Zwilling von π (Evil Twin)

• Wie bei π (Pi) ist auch ϖ eine wichtige mathematische Konstante
  • π ist mit dem Kreis und den trigonometrischen Funktionen (sin, cos) verbunden
  • ϖ ist mit der in Form des Unendlichkeitssymbols gezeichneten Lemniskate (lemniscate) und neuen trigonometrischen Funktionen (sl, cl) verbunden
• Die Lemniskate ist ein Spezialfall einer Kurve mit konstantem Produkt der Abstände zu zwei Punkten (Cassini-Oval), die die Form des Unendlichzeichens (∞) hat
• ϖ heißt „Lemniskatenkonstante“ und hat ungefähr den Wert 2.62205755

Lemniskate und ϖ

Definition der Lemniskate

• In Polarkoordinaten wird die Lemniskate durch die Formel „das Quadrat des Radius ist der Kosinus des doppelten Winkels“ beschrieben
• Wie der Kreisumfang mit (2\pi) korrespondiert, ist der Umfang der Lemniskate (2\omega)

ϖʼs trigonometrische Funktionen: sl und cl

• Wie bei der Kreis-Geometrie gibt es auch bei der Lemniskate die Funktionen sl und cl
• Beispielhaft wandelt sich die trigonometrische Identität „sin² + cos² = 1“ bei der Lemniskate in folgende Form um:
  • sl² + cl² + sl²·cl² = 1

Verbindung zwischen π und ϖ

• π und ϖ teilen ähnliche Formeln und Muster; π ist eine Konstante aus der ϖ-Familie
• π wird als ϖ₂ bezeichnet, ϖ als ϖ₄, und zwischen ihnen gibt es eine weitere Konstante ϖ₃
• Diese Familienkonstanten repräsentieren eine eigene mathematische Struktur und stehen im Zusammenhang mit komplexeren Kurven und Funktionen

ϖ und die Entdeckung von Gauß

• Gauß entdeckte, dass die Lemniskatenkonstante mit dem arithmetisch-geometrischen Mittel (Arithmetic-Geometric Mean) zusammenhängt
  • Das arithmetisch-geometrische Mittel ist ein Verfahren, bei dem aus zwei Werten wiederholt das arithmetische und geometrische Mittel berechnet wird, bis ein Grenzwert erreicht wird
  • Zum Beispiel ist das arithmetisch-geometrische Mittel von 1 und √2 das Verhältnis von π und ϖ, die als „Gauss-Konstante“ bekannt ist

Höhere Konstanten ϖₙ

• ϖₙ ist mit hyperelliptischen Funktionen und Hyperelliptischen Kurven verbunden
  • Hyperelliptische Kurven werden als doppelte Überlagerung der Riemannschen Kugel definiert und besitzen Verzweigungspunkte bei den (n)-ten Wurzeln der Eins
  • Diese Konstanten spiegeln die Symmetrie und besonderen Eigenschaften höhergradiger Kurven wider

Referenzen und Links

• Lemniskatenkonstante (ϖ) - Wikipedia
• Lemniskaten-elliptische Funktionen (sl, cl)

[GN⁺]

Hacker News Kommentar

• Ich habe die Schreibweise von „lemniscate“ verwechselt und deshalb nachgesehen. Durch diese Diskussion habe ich eine neue Lieblingskarte entdeckt
  • Es handelt sich um die Peirce-Quincuncial-Projektion
• Zum Schutz kann man einen Glücksklee-Talisman verwenden
  • Es lässt sich als Polardiagramm r=cos(2θ) darstellen
  • Der Umfang kann als Konstante 4*E(-3) ~ 4 * 2.4221 definiert werden
• π stammt von einem Kreis ab und ist über den Abstand zu einem Punkt definiert
• ϖ stammt von der Bernoulli-Lemniskate ab und ist über den Abstand zu zwei Punkten definiert
• Ich frage mich, ob es ähnliche Konstanten gibt, die aus Formen mit drei Punkten abgeleitet werden
• Das Verhältnis von π zu seinem Zwilling liegt bei ungefähr 1,198 und ist das arithmetisch-geometrische Mittel von sqrt(2) und 1
  • Wenn sich AM zu GM konvergiert, sagt die AM-GM-HM-Ungleichung, dass es auch zum harmonischen Mittel HM konvergieren muss
  • HM benötigt keine teuren Quadratwurzeln
• Die Konvergenz von AM und GM ist praktisch sofort
  • Für die HM-Konvergenz der Gauß-Konstante sind etwa 15 Schritte nötig
  • Dadurch kann man teure Operatoren vermeiden, braucht dafür aber viele Iterationen
• Einige weitere bemerkenswerte Konstanten:
  • Euler–Mascheroni-Konstante: Harmonische Reihe, Integrale und Summen im Zusammenhang mit der Gammafunktion
  • Catalan-Konstante: bestimmte trigonometrische Reihen, Gitter-Green'sche Funktion
  • Feigenbaum-Konstanten: logistische Abbildung, Chaos in dynamischen Systemen
  • Khinchin-Konstante: Partialquotienten einfacher Kettenbrüche
  • Glaisher–Kinkelin-Konstante: asymptotische Entwicklung der Barnes-G-Funktion, kombinatorische Grenzen und bestimmte multiplikative Entwicklungen
  • Ramanujan-Konstante: komplexe Multiplikation auf elliptischen Kurven
  • Omega-Konstante: Omega * e^Omega = 1, Lambert-W-Funktion, x^x^x^... = 2
• Ich bin kein Kulturrelativist, aber ich glaube nicht an eine Zivilisation, der die ∞-Form wichtiger ist als die ◯-Form
  • Möglicherweise gibt es Wesen, die in einem Logarithmenraum leben
  • Ihre Kreise könnten Lemniskaten sein
• π und ϖ sind nur zwei unter unendlich vielen Brüdern
• Warum nur zwei Punkte? Warum nicht drei?
  • Kann man interessante Kurven finden, die durch das konstante Produkt der Entfernungen zu N Punkten entstehen?
  • In höheren Dimensionen gibt es zu einem Punkt eine Kugel
  • Wie sieht die Form für zwei Punkte aus? Eine sanduhrförmige Doppelblase?
• Diese Form als wichtiger für eine Zivilisation als den Kreis zu machen, wäre ein interessantes SF-Setting