Der Median des zweiten Primfaktors ganzer Zahlen ist 37

Erstaunliche Fakten über die mathematisch faszinierende Zahl 37

• Der Mathematiker Chris Grossack entdeckte in seinem Buch Those Fascinating Numbers eine überraschende Eigenschaft der Zahl 37.
• Die Zahl 37 ist der Median des zweiten Primfaktors ganzer Zahlen: Die Wahrscheinlichkeit, dass der zweite Primfaktor einer zufällig gewählten ganzen Zahl kleiner als 37 ist, liegt ungefähr bei 1/2.
• Diese Tatsache wirkt zunächst schwer glaubhaft, erscheint aber plausibler, wenn man bedenkt, dass unter den kleinsten Primfaktoren von Zahlen kleine Primzahlen häufiger auftreten.

Verifikation mit Sage-Code

• Es wurde SageMath-Code geschrieben, um zu testen, ob der zweite Primfaktor einer zufällig gewählten ganzen Zahl kleiner als 37 ist.
• Die Wahrscheinlichkeit wurde berechnet, indem man eine große Zahl N festlegt und dann eine zufällige ganze Zahl zwischen 1 und N auswählt.
• Die Ausführung des Codes zeigte, dass der Median tatsächlich 37 ist und der Anteil der ganzen Zahlen mit einem zweiten Primfaktor von höchstens 37 bei etwa 0,5015 liegt.

Mathematischer Beweis

• In einer Arbeit von De Koninck und Tenenbaum wird mithilfe einer Anwendung des Siebs des Eratosthenes gezeigt, wie sich die Dichte der ganzen Zahlen berechnen lässt, deren zweiter Primfaktor eine bestimmte Primzahl p ist.
• Damit wird bewiesen, dass die Dichte der ganzen Zahlen mit 37 als zweitem Primfaktor ungefähr 0,5002 beträgt.
• Darüber hinaus lässt sich mit den Ideen dieses Blogposts auch der Median des dritten Primfaktors berechnen oder eine Asymptote dafür finden, wie sich der Median des k-ten Primfaktors in Abhängigkeit von k verändert.

Meinung von GN⁺

Das Wichtigste an diesem Beitrag ist die überraschende Tatsache, dass die Zahl 37 der Median des zweiten Primfaktors zufällig gewählter ganzer Zahlen ist, und dass er zeigt, wie mathematische Methoden und Computerprogrammierung zusammenwirken, um dies zu beweisen. Der Beitrag liefert ein interessantes Beispiel dafür, wie Mathematik und Informatik miteinander interagieren und wie sie beim Verständnis und bei der Überprüfung komplexer mathematischer Konzepte helfen können. Für angehende Softwareentwickler bietet er die Möglichkeit, aus dem Prozess zu lernen und sich inspirieren zu lassen, mathematische Aussagen in Code zu implementieren und zu verifizieren.

[GN⁺]

Hacker-News-Kommentare

• Das Interessante an der 37. Primzahl

  • Weniger dass 37 eine besonders interessante Primzahl ist, sondern vielmehr die Tatsache selbst, dass es einen Median der Primzahlliste gibt.
  • Da der Median ein Element der Primzahlliste sein muss, ist es Zufall, welche Primzahl es wird.
  • Wenn der Median selbst dann noch gegen 37 konvergieren würde, wenn er ein Wert außerhalb der Liste wäre, wäre das noch erstaunlicher.

• Vergleich von 37 mit anderen Primzahlen

  • 37 ist interessanter als 31, insofern 37 der Median des zweiten Primfaktors bestimmter ganzer Zahlen ist.
  • Vorschläge für ganze Zahlen, die im Vergleich zu anderen Primzahlen interessanter sind, oder Diskussionen darüber, welche ganze Zahl die interessanteste ist.

• Unterhaltsame Fakten über 37

  • Kommentare, die andeuten, dass 37 nun die neue Lieblingsprimzahl sei.
  • Kommentare, die erwähnen, dass man das als Idee für eine Geburtstagskarte verwenden könnte.

• Reaktionen auf den Artikel und den Beweis

  • Dank dafür, dass der Artikel klar erklärt hat, wie der Beweis funktioniert.
  • Kommentare, die Überraschung über die Einfachheit des Beweises ausdrücken.

• Technische Frage zur Primzahlvorhersage

  • Frage, ob jemand schon versucht hat, Transformer-Netzwerke zur Vorhersage von Primzahlen zu verwenden.

• Zweifel am Titel des Artikels

  • Frage, ob der Titel des Artikels auch dann korrekt ist, wenn er „nicht wiederholt“ nicht ausdrücklich erwähnt.

• Weitere mathematische Probleme, in denen 37 auftaucht

  • Kommentare, die erwähnen, dass 37 auch im Optimal-Stopping-Problem/Sekretärinnenproblem vorkommt.

• Fragen zur mathematischen Notation

  • Frage, ob die Basis des Logarithmus in dem Ausdruck für die mediane k-te Primzahl der natürliche Logarithmus ist.
  • Vorschlag, zur Vermeidung von Mehrdeutigkeit lieber ln zu verwenden.

• Gesamteindruck vom Artikel

  • Kommentare, die ihn als einen der besten Artikel bewerten, die sie seit Langem gelesen haben.