Das Fraktal, das 12 Jahre lang an meiner Wand hing

• Die **Fraktalfigur („wallflower“) **, die mit Kritzeleien des Autors in der Mittelstufe begann, ist eine einzigartige Struktur, die auf andere Weise als mit den üblichen Methoden erzeugt wurde
• Es wird untersucht, wie sich ihre Eigenschaften im Entstehungsprozess mathematisch durch L-Systeme und matrixbasierte Positionskodierung beschreiben lassen
• Mit bestimmten Matrizen mit Determinante ±5 lassen sich Größenänderung und Rotation der Figur sowie ihre wiederholte Anordnung im Raum effektiv erklären
• Es werden Möglichkeiten der Verallgemeinerung nicht nur auf 2D, sondern auch auf 3D und 4D ausprobiert; in höheren Dimensionen ist das Matrixdesign unter Berücksichtigung von Symmetrie und Packungseffizienz entscheidend
• Es zeigt sich, dass Fraktale, lineare Algebra und Zahlensysteme miteinander verknüpft sind und dass gerade dieser Forschungsprozess den Wert kreativer Problemlösung verdeutlicht

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Einleitung: Das Geheimnis des Fraktals an der Wand

• Der Autor entdeckte in der Mittelstufe eine Kritzelei auf kariertem Papier, bei der Quadrate kopiert, gedreht und damit Flächen gefüllt wurden (später „wallflower“ genannt), und behielt über viele Jahre hinweg ein Interesse daran
• Weil die Struktur ungewöhnlich war, vermutete er eine tiefergehende mathematische Bedeutung, konnte sie damals jedoch nicht analysieren
• Mit seinem inzwischen gewachsenen mathematischen Wissen begann er später ernsthaft, das Rätsel zu untersuchen, das ihm sein früheres Ich hinterlassen hatte

Wie man das Fraktal zeichnet

1. Mit einem einzelnen Quadrat beginnen
2. Die aktuelle Figur jeweils einmal links, rechts, oben und unten kopieren und platzieren
3. Danach den bisherigen Zustand leicht um etwa 27 Grad im Uhrzeigersinn drehen und erneut in die vier Richtungen kopieren und platzieren
4. Die Schritte 2 und 3 wiederholen, bis das Papier gefüllt ist

• Auf diese Weise entsteht ein blumenartig ausbreitendes Fraktal
• Auch dieser Prozess kann, ähnlich wie die Gosper Curve, bei unendlicher Wiederholung die gesamte Ebene überdecken

Erzeugung der Fraktalgrenze mit einem L-System

• Auch ein L-System (String-Ersetzungsregeln) lässt sich anwenden: Es werden nur 90-Grad-Drehungen nach rechts R oder links L verwendet
• Anfangsregel: Start mit RRRR, Ersetzungen R→RLR und L→RLL
• Die mit dem L-System erzeugte Grenze und die Grenze aus der Methode aus der Mittelstufe unterscheiden sich ab dem 4. Glied wesentlich
  • Bei der Drag-and-drop-Methode ist die Anordnung der einzelnen Kopien unterschiedlich
  • Beim L-System ist die diagonale Richtung der Kopien charakteristisch

Eigenschaften des wallflower ohne Bild

• Das per Drag-and-drop erzeugte wallflower taucht im Internet praktisch nirgends in dieser Form auf
• Durch die Ersetzungsregeln L→RLR, R→LLR kehrt sich die Richtung wiederholt um
• Zwischen dem Platzierungswinkel der Kopien („27 Grad“), der Matrixstruktur und den Ersetzungsregeln des L-Systems besteht ein Zusammenhang

Wie man Nummern vergibt (Positionskodierung des Fraktals)

• Ähnlich wie bei der Cantor-Paarungsfunktion kann man jedes Quadrat im Fraktal nummerieren, um den Raum effizient zu erfassen
• Jede Iteration ist eng mit Vielfachen von 5 und Potenzen von 5 verbunden; für eine effiziente Kodierung wird daher das Fünfersystem verwendet
• Betrachtet man die Kopiermuster nach links und rechts, erkennt man die Verknüpfung geometrischer Verschiebung mit Addition, etwa in Form von „200 addieren“

Matrizen und die räumliche Bedeutung des Fraktals

• Positionsvektoren werden als Matrixprodukt ausgedrückt, wobei für jede Stelle (jeden Stellenwert) eine Matrixpotenz angewendet wird
• Beispielmatrix M=[−2 1; 1 2]: Ist det(M)=-5, kehrt sich die Richtung wiederholt um
• Erzeugt man die Struktur mit M′=[2 1; -1 2] und det(M′)=5, entsteht eine Struktur, die einem gewöhnlichen Fraktal vom Gosper-Typ ähnelt
• Der Absolutwert der Determinante stimmt genau mit dem Wachstumsfaktor des Fraktals und seiner Effizienz beim Füllen des Raums überein
  • Ist die Determinante groß, bleiben Lücken im Raum; ist sie klein, kommt es zu Kollisionen
  • Die Spaltenvektoren jeder Matrix müssen ganzzahlig sein, damit alles exakt auf das Koordinatengitter passt
• Winkelberechnung des Vektors |1,2|: arctan(2/1) ≈ 63.43 Grad → daher der Abstand von „27 Grad“ zur Achse

Untersuchung von Additionsstrukturen mit dem Fraktal

• Alle Positionen lassen sich nicht allein durch einfache Vektoraddition vorhersagen (z. B. →2+→2≠→4)
• Die Zahlen 1 bis 4 werden jeweils als Richtung (oben, rechts, unten, links) interpretiert; dabei tritt ein zweidimensionaler „Übertrag“ auf
• Daraus ergeben sich Verbindungen zu generalized balanced ternary und zu 2D- bzw. höherdimensionalen Zahlensystemen ohne Fixpunkte

Möglichkeit der Verallgemeinerung auf höhere Dimensionen (3D, 4D)

Versuch einer Erweiterung auf 3D

• Für eine 3x3-Matrix müssen die Spaltenvektoren ganzzahlig sein, einen Hamming-Abstand von 3 haben und eine Determinante von ±7 erfüllen
• Bei der tatsächlichen Visualisierung bleiben bestimmte Bereiche leer; eine perfekte Anordnung ist nicht möglich
• Eine teilweise Ergänzung ist durch zusätzliche Kopien (ein „Pluszeichen“ an neuen Positionen) möglich, vollständige Symmetrie ist jedoch schwer zu erreichen

Erweiterung auf 4D

• Für eine 4x4-Matrix müssen die Spaltenvektoren ganzzahlig sein und die Bedingung erfüllen: drei Stellen ±1, eine Stelle 0
• In 4D ist eine neue Fraktalstruktur namens orthotopeflower möglich
• Die Gesamtstruktur lässt sich in der Ebene effektiv als 7x7-Gitter von 7x7-Gittern visualisieren

Grenzen der Verallgemeinerung in höhere Dimensionen

• Fasst man die Einschränkungen durch Matrizen, Wachstumsbedingungen und ganzzahlige Zwischenvektoren zusammen, ist diese Struktur nur in 1, 2 und 4 Dimensionen sinnvoll
• In noch höheren Dimensionen ist keine ganzzahlige Matrix konstruierbar, die alle Bedingungen erfüllt

Verbindung zu anderen Zahlensystemen

• Wie bei der quater-imaginary base (einem Zahlensystem mit imaginärem 2i als Basis) lässt sich das matrixbasierte Zahlensystem konzeptuell bis zu komplexen Zahlen und Quaternionen erweitern
• Die Idee einer Quaternionen-Kodierung über 4D-Matrizen (Basis: i+j+k) wurde untersucht; die vollständig strenge Verifikation bleibt jedoch dem zukünftigen Ich überlassen

Schlusswort

• Die langjährige Beschäftigung einer einzelnen Person mit Fraktalen, Zahlensystemen und linearer Algebra führt zu einer schönen mathematischen Entdeckung
• Kreative kleine Kritzeleien und Neugier können tatsächlich zum Ausgangspunkt für die Aufdeckung tiefer Prinzipien werden
• Der Fall zeigt, wie Zufall, Versuch und Irrtum sowie Beharrlichkeit im Forschungsprozess zu neuen Ideen in Mathematik und Informatik führen können
• Betont wird auch die Haltung, unvollkommene Visualisierungen oder Fehler in Regeln als Teil des Erkenntnisprozesses zu akzeptieren

[GN⁺]

Hacker-News-Kommentare

• Ein großartiges Werk und ein Vergnügen zu lesen

  • Ausdruck großer Dankbarkeit an Cliff; die Videos von Numberphile seien in der Kindheit eine große Inspiration gewesen, die Schönheit der Mathematik zu entdecken

• Der Text wirke äußerst aufschlussreich und sorgfältig durchdacht; besonders die 3D-Visualisierung gefalle sehr. Er erinnere an ein Projekt, das vor einigen Jahren mit rekursiver Dezimierung (recursive decimation) erstellt wurde, um ähnliche Fraktal-Effekte aus beliebigen Bildern zu erzeugen. Unter https://jsfiddle.net/nicobrenner/a1t869qf/ könne man selbst damit experimentieren; man könne einige Male auf Blursort 2x2 drücken und dann auf Animate klicken, um eine Animation zu erzeugen. Kopieren/Einfügen von Bildern werde ebenfalls unterstützt; alles laufe nur im Browser ohne separates Backend, für Mobilgeräte werde es nicht empfohlen.

  • Die Frage, ob das wohl auch in 3D funktionieren könnte

• Es wurde eher eine leichte Lektüre erwartet, aber der Text sei ziemlich lang gewesen, sodass er während der Arbeit nur kurz überflogen wurde; später wolle man zurückkehren und verschiedene Dinge ausprobieren. Wirklich beeindruckend gut gemacht.

• Die Meinung, dass der Text sehr gut geschrieben sei, verbunden mit der Bitte zu erklären, wie das Nummerierungssystem „middle out“ entwickelt wurde; beim alleinigen Lösen mathematischer Probleme kämen einem solche inspirierenden Ideen nie so leicht

  • Im Text sei die Reihenfolge zwar etwas vertauscht, aber die Idee habe sich geformt, als irgendwann klar wurde, dass die Art, wie das Fraktal jeweils um den Faktor 5 wächst, das Zahlensystem zur Basis 5 und die im Text erwähnte „Spirale“ alle ganz natürlich zusammenpassen. Es sei auch viel darüber nachgedacht worden, wie man das Fraktal programmatisch zeichnet, und dabei sei ganz natürlich der Ansatz entstanden, in der Mitte zu beginnen und nach außen zu erweitern. Es gebe die Anekdote, dass Richard Feynman verschiedene Probleme im Kopf mit sich herumtrug und langsam Einsichten sammelte, bevor er sie dann auf dramatische Weise löste; etwas Ähnliches habe man selbst einmal bei einem Problem erlebt, sei aber noch lange nicht auf diesem Niveau.

• Man habe sich fasziniert hineinziehen lassen und dabei ein L-System ausgedacht, das das „wallflower“-Fraktal zeichnet; es lasse sich über https://onlinetools.com/math/l-system-generator?draw=AB&skip... ansehen. Beim erneuten Nachdenken sei man sich allerdings nicht mehr sicher und vermute, dass damit vielleicht doch ein anderes Fraktal erzeugt wird.

• Lob für den tollen Text, verbunden mit dem Wunsch, es hätte ein Foto gegeben, auf dem das Fraktal tatsächlich an der Wand installiert ist; der Knuth-Video-Link sei ziemlich gut gewesen, und man sei überrascht, ihn bisher nicht gekannt zu haben

  • Die Frage, ob es nicht links im letzten Bild zu sehen sei

• Die Frage, ob sich eine ähnliche Methode auch für die Erzeugung von Dithering-Mustern anwenden ließe, bei denen sich der Detailgrad steuern lässt

• Der Eindruck, dass es ein guter Text war, zusammen mit der Empfehlung, dass der durch Jurassic Park bekannte Heighway-Drache ebenfalls ziemlich cool sei, mit Link: https://en.m.wikipedia.org/wiki/Dragon_curve

• Der Eindruck, dass es ein bisschen wie ein Propeller aussieht

  • Der Hinweis, dass eine Form, bei der alle vier Arme in dieselbe Richtung gebogen sind, leider leicht alle möglichen Swastika-Formen in Erinnerung ruft

• Das Fazit, dass es eine unterhaltsame Erfahrung war