Teenager-Mathematiker finden alle Knoten in einem verblüffenden Fraktal

• Als der damalige Doktorand an der University of Toronto Malors Espinosa nach einem Forschungsproblem suchte, an dem sich auch Oberstufenschülerinnen und -schüler an einem Beweis versuchen konnten, stellte er die Frage, ob sich jeder Knoten im Menger sponge unterbringen lässt
• Der Menger-Schwamm ist ein Fraktal, das durch wiederholtes Aushöhlen eines Würfels entsteht; Karl Menger bewies 1926, dass diese Struktur eine universelle Kurve ist, die jede Kurve enthalten kann
• Joshua Broden, Noah Nazareth und Niko Voth brachten Knoten mithilfe einer arc presentation in eine Gitterform und entwickelten eine Methode, mit Koordinaten aus der Cantor-Menge die Löcher des Schwamms zu umgehen
• Nach mehreren Monaten mit wöchentlichen Zoom-Treffen bewiesen die drei Schüler, dass alle Knoten im Menger-Schwamm untergebracht werden können; ihr Paper wurde auf arXiv veröffentlicht
• Für eine tetraedrische Version zeigten sie außerdem, dass sich der trefoil knot und die umfassendere Familie der pretzel knots platzieren lassen, doch ob das für alle Knoten gilt, ist weiterhin offen

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Ein Knoten-Fraktal-Satz, der mit einer Forschungsfrage für Oberstufenschüler begann

• Im Herbst 2021 suchte Malors Espinosa nach einem mathematischen Problem, das Oberstufenschülerinnen und -schüler selbst beweisen konnten und das zugleich Forschungswert hatte
• In einem Sommerworkshop für lokale Highschool-Schüler hatte er bereits die Grundideen mathematischer Forschung und das Schreiben von Beweisen vermittelt, und einige von ihnen waren bereit für Probleme ohne Lösungsschlüssel
• Nachdem er dem Menger sponge in einem Lehrbuch zur Chaostheorie erneut begegnet war, kam er auf die Frage, dieses Fraktal mit der Knotentheorie zu verbinden

Menger-Schwamm und universelle Kurve

• Der Menger sponge entsteht, indem man einen Würfel wie einen Rubik’s Cube unterteilt, dann den kleinen Würfel in der Mitte und die sechs kleinen Würfel in der Mitte jeder Seitenfläche entfernt und denselben Vorgang bei den verbleibenden 20 Würfeln unendlich oft wiederholt
• Mit jeder Iteration nimmt die Zahl der Löcher exponentiell zu; nach unendlich vielen Wiederholungen schrumpft das Volumen auf 0, während die Oberfläche unendlich groß wird
• Als Karl Menger 1926 diesen Schwamm definierte, bewies er, dass sich jede beliebige Kurve so verformen lässt, dass sie irgendwo im Schwamm ohne Selbstüberschneidung Platz findet
  • einfache Linien und Kreise
  • Strukturen, die wie Bäume oder Schneeflocken aussehen
  • kurvenartige Fraktalstaub-Gebilde
• Wegen dieser Eigenschaft nannte Menger den Schwamm eine universal curve

Passen auch alle zum Kreis homöomorphen Knoten hinein?

• Malors’ Frage setzte an dem Punkt an, dass Mengers Satz nicht zwischen homöomorphen Kurven unterscheidet
• Ein mathematischer Knoten ist eine geschlossene Schleife, die entsteht, wenn man die beiden Enden einer verdrehten und verknoteten Schnur verbindet; für eine Ameise, die darauf entlangläuft, kehrt man wie bei einem Kreis zum Ausgangspunkt zurück
• In diesem Sinn sind alle Knoten homöomorph zu einem Kreis, doch Mengers Beweis garantiert nur, dass ein Kreis in den Schwamm passt
• Das Ziel war zu zeigen, dass sich alle Knoten im Menger-Schwamm finden lassen, wobei ihre Schleifen und Verflechtungen erhalten bleiben

Knoten mit einer arc presentation in ein Gitter bringen

• Die drei Schüler Joshua Broden, Noah Nazareth und Niko Voth gingen das Problem an, indem sie Knoten als arc presentation auf einem ebenen Gitter darstellten
• Eine arc presentation übersetzt die Information darüber, welche Knotenstränge vor oder hinter anderen verlaufen, in eine Anordnung von Punkten auf einem Gitter, wobei jede Zeile und jede Spalte genau zwei Punkte enthält
• Diese Punkte werden mit horizontalen und vertikalen Linien verbunden; kreuzen sich zwei Segmente, verläuft das vertikale Segment vor dem horizontalen
• Jeder Knoten lässt sich in einer solchen Gitterdarstellung ausdrücken, was die Untersuchung seiner wichtigen Eigenschaften erleichtert

Mit Cantor-Mengen-Koordinaten den Löchern des Schwamms ausweichen

• Die Schüler nutzten die Idee, die horizontalen Linien einer arc presentation auf eine Fläche des Menger-Schwamms und die vertikalen Linien auf die gegenüberliegende Fläche zu legen
• Der schwierigste Teil bestand darin sicherzustellen, dass die Verbindungswege von den Ecken der arc presentation durch das Innere des Schwamms nicht in Löcher geraten
• Dafür verwendeten sie die Cantor-Menge, ein eindimensionales Fraktal
  • Man teilt ein Streckenstück in drei gleiche Teile und entfernt das mittlere Drittel
  • Mit den beiden verbleibenden Strecken verfährt man unendlich oft genauso
  • Am Ende bleibt eine verstreute Menge von Punkten übrig
• Betrachtet man Menger-Schwamm und Cantor-Menge so, als hätten sie gleich viele Entfernungsschritte durchlaufen, dann sollte es auf einer Schwammfläche an Punkten, deren beide Koordinaten zur Cantor-Menge gehören, kein Loch geben
• Wegen der iterativen Struktur des Schwamms sollte es direkt hinter solchen Punkten ebenfalls kein Loch geben, sodass der Knoten hindurchgeführt werden kann, ohne das Material des Schwamms zu verlassen

Der Beweis, dass alle Knoten in den Menger-Schwamm passen

• Die verbleibende Aufgabe war zu zeigen, dass sich eine beliebige arc presentation eines Knotens so stauchen oder strecken lässt, dass alle ihre Ecken auf Cantor-Mengen-Koordinaten liegen
• Solches Stauchen und Strecken verändert die Gesamtstruktur der arc presentation nicht, daher ändert sich auch der dargestellte Knoten selbst nicht
• Broden, Nazareth und Voth bewiesen, dass sich jede beliebige arc presentation so umformen lässt, dass die Schnittpunkte von vertikalen und horizontalen Linien in der Cantor-Menge liegen
• Dieses Ergebnis garantierte, dass sich auch eine größere Zahl von Ecken an die Cantor-Menge anpassen lässt, sodass sich der gegebene Knoten schließlich in irgendeiner Iterationsstufe des Menger-Schwamms unterbringen lässt
• Die drei Schüler zeigten, dass sich alle Knoten im Menger-Schwamm unterbringen lassen

Erweiterung auf einen tetraedrischen Schwamm

• Nachdem die ursprüngliche Frage gelöst war, begannen die Schüler zu untersuchen, ob sich alle Knoten auch in einer tetrahedralen Version des Menger-Schwamms unterbringen lassen
• In diesem Fall funktionierte die bisherige Methode mit einander exakt gegenüberliegenden Flächen nicht mehr, was das Problem schwieriger machte
• Malors dachte eine Zeit lang, der trefoil knot passe nicht in ein Tetraeder, doch die drei Schüler widersprachen und fanden eine neue Anordnungsmethode
• Anschließend bewiesen sie, dass dasselbe auch für die gesamte allgemeinere Knotenfamilie gilt, zu der der trefoil gehört, nämlich die pretzel knots
• Ob sich auch andere Arten von Knoten in einem tetraedrischen Schwamm unterbringen lassen, bleibt eine offene Frage

Die Möglichkeit, Fraktalkomplexität über Knoten zu betrachten

• Malors hält die Methode der Schüler für einen möglichen Weg, die Komplexität von Fraktalen allgemeiner zu messen
• Nicht jedes Fraktal kann jede Art von Knoten enthalten; welche Knoten möglich sind und welche nicht, könnte daher ein Maßstab zum Verständnis fraktaler Strukturen sein
• 2014 bauten Mathematikbegeisterte im weltweiten Projekt MegaMenger einen endlichen Menger-Schwamm im Gewicht von 200 Pfund aus Visitenkarten
• Allison Moore glaubt, dass dieses Ergebnis zu neuer mathematischer Kunst führen könnte, die aus physischen Materialien gefertigt wird
• Die drei Schüler haben inzwischen alle die Highschool abgeschlossen; nur Broden arbeitet neben Universitätskursen weiter am Tetraeder-Problem, und alle drei ziehen eine Laufbahn in der Mathematik in Betracht

[GN⁺]

Hacker-News-Kommentare

• Ein Browser-Puzzle auf Basis der Knotentheorie; ich weiß nicht, was ich beim Spielen gelernt habe, aber es hat Spaß gemacht.
  https://brainteaser.top/knot/index.html

  • Irgendwie erinnert es an https://www.jasondavies.com/planarity/.

• Quanta scheint wirklich ein großartiges Magazin zu sein. Ich habe es jetzt zum ersten Mal entdeckt.

  • Es gibt auch ein paar ordentliche Podcasts; persönlich mag ich Joy of Wh(y) ziemlich gern.

• Eine Erklärung zu „Jeder Knoten ist zum Kreis homöomorph (homeomorphic)“ gibt es hier:
  https://math.stackexchange.com/questions/3791238/introductio...

  • Das ist nicht korrekt. Ein Knoten ist kein topologischer Raum, sondern eine Einbettung (embedding), also K:S^1 -> S^3 und allgemeiner S^n -> S^n+2. Daher lässt sich der Begriff Homöomorphie nicht unmittelbar anwenden.
    Worauf der Originalbeitrag hinauswill, ist, dass die Einschränkung auf das Bild zu einem Homöomorphismus vom Kreis auf dieses Bild wird. Das liegt daran, dass es eine Einbettung des Kreises ist.
    Betrachtet man es als Abbildung zwischen topologischen Räumen – und normalerweise wählt man die glatte Kategorie oder die stückweise lineare Kategorie, wodurch zusätzliche Einschränkungen entstehen –, dann ist die natürlichste Interpretation, die einem „Isomorphismus“ am nächsten kommt, ein Paar von Homöomorphismen f:S^1 -> S^1, g:S^3 -> S^3 mit Kf=gK. Das entspricht also einer natürlichen Transformation oder einem kommutativen Quadrat.
    Damit bekommt man fast das Gewünschte, aber Homöomorphismen können die Orientierung des Raums oder die Orientierung des Knotens umkehren, was nicht zum physikalischen Knotenphänomen passt. Deshalb muss man dem Raum eine Orientierung geben; dafür geht man in die stückweise lineare/glatte Kategorie oder verwendet Homotopie/Isotopie.
  • Intuitiv kann man sich vorstellen, dass man auf dem Kreis und auf dem Knoten jeweils einen Startpunkt wählt und mit unterschiedlicher Geschwindigkeit läuft, sodass man zur gleichen Zeit wieder am Startpunkt ankommt.
    Tatsächlich ist ein Knoten eine stetige bijektive Abbildung vom Kreis auf das Bild dieser Abbildung, also auf den Knoten. Das sagt auch die verlinkte Antwort.
    Edit: Beim erneuten Lesen des Artikels habe ich gesehen, dass diese intuitive Erklärung mit der Ameisen-Analogie bereits enthalten war.

• Ich mag Quanta wirklich sehr. Ich wünschte, es gäbe eine Printausgabe.

  • Zustimmung. Ich würde gern für ein Printabo zahlen und vielleicht noch ein zusätzliches Exemplar an die nahegelegene Highschool spenden.
    Allerdings gehen Jugendliche heutzutage vielleicht nicht mehr in die Bibliothek; vielleicht müsste man das Magazin also in Toiletten, Fluren und Cafés auslegen.
  • Ich musste an Leonardo vom MIT denken. Eines der Dinge, in die ich im zweiten Studienjahr kurz vertieft war: https://direct.mit.edu/leon
  • Umgekehrt bevorzuge ich eher moderne Medien, weil man dort Animationen und Ähnliches einbauen kann.

• Die „Tetraeder-Version des Menger-Schwamms“ ist meist besser als Sierpiński-Tetraeder bekannt und ist die dreidimensionale Version des Sierpiński-Dreiecks.

• Ich weiß nicht, warum man unbedingt ein Fraktal verwendet hat. Hätte man nicht einfach ein dreidimensionales Gitter nehmen können? Würde ein Gitter mit passender Auflösung nicht dieselbe Rolle spielen?
  Oder soll damit gezeigt werden, dass man selbst innerhalb einer so eingeschränkten Teilmenge eines dreidimensionalen Gitters alles machen kann?

  • Das Ergebnis für dreidimensionale Gitter ist gut bekannt und dürfte fast trivial sein. In einer Dimension kann man alle bis auf zwei Schichten wegwerfen.
    Wie gesagt ist der Menger-Schwamm eine Teilmenge eines dreidimensionalen Gitters, daher mussten die Schüler eine Konstruktion finden, die an den Löchern vorbeiführt. Persönlich finde ich das Ergebnis nicht überraschend, aber schön anzusehen.
    Der wirklich spannende Teil im Artikel ist meiner Meinung nach allerdings die offene Frage am Ende: Kann man jeden Knoten in einen Sierpiński-Tetraeder einbetten?

• Mir gefällt, dass der Beweis elementar und leicht verständlich ist. Er erinnert fast an Beweise des Satzes des Pythagoras und könnte trotzdem ziemlich bedeutsam sein.

• Sehr schön. Ich wünschte, sie hätten mit einer ähnlichen Visualisierung gezeigt, wie sie es beim Sierpiński-Gasket gelöst haben.