Intuitiver Leitfaden zu Maxwells Gleichungen (2020)

 (photonlines.substack.com)
3 Punkte von GN⁺ 2024-06-03 | 1 Kommentare | Auf WhatsApp teilen
  • James Clerk Maxwells Aufsatz von 1865 behandelte die Veränderungen des elektromagnetischen Feldes mathematisch und stellte die Verbindung her, dass die Ausbreitungsgeschwindigkeit elektromagnetischer Wellen der Lichtgeschwindigkeit entspricht
  • Die ursprüngliche Theorie wurde wegen ihrer 20 Gleichungen und der komplexen physikalischen Sprache über 20 Jahre lang kaum allgemein verstanden; über die Generationen von Oliver Heaviside sowie Hertz, Lorentz und Einstein wurde sie zur heutigen Form mit vier Gleichungen zusammengefasst
  • Elektrische und magnetische Felder lassen sich nicht als mechanische Apparate, sondern als Skalarfelder und Vektorfelder über Raum und Zeit lesen; Divergenz steht für Quellen und Senken, Rotation für Drehung
  • Die vier Gleichungen drücken verdichtet aus, welche Divergenzen und Zirkulationen Ladungen, magnetischer Fluss, zeitlich veränderliche Felder und Ströme gegenseitig erzeugen
  • In Vakuum und ladungsfreiem Raum erfüllen elektrische und magnetische Felder die Wellengleichung und werden zu einer einzigen elektromagnetischen Welle vereint, die sich mit Lichtgeschwindigkeit ausbreitet

Warum Maxwells Theorie erst spät wichtig wurde

  • 1865 veröffentlichte James Clerk Maxwell in den Philosophical Transactions der Royal Society „A dynamical theory of the electromagnetic field“
  • Der Aufsatz beschrieb die Veränderungen des elektromagnetischen Feldes und ist physikalisch von großer Bedeutung, weil die meisten Kräfte, die wir im Alltag erfahren, abgesehen von der Gravitation elektromagnetischen Ursprungs sind
  • Maxwells Gleichungen sagten die Existenz elektromagnetischer Wellen voraus und verknüpften elektromagnetische Wellen und sichtbares Licht als dasselbe Phänomen, da ihre Ausbreitungsgeschwindigkeit der Lichtgeschwindigkeit entspricht
  • Maxwells Arbeit wurde jedoch nicht sofort akzeptiert
    • Die ursprüngliche Form bestand nicht aus den heute vertrauten vier Gleichungen, sondern aus 20 Gleichungen
    • Für die Physiker jener Zeit war die algebraische Komplexität groß, und für Mathematiker war Maxwells physikalische Erklärungssprache schwer zugänglich
    • Das damalige Weltbild neigte stark dazu, unterhalb des Feldes liegende mechanische Strukturen wie „Räder und Zahnräder“ als grundlegender anzusehen
  • Oliver Heaviside vereinfachte die Gleichungen, und über die Generationen von Hertz, Lorentz und Einstein setzten sich Feldgleichungen und mathematische Gesetze als grundlegende Beschreibung des Universums durch

Grundintuition zum Lesen von Feldern

  • Ein Feld (field) lässt sich als Funktion verstehen, die über den gesamten Raum und die gesamte Zeit wirkt
  • Felder lassen sich nur schwer vollständig auf alltägliche Materie oder mechanische Analogien reduzieren
    • Auch Erklärungen wie Austauschteilchen, virtuelle Teilchen oder Raumzeitkrümmung lassen sich letztlich als mathematische Abstraktionen behandeln
    • Die grundlegende Schnittstelle zum Verständnis von Feldern ist die Intuition einer mathematischen Funktion, die sich über Raum und Zeit erstreckt
  • Ein Skalarfeld nimmt einen Punkt im Raum als Eingabe und gibt eine einzelne Zahl aus
    • Im Beispiel einer Bergwanderung, bei der sich die Temperatur mit der Höhe ändert, bildet T(x, y, z) eine Position auf einen Temperaturwert ab
    • Betrachtet man die Temperaturverteilung einer Metallplatte einschließlich der Zeit als T(x, y, t) oder realistischer als T(x, y, z, t), modelliert die Wärmeleitungsgleichung die Veränderung des Temperaturfeldes
  • Partielle Differentialgleichungen beschreiben Beziehungen zwischen mehreren Variablen und ihren Änderungsraten
    • Bei der Temperatur einer Metallplatte muss nicht nur die Änderung nach dem Ort dT/dx, sondern auch die Änderung über die Zeit dT/dt berücksichtigt werden
    • Da jede Ableitung nur einen Teil der gesamten Veränderung beschreibt, handelt es sich um eine partielle Ableitung; sie wird verwendet, um die zeitliche Entwicklung eines Feldes zu behandeln
  • Ein Vektorfeld nimmt einen Punkt im Raum als Eingabe und gibt einen Vektor mit Betrag und Richtung aus
    • In einem Geschwindigkeitsfeld einer Flüssigkeit gibt der Vektor an jedem Ort Richtung und Betrag der Geschwindigkeit eines Fluidelements an
    • Auch Gravitationsfelder und Magnetfelder lassen sich als Vektorfelder modellieren
    • Im elektromagnetischen Feld fließt zwar keine reale Flüssigkeit, doch Begriffe aus der Strömung wie Fluss, Quelle und Senke werden metaphorisch verwendet

Die Sprache der Gleichungen über Divergenz und Rotation lesen

  • Divergenz (divergence) gibt an, ob ein Feld in der Umgebung eines Punktes wie aus einer Quelle nach außen tritt oder wie in eine Senke nach innen fließt
    • Zeichnet man einen kleinen Kreis um einen Punkt und es zeigen mehr Pfeile nach außen, ist die Divergenz positiv
    • Zeigen mehr Pfeile nach innen, ist die Divergenz negativ
    • Trifft beides nicht zu, ist die Divergenz 0 oder nahe 0
  • Im elektrischen Feld lassen sich positive Ladungen als Quellen und negative Ladungen als Senken betrachten
    • Das Gaußsche Gesetz für elektrische Felder besagt, dass die Divergenz des elektrischen Feldes an einem Punkt proportional zur Ladungsdichte an diesem Punkt ist
  • Rotation (curl) gibt an, wie stark ein Feld in der Umgebung eines Punktes rotiert
    • Eine Drehung gegen den Uhrzeigersinn lässt sich als positive Rotation, eine Drehung im Uhrzeigersinn als negative Rotation betrachten
    • Stellt man sich ein kleines Wasserrad an einem Punkt vor, entspricht die Stärke der Rotation intuitiv der Geschwindigkeit, mit der das Feld dieses Wasserrad dreht
    • In drei Dimensionen ist die Rotation ein Vektor, der gemäß einer bestimmten Rechte-Hand-Regel die Drehrichtung angibt
  • Maxwells Gleichungen lassen sich in Differentialform und Integralform schreiben
    • Die Differentialform beschreibt das elektromagnetische Feld über Divergenz und Rotation an jedem Punkt
    • Die Integralform behandelt denselben Inhalt über den gesamten Fluss und die Zirkulation durch eine geschlossene Oberfläche oder entlang eines geschlossenen Weges
  • Die Integralrechnung beginnt damit, die Fläche unter einer Kurve in Rechtecke kleiner Breite Δx zu zerlegen und sie aufzusummieren
    • Je näher Δx an 0 rückt, desto genauer wird die Flächenapproximation
    • In der Integralform der Maxwellschen Gleichungen werden kleine Flächenelemente einer geschlossenen Oberfläche aufsummiert, um den gesamten Fluss oder die Zirkulation zu berechnen

Was die vier Maxwell-Gleichungen aussagen

  • Das Gaußsche Gesetz für elektrische Felder drückt über Divergenz und Fluss aus, dass Ladungen elektrische Felder erzeugen
    • In Differentialform ist die Divergenz des elektrischen Feldes proportional zur Ladungsdichte
    • In Integralform entspricht der elektrische Fluss durch eine geschlossene Oberfläche der Gesamtladung, die in dieser Oberfläche eingeschlossen ist
    • Elektrische Feldlinien werden so gezeichnet, dass sie von positiven Ladungen ausgehen und in negative Ladungen eintreten
    • Die Stärke des elektrischen Feldes nimmt mit zunehmendem Abstand von einer Punktladung gemäß dem Abstandsquadratgesetz als 1/r² ab
    • Die Permittivität des freien Raums ε0 ist eine Konstante, die angibt, wie stark das Vakuum elektrische Feldlinien durchlässt
  • Das Gaußsche Gesetz für Magnetfelder besagt, dass die Divergenz des Magnetfeldes immer 0 ist
    • Dies wird so interpretiert, dass es im Magnetfeld keine magnetischen Monopole gibt, die elektrischen Ladungen entsprechen
    • Der gesamte magnetische Fluss durch eine geschlossene Oberfläche ist immer 0
    • Magnetische Feldlinien beginnen oder enden nicht an Ladungen wie elektrische Feldlinien, sondern bilden stets geschlossene Schleifen, die zu sich selbst zurückkehren
    • Bei jeder geschlossenen Oberfläche, ob Kugel, Würfel oder Torus, heben sich austretender und eintretender magnetischer Fluss auf
  • Faradays Gesetz besagt, dass ein zeitlich veränderliches Magnetfeld ein zirkulierendes elektrisches Feld induziert
    • Nimmt der magnetische Fluss zu, entsteht ein zirkulierendes elektrisches Feld in einer Richtung, die dieser Änderung entgegenwirkt
    • Nimmt der magnetische Fluss ab, entsteht ein zirkulierendes elektrisches Feld in der entgegengesetzten Richtung
    • Diese entgegengesetzte Ausrichtung wird Lenzsche Regel genannt
    • Anders als ein elektrisches Feld, das an Ladungen beginnt oder endet, bildet ein induziertes elektrisches Feld Feldlinien, die als geschlossene Schleifen zu sich selbst zurückkehren
    • Dieses Gesetz ermöglicht es, in einem geschlossenen Stromkreis Ladungen zu bewegen und Strom zu erzeugen, und macht die Umwandlung von mechanischer Energie in elektrische Energie in Generatoren möglich
  • Das Ampere-Maxwell-Gesetz besagt, dass ein Strom oder ein zeitlich veränderliches elektrisches Feld ein zirkulierendes Magnetfeld induziert
    • Der linke Term beschreibt die Rotation des Magnetfeldes
    • Der rechte Term enthält die Stromdichte und die zeitliche Änderungsrate des elektrischen Feldes
    • Strom ist als Flussrate von Ladung durch eine Querschnittsfläche definiert, bedeutet aber nicht einfach nur die Bewegung von Elektronen in einem Draht
    • Die Stromdichte J gibt die Ladungsmenge an, die eine zur Stromrichtung senkrechte Einheitsquerschnittsfläche passiert
    • Auch ohne fließenden Strom kann ein zeitlich veränderliches elektrisches Feld ein Magnetfeld erzeugen
  • Die Integralform des Ampere-Maxwell-Gesetzes drückt das Linienintegral entlang eines geschlossenen magnetischen Weges durch den Nettostrom, der eine geschlossene Oberfläche durchsetzt, und die Änderungsrate des elektrischen Flusses aus
    • Ein Strom, der die Oberfläche in eine Richtung durchsetzt, trägt zum Nettostrom bei
    • Durchsetzt derselbe Strom die Oberfläche in beide Richtungen, kann der Nettostrom 0 sein
    • Die Permittivität des freien Raums ε0 und die Permeabilität des freien Raums μ0 erfüllen die Beziehung ε0 μ0 = 1/c² und werden im gaußschen Einheitensystem als dimensionale Konstanten behandelt, die verschwinden

Die Vereinheitlichung von elektrischem und magnetischem Feld

  • Elektrische und magnetische Felder sind keine zwei unabhängigen Felder, sondern lassen sich als ein einziges elektromagnetisches Feld betrachten
  • In elektromagnetischen Wellen sind der Vektor des elektrischen Feldes, der Vektor des magnetischen Feldes und die Ausbreitungsrichtung im dreidimensionalen Raum zueinander ausgerichtet
    • Die Vektoren des elektrischen und magnetischen Feldes stehen senkrecht aufeinander
    • Die Veränderung eines Feldes ergänzt die des anderen
  • Das Magnetfeld kann als elektrisches Feld einschließlich relativistischer Effekte erklärt werden
    • Betrachtet man neben einem stromführenden Draht ein Bezugssystem, das sich mit den Elektronen mitbewegt, sind die Elektronen in Ruhe, sodass keine magnetische Kraft auftritt
    • Wegen der Längenkontraktion der speziellen Relativitätstheorie werden die bewegten positiven Ionen in Bewegungsrichtung komprimiert und besitzen eine höhere positive Ladungsdichte
    • In diesem Bezugssystem erscheint der Draht, als trüge er eine positive Nettoladung, und die Elektronen werden durch elektrische Anziehung zum Draht hingezogen
    • Dasselbe Phänomen wird für einen ruhenden Beobachter als magnetische Kraft und für einen mit den Elektronen mitbewegten Beobachter als elektrische Kraft erklärt
  • Im Vakuum und in ladungsfreiem Raum lassen sich Maxwells Gleichungen vereinfachen, und elektrische sowie magnetische Felder erfüllen die Wellengleichung
    • Da 1 / μ0 ε0 = c² gilt, breiten sich elektromagnetische Wellen mit Lichtgeschwindigkeit aus
    • Maxwell betrachtete Licht und magnetische Phänomene als Zustände derselben Substanz und verknüpfte Licht mit einer elektromagnetischen Störung, die sich gemäß den elektromagnetischen Gesetzen durch Felder ausbreitet
  • Feynman war der Ansicht, dass man die Grundgesetze der klassischen Physik, wie sie bis 1905 bekannt waren, in einer Tabelle zusammenfassen könne: Maxwells Gleichungen, Ladungserhaltung, Lorentz-Kraftgesetz, Bewegungsgesetze und Newtons Gravitationsgesetz

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1 Kommentare

 
GN⁺ 2024-06-03
Hacker-News-Kommentare

  • Ich hätte mir wirklich gewünscht, solches Material gehabt zu haben, als ich für meinen Physikabschluss studiert habe. Die Diagramme sind schön und treffen genau die zentralen Konzepte der Vektoranalysis, die man für Elektromagnetismus braucht.
    Ich erinnere mich noch daran, wie ich mich wie durch einen Initiationsritus mühsam durch Jackson[1] gearbeitet habe, aber es gibt keinen Grund, warum die nächste Generation genauso leiden sollte. Das Web scheint genau für so etwas da zu sein.
    [1]: https://en.wikipedia.org/wiki/Classical_Electrodynamics_(boo...

    • Der Grund, warum ich diesen Beitrag geschrieben habe, war, dass ich das Gefühl hatte, dass den meisten modernen Erklärungen sowohl die Intuition hinter den Gleichungen fehlt als auch eine gute Erklärung dessen, was die eigentlichen Gleichungen bedeuten.
      Wenn er hilfreich war, würde ich mich über Teilen und Abonnieren freuen. Ich versuche auch, komplexe Themen wie die Schrödinger-Gleichung, Schwarze Löcher und Quantenmechanik intuitiv zugänglich zu machen, und möchte am Ende auch ein Buch schreiben, das Mathematik und Physik viel klarer und intuitiver erklärt. Mathematik sollte nicht schwer verständlich sein. Auf der untersten Ebene ist sie sehr einfach, aber ich gebe zu: Sie klar und intuitiv darzustellen, ist wirklich schwierig. Ein großer Teil des Materials ist von Grant Sanderson (3Blue1Brown) beeinflusst, und die meisten Diagramme wurden mit Vexlio erstellt: https://vexlio.com/
    • Ich bin etwas verwirrt. Der verlinkte Guide ist sehr gut geschrieben, aber kein besonders neuer Ansatz; ich habe Elektromagnetismus auf ähnliche Weise gelernt. Auch Professoren haben ähnliche Diagramme an die Tafel gezeichnet.
      Jackson ist ein Lehrbuch für Elektromagnetismus im Graduiertenstudium und mathematisch anspruchsvoll geschrieben. Wenn man dieses Buch liest, sollte man Elektromagnetismus und seine konzeptionellen Grundlagen bereits seit drei bis vier Jahren kennen, und das Ziel liegt darin, Gleichungen in Situationen zu lösen, die für Studierende im Grundstudium schwierig sind. Mich würde interessieren, was du im Grundstudium gelernt hast.
    • Solche Begeisterung entsteht oft, weil man Inhalte vergessen hat, die eigentlich schon im ersten gelesenen Buch oder in der ersten Vorlesung enthalten waren, oder weil sie einem nach einiger Zeit und mit mehr Vertrautheit beim erneuten Lesen intuitiver erscheinen.
      Deshalb gibt es den Spruch, dass das beste Buch zu einem Thema „das zweite Buch ist, das man liest“. Beim zweiten Mal wirkt alles viel intuitiver.
    • David J. Griffiths’ Introduction to Electrodynamics war ein hervorragendes Lehrbuch für Elektromagnetismus auf Bachelor-Niveau: https://en.wikipedia.org/wiki/Introduction_to_Electrodynamic...
    • Im Kurs zu dynamischen Feldern haben wir John Kraus’ Electromagnetics verwendet, und davor hatte ich einen Kurs zu statischen Feldern besucht.
      Die Abschlussprüfung dieses Kurses hatte die kürzeste Aufgabenstellung, die ich je in einer Prüfung gesehen habe: „Leiten Sie Maxwell’s Equations her“. Das Buch von Kraus fand ich zufriedenstellend.

  • Einer der besten Teile meiner Ausbildung war, sich durch Elektromagnetismus hindurch zur Schönheit der Maxwell-Gleichungen vorzuarbeiten.
    Später habe ich dann erfahren, dass man diese Schönheit noch stärker herausarbeiten kann, wenn man sie mit Differentialgeometrie weiter komprimiert.
    http://virtualmath1.stanford.edu/~conrad/diffgeomPage/handou...

  • „Maxwells Theorie wird erst dann einfach und elegant, wenn man das Feld, also eine mathematische Funktion, als fundamental ansieht und elektromagnetische Spannungen sowie mechanische Kräfte als Folgen dieses Feldes versteht. Nicht umgekehrt.“
    Es gibt viele interessante Diskussionen darüber, ob Felder tatsächlich existieren, und diese Debatte reicht Jahrhunderte zurück: https://youtu.be/j2oSyAfPzWg?si=BHRv8lodGhqZBtbl

    • Ich dachte, Rupert Sheldrake wäre für die meisten auf HN ein absolutes Tabu, daher freut es mich, dass dieser Link gut bewertet wurde.
      Wenn er über Felder spricht, führt das oft zu seiner „Pseudo“-wissenschaftlichen Arbeit über Telepathie; mein Lieblingsvortrag dazu ist dieser hier: https://www.youtube.com/watch?v=GS1Drlyr37Q

  • Die Erklärung ist wirklich hervorragend. Alles ist einfach, aber detailreich genug, dass man ohne Anstrengung und Konzentration weder auswendig lernen noch verstehen kann.
    Weil es so nachvollziehbar erklärt wird, wirkt das Ganze faszinierend. Im zweiten Jahr meines Ingenieurstudiums habe ich mit diesem Stoff gerungen, aber damals nicht einmal die Hälfte richtig verstanden. Mit so einer Erklärung hätte das Lernen sicher viel mehr Spaß gemacht. Ich war wohl nicht klug genug, um die Konsequenzen der Lehrbuchformeln zu verstehen, und habe dadurch die Chance verpasst, mich für das Thema selbst zu begeistern.

    • Guter Beitrag. Mir gefällt auch, dass er Heaviside die Anerkennung gibt, die er für das verdient, was heute alle „Maxwell-Gleichungen“ nennen.

  • Ich mag solche Texte, aber alle machen denselben Fehler: Sie beginnen mit Vektoralgebra statt mit geometrischer Algebra.
    Im dreidimensionalen Raum funktioniert Vektoralgebra gut, aber in Situationen mit zwei und vier Dimensionen bricht sie völlig zusammen. Erst wirkt sie intuitiv, und irgendwann zerfällt die Intuition komplett. Ich würde gern Texte im selben Stil sehen, bei denen an den passenden Stellen Dinge wie Bivektoren verwendet werden, sodass sich das Ganze sauber nicht nur auf den dreidimensionalen Raum, sondern auf die vierdimensionale Raumzeit verallgemeinern lässt.

    • Dafür bekomme ich vielleicht Downvotes, aber selbst wenn der Ansatz über geometrische Algebra in der Elektrodynamik an sich interessant ist, glaube ich nicht, dass er die auf Gibbs’ Vektorrechnung basierende Formulierung ersetzen kann.
      Vektorrechnung ist ziemlich intuitiv und leicht zu lernen und in der Welt von Technik und Physik vollständig etabliert. Nach 100 Jahren werden Menschen, die in der Praxis damit arbeiten, nicht die Notation wechseln, nur um die vier Maxwell-Gleichungen durch eine einzige Gleichung der geometrischen Algebra zu ersetzen. Gibbs’ Vektorrechnung wird auch in der Fluiddynamik und anderen Ingenieurdisziplinen verwendet, und ich habe kaum Bestrebungen gesehen, Forschern in der Fluiddynamik die Vorteile der geometrischen Algebra nahezubringen. Jemand kann sicher einen einsamen Forscher anführen, der die Navier-Stokes-Gleichungen mit dem geometrischen Produkt formuliert hat, aber ich sehe nicht, was sich dadurch ändert. Die traditionelle Vektorrechnung ist eine Sprache, die alle sprechen können; geometrische Algebra ist nur eine weitere Art, dasselbe zu sagen. Warum also wechseln?
    • Ich habe tatsächlich geprüft, ob man es so machen könnte, aber die meisten menschlichen Gehirne sind nicht auf vierdimensionale Raumzeit ausgelegt.
      Wenn jemand eine Idee hat, wie man so etwas einem breiten Publikum präsentieren kann, würde ich sie gern hören und meinen Ansatz gerne entsprechend anpassen.
    • Es gibt auch einen kritischen Text zur geometrischen Algebra: https://alexkritchevsky.com/2024/02/28/geometric-algebra.htm...
      Kurz gesagt: Das geometrische Produkt der geometrischen Algebra ist eine ziemlich seltsame Differentialform mit gemischten Graden. Könnte man es nicht einfach als Differentialformen betrachten? Die Maxwell-Gleichungen lassen sich sehr elegant als dF=0, d*F = J zusammenfassen.

  • Jeder Dozent für Vektorrechnung sollte Studierenden die intuitive, also visuelle und physikalische Bedeutung von Gradient, Divergenz und Rotation vermitteln.
    Dasselbe gilt für die Intuition hinter Ergebnissen wie dem Satz von Stokes und dem Satz von Gauß. Selbst Ingenieurstudierende, die sich nicht für Beweise interessieren, sollten diese Intuition verstehen können.

    • Hast du je ein Buch gesehen, das so etwas nicht behandelt? In allen Büchern, die ich gesehen habe, kam es vor.
    • Gibt es dafür noch andere gute Materialien? Während meines Studiums hatte ich das Gefühl, es besser verstanden zu haben, aber das ist 40 Jahre her.

  • Maxwells ursprüngliche Gleichungen verbanden Licht und Elektrizität. Die ursprünglichen 20 Gleichungen hatten 20 Unbekannte und verwendeten eine quaternionenbasierte Notation, die niemand verstand.
    Heaviside schrieb Maxwells 20 Gleichungen mit Vektoranalysis als 4 Gleichungen um; das half zwar bei der Vereinfachung, war aber meiner Ansicht nach nicht ohne Preis. Auch in der modernen Welt gibt es noch vieles, das nicht erklärt ist, besonders im Zusammenhang mit individuellen menschlichen Erfahrungen. Als Taxifahrer hatte ich Gelegenheit, Einblicke in solche Dinge zu bekommen, und traf Menschen, die mir halfen, Fragen zu klären, die mich beschäftigten. Zwischen Elektromagnetismus und Gravitation muss es irgendeine Verbindung geben, aber wir haben sie noch nicht herausgefunden. Bing CoPilot zitierte zu meiner Frage diesen Wikipedia-Artikel; er liegt über meinem Niveau, daher wäre es schön, wenn ihn jemand verständlich erklären könnte: https://en.wikipedia.org/wiki/Gravitoelectromagnetism

    • Es gibt Vorlesungsfolien dazu, wie sich die Form der Maxwell-Gleichungen verändert hat. Sie enthalten die Komponentenform, eine Form, die wie Maxwells erste Version aussieht, die zweite, Quaternionenform, sowie die Heaviside-Version[1].
      Als Heaviside-Trivia, nach der niemand gefragt hat: Er war auch derjenige, der die „Cover-up“-Methode erfand, um Partialbruchzerlegung schnell durchzuführen[2].
      [1] https://www.thp.uni-koeln.de/gravitation/mitarbeiter/hehl/Ma...
      [2] https://math.mit.edu/~jorloff/suppnotes/suppnotes03/h.pdf
    • Ich habe versucht, diese 4 Gleichungen in Heavisides Schriften zu finden, hatte damit aber noch keinen Erfolg.
      Er hat die Quaternionen eindeutig entfernt, aber da Maxwell sie ebenfalls nicht in großem Umfang nutzte und stets in Skalar- und Vektorteil aufteilte, scheint der Unterschied gering zu sein. Der größere Unterschied ist, dass Maxwell die Gleichungen in Form des skalaren Potenzials und des Vektorpotenzials ausdrückte, was in der QED zwingend notwendig ist. Heaviside entfernte diese hingegen und ließ nur das elektrische und das magnetische Feld übrig. Ich habe bestätigt, dass man Maxwells 7 Gleichungen braucht, um die 4 Heaviside-Gleichungen herzuleiten. Wenn man Quaternionen ernst nimmt, kann man mit natürlichen Einheiten die berühmten 4 Gleichungen als nur 2 schreiben:
      ∇E + dB/dt = -ρ
      ∇B - dE/dt = J
    • Gravitoelektromagnetismus hat tatsächlich nichts mit Elektromagnetismus zu tun.
      Es geht nur darum, dass bestimmte formale Eigenschaften der allgemeinen Relativitätstheorie grob einer mathematischen Struktur entsprechen, von der man im Elektromagnetismus spricht; dazu kommt der Vorbehalt, dass die Symmetrien, die den beiden Theorien zugrunde liegen, verschieden sind.
    • Quaternionen spielten bei Maxwells Entdeckung und bei der Formulierung der Gleichungen des Elektromagnetismus eine entscheidende und instrumentelle Rolle.
      Als Terence Tao gefragt wurde, warum niemand die Riemannsche Vermutung beweisen könne, antwortete er einmal, dass uns derzeit die geeigneten Werkzeuge für den Beweis fehlten. Ich bin kein Mathematiker, habe aber ein starkes Gefühl, dass Quaternionen eines der mächtigen Werkzeuge sein könnten, um die Riemannsche Vermutung zu beweisen. Anders als andere Wellen, etwa Schallwellen, haben elektromagnetische Wellen eine einzigartige Polarisationseigenschaft. Um elektromagnetisch basierte Phänomene vollständig und korrekt zu modellieren, braucht es eine quaternionenbasierte Formulierung und Darstellung. Einer der Gründe, warum die meisten herkömmlichen Funkmodulationen Polarisation nicht nutzen, ist, dass die meisten Mikrowellen- und Funkingenieure mit Quaternionen nicht vertraut sind. Ironischerweise ähnelt diese Voreingenommenheit der Haltung früher Mathematiker und Wissenschaftler, die komplexe Zahlen vehement ablehnten; heute verwenden die meisten modernen Funkmodulationen wie OFDM komplexe Zahlen. Hier sind Texte, die Maxwell-Gleichungen mithilfe von geometrischer Algebra und Quaternionen herleiten; sie lassen sich zu einer einzigen eleganten Gleichung zusammenfassen[1][2].
      [1] Maxwell’s eight equations as one quaternion equation:
      https://pubs.aip.org/aapt/ajp/article/46/4/430/1050887/Maxwe...
      [2] A derivation of the quaternion Maxwell’s equations using geometric algebra:
      https://peeterjoot.com/2018/03/05/a-derivation-of-the-quater...
    • Die Stelle, dass du als Taxifahrer Menschen getroffen hast, die dir halfen, Fragen zu klären, die dich beschäftigten, macht mich neugierig.
      Wenn es dir recht ist, würde ich gern mehr darüber hören. Selbst wenn es etwas mystisch klingt, können wir alle so tun, als würde es niemand lesen.

  • Zur relativistischen Äquivalenz von elektrischem und magnetischem Feld ist auch dies lesenswert:
    https://physics.stackexchange.com/questions/489291/how-did-e...

  • Sussman und Wisdom haben in Anlehnung an das klassische Scheme-Buch SICP ein Buch namens Structure and Interpretation of Classical Mechanics geschrieben; ich frage mich, ob jemand einen ähnlichen Ansatz für den Elektromagnetismus versucht hat.

    • Die Maxwell-Gleichungen sind eine klassische Feldtheorie ohne Quantisierung.
      Daher sind die Maxwell-Gleichungen eine Theorie, die zum größeren Körper der klassischen Mechanik gehört. Wenn man möchte, kann man für verschiedene experimentelle Konfigurationen, zum Beispiel für ein geladenes Teilchen in einem Feld, eine Lagrangedichte oder einen Hamiltonian aufschreiben und daraus die Maxwell-Gleichungen herleiten. Es gibt auch einige Arbeiten dazu. Es gibt keinen Grund, warum man den Formalismus von SICM nicht verwenden könnte. Ob das eine nützliche Übung ist, weiß ich nicht.
    • Sussman und Wisdom behandeln das in Kapitel 10 von Functional Differential Geometry kurz selbst.
    • https://fab.cba.mit.edu/classes/862.22/index.html
      Es dürfte Kapitel 6 sein.

  • Ich werfe schon Geld auf den Bildschirm, aber nichts passiert
    Ich wünschte wirklich, sie würden aus diesem Beitrag und verwandten Themen unbedingt ein Buch machen. Der Text ist wirklich hervorragend geschrieben.