- Mathematik wurde lange als Sprache der Physik genutzt, doch inzwischen wirkt auch die physikalische Intuition als Quelle, die mathematische schwierige Probleme und neue Strukturen erschließt
- Physiker sind weniger an strenge Beweise gebunden als an schnelle Exploration und können daher oft zuerst neue Konzepte und Verbindungen entdecken, die Mathematiker später überprüfen
- Die Stringtheorie schafft über Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten, K3 surface und M-theory unerwartete Beziehungen zwischen algebraischer Geometrie, Differentialtopologie, Gruppentheorie und Topologie
- Selbst verworfene physikalische Theorien können in der Mathematik lange fortleben; Lord Kelvins vortex theory verschwand, doch ihre Mathematik führte zur Entwicklung der Knotentheorie und zum Verständnis verschlungener Moleküle wie DNA
- Bei großen Problemen wie dem Langlands program, der Riemann hypothesis und der Birch and Swinnerton-Dyer conjecture steigt die Chance auf neue Durchbrüche, je durchlässiger die Grenze zwischen Physik und Mathematik wird
Die Umkehr einer Entwicklung, in der Mathematik der Physik half
- Albert Einstein sah in der Allgemeinen Relativitätstheorie von 1915 die „wahre Triumph“ der Mathematik darin, dass reine Mathematik, die ihrer Zeit um mehr als ein halbes Jahrhundert voraus war, die Struktur der Raumzeit präzise beschrieb
- Mathematik entstand ursprünglich, um zu vermessen, zu rechnen und die physische Welt zu verstehen, und die Sumerer in Mesopotamien hinterließen Tontafeln mit Multiplikationstabellen, um Güter und Besitz zu zählen
- Später weitete sich Mathematik von einem Werkzeug für Staat und Handel zu einem hochabstrakten Gebiet aus und trug weiterhin große Durchbrüche in der Physik
- In jüngerer Zeit hat sich die Richtung umgekehrt: Gesetze und Muster der Physik bringen heute lange blockierte Bereiche der Mathematik in Bewegung
Wie Physiker die mathematische Landschaft absuchen
- Timothy Gowers meint, Physiker seien weniger an strenge Beweise gebunden als Mathematiker und könnten die mathematische Landschaft daher schneller erkunden
- Während Mathematiker kleine Gebiete tief vermessen, können Physiker große unerforschte Bereiche rasch überfliegen und dabei starke Konzepte oder Beziehungen zuerst entdecken
- Danach kehren Mathematiker zu diesen Entdeckungen zurück und versuchen, sie zu beweisen oder zu widerlegen
- Dieses Muster wiederholt sich seit Langem
- Archimedes schrieb, dass Gesetze der Mechanik zu wichtigen mathematischen Entdeckungen geführt hätten
- Isaac Newton und Gottfried Wilhelm Leibniz entwickelten die Infinitesimalrechnung, als sie die Bewegung fallender Körper verstehen wollten
Der Bruch in der Mitte des 20. Jahrhunderts und Michael Atiyahs Verbindung
- Mitte des 20. Jahrhunderts versiegte der Strom neuer Mathematik aus der Physik fast völlig, und weder Mathematiker noch Physiker zeigten großes Interesse am Gebiet der jeweils anderen
- In der Mathematik versuchte die Bourbaki group, Mathematik so präzise wie möglich zu machen und viele Bereiche von Grund auf neu aufzubauen
- In der Physik entstanden Ideen wie das Standard Model, doch für viele Physiker war Mathematik nur ein nützliches Werkzeug, und an einem bourbakistischen Verständnis strenger Mathematik bestand wenig Interesse
- Michael Atiyah betrachtete seit Mitte der 1970er theoretische Physik als die vielversprechendste Quelle neuer Ideen und förderte die Wechselwirkung beider Felder
- Er bearbeitete mathematische Probleme, die Physiker aufgeworfen hatten
- Er bewies Resultate der reinen Mathematik mithilfe physikalischer Ideen
- Er vermittelte Physikern wichtige Teile moderner Mathematik, die ihnen nicht vertraut waren
Mathematische Verbindungen, die die Stringtheorie geschaffen hat
- Edward Witten traf Atiyah 1977, wurde ein langjähriger Kollaborateur und später ein Pionier der Stringtheorie
- Die Stringtheorie ist die Idee, dass die grundlegenden Bausteine des Universums nicht die Teilchen des Standard Model sind, sondern winzige eindimensionale vibrierende Strings
- In der Physik ist sie noch keine „Theorie von allem“, doch auf abstrakte mathematische Gebiete wie algebraische Geometrie und Differentialtopologie hat sie großen Einfluss ausgeübt
- Witten und andere Stringtheoretiker formulierten präzise Vermutungen, die Mathematiker später bewiesen
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Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten und enumerative Geometrie
- 1991 wandten Philip Candelas, Xenia de la Ossa und Kollegen die Stringtheorie auf ein altes Problem der enumerativen Geometrie an
- Enumerative Geometrie ist das Gebiet der Mathematik, das zählt, wie viele Lösungen ein geometrisches Problem hat
- Sie behandelt Fragen wie: Es gibt genau eine Gerade durch zwei Punkte in der Ebene oder acht Kreise, die drei gegebene Kreise berühren
- Mit Werkzeugen der Stringtheorie behandelten sie das Problem, die Anzahl bestimmter Kurven in einer Calabi-Yau-Mannigfaltigkeit zu zählen
- Das Ergebnis verband symplectic geometry und complex geometry, die Mathematiker jahrzehntelang getrennt voneinander untersucht hatten
- Wenn zwei zuvor unverbunden erscheinende Gebiete zusammengeführt werden, lassen sich Werkzeuge des einen zur Lösung von Problemen des anderen nutzen; in der Mathematik gilt das als tiefgreifendes Resultat
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M-theory und Dualität
- Witten schlug 1995 vor, dass die fünf Stringtheorien, die zehn Dimensionen verlangen, verschiedene Aspekte eines einzigen elfdimensionalen Konzepts seien: M-theory
- M-theory ist noch nicht bewiesen, doch beim Verfolgen von Entsprechungen zwischen verschiedenen Theorien entstanden erstaunliche mathematische Entdeckungen
- Yang-Hui He sieht in der Stringtheorie eine beispiellose Quelle neuer Strukturen für Mathematiker
K3 surface und unerwartete mathematische Strukturen
- Yang-Hui He und Federico Carta entdeckten beim Studium der K3 surface, der einfachsten Calabi-Yau-Mannigfaltigkeit, neue Beziehungen
- Diese Beziehung besteht zwischen homotopy groups, die in der Topologie zur Klassifikation von Formen dienen, und der Symmetriegruppe Matthieu 24
- Damit traten unerwartete Verbindungen selbst zwischen unterschiedlichen Teilgebieten der reinen Mathematik wie Topologie und Gruppentheorie zutage
- He meint, dass es unendlich viele Muster und Strukturen gibt, die Mathematiker untersuchen könnten, dass aber diejenigen aus der Realität auf einer gewissen Ebene Gegenstände sind, für die wir Intuition entwickeln können
- Auch Nigel Hitchin meint, mathematische Forschung funktioniere nicht im Vakuum; neue Ideen müssten sich um irgendein Gefühl von Realität oder um das Realitätsgefühl einer Person verdichten
Wenn „schlechte“ Physik gute Mathematik hervorbringt
- Die Physik kann der Mathematik stärkere Motivation und einen klareren Erkundungsfokus geben
- Wenn es eine Intuition dafür gibt, wie die reale Welt funktionieren sollte, und ein plausibles Ziel vor Augen steht, können Mathematiker bei einem Problem schneller vorankommen
- In diesem Rahmen können auch verworfene physikalische Theorien gute Mathematik hervorbringen
- William Thomson, also Lord Kelvin, sah in seiner vortex theory Atome als komplex verknotete rotierende Ringe, wobei jeder Knoten einem chemischen Element entsprach
- Diese Theorie wurde nach der Entdeckung des Elektrons verworfen, doch ihre Mathematik führte zur Entwicklung der Knotentheorie
- Die Knotentheorie wurde zu einem reichen Forschungsfeld der reinen Mathematik
- Sie fand auch unerwartete Anwendungen in der Fluiddynamik und beim Verständnis verschlungener Moleküle wie DNA
Menschliches Gehirn, physische Welt und mathematische Schönheit
- Atiyah verband die Beziehung zwischen Physik und Mathematik mit der Evolution des menschlichen Gehirns
- Der Mensch ist das Produkt einer langen Evolution, und ein leistungsfähiges Gehirn war für Überleben und Erfolg in der physischen Welt von Vorteil
- Das menschliche Gehirn entwickelte sich zur Lösung physikalischer Probleme, woraus sich die Deutung ergibt, dass es dafür auch die passende Art von Mathematik entwickeln musste
- Eine Hirnscan-Studie aus dem Jahr 2014, an der Atiyah mitwirkte, kam zu dem Schluss, dass die Erfahrung mathematischer Schönheit dieselben Hirnareale stimuliert wie schöne Musik, Kunst und Poesie
- Mathematik, die aus der Erforschung der Realität entsteht, könnte die Art von Mathematik sein, die das menschliche Gehirn bevorzugt
Sind physikalische Gesetze so notwendig wie mathematische Sätze?
- Daniele Molinini behandelte in einem Aufsatz von 2023 als Antwort auf Eugene Wigners Essay von 1960 „The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences“ die Frage nach der „The Unreasonable Effectiveness of Physics in Mathematics“
- Seine Antwort lautet, dass einige physikalische Gesetze so unwiderlegbar sein könnten wie mathematische Sätze
- Philosophisch gelten mathematische Wahrheiten gewöhnlich als notwendige Wahrheiten, die in allen möglichen Welten gelten müssen, während empirische Tatsachen über die Natur als kontingente Wahrheiten gelten, die auch anders sein könnten
- Molinini hält Erhaltungssätze für Kandidaten notwendiger physikalischer Gesetze
- In der Physik bleiben bestimmte Eigenschaften eines Systems wie Energie oder Impuls unverändert
- Ein Radfahrer bergab wandelt gravitative potenzielle Energie in kinetische Energie um, doch die Gesamtenergie von Fahrer und Fahrrad bleibt gleich
- Falls Erhaltung notwendig ist, könnte das erklären, wie Archimedes durch mechanische Überlegungen erfolgreich auf die Wahrheit geometrischer Beweise schließen konnte
Die Grenzen der Sichtweise, dass das Universum aus Mathematik besteht
- Eine Sichtweise, die Galileo Anfang des 17. Jahrhunderts formulierte und die viele Mathematiker unterstützt haben, besagt, dass das Universum in der Sprache der Mathematik geschrieben ist
- Diese Idee hat alte Wurzeln, die bis zu Pythagoras und seinen Anhängern zurückreichen
- Max Tegmarks mathematical universe hypothesis geht noch weiter
- Das Universum wird nicht nur mathematisch beschrieben, sondern besteht aus Mathematik
- Unser Universum ist eines von unendlich vielen Paralleluniversen, und jede mathematische Möglichkeit wird irgendwo realisiert
- Mark Colyvan sieht zwischen empirischer Wissenschaft und Mathematik eine enge Verbindung und meint, daraus lasse sich schließen, dass die Welt selbst in gewisser Weise mathematisch ist
- Da die Mathematik der bekannten Physik jedoch nur einen winzigen Teil der gesamten Mathematik ausmacht, erklärt diese Sichtweise allein nur unzureichend, warum gerade aus der Physik stammende Mathematik so außergewöhnlich ergiebig ist
Eine Umkehrung, die sich durch mapping nur schwer erklären lässt
- Molinini stellt das mapping infrage, einen populären philosophischen Ansatz zur Erklärung der Anwendbarkeit von Mathematik
- Beim mapping werden physikalische Konzepte wie Masse oder Entfernung mathematischen Objekten wie den Gleichungen von Newtons Gravitationsgesetz zugeordnet, und Rechenergebnisse werden anschließend wieder auf physikalische Eigenschaften abgebildet
- Versucht man den Prozess umzudrehen und zu erklären, wie aus der Physik Mathematik entsteht, funktioniert mapping nicht mehr richtig
- Philosophen konzentrierten sich bislang darauf, warum Mathematik auf die Erfahrungswissenschaften anwendbar ist; nun wird ebenso wichtig, warum Physik für die Mathematik so wirksam ist
Physik und Mathematik werden weiter zusammenrücken
- Yang-Hui He meint, die moderne Physik liefere Mathematikern viele neue Werkzeuge und unerwartete Hinweise, und zur Lösung großer Probleme der reinen Mathematik müssten beide Gebiete noch enger zusammenarbeiten
- Das Langlands program ist eines dieser Felder
- Es wurde in den 1960er Jahren von Robert Langlands entworfen und wird als „grand unified theory der Mathematik“ bezeichnet
- Ein Zweig davon, geometric Langlands, soll kürzlich mit einem Beweis in fünf Arbeiten auf insgesamt 800 Seiten gelöst worden sein
- Ein zentraler Teil dieses Beweises stützt sich auf Einsichten aus der conformal field theory, einer der Grundlagen der Stringtheorie
- Auch bei der Riemann hypothesis und der Birch and Swinnerton-Dyer conjecture versuchen Mathematiker bereits, mithilfe der Physik Fortschritte zu erzielen
- He sieht im Bündnis beider Disziplinen einen Schlüssel dazu, solche gewaltigen Probleme zu öffnen
- Physik und Mathematik nähern sich wieder einer Einheit wie zu Zeiten von Newton und Gauss an, und einige der noch exotischeren und raffinierteren mathematischen Werkzeuge könnten noch gar nicht erfunden sein
1 Kommentare
Hacker-News-Kommentare
Ein Physiker sieht auf dem Heimweg nachts einen Mathematiker-Kollegen, der unter einer Straßenlaterne auf den Boden schaut, und fragt: „Was ist los?“ Der Mathematiker antwortet: „Ich habe meine Schlüssel fallen lassen.“ Der Physiker will helfen und fragt: „Ungefähr wo?“ Der Mathematiker zeigt nach drüben und sagt: „Dort.“ Der Physiker fragt: „Warum suchst du dann nicht dort?“ Darauf der Mathematiker: „Weil es hier heller ist.“
Offenlegung: Ich bin Mathematiker.
Der Interviewer fragt: „Diesmal ist es dieselbe Situation, aber der Hammer liegt auf dem Boden. Was tun Sie?“ Der Mathematiker antwortet: „Ich lege den Hammer vom Boden auf den Tisch und reduziere es auf ein bereits gelöstes Problem.“
Ein zu diesem Artikel passender Witz lautet: Der Mathematiker verbringt seine Zeit damit, die Topologie eines Mantels für einen Menschen mit drei Armen zu entwerfen, und der Physiker findet so einen Menschen.
Mein Lieblingswitz ist der vom Sohn eines Mathematikers, der an seinem ersten Schultag, als die Lehrerin fragt: „Wer weiß, wie viel 1+2 ist?“, aufsteht und sagt: „Ich weiß nicht, wie viel es ist, aber ich weiß, dass Addition im Monoid der natürlichen Zahlen dem Kommutativgesetz genügt und es daher gleich 2+1 ist.“
Offenlegung: Ich bin Softwareentwickler.
[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Nasreddin#cite_ref-32
Der Physiker lässt seine Schlüssel fallen. Mathematiker: „Heureka!“
Hitchins Aussage, dass „mathematische Forschung nicht im Vakuum funktioniert“, scheint dem Kern der Sache nahezukommen. Nicht nur Physik treibt interessante Mathematik an, und diese Beziehung ist auch nicht erst in jüngerer Zeit entstanden.
Mathematik ist meiner bescheidenen Meinung nach die ultimative domänenspezifische Sprache. Sie ist ein Werkzeug, mit dem man etwas modelliert, und dieses Modell wird später oft auch für sich genommen interessant.
Wenn man versucht, neue Objekte zu modellieren, etwa neue Konzepte von Realität, entstehen auf neue Weise interessante Modelle oder bestehende Modelle werden re-kontextualisiert; deshalb werden Rekonstruktion, Verdichtung und Verallgemeinerung nötig, und das Fach entwickelt sich weiter.
https://en.wikipedia.org/wiki/A_Mathematician%27s_Apology
Man verfällt leicht der Vorstellung, Mathematik beschreibe die zugrunde liegende Landschaft selbst, aber tatsächlich operiert sie auf dem Modell, das wir über diese Landschaft teilen. Wenn wir also andere Dinge in Betracht ziehen, folgt die Mathematik entsprechend.
Während meines Studiums sagte ein Physikdozent nebenbei, die Unterscheidung zwischen Physik und Mathematik sei eine Vorstellung des 20. Jahrhunderts. Im 19. Jahrhundert und davor habe es diese Trennung nicht gegeben, und im 21. Jahrhundert scheine sie wieder zu verschwinden.
Dass die Trennung heute verschwimmt, hat den genau entgegengesetzten Grund. Die Leute meinen, alles, was mit solider Mathematik konzipiert ist, müsse wahr sein, und Beobachtung ist in den Hintergrund gerückt.
Für Mathematik gibt es keine solche Anforderung, und sie muss auch keine Naturphänomene modellieren. Dieser Physikdozent klingt wie ein Platonist.
Die grundlegende Entwicklung der Infinitesimalrechnung Ende des 17. Jahrhunderts machte es möglich, diese Themen unter einer gemeinsamen Forschungs- und Analysemethode zusammenzuführen, und das nennen wir heute Physik.
Da auch große Teile der modernen Mathematik aus der Tradition der Infinitesimalrechnung hervorgegangen sind, ist die Grenze zwischen dem modellierten Gegenstand und den Modellierungswerkzeugen naturgemäß unscharf; dennoch war die Unterscheidung über diesen ganzen Zeitraum hinweg ziemlich stark ausgeprägt. Bei Wahrscheinlichkeitstheorie oder Algebra etwa verfolgten Forscher zwar oft sowohl Physik als auch Mathematik, wussten aber, dass es sich um zwei verschiedene Themen handelt.
Im 21. Jahrhundert kann diese Trennung nicht verschwinden. Mathematik ist nicht mehr an die physische Welt gebunden. Mathematik besteht darin, aus Axiomen und Sätzen Theoreme zu erzeugen, unabhängig davon, ob diese in der physischen Welt Anwendung finden.
Die in der Physik verwendete Mathematik ist nur ein sehr kleiner Teil der gesamten möglichen Mathematik.
— V.I. Arnold, On teaching mathematics (1997)
Versucht einmal, ein innovatives Softwareprodukt zu bauen, ohne ein einziges Wort mit Nutzern zu sprechen; dann versteht ihr, warum Physik gut darin ist, neue Mathematik hervorzubringen.
Physik eignet sich auch hervorragend für Machine Learning, aber der Ansatz kann ziemlich kontraintuitiv sein. Zum Beispiel werden Message Passing und Belief Propagation zur Modellierung latenter Variablen in Bäumen und Graphen meist mit dem Beispiel von Fenstern und der Randwahrscheinlichkeit für regnerisches Wetter erklärt, und Bayes- bzw. Statistikgleichungen werden per Kettenregel der Marginalisierung in Unterkomponenten zerlegt
Physiker dagegen neigen dazu, das über das Ising-Modell und magnetische Spins zu lehren — eine völlig andere Analogie
Auch neuere generative Machine-Learning-Modelle nutzen häufig Ansätze auf Basis von Differentialgleichungen oder Boltzmann-Verteilungen; bei State-Space-Modellen oder energiebasierten Modellen wird die statistische Formalisierung quasi vollständig aus der statistischen Physik bzw. statistischen Mechanik entlehnt und in neuronale Netze sowie Auto-Differentiation-Systeme gesteckt
Das beste Beispiel ist vermutlich der Metropolis-Hastings-Algorithmus, der von Forschern aus dem Nuklearbereich entwickelt wurde
https://web.archive.org/web/20150603234436/http://flynnmicha...
https://arxiv.org/abs/1503.03585
Einer meiner Physikprofessoren sagte: „Mathematik ist Physik ohne Zweck“
Er war einst ein recht erfolgreicher Physiker, daher bin ich vielleicht voreingenommen
Ich bin kein Genie in Physik oder Mathematik, aber mir scheint die Beziehung zwischen beiden eher ein positiver Kreislauf zu sein
Ich meine gelesen zu haben, dass das 20. Jahrhundert wegen der Verbindung von Physik und Mathematik revolutionär war. Quaternionen sind wichtig für die Relativitätstheorie, und diskrete Mathematik steckt überall in der Quantenmechanik und im Standardmodell. U(1) beschreibt die elektromagnetische Kraft, SU(2) die schwache Kraft und SU(3) die starke Kernkraft. Insbesondere die Massen der drei Bosonen, die die schwache Kraft vermitteln, führten direkt zur Theoretisierung des Higgs-Mechanismus, der schließlich auch experimentell bestätigt wurde
Eine der großen Leistungen des 20. Jahrhunderts war, dass alle endlichen Gruppen auf beweisbare Weise gefunden wurden, und solche Gruppen tauchen in der Physik immer wieder auf
Der Text sagt, dass die Stringtheorie zu neuer Mathematik geführt habe, und das ist wirklich interessant. Wegen fehlender experimenteller Belege für „aufgerollte Dimensionen“ bin ich gegenüber der Stringtheorie skeptisch und sie wirkt wie Flickwerk, aber interessant ist auch, dass unter der Annahme, die Stringtheorie sei korrekt, sowohl in der Physik als auch in der Mathematik nützliche Ergebnisse entstanden sind
Weiß man, ob Physik besser als andere Felder darin ist, neue Mathematik hervorzubringen? Zum Beispiel haben auch Computer viel neue Mathematik hervorgebracht, und die Statistik wurde vollständig durch äußeren Druck aus Medizin, Sozialwissenschaften und Wirtschaft vorangetrieben
Auch Finanzwesen und Ökonomie haben rund um Modellierung und Wahrscheinlichkeit viel Mathematik hervorgebracht, und es gibt viele weitere ähnliche Beispiele
Arithmetik selbst ist eine Folge physikalischer Erhaltung. Wenn man einen Haufen mit 4 Eicheln und einen Haufen mit 3 Eicheln hat und sie zusammenlegt, ohne eine fallen zu lassen, dann muss man einen Haufen mit 7 Eicheln haben
Wegen unseres tiefen physikalischen Verständnisses von Raum und Kausalität erscheint einfache Arithmetik den meisten, vielleicht sogar allen Wirbeltieren intuitiv wahr
Wenn ein Eichhörnchen nach dem Zusammenlegen nur 6 Eicheln erhält, muss es eine kausale Erklärung für die quantitative Differenz geben. Ein anderes Eichhörnchen könnte eine vom alten Haufen gestohlen haben, oder sie könnte in ein Loch gefallen sein
„Bierbrauen ist absurd gut darin, neue Statistik hervorzubringen“ braucht man auch