Jeder Mathematiker hat nur ein paar Tricks (2020)
(mathoverflow.net)- Das Prinzip, dass zwei vertauschbare Matrizen gleichzeitig diagonalisiert werden können, steht im Mittelpunkt und erklärt verschiedene Wege, physikalische Systeme zu interpretieren
- Bei Systemen mit Translationssymmetrie wird mittels Fourier-Transformation die Lösung verschiedenster physikalischer Probleme wie Wellen- und Wärmegleichungen erreicht
- In Kristallen mit diskreter Translationssymmetrie wird durch die Bloch-Floquet-Theorie die Energiebandstruktur beschrieben und der Unterschied zwischen Leitern und Isolatoren erklärt
- Bei Rotationssymmetrie wird das Eigenwertproblem des Wasserstoffatoms über die Diagonalisierung des Rotationsoperators gelöst, wobei die SO(3)-Darstellung mit der Elektronenschalenstruktur des Periodensystems verknüpft ist
- Durch SU(3)-Symmetrie wird die komplexe Teilchenphysik systematisiert, und Symmetrierepräsentationen machen die organisierte Struktur der Teilchen sichtbar
Grundlagen von Operatoren und Diagonalisierung
- Der Kernpunkt ist die mathematische Eigenschaft, dass „zwei kommutierende Matrizen gleichzeitig diagonalisiert werden können“ ist
- Kennt man die Eigenvektoren eines Operators, wird die Diagonalisierung eines anderen Operators deutlich einfacher
- In der Physik wird üblicherweise angenommen, dass die meisten Matrizen diagonalisiert werden können
1) Translationsinvariante Systeme
- Da die Eigenvektoren des Translationsoperators die Form ( e^{ikx} ) haben, ist es naheliegend, die Fourier-Transformation zu verwenden
- Diese Methode wird auf verschiedene Wellengleichungen angewendet, etwa für Licht, Schall, freie Elektronen und die Wärmegleichung in homogenen Medien
2) Diskrete Translationssymmetrie und Bloch-Floquet-Theorie
- Die Anordnung der Atome in einem Festkörper mit Kristallstruktur besitzt diskrete Translationssymmetrie
- Als Eigenvektoren des Operators ( T_a\phi(x) = \phi(x+a) ) wählt man ( \phi_k(x+a) = e^{ik\cdot a}\phi_k(x) )
- Daraus wird die Bloch-Floquet-Theorie abgeleitet, bei der das Spektrum in eine Bandstruktur aufgespalten wird
- Diese Theorie ist das repräsentative Modell der kondensierten Materie zur Erklärung des Unterschieds zwischen Leitern und Isolatoren
3) Rotationssymmetrie und Wasserstoffatom
- In Systemen mit Rotationsinvarianz sollte zuerst der Rotationsoperator diagonalisiert werden
- So lassen sich die Eigenwerte und Eigenvektoren des Wasserstoffatoms bestimmen
- Der Eigenraum des Wasserstoffatoms ist unter Rotation invariant und bildet eine endliche Darstellung von SO(3)
- Die Dimensionsfolge der irreduziblen Darstellungen von SO(3) ist 1, 3, 5, … und mit Berücksichtigung des Elektronenspins korrespondieren sie mit den Spalten des Periodensystems (2, 6, 10, 14, …)
4) SU(3)-Symmetrie und Teilchenphysik
- Die Teilchenphysik ist komplex, doch ihrem Fundament liegt eine SU(3)-Symmetrie zugrunde
- Betrachtet man Darstellungen von SU(3), werden verschiedene Teilchen zu einer systematischeren und besser strukturierten Klassifikation zusammengefasst
- Dadurch erscheint die sogenannte „Zoologie“ der Teilchen in einer geordneten Form
Zusätzliche Anmerkungen
- Im Originaltext gibt es neben diesen vier Beispielen 39 weitere Kommentare, im Haupttext werden jedoch keine konkreten Inhalte dargestellt
1 Kommentare
Hacker-News-Kommentar
Mein Vater war kein Mathematiker, sondern Ingenieur, und alle nichtlinearen Probleme hat er mit Newton-Raphson gelöst.
Eine meiner ersten Programmerinnerungen ist, wie ich als Kind auf einem HP85a Newton-Raphson in BASIC implementierte.
Später habe ich es auch auf einem HP-Rechner in RPN umgesetzt und die schrecklichen BASIC-Programme meines Vaters debuggt.
Mein Vater hat genau ein Verfahren zur numerischen Nullstellensuche und eine Methode zur Berechnung zweiter Ableitungen gelernt und das als Chemieingenieur sein ganzes Leben lang genutzt.
Das dazugehörige Dokument kann man übrigens hier lesen.
Und mein Vater lebte nach dem Motto: „Ein entschlossener FORTRAN-Programmierer kann in jeder Sprache FORTRAN schreiben.“
Wenn man SVD wirklich richtig einsetzen kann, ist es für ingenieurwissenschaftliche Berechnungen ein extrem mächtiges Werkzeug.
Einmal habe ich ihm OOP erklärt, und er hat es sofort als „nutzlos“ abgetan und nie wieder darüber nachgedacht.
Bei einfachen Beispielen funktioniert er perfekt, aber bei realen Problemen scheitert er oft spektakulär.
Ich fürchte den Menschen, der einen Kick 1000-mal geübt hat.“
Das scheint eine ziemlich treffende Metapher für einen Vater zu sein, der Newton-Raphson sein ganzes Leben lang benutzt hat.
Sie ist leicht zu implementieren, und die Wikipedia-Erklärung dazu ist ziemlich interessant.
Auch Ingenieure scheinen jeweils eigene Muster der Problemlösung zu haben.
Ein Kollege fand immer den einfachsten Hack, ein anderer liebte den Code selbst und suchte nach dem elegantesten Ausdruck.
Ein ehemaliger Physiker las ständig obskure Mailinglisten und baute sich so ein tiefes Verständnis auf.
Ich selbst grabe meist lange in der Struktur eines Problems, aber am Ende waren die Werkzeuge, die ich dabei gewonnen habe, nützlicher als die eigentliche Lösung.
Ich kannte einen Infrastruktur-Ingenieur, der Dinge, die er auf Reddit gesehen hatte, sofort ausprobierte; heute ist er wohl ungefähr 50 Millionen Dollar schwer.
Ein anderer Ingenieur hat jede Technik durch Trainingssessions gelernt und dann integriert.
Und ein berühmter Ingenieur schrieb die besten Kommentare der Welt — er hielt Probleme, Trade-offs, Performance und unfertige Teile wie in einem Essay fest.
Am Ende hatten die besten Ingenieure gemeinsam, dass sie einfach „so lange ausprobierten, bis es funktionierte“.
Das ist besonders nützlich, wenn das Ergebnis falsch ist.
Ich halte „Go To Definition“ für das mächtigste Werkzeug überhaupt.
Mein Eindruck aus Informatikvorlesungen war, dass es in der Mathematik stark auf Mustererkennung und Kniffe ankommt.
Wenn man die Kniffe nicht kennt, kommt man nicht weiter, und im Unterricht werden solche Tricks fast nie direkt vermittelt.
Professoren gingen entweder davon aus, dass Studierende sie schon kennen, oder hielten einen für faul, wenn man sie nicht kannte.
Feynman sagte in seiner Autobiografie, dass er erfolgreich war, weil er andere mathematische Tricks als die übrigen Leute hatte.
Eine Erklärung dazu gibt es hier.
Er aktualisierte sein eigenes Verständnis ständig.
Sie waren nicht besonders flashy, aber dieses begrenzte Gebiet beherrschte er perfekt.
Im Studium rief ein Professor meinen Namen, wenn ich beim Erklären einer Aufgabe eindöste.
Ich antwortete dann halb schlafend mit „Chinesischer Restsatz“, und in 90 % der Fälle lag ich richtig.
Es war eine Algebra-Vorlesung, und dort funktionierte das erstaunlich oft.
Einmal konnte ein Professor in der Vorlesung ein Problem nicht lösen.
Er machte kurz Pause und ging in sein Büro, um seine Notizen zu holen; darin stand genau eine Zeile — „Benutze einen Trick“.
Jemand stellte Tricki.org vor, ein ziemlich interessantes Wiki für Techniken zur Lösung mathematischer Probleme.
Es wird heute nicht mehr gepflegt, ist aber immer noch einen Blick wert.
Für Programmierer ist Graphendenken sehr nützlich.
Manche sagen auch, SAT sei ein guter Trick, aber ich selbst habe es nie verwendet.
In der angewandten Mathematik gibt es den Witz: „Wir sind wie Taco Bell. Wir mischen dieselben sechs Zutaten und machen daraus unterschiedliche Menüs.“
Ich selbst habe auch ein paar Techniken, die ich immer wieder benutze.
Am Ende gibt es nur wenige Ideen, die die Welt wirklich bewegen, und ein Professor meinte, die einzige echte Innovation der letzten Jahrzehnte sei Compressed Sensing gewesen.
Der schwierige Teil bei Compilern ist der Parser.
Man sucht sich einfach einen vorhandenen Parser und lässt ihn als Web-Template für die Sprache ausgeben.
Datenbankabfragen werden besser in einen inverted index umgewandelt,
und vor allem sollte man Datenlokalität (locality) sorgfältig berücksichtigen.