- Das 1911 von Toeplitz formulierte Problem des einbeschriebenen Quadrats ist ein ungelöstes Problem, das fragt, ob jede geschlossene stetige Kurve zwingend vier Eckpunkte eines Quadrats enthält; die einfachere Rechteck-Version lässt sich mit Topologie angehen
- Ein Rechteck entsteht, wenn zwei Punktpaare denselben Mittelpunkt und dieselbe Distanz haben; bildet man also alle Punktpaare auf der Kurve auf Punkte im dreidimensionalen Raum ab, entsprechen Selbstschnitte einbeschriebenen Rechtecken
- Die Menge aller ungeordneten Punktpaare ist auf natürliche Weise ein Möbiusband, und die Punktpaare, bei denen derselbe Punkt zweimal gewählt wird, bilden dessen Rand und liegen in der Ebene, in der die ursprüngliche Kurve liegt
- Spiegelt man dieses Möbiusband unterhalb der Ebene und klebt es an, entsteht eine Klein-Flasche; ihre Eigenschaft, sich im 3D-Raum nicht ohne Selbstschnitt darstellen zu lassen, ist der Schlüssel zum Existenzbeweis für Rechtecke
- Das Quadratproblem ist schwieriger, weil auch der Winkel der Punktpaare verfolgt werden muss, und anders als beim Resultat von Joshua Andrew Lobb von 2020 für glatte Kurven bleiben raue, fraktalartige Kurven ein hartes Problem
Das Problem des einbeschriebenen Quadrats und das einfachere Rechteckproblem
- Eine geschlossene stetige Kurve kann man als Schleife auffassen, die sich zeichnen lässt, ohne den Stift abzusetzen, und die zum Ausgangspunkt zurückkehrt
- Wenn vier Punkte auf der Kurve die Eckpunkte eines Quadrats bilden, dann ist dieses Quadrat ein einbeschriebenes Quadrat der Kurve
- Ob jede geschlossene stetige Kurve zwingend ein einbeschriebenes Quadrat besitzt, ist ein 1911 von Toeplitz formuliertes ungelöstes Problem, das meist inscribed square problem genannt wird
- Eine Stufe einfacher ist die Frage, ob jede geschlossene Schleife zwingend ein einbeschriebenes Rechteck besitzt; dieser Beweis basiert auf einer Idee von Herbert Vaughan
- Der Fokus liegt weniger darauf, bekannte Anwendungen zu finden, sondern darauf, beim Lösen eines reinen Puzzles zu zeigen, wie sich eine Problemlösungsstruktur aufbaut
Rechtecke in Selbstschnitte einer Abbildung in den 3D-Raum übersetzen
- Die Bedingung dafür, dass vier Punkte ein Rechteck bilden, lässt sich in die Bedingung übersetzen, dass zwei Strecken denselben Mittelpunkt und dieselbe Länge haben
- Haben zwei Strecken dasselbe Zentrum und dieselbe Länge, dann bilden ihre vier Endpunkte ein Rechteck
- Für jedes Punktpaar auf der Kurve werden folgende Informationen erfasst
- die x- und y-Koordinaten des Mittelpunkts des Punktepaares
- die Distanz d zwischen den beiden Punkten
- Diese drei Werte ergeben einen Punkt im dreidimensionalen Raum, und aus allen Punktpaaren auf der Kurve entsteht eine stetige Abbildung in den 3D-Raum
- Wenn zwei verschiedene Punktpaare auf denselben 3D-Punkt abgebildet werden, haben sie denselben Mittelpunkt und dieselbe Distanz und bilden daher ein einbeschriebenes Rechteck
- Alle möglichen Ausgabepunkte zusammen bilden eine komplizierte Fläche im 3D-Raum, und Selbstschnitte dieser Fläche entsprechen einbeschriebenen Rechtecken
- Beim Kreis sammeln sich viele Punktpaare in einem Punkt an der Kuppelspitze, und ein Kreis besitzt unendlich viele einbeschriebene Rechtecke
- Verzerrt man ihn zu einer Ellipse, erscheinen mehrere Schnitte wie eine einzige vertikale Linie
- Dabei meint Selbstschnitt nicht das äußere Aussehen, sondern die Situation, dass „verschiedene Punktpaare auf dieselbe Ausgabe abgebildet werden“
Wie der Raum der Punktpaare zu einem Möbiusband wird
- Gibt man jedem Punkt der Schleife eine Koordinate von 0 bis 1, dann müssen 0 und 1 denselben Schleifenpunkt bezeichnen, also müssen die beiden Enden identifiziert werden
- Geordnete Punktpaare lassen sich als ein Punkt im Einheitsquadrat darstellen
- die x-Koordinate ist der erste Punkt
- die y-Koordinate ist der zweite Punkt
- Identifiziert man jeweils linke und rechte sowie obere und untere Kante, ergibt die Gesamtstruktur einen Torus
- Im Rechteckbeweis ist die Reihenfolge der Punkte nicht wichtig
- Wenn man a,b und b,a als verschieden behandelt, entsteht unter der Bedingung gleicher Mittelpunkt und gleicher Distanz eine bedeutungslose Doppelung
- Daher müssen x,y und y,x als dasselbe Punktpaar betrachtet werden
- Faltet man das Einheitsquadrat entlang der Diagonalen und schneidet und klebt entsprechend der Rand-Identifikation, ist das Ergebnis ein Möbiusband
- Dieses Möbiusband ist keine beliebige Spielzeugform, sondern ein natürlicher Raum, der alle ungeordneten Punktpaare auf der Schleife stetig beschreibt
- Jeder Punkt des Bands entspricht einem ungeordneten Punktpaar auf der Schleife
- Jedes ungeordnete Punktpaar auf der Schleife entspricht einem Punkt des Bands
- Bewegt man eine Seite ein wenig, bewegt sich auch die andere nur ein wenig, ohne sprunghafte Änderungen
- Der rote Rand, der von der Diagonalen x,x stammt, ist die Menge aller Punktpaare, bei denen derselbe Punkt zweimal gewählt wird; in der vorherigen 3D-Abbildung muss er auf die xy-Ebene abgebildet werden, in der die ursprüngliche Schleife liegt
Welche Rolle die Klein-Flasche im Beweis spielt
- Betrachtet man eine stetige Abbildung vom Möbiusband auf eine Fläche im 3D-Raum, dann muss der Rand des Bands in der Ebene liegen, in der die ursprüngliche Schleife liegt
- Zunächst scheint man die Intuition zu brauchen, dass „sich ein Möbiusband mit Rand in der Ebene nicht ohne Selbstschnitt in den 3D-Raum einbetten lässt“, aber diese Aussage ist in dieser Form nicht wahr
- Der Mathematiker Asimov konstruierte eine Einbettung eines Möbiusbandes in den 3D-Raum, bei der der Rand ein Kreis in der Ebene ist
- In dieser Konstruktion verläuft das Innere des Bands sowohl oberhalb als auch unterhalb des Kreises
- Die aus den Punktpaaren der Schleife aufgebaute Fläche verwendet die Distanz d als Höhe, daher liegen alle inneren Punkte oberhalb der xy-Ebene
- Deshalb lautet die benötigte Bedingung: „Ein Möbiusband, dessen Rand in der Ebene liegt und dessen Inneres oberhalb der Ebene liegt, lässt sich nicht ohne Selbstschnitt einbetten“
- Spiegelt man diese Fläche unter die Ebene und klebt sie dann entlang des Randes an die ursprüngliche Fläche, entsteht eine geschlossene Fläche aus zwei Möbiusbändern
- Die Fläche, die durch das Verkleben der Ränder zweier Möbiusbänder entsteht, kann als Klein-Flasche aufgefasst werden
- Die Klein-Flasche ist eine typische nichtorientierbare Fläche, bei der sich Innen und Außen nicht klar trennen lassen
- Im 3D-Raum lässt sie sich nicht korrekt ohne Selbstschnitt darstellen, in höheren Dimensionen kann sie problemloser existieren
- Weil die Klein-Flasche im 3D-Raum Selbstschnitte nicht vermeiden kann, muss auch die aus Schleifen-Punktpaaren aufgebaute Fläche zusammen mit ihrer Spiegelung Selbstschnitte haben
- Dieser Selbstschnitt bedeutet, dass zwei verschiedene Punktpaare denselben Mittelpunkt und dieselbe Distanz besitzen, und folglich existiert ein einbeschriebenes Rechteck
Das Quadratproblem, Glattheit und die Rolle der Topologie
- Um ein Quadrat zu erhalten, muss man nicht nur Mittelpunkt und Länge zweier Punktpaare verfolgen, sondern auch den Winkel der Strecken
- Haben zwei Strecken denselben Mittelpunkt und dieselbe Länge und unterscheiden sich ihre Winkel um 90 Grad, dann bilden sie ein Quadrat
- Dadurch wächst die Information auf vier Größen an, weshalb es naheliegt, Einbettungen von Möbiusband und Klein-Flasche in einem 4D-Raum zu betrachten
- 2020 erweiterte Joshua Andrew Lobb dieses Resultat auf glatte Kurven
- Für glatte Kurven war die Existenz eines Quadrats bereits bekannt
- Lobbs Resultat zeigt in diesem Spezialfall, dass sich Rechtecke mit jedem möglichen Seitenverhältnis finden lassen
- In der entsprechenden Diskussion tauchen Einbettungen von Möbiusband und Klein-Flasche in einem bestimmten 4D-Raum auf
- Bei glatten Kurven gibt es an jedem Punkt eine wohldefinierte Tangente
- Wenn sich Punktpaare einander annähern, zeigen Mittelpunkt und Distanz ein sauberes Grenzverhalten
- Selbst wenn man den Winkel mitverfolgt, nähert sich der Streckenwinkel bei Annäherung zweier Punkte dem Tangentenwinkel an diesem Punkt
- Bei rauen, fraktalartigen Kurven muss ein solches Grenzverhalten des Winkels nicht existieren
- Das Problem des einbeschriebenen Quadrats ist schwierig, weil es alle rauen Kurven mit einschließen muss
- In der Topologie sind Formen wie Möbiusband und Klein-Flasche nicht bloß skurrile Objekte, sondern logische Werkzeuge, mit denen sich beurteilen lässt, was unter stetigen Zuordnungen möglich und unmöglich ist
1 Kommentare
Hacker-News-Kommentare
Dieses Video hat mir wirklich gut gefallen. Ich habe in algebraischer Topologie promoviert und auch viel Topologie studiert, daher war mir der Inhalt vertraut; aber ich bin mir nicht sicher, ob ich solche Konzepte so klar hätte erklären oder die schwer zugängliche Welt der Topologie mit einem „praktischen“ Problem hätte verbinden können.
Nach der Promotion bin ich durch mehrere Jobs gegangen und arbeite heute im AI-Bereich als Research Software Engineer. Mir fehlt die reine Mathematik oft, und manchmal bereue ich es ein wenig, die Wissenschaft verlassen zu haben, aber eine Rückkehr in die akademische Mathematik scheint nahezu unmöglich. Die Videos von 3B1B erinnern mich immer wieder daran, dass Mathematik allen offensteht und dass man Mathematik genießen, lernen und neu entdecken kann, auch wenn man nicht an einer Universität als Mathematiker angestellt ist.
Um an der Forschungsfront eines bestimmten Gebiets zu stehen, muss man vermutlich als professioneller Mathematiker arbeiten. Abgesehen davon glaube ich aber, dass Mathematik durch die Tatsache, dass ihre Grundlagen sich nicht ändern, für alle mit ausreichend Interesse und Leidenschaft zugänglich ist.
Ich vermisse meine früheren Fächer, und ich vermisse die Zeit, als ich jung an der Uni war.
3B1B zeigt, was in der Mathematikbildung möglich ist. Ich freue mich auf die Zukunft dieses Bereichs, finde es aber schade, dass es wohl lange dauern wird, bis solche Methoden im Mathematikunterricht ankommen.
Außerdem schauen wir dieses Video, weil wir lernen wollen, und lernen dabei. In dem Moment, in dem wir auf Play drücken, sind wir bereits ins Thema vertieft. In der Schule oder an der Uni dagegen sitzen die meisten nicht dort, weil sie wollen, sondern weil sie müssen, und diese anfängliche Immersion fehlt. Ein Dozent kann auch nicht wie ein Video sofort den Studenten in der drittletzten Reihe herauspicken, der gerade einzunicken beginnt.
Für Menschen, die lernen wollen, funktioniert das sehr gut; aber es könnte diejenigen, die sich den Stoff nicht aneignen wollen, noch weiter zurückfallen lassen.
Letztlich wäre es schwierig, eine so stark vereinfachte Erklärung zu schaffen, ohne die Komplexität und Notation, die man in der bestehenden Bildungsform lernt, die hier gerade herabgesetzt wird. Allerdings haben begabte Studierende solche Bilder oft schon im Kopf und ihre Intuition ist klar; um weniger vertraute oder weniger begabte Studierende mitzunehmen, ist dieser Ansatz sehr sinnvoll.
Schön, dass dieses Problem noch einmal aufgegriffen wurde. Das ursprüngliche Video zu diesem Thema vor ein paar Jahren hat mich sofort für 3B1B begeistert.
Ich kannte das Möbiusband schon seit meiner Kindheit, und als junger Teenager kannte ich auch schon die Idee von Existenzbeweisen, etwa dass eine stetige Funktion irgendwo einen bestimmten Punkt passieren muss.
Aber ich hatte nie daran gedacht, dass ein Möbiusband mehr sein könnte als ein nutzloses Kuriosum, und jetzt habe ich das Gefühl, mich bei ihm dafür entschuldigen zu müssen, dass ich es so leichtfertig abgetan habe. Seine Rolle in diesem Beweis ist erstaunlich und kitzelt das Gehirn auf angenehme Weise.
https://www.youtube.com/watch?v=SXHHvoaSctc&list=PLTBqohhFNB...
Ich weiß über Mathematik kaum mehr als die absoluten Grundlagen, aber solche Inhalte sind faszinierend, und um sie zu verstehen, brauche ich Bilder. Wirklich ein hervorragendes Video.
Als im Video gezeigt wurde, wie man 2D auf 3D abbildet, war mein erster Gedanke: „Ist das die Methode, um 3D auf 4D abzubilden?“ Später wurde 4D dann erwähnt. Das kann ich weder visualisieren noch richtig verstehen.
Auch in 3D kann man Dinge denken wie: „Zwei Objekte können nicht am selben Ort zur selben Zeit existieren“, „Parallele Linien treffen sich im Unendlichen“ oder „Parallele Linien treffen sich nie“. In 3D haben wir nur Visualisierung und Intuition, sodass wir nicht jedes Mal alles formal zerlegen müssen.
Es freut mich, Lobb erwähnt zu sehen. Vor ein paar Jahren, nein, eigentlich vor ziemlich langer Zeit, hatte ich Lineare Algebra 1 bei Lobb. Er war ein hervorragender Professor, und ich denke noch immer lachend an den verzweifelten Gesichtsausdruck zurück, den er machte, wenn wir etwas nicht verstanden.
Ab 4:15 im Video hatte ich das Gefühl, dass da ein Problem ist. Es wirkte, als würde er direkt zu dem Schluss springen, dass es zu jedem Mittelpunkt nur einen Abstand gibt. Aber dieser Mittelpunkt ist das Ergebnis der Wahl zweier Punkte auf dem Rand, und man kann leicht zwei andere Punkte wählen, die denselben Mittelpunkt, aber einen anderen Abstand haben.
Dieser Punkt wurde nicht direkt behandelt, und in den nächsten zwei Minuten kreiste dieser Gedanke weiter in meinem Kopf. Als die Erklärung in diese Richtung weiterging, ohne es zu erklären, hielt ich das Video an, weil ich dachte, ich hätte etwas übersehen, oder mathematisch versiertere Zuschauer hätten diese offene Frage in ein paar Sekunden geklärt, und ich sei vielleicht einfach nicht mathematisch genug veranlagt, um zur Zielgruppe zu gehören.
Ich denke, ein gutes Lehrvideo ist das Ergebnis eines Prozesses, in dem Testzuschauer solche Punkte ansprechen und das Video weiter verfeinert wird, sodass am Ende auch für Menschen, die jede Stelle hinterfragen, ein gutes Video entsteht.
Dafür ist keine Eindeutigkeit nötig. Im Gegenteil: Der Kern ist, die Suche nach einem einbeschriebenen Rechteck in die Suche nach zwei Punktpaaren mit demselben Mittelpunkt und demselben Abstand umzuwandeln; genau das sagt er 1 Minute und 15 Sekunden nach der Stelle, die du meinst.
Wenn man sie visuell definiert, ist es aber sehr naheliegend, sie so misszuverstehen wie du. Die Zeichnung sieht nämlich aus wie der Graph einer Funktion, die einen Mittelpunkt als Eingabe nimmt und den zugehörigen Abstand zurückgibt; wie du sagst, ist das aber nicht wohldefiniert. Versteht man es so, verliert der Rest des Videos völlig den Faden. Denn der Rest des Videos ist der Erklärung gewidmet, dass der Definitionsbereich dieser Funktion, wenn man ihn als ungeordnetes Punktepaar {A, B} auffasst, ein Möbiusband ist.
Letztlich werden manche ohne eine zu 100 % formale Version einer Aussage eine andere Interpretation wählen als die beabsichtigte. Das hat nichts damit zu tun, wie klug das Publikum ist. 3Blue1Brown weiß das offenbar auch und experimentiert mit alternativen Formaten; dieses Video gibt es auch als interaktiven Blogbeitrag, in dem die Funktion ausdrücklich als „f(A, B) = (x, y, z)“ angegeben und die Variablen erklärt werden: https://www.3blue1brown.com/lessons/inscribed-rect-v2
„Bei einem ausreichend großen Publikum entstehen zu jeder informellen Erklärung unterschiedliche Interpretationen, selbst wenn es ausschließlich aus sehr klugen Menschen besteht“ – das ist eine zentrale Schwierigkeit der Mathematikdidaktik. In interaktiven Situationen kann man eine Vorlesung unterbrechen und Fragen stellen, aber dann entsteht ein Anreiz, sich stärker auf Formalismus zu konzentrieren, und es bleibt weniger Zeit, Visualisierungen und Intuition zu erklären.
Um die konkrete Frage zu beantworten: Er nimmt überhaupt nicht an, dass es zu jedem Mittelpunkt nur einen Abstand gibt. Das sagt er nicht, und die Visualisierung zeigt es auch nicht so.
Eine weitere Sichtweise auf Topologie findet sich in John L. Kelleys General Topology, D. Van Nostrand, Princeton, 1955.
In der Menge der reellen Zahlen R gilt: Wenn x, y ∈ R und x < y, dann ist (x,y) = { z | x < z < y } eine offene Menge; wenn x <= y, dann ist [x,y] = { z | x <= z <= y } eine abgeschlossene Menge. Eine Teilmenge von R ist kompakt, wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist; das ist etwa bei der Riemann-Integration eine starke Eigenschaft.
Solche Begriffe werden auf topologische Räume verallgemeinert, die viel allgemeiner sind als die reelle Gerade und offene bzw. abgeschlossene Intervalle. Daher steht wohl „General“ im Titel des Buchs. Im vierten Jahr meines Mathematikstudiums habe ich Kelley gelesen und meinem Professor auch Vorträge darüber gehalten, aber heute gibt es auch andere Definitionen von Topologie.
Dank dieses Videos habe ich verstanden, was Topologie ist.
Wird noch jemand beim Anschauen davon unruhig? Es fühlt sich an, als sei da noch eine Restangst vor dem Scheitern oder die übrig gebliebene Anspannung eines Overachievers.
Ich habe einen Doktortitel in Mathematik und mich größtenteils aus der akademischen Laufbahn zurückgezogen. Was mich durch die Promotion getragen hat, war nicht der Wunsch nach Erfolg oder akademischen Leistungen, sondern die Liebe zur Reise. Nachdem ich eine Stelle angenommen hatte, wurde Mathematik für eine Weile zu etwas Dunklem und Beängstigendem, und dieses Video war wie ein frischer Luftzug.
Ich hoffe, du findest eine Quelle der Freude, in die du dich hineinwerfen kannst. Aus solchen Wurzeln kann man aufblühen. Es muss nicht unbedingt Arbeit sein. Tatsächlich glaube ich, dass am Grund der Angst ein gefährlicher Arbeitsmarkt liegt. Meine Wurzeln sind nicht meine Karriere, sondern die Familie, die ich mir ausgesucht habe. Mit dieser Sicherheit kann der Geist leichter umherschweifen und sich auch an Rätseln wie diesen offenen Problemen versuchen. Der Anfang ist Neugier.
Vor Jahren hat mir John H. Conway auf einer Konferenz einmal eingeräumt, dass er am Anfang seiner Karriere genau dasselbe Gefühl hatte wie du.
Apropos Scheitern: Mir kam eine Idee, wie man dieses offene Problem angehen könnte, und ich habe schnell Code geschrieben, um sie auf die Koch-Schneeflocke anzuwenden. Beim Aufschreiben bemerkte ich ein offensichtliches Problem mit dem Ansatz, und wenn ich nur das kontextlose Fazit sage: Ich fand die Division durch null, bevor ich diese Codezeile schrieb. Weil es keinerlei Grund gab, warum es hätte funktionieren müssen, war das Scheitern lustig; und einen Bug zu finden, bevor man ihn schreibt, ist immer befriedigend.