Visueller Beweis von a^2 – b^2 = (a + b)(a – b)

 (futilitycloset.com)
1 Punkte von GN⁺ 2024-12-16 | 1 Kommentare | Auf WhatsApp teilen
  • Eine kurze mathematische Notiz, die die Formel der Quadratdifferenz a^2 – b^2 = (a + b)(a – b) anhand eines Diagramms veranschaulicht
  • Der Kern ist die Faktorisierungsidentität, die die Differenz zweier Quadrate in das Produkt aus Summe und Differenz umwandelt
  • Das Diagramm zeigt die Zuordnung, bei der die Fläche von a^2 – b^2 gleich (a + b)(a – b) wird
  • Wie Sophie Germain sagte, wird betont, dass Algebra und Geometrie dieselbe Beziehung auf unterschiedliche Weise ausdrücken können
  • Statt die Formel nur als Gleichung auswendig zu lernen, kann man die Identität durch eine Umordnung von Flächen intuitiv nachvollziehen

Die Quadratdifferenz im Diagramm

  • Das Schaubild enthält einen visuellen Beweis für a^2 – b^2 = (a + b)(a – b)
  • Bewiesen wird die Identität, die die Differenz zweier Quadrate als Produkt aus Summe und Differenz zweier Terme ausdrückt

Die Verbindung von Algebra und Geometrie

  • Sophie Germain sagte: „Algebra ist nichts anderes als geschriebene Geometrie, und Geometrie nichts anderes als figürlich dargestellte Algebra.“
  • Das Zitat steht hier im Kontext, dass Formeln und Diagramme dieselbe Beziehung auf unterschiedliche Weise ausdrücken können

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1 Kommentare

 
GN⁺ 2024-12-16
Meinungen auf Hacker News

  • Wenn man so etwas mag, gibt es ein Buch, das nur visuelle Beweise sammelt: https://www.amazon.com/Proofs-without-Words-Exercises-Classr..., und es gibt auch einen entsprechenden Wikipedia-Eintrag: https://en.m.wikipedia.org/wiki/Proof_without_words
    Vor ein paar Jahren habe ich zusammen mit meiner Doktormutter und einem Kollegen mehrere davon in LaTeX neu gezeichnet: https://www.antonellaperucca.net/didactics/proof-without-wor.... Wir wollten sie für eine Pi-Day-Veranstaltung als Poster ausdrucken und aufhängen, aber wegen der Pandemie konnte die Veranstaltung nicht stattfinden.

    • Diese Arbeit ist wirklich hervorragend. Man könnte auch überlegen, Quellen oder Credits in das PDF aufzunehmen.
      Wenn Leute die Datei herunterladen und später vergessen, woher sie sie haben, wäre es gut, wenn die Anerkennung trotzdem an der richtigen Stelle ankommt.

  • Das erinnert mich an dieses Video darüber, warum man bei visuellen Beweisen vorsichtig sein sollte: https://www.youtube.com/watch?v=VYQVlVoWoPY
    Darin gibt es auch einen „Beweis“, dass π exakt 4 ist. Auch in diesem Fall gibt es, wie unten jemand angemerkt hat, eine nicht gerechtfertigte Annahme; zumindest wird b < a angenommen.

    • Mein Geometrielehrer in der 9. Klasse hat uns eindringlich gesagt, dass man niemals Längen und Winkel annehmen darf, die in einer Zeichnung nicht ausdrücklich angegeben sind.
      Insbesondere sollte man nicht davon ausgehen, dass eine Zeichnung maßstabsgetreu ist; selbst wenn ein Viereck wie ein Quadrat aussieht, muss man es als unbekanntes Viereck behandeln, solange nicht „Quadrat“ dasteht oder es genügend Informationen gibt, um das zu folgern. Er sagte, er würde in Prüfungen „mehr Punkte abziehen, als die Aufgabe wert ist“, wenn man das nicht beachtet. Und tatsächlich gab er einmal eine Figur aus, die wie ein Drachenviereck aussah, deren Winkelbedingungen aber nur bei einem Parallelogramm und nicht bei einem Drachenviereck möglich waren, und zog Schülern, die sie für ein Drachenviereck hielten, zusätzliche Punkte ab.
    • Das Problem mit diesem Beweis ist lediglich die Annahme, dass der Wert im Grenzfall gleich dem Wert bei Unendlich ist.
      Wenn man pi(n) als Funktion auf N ∪ {inf} definiert, wobei sie im n-ten Schritt des Verfahrens den jeweiligen Wert von „pi“ liefert und pi(inf) als der Wert beim tatsächlichen Kreis definiert ist, dann ist es einfach eine Funktion, für die lim n→inf pi(n) ≠ pi(lim n→inf) gilt. Für jedes endliche n ist der Wert 4, bei Unendlich ist er 3,1415...
      Man kann das auch ohne „Unendlich“ formulieren, aber so ist die Denkweise am klarsten. Es unterscheidet sich nicht wesentlich von der Kronecker-Delta-Funktion delta(t), die bei t=0 den Wert 1 hat und sonst 0 ist. Es gilt lim t→0 delta(t) ≠ delta(lim t→0 t).
    • b < a kann man ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen.
    • Stimmt, aber das liegt daran, dass es darauf beruht, die Anpassung des Umfangs unendlich oft zu wiederholen. Hier geht es nur darum, ein paar Kästchen umzuordnen, ohne dass Unendlichkeit ins Spiel kommt.
    • Wenn einen Rechtecke mit negativer Fläche nicht stören, gilt es trotzdem.

  • Einen visuellen Beweis für den Satz des Pythagoras gibt es hier: https://www.dbai.tuwien.ac.at/proj/pf2html/proofs/pythagoras...
    Der Satz des Pythagoras ist für mich nicht unmittelbar intuitiv, daher empfinde ich diesen als deutlich „nützlicher“. Der Beweis im Originalbeitrag wirkt ziemlich redundant, weil er direkt aus a(b+c)=ab+ac folgt. Eine Intuition für das Distributivgesetz der Multiplikation zu entwickeln, ist im Mathematikunterricht sehr wichtig, aber ich habe das Gefühl, dass die Intuition dafür, warum es stimmt, besser ohne Rückgriff auf Geometrie entsteht.

    • Ich war einmal wirklich überzeugt, dass man, wenn man eine Strecke in drei Teile teilt, von einem Punkt aus Linien ziehen und damit auch einen 60-Grad-Winkel in drei 20-Grad-Teile teilen könne; tatsächlich geht das aber nicht.
    • Dieser visuelle Beweis scheint nicht vollständig zu sein. Man muss auch beweisen, dass das Viereck in der rechten Abbildung ein Quadrat ist.
    • Für mich wirkt das nicht redundanter als der Satz des Pythagoras. Schließlich kann man auch sagen, dass der Satz des Pythagoras direkt aus der Definition des Skalarprodukts folgt.

  • Vorsicht. Wenn man visuellen „Beweisen“ vertraut, kann man am Ende auch so etwas glauben: https://en.wikipedia.org/wiki/Missing_square_puzzle

    • Das wirkt, als sei es absichtlich zum Täuschen gemacht.
      Jemand, der beim Nachdenken über ein Problem eine Zeichnung macht, hätte bei so einer Abbildung entweder kenntlich gemacht, dass die beiden Winkel gleich gemeint sind, oder gezeigt, dass ein Dreieck 8/3 und das andere 5/2 hat und die Steigungen daher offensichtlich verschieden sind.
      Ein guter visueller Beweis drückt die eigentliche Algebra nur mit Linien und Formen statt mit Symbolen aus, und das Ergebnis sollte in gewissem Sinn weiterhin algebraisch sein. Das gilt auch für das verlinkte Beispiel und für den berühmten Pythagoras-Beweis. Wenn man anfängt, ein Lineal herauszuholen und nachzumessen, ist man schon auf dem Holzweg. Alle Ergebnisse sollten nicht visuell, sondern algebraisch sein; es ist aber in Ordnung, diese Algebra mit Bildern statt mit Buchstaben auszudrücken.
    • Ich weiß nicht, was „glauben“ hier bedeuten soll. Willst du andeuten, dass das gezeigte Beispiel nicht wahr ist? Es ist sehr wohl wahr.
      Als Betrachter kann es anfangs verwirrend sein, weil es schwer ist, den Unterschied zwischen 3/8 und 2/5 zu erkennen, und man annimmt, die beiden Dreiecke hätten dieselbe Steigung. Aber der visuelle Beweis zeigt tatsächlich wahrheitsgemäß, dass sie nicht gleich sind.

  • Eine ähnliche Methode ist auch für Kopfrechnen mit Quadraten nützlich. Zum Beispiel ist 1005² gleich 1000² plus zwei 5×1000-Blöcke plus dem kleinen 5²-Block, also 1.010.025.
    Umgekehrt ist 995² gleich 1000² minus dieselben zwei 5×1000-Blöcke plus 5², also 990.025.

  • Als jemand, der in Geometrie schwach und in Algebra gut ist, finde ich das wirklich erstaunlich. Ich fange nicht einmal an zu verstehen, wie diese Abbildung zeigt, dass die Formel gilt – sogar für genau diese Kästchen.
    Aber der Zusammenhang der Multiplikation, durch den die Algebra aufgeht, ist sehr deutlich zu spüren. Ich meine nicht, dass das Beispiel schlecht oder gut ist, sondern dass es erstaunlich ist, wie unterschiedlich Menschen denken.

    • In der ersten Abbildung links sieht man, dass Breite und Höhe des großen Quadrats jeweils a sind, seine Fläche also a×a, also a², beträgt.
      Das kleine Quadrat darin hat Breite und Höhe b, seine Fläche ist also b². Im Grunde entfernt man das kleine Quadrat aus dem großen Quadrat, also erhält man a² - b². In der letzten Abbildung rechts hat eine Seite die Länge (a-b) und die obere Seite (a+b), daher ist die Fläche (a-b)(a+b). Somit gilt a² - b² = (a + b)(a - b), und die Zwischenschritte zeigen visuell, wie die Fläche verschoben wird.
    • Mich würde interessieren, an welcher Stelle der fünf Abbildungen das Verständnis abreißt.
    • Welcher Teil ist schwer zu verstehen?

  • Das scheint nur zu zeigen, dass es irgendwelche a und b gibt, für die die Gleichung gilt. Es zeigt nicht, dass sie für alle a und b gilt.

    • Welche Einschränkungen verlangt dieser Beweis für a und b, außer dass sie positiv sind?
    • Wirklich? Es stimmt auch für a=0 oder b=0.

  • Futility Closet hatte einen charmanten und interessanten Podcast. Ich vermisse ihn. Schön aber, dass der Blog noch weitergeführt wird.

    • Ich habe diesen Podcast wirklich gern gehört. Einen passenden Ersatz habe ich noch nicht gefunden.

  • Ich schaue mir gern einige YouTube-Videos von Mathologer an; darin kommen oft hervorragende visuelle Beweise vor.
    https://www.youtube.com/watch?v=DjI1NICfjOk (Fermats Satz über Summen zweier Quadrate)
    https://www.youtube.com/watch?v=rr1fzjvqztY (Satz des Ptolemäus)
    https://www.youtube.com/watch?v=yk6wbvNPZW0 (irrationale Zahlen)

  • https://www.matematicasvisuales.com/english/index.html ist ebenfalls sehenswert.
    Dort gibt es viele schöne Visualisierungen, darunter auch meinen liebsten Beweis des Satzes des Pythagoras.
    https://www.matematicasvisuales.com/english/html/geometry/tr...