Bei zufälligen reellen Polynomen ist die Wahrscheinlichkeit höher, dass die größte Nullstelle reell ist als komplex

(mathoverflow.net)

1 Punkte von GN⁺ 2024-05-12 | 1 Kommentare | Auf WhatsApp teilen

Ist die größte Nullstelle eines Zufallspolynoms mit höherer Wahrscheinlichkeit reell als komplex?

Die Anzahl reeller Nullstellen eines Zufallspolynoms mit reellen Koeffizienten ist deutlich kleiner als die Anzahl komplexer Nullstellen
- Vorausgesetzt, die Koeffizienten sind unabhängig und gleichverteilt zufällig im Bereich (-1, 1)
- Die Anzahl reeller Nullstellen eines Polynoms n-ten Grades ist asymptotisch ((2 \log n) / \pi + o(1)), die Anzahl komplexer Nullstellen ungefähr (n - (2 \log n) / \pi)
Die größte (bzw. kleinste) Nullstelle eines Polynoms ist als die Nullstelle mit dem größten (bzw. kleinsten) Absolutwert definiert
Obwohl es exponentiell weniger reelle als komplexe Nullstellen gibt, zeigen experimentelle Daten:
- Die Wahrscheinlichkeit, dass die größte (oder kleinste) Nullstelle reell ist, ist höher als die Wahrscheinlichkeit, dass sie komplex ist
- Diese Wahrscheinlichkeit sinkt, wenn n gegen unendlich geht, auf einen Wert nahe 1/2
Das widerspricht der Intuition, weil reelle Nullstellen viel seltener sind und trotzdem eher sowohl die größte als auch die kleinste Nullstelle enthalten

Konvergiert die Wahrscheinlichkeit, dass die größte (oder kleinste) Nullstelle eines Polynoms n-ten Grades reell ist, gegen einen Wert nahe 1/2, wenn n gegen unendlich geht?

Bislang scheint es nur eine unbewiesene Vermutung zu sein, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die größte/kleinste Nullstelle reell ist, gegen 1/2 konvergiert. Dafür wäre ein strenger Beweis nötig.
Es ist bekannt, dass die Nullstellen zufälliger Polynome mit reellen Koeffizienten mit gleichmäßigen Winkeln um den Einheitskreis verteilt sind und dass es eine sehr lokale Abstoßung zwischen den Nullstellen gibt. Komplexe Nullstellen können sich jedoch um den Einheitskreis verteilen, während reelle Nullstellen aufgrund der Abstoßung untereinander eher noch kleiner oder noch größer werden müssen.
Auch wenn die Anzahl reeller Nullstellen im Vergleich zu komplexen Nullstellen nur logarithmisch wächst, kann man sie dennoch als recht zahlreich ansehen.
Aus dieser Perspektive ist es nicht überraschend, dass die kleinste Nullstelle reell sein kann.
Es scheint weitere vertiefte Forschung zur Verteilung der Nullstellen zufälliger Polynome mit reellen Koeffizienten zu brauchen, insbesondere einen strengen Beweis für den Grenzwert der Wahrscheinlichkeit, dass die größte/kleinste Nullstelle reell ist.

GN⁺ 2024-05-12

Es ist überraschend, dass die Wahrscheinlichkeit für die größte reelle Nullstelle zwischen Zufall und 1/phi liegt.
Primzahlen sind nicht zufällig, sondern entstehen rekursiv aus den vorherigen Primzahlen, daher ist zu erwarten, dass natürliche Wachstumsmuster e und phi widerspiegeln.
In R gibt es integrierte Unterstützung für solche numerischen Experimente.
```
plot(polyroot(runif(101,-1,1)))
```
Es werden weitere Fragen aufgeworfen, etwa zur Definition von Zufälligkeit und dazu, ob Unterschiede zwischen ungeraden und geraden Graden berücksichtigt wurden.
Es wird vermutet, dass beim Skalieren der Koeffizienten für alle Koeffizienten außer dem größten Koeffizienten eine nichtgleichförmige Verteilung entsteht.

Jemand hatte an der Universität Freude an Mathematik, hat sich nach dem Abschluss aber zwei Jahre lang kaum damit beschäftigt und muss sie nun wieder auffrischen.
Vorgeschlagen wird, nach unterhaltsamen Ideen wie Project Euler zu suchen oder erneut Aufgaben aus Lehrbüchern zu lösen.

Wenn man Nullstellen zufällig in der komplexen Ebene auswählt, erhält man fast nie ein Polynom mit reellen Koeffizienten, daher erscheint es intuitiv plausibler, dass reelle Nullstellen eher auftreten.
Es wird ein intuitiver Ansatz über Spiegelsymmetrie versucht sowie über dessen Grenzen nachgedacht.
Für Polynome fünften Grades und höher gibt es keine Formel, daher ist die Unterscheidung zwischen reellen und komplexen Nullstellen schwierig.
Es wird gefragt, ob die Koeffizienten zufälliger Polynome reell oder komplex sind.
Angesichts dessen, dass die komplexe Ebene viel größer ist als die reelle Gerade, ist das überraschende Ergebnis, dass die Wahrscheinlichkeit reeller Nullstellen nicht nahe 0 liegt.