Bemerkenswerte Fortschritte zur Riemannschen Vermutung

 (mathstodon.xyz)
1 Punkte von GN⁺ 2024-06-05 | 1 Kommentare | Auf WhatsApp teilen
  • Guth und Maynard haben erstmals die Schranke von Ingham aus dem Jahr 1940 zu den Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion substanziell verbessert, sind aber von einer Lösung der Riemannschen Vermutung selbst noch weit entfernt
  • Der zentrale Gegenstand ist die Zahl N(σ,T) der Nullstellen mit Realteil mindestens σ und Betrag des Imaginärteils höchstens T; die bisherige Schranke bei σ=3/4 war über mehr als 80 Jahre ohne große Fortschritte bestehen geblieben
  • Das neue Resultat senkt bei σ=3/4 die Schranke von 3/5=0.6 auf 13/25=0.52 und liefert eine Nullstellendichteschätzung der Form N(σ,T) ≤ T^{30(1-σ)/13+o(1)}
  • Durch diese Verbesserung erweitert sich der Bereich, in dem sich der Primzahlsatz für fast alle kurzen Intervalle (x, x+x^θ) beweisen lässt, von θ > 1/6 auf θ > 2/15
  • Das Ergebnis schränkt die Möglichkeit „vieler mittelschwerer Verletzungen“ der Riemannschen Vermutung stärker ein, ist aber kein Fortschritt bei nullstellenfreien Gebieten (zero-free regions), die eine einzelne große Verletzung ausschließen würden

Die von Guth–Maynard verbesserte Nullstellendichteschranke

  • In der Arbeit New large value estimates for Dirichlet polynomials beweisen Guth und Maynard neue Schranken dafür, wie oft Dirichlet-Polynome große Werte annehmen
  • Insbesondere behandeln sie den kritischen Fall, in dem ein Dirichlet-Polynom der Länge N eine Größe nahe N^{3/4} erreicht; das war ein Engpass bei mehreren Schätzungen der analytischen Zahlentheorie im Zusammenhang mit Primzahlen und der Riemannschen Zetafunktion
  • N(σ,T) bezeichnet die Zahl der Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion, deren Realteil mindestens σ ist und deren Absolutwert des Imaginärteils höchstens T beträgt
    • Die Riemannsche Vermutung kann so gesehen werden, dass N(σ,T) für alle σ > 1/2 gleich 0 ist
    • Da man das derzeit nicht unbedingt beweisen kann, zeigt man stattdessen nichttriviale obere Schranken für N(σ,T), also Nullstellendichteschätzungen

Die Ingham-Schranke, die über 80 Jahre lang nicht geknackt wurde

  • σ=3/4 fungiert in diesem Problem als zentraler Wert
  • Ingham erhielt 1940 die Schranke N(3/4,T) ≪ T^{3/5+o(1)}
  • In den folgenden 80 Jahren wurde diese Schranke praktisch nicht substanziell verbessert; es gab vor allem nur kleinere Verfeinerungen im Fehlerterm o(1)
  • Diese Grenze hat verschiedene Probleme der analytischen Zahlentheorie eingeschränkt
    • Um einen guten Primzahlsatz für fast alle kurzen Intervalle (x, x+x^θ) zu erhalten, musste man lange im Bereich θ > 1/6 bleiben
    • Das zentrale Hindernis war das Ausbleiben einer Verbesserung der Ingham-Schranke

Wie die neuen Zahlen zu Resultaten über kurze Primzahlintervalle führen

  • Guth–Maynard verbessern die Ingham-Schranke von 3/5=0.6 auf 13/25=0.52
  • Die Arbeit enthält eine Nullstellendichteschätzung der Form N(σ,T) ≤ T^{30(1-σ)/13+o(1)}
  • Für kurze Intervalle von Primzahlen wird daraus eine Asymptotik für Intervalle der Länge x^{17/30+o(1)} abgeleitet
  • Auch der Bereich des Primzahlsatzes für fast alle kurzen Intervalle (x, x+x^θ) wird entsprechend verbessert
    • bisher: θ > 1/6 = 0.166...
    • verbessert: θ > 2/15 = 0.133...
  • Wenn die Riemannsche Vermutung wahr ist, wäre hier der gesamte Bereich θ > 0 möglich

Unerwartete Kunstgriffe im Beweis

  • Die Argumentation hat insgesamt stark den Charakter der Fourier-Analysis
  • Einige frühe Schritte sind recht standardmäßig und analytischen Zahlentheoretikern, die versucht haben, die Ingham-Schranke zu durchbrechen, vertraut
  • Danach spielen mehrere unintuitive Entscheidungen eine Schlüsselrolle
    • Die Phasenmatrix n^{it}=e^{it log n} wird durch Potenzieren zur sechsten Potenz kontrolliert
    • Ein bestimmtes komplexes Fourier-Integral wird nicht per stationary phase vereinfacht; stattdessen bleibt eine faktorisierte Form erhalten, die zwar im Exponenten Verlust bringt, sich später aber als nützlich erweist
    • Je nachdem, ob die additive energy der Stellen, an denen die Dirichlet-Reihe große Werte annimmt, klein, mittel oder groß ist, wird in Fälle unterteilt und mit unterschiedlichen Argumenten gearbeitet
  • Die exakte Form der in der Dirichlet-Reihe eingebetteten Phasenfunktion t log n wird dabei sehr wichtig
  • Das ist kein allgemeines Exponentialsummen-Problem der harmonischen Analysis, sondern nutzt die Besonderheiten von Exponentialsummen aus der analytischen Zahlentheorie

Nullstellendichte und nullstellenfreie Gebiete sind nicht dasselbe

  • Das Ergebnis hilft dabei, die Möglichkeit „vieler einigermaßen problematischer Verletzungen“ der Riemannschen Vermutung weiter einzuengen
    • Solche Verbesserungen sind besonders nützlich, um Primzahlen in kurzen Intervallen zu verstehen
  • Es schließt jedoch keine neue „einzelne sehr problematische Verletzung“ der Riemannschen Vermutung aus
    • Dafür sind nullstellenfreie Gebiete zuständig
    • Beim Verständnis von Primzahlen in langen Intervallen spielen nullstellenfreie Gebiete die zentrale Rolle
  • Das asymptotisch beste bekannte nullstellenfreie Gebiet bleibt weiterhin die Vinogradov–Korobov zero-free region
    • In dieser Schreibweise verschwindet N(σ,T) vollständig, wenn σ ≥ 1 - log^{-2/3-o(1)} T
    • Auch dieses Resultat hat sich seit 1958 kaum bewegt
  • Im q-Aspekt ist auch die Beseitigung des Siegel zero bei L-Funktionen ein großer Durchbruch auf der Seite der nullstellenfreien Gebiete
  • In einer schematischen Darstellung gilt: Je kleiner der bekannte Exponent θ(σ), desto besser die Schranke
    • Die neue Kurve von Guth–Maynard verbessert in der Nähe von σ=3/4 die jeweils bessere der Schranken von Ingham und Huxley
    • Die density conjecture wird in diesem Bereich jedoch noch nicht erreicht
    • Die Riemannsche Vermutung würde dem entsprechen, das gesamte Diagramm auf die x-Achse abzusenken

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1 Kommentare

 
GN⁺ 2024-06-05
Hacker-News-Kommentare

  • Es gibt eine in JavaScript erstellte Visualisierung der Zeta-Funktion, mit unendlichem Zoom und veränderbaren Parametern: https://amirhirsch.com/zeta/index.html
    Sie kann helfen, intuitiv zu verstehen, warum diese Vermutung wahrscheinlich wahr ist. Sie rendert Partialsummen und verfolgt den Pfad der Zeta-Funktion.
    Beim Rendering werden alle Partialsummen bis zum automatisch berechneten N-critical einbezogen; das ist der Punkt, an dem die Phasendifferenz zweier Terme kleiner als π wird, also die Nyquist-Grenze. Danach wird das Verhalten der Partialsummen monoton.
    Die Cluster wirken wie Aliasing-Modi, die sich vor und zurück bewegen, wenn die Momentanfrequenz der Terme zwischen kπ und (k+1)π liegt; der Random-Walk-Bereich ist die Region, in der es pro Aliasing-Modus nur einen Punkt gibt. Die grüne Linie hebt die Symmetrie der Partialsummen hervor, und die Cluster behalten die Symmetrie zum Random-Walk-Bereich bei. Diese Symmetrie ist in diesem Paper gut zusammengefasst: https://arxiv.org/pdf/1507.07631

    • Vor ein paar Jahren kam mir eine intuitive Signalverarbeitungs-Interpretation der Riemannschen Vermutung in den Sinn; kurz zusammengefasst kann man die Zeta-Funktion als Log-Zeit-Sampler betrachten.
      zeta(s) ist die Laplace-Transformation von sum(delta(t-ln n)), das für ganze Zahlen n>0 zum Zeitpunkt t=(ln n) sampelt, und die Sampling-Rate steigt schnell an.
      Man kann sich das als Impulsantwort aus einer Blackbox vorstellen; je nach Realteil-Parameter kann die Impulsantwort ein Signal mit endlicher Energie oder ein Leistungssignal sein. Wenn man annimmt, dass die Energie sum(|1/s|^2) endlich ist, also real(s) > 1/2, dann sagt die Riemannsche Vermutung im Grunde, dass diese Summe nicht null ist. Das ist so ähnlich wie die Aussage, dass ein Log-Sampler keine Information zerstören kann, ohne überhaupt an den Strom angeschlossen zu sein.
    • Ich habe auch eins gebaut. Meins ist mit Unity gemacht und zeigt eine 3D-Spirale, die in Y-Richtung nach oben steigt.
      Ich denke, die 3D-Ansicht hilft: https://github.com/atonalfreerider/riemann-zeta-visualization
    • Wow, deins ist viel schicker als meins: https://matt-diamond.com/zeta.html
      Trotzdem ist es interessant, dass so viele Leute das ausprobiert haben. Das Ergebnis sieht gut aus und ist eine unterhaltsame Programmierübung.
    • Ich frage mich, welche Formel beim Zeichnen des Graphen tatsächlich verwendet wird.
    • Gibt es gute Materialien, mit denen man sich dieses Thema leicht erschließen kann?

  • James Maynard ist häufig bei Numberphile zu sehen; wenn man also eine zugängliche mathematische Erklärung von einem der Autoren dieses Papers hören möchte, lohnt sich ein Blick: https://www.youtube.com/playlist?list=PLt5AfwLFPxWJdwkdjaK1ogByEGiVHdEnM

  • Wenn man nach einer Einführung in die Riemannsche Vermutung sucht, die tiefer geht als die meisten Videos und trotzdem für STEM-Absolventen zugänglich ist, fand ich diese Videoreihe von zetamath wirklich gut.
    Auch Taos Originaltext habe ich bis zu der Stelle „die Kernmatrix der Phase kontrollieren“ vollständig verstanden; die Videos müssen mir also definitiv etwas beigebracht haben.
    [1] https://www.youtube.com/watch?v=oVaSA_b938U&list=PLbaA3qJlbE93DiTYMzl0XKnLn5df_QWqY

  • Ich stelle mir vor, wie es sich anfühlen muss, wenn Terence Tao sagt, dass er selbst etwas Ähnliches versucht hat, aber gescheitert ist, und dann deine Argumentation zusammenfasst.
    „Die Argumentation ist überwiegend Fourier-analytischer Natur. Die ersten paar Schritte sind Standard und werden vielen analytischen Zahlentheoretikern bekannt vorkommen, die versucht haben, die Ingham-Schranke zu durchbrechen, mich eingeschlossen. Aber ihnen gelingen mehrere clevere und unerwartete Züge.“

    • Es ist völlig üblich, dass ein anderer Mathematiker eine Technik erfolgreich einsetzt, die ein Mathematiker auf höchstem Niveau versucht hat und an der er gescheitert ist.
    • Ich habe ihn nie persönlich getroffen, aber Taos Schreibstil ist sehr bescheiden und freundlich. Er spricht auch öffentlich darüber, wenn er etwas ausprobiert hat und es nicht gut gelaufen ist.
      Außerdem schreibt er generell viel über Werkzeuge und ihre Grenzen. Ich empfehle auf jeden Fall, seinen Blog zu lesen.
    • Zwei der Autoren des Papers sind in dem Gebiet bereits ziemlich etabliert.
      [0]: https://en.wikipedia.org/wiki/Larry_Guth
      [1]: https://en.wikipedia.org/wiki/James_Maynard_(mathematician)
    • Das dürfte sich wie echte Meritokratie anfühlen. Besonders dort, wo striktes Ranking nicht die Norm ist, wird auch Terence Tao sich nicht als an der „Spitze“ von irgendetwas sehen.
      Außerdem kann es auf eine solide Grundlage und ein Verständnis hindeuten, dass man nicht erwartet, dass das Handeln einer Person zwingend mit ihrem Ruf korreliert. Das gilt besonders dann, wenn Ergebnisse zu erzielen kein Beliebtheitswettbewerb ist, sondern die Arbeit einer einzelnen Person oder eines strengen Teams.
      Für Menschen, die in Umfeldern wie dem normalen Business, Großunternehmen, VC oder der akademischen Welt unterwegs sind, wo Politik dominiert, Meritokratie nur ein wohlklingender Motivationsspruch ist und Popularität zur eigentlichen Währung wird, kann das fremd wirken.

  • Dieser Artikel, der die potenzielle Bedeutung im Zusammenhang mit einem 2018 vorgeschlagenen Beweis erklärt, war eine nützliche Einführung
    [1] https://www.sciencenews.org/article/why-we-care-riemann-hypothesis-math-prime-numbers

    • Ich frage mich, welche potenzielle Bedeutung der Beweis hätte. Der Artikel bleibt etwas vage:

      (Primzahlen) sind wichtig, um verschlüsselte Kommunikation zu schützen, die über das Internet übertragen wird. Und, was wichtig ist: Unzählige mathematische Arbeiten setzen die Riemannsche Vermutung als wahr voraus. Wenn bewiesen wird, dass diese grundlegende Annahme richtig ist, „werden viele Ergebnisse, von denen man glaubt, dass sie wahr sind, als wahr bekannt sein“, sagt Ken Ono, Mathematiker an der Emory University in Atlanta. „Sie ist eine Art mathematisches Orakel.“
      Gibt es eine klare, bekannte Anwendung, bei der ein Beweis der Riemannschen Vermutung unmittelbar praktische Auswirkungen hätte? Also jenseits von Befriedigung oder „etwas besserer Kryptografie“

  • Interessante Tatsache: Einer der Autoren, Larry Guth, ist der Sohn des theoretischen Physikers Alan Guth, bekannt für die inflationäre Kosmologie (https://en.wikipedia.org/wiki/Larry_Guth)

  • Ich frage mich, wie man über all die Sätze denkt, die von der Riemannschen Vermutung als Satz vom ausgeschlossenen Dritten abhängen
    Konstruktivisten lehnen den Satz vom ausgeschlossenen Dritten ab, weil sie der Ansicht sind, dass ein Beweis von „A oder B“ tatsächlich einen Beweis von A oder einen Beweis von B enthalten muss. Aber bisher hat niemand einen Beweis von RH oder einen Beweis von ~RH
    Das ist wichtig in sogenannten unvollständigen logischen Systemen, in denen manche Sätze weder bewiesen noch widerlegt werden können; in solchen Systemen ist der Satz vom ausgeschlossenen Dritten als Axiom unzulässig

    • Ist das nicht ein etwas anderes Problem? Ich dachte, der Kern sei, dass Beweisbarkeit und Wahrheit unterschieden werden
    • Ich habe diese Argumentation schon gehört:
      Wenn RH in keine der beiden Richtungen beweisbar ist, kann es sicher kein Gegenbeispiel zu RH geben. Denn wenn es ein Gegenbeispiel gäbe, könnte man es finden und damit beweisen, dass RH falsch ist
      Daher müsste RH wahr sein, wenn sie unbeweisbar ist. Allerdings scheint das eine Logik zu verwenden, die außerhalb des logischen Systems liegt, in dem RH operiert

  • Diese Kommentarspalte ist seltsam voll von Leuten, die das Thema eigentlich nicht verstehen, aber klug wirken wollen, und damit das Gegenteil erreichen
    Es wäre gut, die Unsicherheit loszulassen. Es ist in Ordnung, ehrlich zu sagen, dass man etwas nicht versteht. Jeder versteht mehr Dinge nicht, als er versteht

    • Abgesehen von einem geflaggten Kommentar finde ich die Kommentare ziemlich tiefgehend und interessant. Es gibt auch eine schöne Visualisierungsdemo der riemannschen Zetafunktion:
      https://news.ycombinator.com/item?id=40571995#40576767
      Eher wirkt dein Kommentar ziemlich herablassend und mehr wie Projektion als wie ein sinnvoller Beitrag
    • Nur diese Kommentarspalte?

  • Kann das jemand einem Nicht-Mathematiker erklären?

    • Eines der wichtigsten ungelösten Probleme der Mathematik ist die Riemannsche Vermutung. Sie besagt, dass die Lösungen einer bestimmten Gleichung zeta(z)=0 alle eine bestimmte Form haben
      Fast jeder heute lebende Mathematiker hat wohl irgendwann in seinem Leben versucht, sie zu lösen. Die Vermutung hat tiefe Implikationen für die Zahlentheorie, etwa für die Verteilung der Primzahlen
      In einer jüngeren Arbeit behaupten einige Mathematiker, stärkere Schranken dafür angegeben zu haben, wo diese Lösungen liegen können. Im verlinkten Beitrag bewertet Terrence Tao, einer der besten lebenden Mathematiker, die Arbeit sehr hoch
      Persönlich denke ich, dass es noch nicht der Punkt ist, an dem es für Nicht-Mathematiker von enormem Interesse sein muss. Es ist ein extrem technisches Ergebnis und könnte sich bei weiterer Prüfung als falsch oder unvollständig herausstellen
      Es gibt viele Materialien, in denen man über die Riemannsche Vermutung, ihre Implikationen und Versuche zu ihrer Lösung lesen kann
    • Denk an Indiana Jones and the Last Crusade. Wir sind noch nicht im Raum, aber wir haben eine der Fallen im Tempel entschärft
    • Als Hintergrund erklärt dieses Video einen Überblick über die Riemannsche Vermutung gut: https://www.youtube.com/watch?v=d6c6uIyieoo
    • Es gibt eine Näherungsformel dafür, wie viele Primzahlen kleiner als N es ungefähr gibt, wenn N groß wird
      Wenn die Riemannsche Vermutung wahr ist, wissen wir, dass der Fehler dieser Näherung gut kontrolliert und klein ist, und dann lassen sich viele andere Näherungsergebnisse beweisen. Es gibt viele Ergebnisse der Form „Wenn die Riemannsche Vermutung wahr ist …“
    • Prime Obsession ist eine gute buchlange Einführung in die Riemannsche Vermutung und Riemann selbst, die keinen mathematischen Hintergrund voraussetzt

  • Gutes Timing. Ich höre gerade The Humans von Matt Haig, und die Geschichte beginnt, nachdem jemand die Riemannsche Vermutung bewiesen hat