Ist die größte Nullstelle eines zufälligen reellen Polynoms eher reell als komplex?

 (mathoverflow.net)
1 Punkte von GN⁺ 2024-05-12 | 1 Kommentare | Auf WhatsApp teilen
  • Ein zufälliges Polynom mit reellen Koeffizienten, die unabhängig gleichverteilt sind, hat insgesamt nur etwa 2log n/π reelle Nullstellen, doch in Experimenten zeigt sich, dass die Nullstelle mit dem größten bzw. kleinsten Betrag mit höherer Wahrscheinlichkeit reell ist
  • In 10^5 Monte-Carlo-Simulationen pro Grad sinkt diese Wahrscheinlichkeit mit wachsendem n in die Nähe von 1/2; ähnliche Beobachtungen bleiben erhalten, wenn normalverteilte Koeffizienten auf (-1,1) skaliert werden
  • Eine Antwort sieht das Problem der extremen Nullstellen bei endlichem Grad als Grenzfall der Frage, ob die kleinste Nullstelle einer zufälligen Potenzreihe P(x)=a₀+a₁x+a₂x²+… reell ist
  • Je nach Verteilung kann der Grenzwert variieren: Gleichverteilung auf [-1,1] etwa 51%, Standardnormalverteilung etwa 52%, Normalverteilung mit Varianz 1/k! 62%, diskrete ±1-Verteilung offenbar im niedrigen 40%-Bereich
  • Der Antwortende ist skeptisch gegenüber der Deutung „konvergiert gegen 1/2“; in 40.000 Experimenten zum Vergleich der Grade 200 und 300 blieb die Reell-Eigenschaft der kleinsten Nullstelle stets erhalten, was stark dafür spricht, dass der Grenzwert über 50% liegen könnte

Problemstellung: wenige reelle Nullstellen, aber extreme Nullstellen tendieren zur reellen Achse

  • Bei zufälligen Polynomen mit reellen Koeffizienten ist die Anzahl reeller Nullstellen unter allen Nullstellen deutlich kleiner als die der komplexen Nullstellen
    • Sind die Koeffizienten unabhängig gleichverteilt auf (-1,1), beträgt die Zahl reeller Nullstellen eines Polynoms vom Grad n asymptotisch 2log n/π + o(1)
    • Die Zahl komplexer Nullstellen liegt ungefähr bei n - 2log n/π
    • Laut dem verlinkten Paper gilt eine ähnliche asymptotische Formel auch für andere Koeffizientenverteilungen
  • Mit „größter Nullstelle“ und „kleinster Nullstelle“ sind hier jeweils die Nullstelle mit dem größten Betrag und die Nullstelle mit dem kleinsten Betrag gemeint
  • Da es viel weniger reelle Nullstellen gibt, würde man erwarten, dass auch extreme Nullstellen komplex sind; die experimentellen Daten des Fragestellers zeigen jedoch in die entgegengesetzte Richtung

Monte-Carlo-Beobachtungen und offene Frage

  • Der Kern der beobachteten Daten besteht aus drei Punkten
    • Die Wahrscheinlichkeit, dass die größte oder kleinste Nullstelle reell ist, ist größer als die Wahrscheinlichkeit, dass sie komplex ist
    • Diese Wahrscheinlichkeit scheint mit wachsendem n auf einen Wert nahe 1/2 zu fallen
    • Für jeden n-Wert wurden 10^5 Monte-Carlo-Simulationen durchgeführt
  • Der Fragesteller schreibt, dass dieselbe Beobachtung und dieselbe Grenzwahrscheinlichkeit erhalten bleiben, wenn die Koeffizienten statt aus einer Gleichverteilung aus einer Normalverteilung mit Mittelwert 0 und Standardabweichung 1 gezogen und auf (-1,1) skaliert werden
  • Die Frage verengt sich auf zwei Punkte
    • warum die größte und die kleinste Nullstelle zur reellen Achse tendieren
    • ob die betreffende Wahrscheinlichkeit für Grad n bei n→∞ gegen einen Wert nahe 1/2 konvergiert
  • Die beobachtete Verzerrung wird als bedingte Wahrscheinlichkeit wie folgt ausgedrückt
    • P(L|R)=P(S|R)≈π/(4log n)
    • P(L|C)=P(S|C)≈π/(2nπ-4log n)

Update: untere Schranke und zusätzliches Experiment mit n=1000

  • Im verlinkten Math-StackExchange-Beitrag wird bewiesen, dass die Wahrscheinlichkeit, dass die größte Nullstelle reell ist, mindestens folgenden Wert hat
    • (23-16√2)/6 ≈ 6.2%
  • Im Update vom 11. Mai 2024 wurden Ergebnisse aus fast 60.000 Experimenten mit Polynomen vom Grad n=1000 hinzugefügt
    • Sie sind konsistent mit dem für n≤125 beobachteten Graphen
    • Mit steigender Zahl der Versuche zeigt sich ein abnehmender Trend für die Wahrscheinlichkeit, dass die größte Nullstelle reell ist; der Fragesteller schreibt, dass eine Konvergenz gegen 1/2 möglich sei

Antwort: Verbindung zur kleinsten Nullstelle einer zufälligen Potenzreihe

  • Gestützt auf Math StackExchange und den Blogbeitrag Thurston, Selberg, and random polynomials Part II führt der Grenzfall endlichen Grades bei geeigneten Koeffizientenverteilungen zum Problem der kleinsten Nullstelle einer zufälligen Potenzreihe
    • P(x)=a₀+a₁x+a₂x²+…
    • Der Grenzwert der Wahrscheinlichkeit, dass bei endlichem Grad die kleinste Nullstelle reell ist, wird zur Wahrscheinlichkeit, dass die kleinste Nullstelle dieser zufälligen Potenzreihe reell ist
  • Mit dem Satz von Rouché lasse sich leicht zeigen, dass diese Wahrscheinlichkeit größer als 0 und kleiner als 1 ist
  • Der Grenzwert kann von der Verteilung der Koeffizienten aᵢ abhängen
    • Sind die aᵢ gleichverteilt auf [-1,1], liegt er bei etwa 51%
    • Bei einer Gaussian-Verteilung mit Mittelwert 0 und Varianz 1 bei etwa 52%
    • Bei einer Gaussian-Verteilung mit Varianz 1/k! bei etwa 62%
    • Bei der diskreten Verteilung auf 1 und -1 offenbar im niedrigen 40%-Bereich
  • Daher ist nicht „in allen vernünftigen Fällen größer als 50%“ die genauere Aussage, sondern: Je nach Modell kann der Wert größer oder kleiner als 50% sein

Warum extreme Nullstellen reell sein können, obwohl es wenige reelle Nullstellen gibt

  • In vielen Modellen häufen sich Nullstellen um die Einheitskreisscheibe, und ihre Winkelverteilung tendiert zur Gleichverteilung; auf sehr lokaler Skala entsteht zwischen Nullstellen Abstoßung (repulsion)
  • Komplexe Nullstellen können sich entlang des Randes der Einheitskreisscheibe verteilen, während die Abstoßung zwischen reellen Nullstellen diese gewissermaßen dazu „zwingt“, kleiner oder größer zu werden
  • Aus dieser Perspektive kann die Zahl der reellen Nullstellen, obwohl sie insgesamt nur logarithmisch wächst, ausreichend groß sein, um die kleinste oder größte Nullstelle zu stellen
  • Offen bleibt, wie sich ein per Monte Carlo leicht berechenbarer Wert in eine strenge numerische Abschätzung überführen lässt

Idee für eine strenge Abschätzung mit dem Satz von Rouché

  • Unter der Annahme einer Gleichverteilung aᵢ∈[-1,1] wird vorgeschlagen, den Koeffizientenraum niedriger Polynomgrade in kleine Boxen zu unterteilen
    • Als Beispiel wird erwähnt, bei Polynomen vom Grad unter 100 jedes aᵢ in 1000 gleich lange Intervalle zu zerlegen
    • In der Antwort heißt es, daraus ergäben sich letztlich 100^1000 Polynome
  • Aus Monte-Carlo-Sicht wird erwartet, dass sich die meisten Polynome in zwei Mengen einteilen lassen
    • Fälle, in denen die kleinste Nullstelle reell ist und einen Betrag kleiner als 9/10 hat
    • Fälle, in denen die beiden kleinsten Nullstellen ein komplex konjugiertes Paar sind und einen Betrag kleiner als 9/10 haben
  • Wenn man in beiden Fällen auf dem Rand einer Kreisscheibe, die nur diese Nullstelle(n) enthält, |P| > (9/10)^100 zeigt, garantiert der Satz von Rouché, dass der Charakter der kleinsten Nullstelle erhalten bleibt
  • Theoretisch steht dieser Methode nichts im Weg, doch der tatsächliche Rechenaufwand könnte zu groß sein; möglicherweise wären Berechnungen für Grad unter 10 mit 10^10 Polynomen oder effizientere Unterteilungen nötig

Einwand gegen die 1/2-Konvergenz-Deutung und weitere Berechnungen

  • Der Antwortende hält die Interpretation des Fragestellers, „vermutlich konvergiert es gegen 1/2“, für wenig überzeugend und führt als Gegenargument an, dass andere natürliche und symmetrische Modelle nicht gegen 1/2 konvergieren
  • Bei der Erzeugung von 1000 zufälligen Polynomen vom Grad 500 und der Prüfung des Betrags der kleinsten Nullstelle lag dieser in allen Fällen unter 0,91
    • Erweitert man dies zu einer zufälligen Potenzreihe, sei die Änderung der Funktion innerhalb der Kreisscheibe |z|<0.91 von der Größenordnung 10^-20 oder kleiner
    • Damit der Satz von Rouché nicht anwendbar wäre, müsste die kleinste Nullstelle oder das komplex konjugierte Paar dem Betrag nach extrem nahe an der nächsten Nullstelle liegen
  • Für eine bessere Schätzung der Konvergenzrate wird folgendes Experiment vorgeschlagen
    • 50.000 zufällige Polynome vom Grad 500 berechnen
    • 50.000 Polynome berechnen, die unter Beibehaltung derselben Anfangsterme auf Grad 1000 erweitert werden
    • Prüfen, ob die kleinste Nullstelle bei beiden Graden reell ist und wie oft sich dieser Charakter beim Erhöhen des Grades ändert
  • Die Intuition des Antwortenden ist, dass es beim Übergang von Grad 500 zu 1000 sehr selten Änderungen geben dürfte
    • Wenn beide Werte nahe 51% liegen und die Änderungsrate deutlich unter 1% liegt, wäre das ein Hinweis darauf, dass der Grenzwert strikt größer als 50% ist

Tatsächliches Vergleichsexperiment: Grad 200 und 300

  • Da Berechnungen für große Grade lange dauern, wurde der tatsächliche Vergleich mit den Graden 200 und 300 durchgeführt
  • Ergebnis aus 40.000 Polynomen:
    • Unter den Polynomen vom Grad 200 hatten 20.287 eine reelle kleinste Nullstelle
    • Als diese Polynome auf Grad 300 erweitert wurden, blieb diese Eigenschaft in allen Fällen erhalten
  • Dieses Ergebnis deutet darauf hin, dass die Erwartungswerte für die Grade 200, 300 und 1000 dem Erwartungswert im unendlichen Grad bereits sehr nahekommen könnten
  • Der berechnete Wert liegt bei etwa 50,7%; auch die Berechnung des Fragestellers liegt ähnlich bei etwa 50,7%, was als Evidenz dafür angeführt wird, dass der Grenzwert größer als 1/2 ist
  • Der Antwortende fügt hinzu, er sei sicher, dass „der Grenzwert größer als 50% ist“, und werde jedem, der ihm das Gegenteil beweist, 100 Dollar geben

Schnelle Stabilisierung abgeschnittener Potenzreihen

  • Als zusätzlicher Beleg wurde für abgeschnittene Polynome Pₖ(x)=Σᵢ₌₀ᵏaᵢxᶦ einer zufälligen Potenzreihe P(x)=Σaᵢxᶦ geprüft, ab welchem k zwischen 1 und 1000 sich stabilisiert, ob die kleinste Nullstelle reell oder komplex ist
  • Bei 200 zufälligen Polynomen lag der Stabilisierungspunkt meist sehr niedrig
    • Viele stabilisierten sich bereits bei k=1 oder k=2
    • Der größte der aufgelisteten Werte war 22
  • Auch dieses Ergebnis stützt die Einschätzung, dass Experimente mit endlichem Grad sehr schnell nahe an den Grenzfall unendlichen Grades herankommen können

Verwandte Beiträge

1 Kommentare

 
GN⁺ 2024-05-12
Hacker-News-Kommentare

  • Es ist wirklich faszinierend, dass es zwischen Zufallsniveau und 1/φ liegt
    Im verlinkten MSE-Beitrag wurde inzwischen bewiesen, dass die Wahrscheinlichkeit, dass die größte Nullstelle reell ist, mindestens 6,2 % beträgt und sogar mehr als 1/10 von 1/φ ist. Die Verbindung zwischen Primzahlen und φ erscheint mir natürlich. Primzahlen sind nicht zufällig, wie oft missverstanden wird, sondern entstehen rekursiv aus den vorherigen Primzahlen, weil sie die „Lücken“ sind, die nicht von Vielfachen früherer Primzahlen besetzt werden. Daher kann man durchaus erwarten, dass sich ein natürliches Wachstumsmuster wie e oder φ zeigt. Ein Muster auf der Ebene sehr grundlegender Größen wie Wahrheit und Schönheit

    • Die Art, wie e bei Primzahlen auftaucht, kann man am Durchschnitt der Größe einer Menge sehen, die nur wachsende Abstände enthält, zum Beispiel (2,3,5)(7,11)(13,17)..., oder einer Menge, die nur nicht kleiner werdende Abstände enthält, wie (2,3,5,7,11)(13,17)(19,23,29)...
      Das ist eher eine Eigenschaft von Wachstum als eine Eigenschaft der Primzahlen selbst und passt bei zufälligen Zahlenmengen sogar besser
    • Wunderschön. φ scheint immer dann aufzutauchen, wenn sich etwas dicht zusammendrängt

  • Mir kommen sofort zwei Fragen in den Sinn

    1. Was bedeutet hier zufällig? Es scheint, als habe man numerische Experimente gemacht, und es sieht ähnlich aus wie gleichverteilte ganzzahlige Koeffizienten aus einer beschränkten Menge; dann könnte das Ergebnis stark abweichen
    2. Ich frage mich, ob man ungerade Grade betrachtet hat, bei denen immer eine reelle Nullstelle garantiert ist, gerade Grade oder beides
      Das soll diesen interessanten Beitrag nicht kleinreden
    • Wie in der Definition steht, ist die Verteilung eine unabhängige gleichverteilte Koeffizienten-Verteilung auf (-1,1)
    • Stimmt. Die ursprüngliche Problemformulierung ist paradox. Aus einer unendlichen Menge kann man nicht gleichverteilt Stichproben ziehen. Der Originalbeitrag hat vermutlich beschränkte zufällige Gleitkommazahlen verwendet
      Der wichtige Teil der Frage kann aber für jede mögliche Verteilung über den reellen Zahlen gestellt werden

  • Wenn man damit numerische Experimente machen möchte, hat R eingebaute Unterstützung für so etwas
    plot(polyroot(runif(101,-1,1)))
    Damit erhält man eine Visualisierung der Nullstellen eines Polynoms 100. Grades

  • „Man nimmt an, dass die Koeffizienten unabhängig und auf (−1,1) gleichverteilt zufällig sind. Andernfalls kann man jeden Koeffizienten in (−1,1) skalieren, indem man alle Koeffizienten durch den Koeffizienten mit dem größten Betrag teilt.“
    Ich weiß nicht, ob meine Intuition stimmt, aber wird durch diese Skalierung durch Division nicht die Verteilung aller Koeffizienten außer dem größten zu einer nicht gleichverteilten Verteilung?

    • Wichtig ist, dass sich die Nullstellen nicht ändern, wenn man das Polynom mit einer Konstante multipliziert
    • Stimmt, aber man kann keine reelle Zahl zufällig aus einer Gleichverteilung auswählen. Irgendwo muss man Abstriche machen

  • Für Polynome ab Grad 5 gibt es keine Formel; wie unterscheidet man dann reelle Nullstellen von reell + epsilon*i?

    • Mit dem Satz von Budan https://en.wikipedia.org/wiki/Budan%27s_theorem kann man zertifizieren, ob es im Intervall (r - ɛ, r + ɛ] genau eine reelle Nullstelle oder genau 0 gibt
      Wenn ein Schätzwert r innerhalb von ɛ zu einer Nullstelle liegt, kann man auch ohne exakten Wert zwischen reellen und komplexen Nullstellen unterscheiden. Natürlich gibt es Fälle, in denen der Satz von Budan keine Antwort liefert. Am offensichtlichsten scheitert er, wenn es in diesem Intervall mehr als eine Nullstelle gibt
    • Dass eine exakte Formel für Nullstellen höhergradiger Polynome unmöglich ist, verhindert nicht zwangsläufig, dass man die Verteilung der Nullstellen solcher Polynome bestimmen kann. Die Frage betrifft keine einzelne konkrete Gleichung, sondern eine Verteilung, daher ist der Satz von Abel hier keine Hürde
      Wenn man zum Beispiel ein Polynom a_n x^n + ... + a_0 betrachtet, dessen Koeffizienten a_i unabhängige identisch verteilte Bernoulli-Zufallsvariablen sind, kann man selbst für große Grade n (>4) mit Sicherheit sagen, dass ein solches Polynom mit Wahrscheinlichkeit 1/2 bei x = 0 eine reelle Nullstelle hat. Im verlinkten Beitrag funktioniert eine ähnliche, aber raffiniertere Argumentation
    • Bei Polynomen mit ganzzahligen Koeffizienten kann man die größte und die kleinste Nullstelle durch eine Potenz des maximalen Betrags der Koeffizienten nach oben beschränken. Für den kleinstmöglichen Imaginärteil einer Nullstelle dürfte es eine ähnliche Schranke geben
      Wenn die Koeffizienten reell sind, hilft selbst eine Formel nicht weiter. Man hat dasselbe Problem festzustellen, ob etwas gleich 0 ist. In der quadratischen Formel könnte die Diskriminante zum Beispiel -epsilon sein: Wenn epsilon 0 ist, gibt es keine imaginären Nullstellen, und wenn es nicht 0 ist, gibt es sie
    • Hier könnte man wohl die Ableitung verwenden. Wenn x+iy und x-iy komplexe Nullstellen sind und y sehr klein ist, dann sollte auch die Ableitung bei x klein sein. Bei y=0 handelt es sich um eine doppelte Nullstelle, also gilt p'(x)=0
      Wenn p'(x) also weit genug von 0 entfernt ist, kann man es als einfache reelle Nullstelle ansehen. Und bei zufälligen Koeffizienten scheinen doppelte Nullstellen praktisch nicht vorzukommen
    • Die Schätzung beruht hier nicht auf numerischer Berechnung, sondern auf Schlussfolgerungen. Reellwertige Polynome sind zum Beispiel unter komplexer Konjugation invariant, also muss zu jeder komplexen Nullstelle auch ihre konjugierte Nullstelle gehören. Daher muss bei einem Polynom mit drei verschiedenen Nullstellen mindestens eine davon reell sein. Mit solcher Art von Argumenten kann man feststellen, ob Nullstellen rein reell oder komplex sind
      Was Formeln angeht: Für Grade ab 5 gibt es keine allgemeine Formel. Allgemeine Formeln existieren nur für Polynome bis Grad 4
      Natürlich kann es für bestimmte Arten höhergradiger Polynome spezielle Formeln geben. Für allgemeine Polynome ab Grad 5 gibt es sie aber nicht, und das ist klassisch längst bewiesen

  • Geht zwar etwas am Thema vorbei, aber ich lese solche Mathetexte immer gern
    Ich mochte Mathematik an der Uni wirklich sehr, und obwohl ich Informatik studiert habe, war die Freude meiner Professoren immer ansteckend. Ich würde gern mehr lernen und wieder ein wenig damit anfangen, Probleme mit Mathematik zu lösen. Vielleicht würde ich mich sogar in Richtung Numerische Analysis orientieren.
    Allerdings habe ich vor 2 Jahren abgeschlossen und in der Zwischenzeit nicht viel gemacht, also müsste ich wohl einiges neu lernen. Ich frage mich, wo man am besten anfängt und wo man interessante Themen finden kann. Es geht zwar nicht um Numerische Analysis, aber ich habe im Studium ziemlich viele Probleme von Project Euler gelöst — gibt es mehr in dieser Art? Jede Idee ist willkommen.
    Oder sollte ich vielleicht erst einmal alle Aufgaben aus den Lehrbüchern noch einmal lösen? ;-)

    • Für jemanden, der ungefähr Mathematik auf Uniniveau kennt und neugierig ist, ist Mathematics and Its History (https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4419-6053-5) wirklich ein sehr unterhaltsames Buch.
      Proofs from THE BOOK (https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-57265-8) dürfte ebenfalls viel Spaß machen.
    • Das ist zwar nicht ganz dieselbe Frage, aber wenn du Mathematik magst, ist The Math Sorcerer sehenswert: https://www.youtube.com/@TheMathSorcerer
    • Ich bin 6–7 Jahre nach dem Verlassen der Schule an die Uni gegangen, um Mathematik zu machen, und obwohl meine Mathenoten damals gut waren, hatte ich fast alles vergessen. Es gab keinen besseren Weg, als alle Übungsaufgaben noch einmal zu lösen, die ich früher gemacht hatte, und dabei habe ich gemerkt, dass ich in Wirklichkeit nicht alles vollständig vergessen hatte. Viel Glück.

  • Vielleicht liegt es daran, dass ich diese Art von Mathematik nicht kenne
    In meinem Kopf nehme ich ein „zufälliges“ Polynom und schaue nur auf die beiden größten Wurzeln. Dann betrachte ich zwei Spiegelungen: eine an oben/unten der Kurve und eine an der x-Achse. Wenn diese beiden obersten Wurzeln nicht entartet sind, dann scheint es, als hätten unter den vier Kurven, die man durch die Spiegelungen erhält, zwei eine größte reelle Wurzel und zwei eine größte imaginäre Wurzel. Wenn sie entartet sind, ist die größte Wurzel reell.
    Daher würde ich schließen, dass (1) Fälle, in denen die größte Wurzel reell ist, häufiger sind als Fälle, in denen sie imaginär ist, und dass (2) es unendlich viel mehr Kurven mit nicht entarteter größter Wurzel gibt als entartete Fälle, sodass dieser „Vorsprung“ klein genug ist, um zu verschwinden.
    Man wird wohl merken, dass ich die Terminologie kaum kenne. Vermutlich übersehe ich, dass Gleichverteilung zufälliger Koeffizienten nicht zu einer Gleichverteilung im Raum führt. Oder meine Spiegelung verletzt vielleicht eine der Bedingungen, etwa die Bedingung reeller Koeffizienten. Oder ich liege einfach falsch.

    • Ich bin mir nicht sicher, was mit Spiegelung gemeint ist. Den Graphen eines Polynoms p(x) an der x-Achse zu spiegeln bedeutet, p(x) durch p(-x) zu ersetzen. Was bedeutet eine „Spiegelung an oben/unten der Kurve“? Eine Spiegelung an der y-Achse? Dann würde p(x) in -p(x) übergehen.
    • Was bedeutet eine Spiegelung an oben/unten der Kurve?
      Bedeutet Kombination vielleicht, dass man (Polynom + gespiegeltes Polynom)/2 nimmt?

  • Ich verstehe nicht ganz, warum es kontraintuitiv sein soll, dass reelle Werte wahrscheinlicher wirken
    Wenn man statt gleichverteilten zufälligen reellen Koeffizienten in einem Intervall gleichverteilte zufällige Wurzeln aus einer Kreisscheibe um den Ursprung in der komplexen Ebene wählt und daraus ein Polynom bildet, ist die Wahrscheinlichkeit, ein Polynom mit reellen Koeffizienten zu erhalten, praktisch null. Umgekehrt gilt: Wenn die zufälligen Wurzeln reell sind, hat das Polynom zwangsläufig reelle Koeffizienten. Daher überrascht mich a priori keine der beiden Antworten, und dass reelle Werte plausibler erscheinen, wirkt auf mich sogar etwas intuitiver. Natürlich ist das nicht zwingend.

    • Ein Polynom n-ten Grades hat n Wurzeln. Einschließlich reeller und komplexer Wurzeln. Bei einem zufälligen Polynom sind ungefähr log(n) davon reell und n - log(n) nicht reell.
      Wenn n groß wird, ist log(n) im Vergleich zu n sehr klein, daher ist es ziemlich erstaunlich, dass in mehr als der Hälfte der Fälle die größte Wurzel eine aus dieser winzigen Minderheit reeller Wurzeln ist.

  • Beim Folgen der Links hier scheint eine der Antworten von Boris Hanin eine Frage beantwortet zu haben, die ich schon eine Weile hatte.

  • Ich frage mich allerdings, ob mit einem zufälligen Polynom eines mit reellen Koeffizienten oder mit komplexen Koeffizienten gemeint ist

    • Wenn komplexe Koeffizienten erlaubt sind, ist die Verteilung in der komplexen Ebene rotationssymmetrisch. Dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass irgendeine Wurzel auf der reellen Achse liegt, nicht größer als die, dass sie auf irgendeiner anderen Geraden durch den Ursprung liegt. Polynome, deren größte Wurzel reell ist, würden praktisch verschwinden.
    • In der gestellten Frage wird ausdrücklich angegeben, dass die Koeffizienten reell sind. Experimentell scheint man zufällige Koeffizienten aus dem Bereich [-1, 1] mit Gleichverteilung gewählt und auch eine Art skalierter Normalverteilung getestet zu haben.
    • In der ersten Zeile der Frage steht „real“.