- In einem Mathezirkel mit 7 Kindern im Alter von 7 bis 8 Jahren über rund 7 Monate zeigte sich ein großer Unterschied zwischen den Themen, die Erwachsene vermutlich interessant finden, und denen, in die sich die Kinder tatsächlich vertieften
- Visuelle und haptische Aktivitäten wie SET, Falt-und-Schnitt-Puzzles, Tessellationen, Flexagons oder Konstruktionen mit Lineal und Zirkel kamen weit weniger gut an als erwartet, während Aufgaben mit einer Geschichte, etwa Lügner-Rätsel, starke Reaktionen hervorriefen
- Reine geometrische Formen oder Zahlenmuster verloren schnell an Reiz, doch in Situationen mit Verdacht und Hinweisen wie „Wer ist der Lügner?“ entwickelten die Kinder beim Abwägen von Möglichkeiten und Widersprüchen ein Gefühl für Beweise
- Das Seven-Bridges-Problem begann zwar als Geschichte, doch als die Kinder selbst das kleinste unmögliche Brückenproblem finden wollten, erlebten sie das Vereinfachen von Problemen und das spätere Zurückführen von Komplexität
- Der Ansatz, die Mathematik für sich selbst sprechen zu lassen, kann für Gruppen mit vorhandenem Interesse passend sein, aber bei Kindern ohne vorherige Begeisterung braucht es eher ein mitreißendes Story-Framing
Interessensunterschiede nach 7 Monaten Mathezirkel
- Mit 7 Jungen und Mädchen im Alter von 7 bis 8 Jahren wurde über etwa 7 Monate ein Mathezirkel durchgeführt; anschließend wurde reflektiert, was wirksam war
- Zwischen mathematischen Themen, die aus Erwachsenensicht attraktiv wirken, und jenen, auf die sich Kinder tatsächlich konzentrieren, lag eine große Kluft
Aktivitäten, die entgegen den Erwartungen nicht gut ankamen
- Bei den folgenden Aktivitäten wurde erwartet, dass die Kinder sie mögen würden, tatsächlich waren sie aber fast ein Fehlschlag
- The game SET
- Fold-and-cut puzzles
- Geometry snacks
- Cutting a Mobius strip
- Tessellationen: Tooti Tooti
- Prime Climb
- Basteln von flexagons
- Konstruktionen mit Lineal und Zirkel
- Vor allem Geometrie kam schlecht an, und Aufgaben zu Flächen beliebiger Figuren oder schraffierter Bereiche ließen sich nur schwer in eine interessante Geschichte einbetten
- Tessellationen erschienen den Kindern nicht schön, und bei Falt-und-Schnitt- sowie Flexagon-Aktivitäten fehlte oft die Fingerfertigkeit, Papier sauber genug zu schneiden und zu falten, was zu viel Frust führte
Themen, die unerwartet erfolgreich waren
- Einige Aktivitäten, von denen erwartet wurde, dass die Kinder sie nicht mögen würden, lösten tatsächlich starke Reaktionen aus
- Knights and Knaves puzzles und Themen der Aussagenlogik wie Blue-Eyed Islanders
- Das eigenständige Planen eines Sportturniers im Round-Robin-Format und die Frage, wie sich die gesamte Verzögerungszeit des Turniers verringern lässt
- Zunächst war es als Fußballturnier angelegt, doch weil das fußballbegeistertste Kind in dieser Woche fehlte, wurde daraus ein Tanzturnier, was noch mehr Spaß machte
- Das Seven-Bridges-Problem und die Suche nach dem kleinsten „unmöglichen“ Brückenproblem
- Die Frage, wer besser ist, gemessen an erfolgreichen und misslungenen Elfmetern
- Das eigene Erzeugen von Mustern im Stil von Pascal’s triangle
- Einige Aktivitäten kamen wie erwartet gut an
- Function-Machine-Spiel: ein Spiel, bei dem eine Funktion wie eine Blackbox befragt und erraten werden muss
- Varianten von Nim
- The Turing Tumble
- Faires Aufteilen von Kuchen mit echten Keksen und ungleichmäßigen Toppings
- Game-Theory-Spiele wie Prisoner’s dilemma und Chicken
- Zubereitung eines Mocktails für 3 Personen auf Basis eines Rezepts für 1 Glas und eines für 5 Gläser
- Das war eine Übung zu Brüchen, und die Maßeinheit war in Viertel-Unzen angegeben
Wie eine erzählerische Struktur Beteiligung erzeugte
- Im 2019 verfassten Text Attention spans for math and stories wurden Erfahrungen damit zusammengefasst, wie Storytelling Kindern half, sich an Aktivitäten zu beteiligen und sich in der Gruppe willkommen zu fühlen
- Beim Lesen von Literatur über Mathezirkel wurde die Idee übernommen, dass „die Mathematik für sich selbst sprechen sollte“, und in einigen Sitzungen funktionierte Storytelling nicht gut
- Bei diesem Ansatz beginnt die leitende Person mit einem offenen Mysterium wie „Kann man eine perfekte Figur zeichnen?“ und wartet dann still, bis die Teilnehmenden selbst Fragen stellen und zu erkunden beginnen
- Dieser Zugang kann zu älteren Schülern oder zu solchen passen, die bereits ein gewisses Interesse an Mathematik mitbringen
- Die tatsächliche Gruppe bestand aus typischen Kindern der oberen Mittelschicht, die nach dem Fußballtraining in den Mathezirkel kamen; wenn ihnen langweilig wurde, alberten sie herum oder rangelten spielerisch
- Die Kinder hatten zwar nie „Among Us“ gespielt, nannten aber ständig irgendetwas „sus“
- Auch Zahlenmuster weckten kaum Interesse, wenn sie nicht in eine stärker fesselnde Form eingebettet waren
Wie Knights and Knaves ein Gefühl für Beweise entstehen ließ
- Das Setting „Von zwei Personen ist eine ein durch und durch verlogener Lügner, und anhand der Hinweise in ihren Aussagen muss herausgefunden werden, wer lügt“ funktionierte ausgesprochen gut
- Das erste Knights-and-Knaves-Rätsel wurde so durchgeführt, dass die Aussagen von Alice und Bob auf Papier geschrieben, an Plastikstrohhalme geklebt und wie Schilder hochgehalten wurden
- Alice: Bob is a liar!
- Bob: Neither of us are liars
- Die Kinder sagten sofort, wer am „sus“esten wirkte, und hielten zunächst Alice für verdächtig, weil sie Bob beschuldigte
- Im Verlauf der Diskussion erkannten sie, dass die Aussagen von Alice und Bob einander widersprechen, also nicht beide wahr sein können
- Das Wort „Widerspruch“ kannten die Kinder nicht und nannten es oft einfach „opposites“
- Beim Durchgehen der möglichen Fälle gingen sie zunächst von 2 aus und kamen dann auf 4
- Beide sind Lügner
- Alice ist eine Lügnerin, Bob sagt die Wahrheit
- Alice sagt die Wahrheit, Bob ist ein Lügner
- Beide sagen die Wahrheit
- Nach Prüfung aller Fälle einigte sich die Gruppe darauf, dass die einzige Möglichkeit ist, dass Alice die Wahrheit sagt und Bob lügt
- Als zum nächsten Rätsel übergegangen werden sollte, fragten die Kinder, ob sie das erste richtig gelöst hätten; auf die Gegenfrage „Glaubt ihr, dass ihr richtig liegt?“ reagierten sie mit Unsicherheit
- Danach wurde weitergedacht, bis alle durch einen Beweis überzeugt waren, und ein Kind sagte später: „Nein, diesen Fall haben wir doch schon bewiesen!“
Nachwirkungen bei Seven Bridges und Flexagons
- Das Seven Bridges of Königsberg-Problem begann mit einer Geschichte, aber die Kinder ließen die Geschichte schnell hinter sich und konzentrierten sich auf die Herausforderung selbst
- In einer späteren Sitzung wollten die Kinder das Problem erneut angehen und das „kleinste unmögliche Brückenproblem“ finden
- Sie konnten das ursprüngliche Problem zwar nicht lösen, doch es wurde klar sichtbar, wie sie ein Problem vereinfachten, verkleinerten und von einem lösbaren Punkt aus wieder Komplexität hinzufügten
- Die Aktivität zum Basteln von Flexagons mochten sie nicht, aber als Abschiedsgeschenk am Ende der Sitzung bekamen sie ein vorlagenbasiertes Hexaflexagon mit leuchtenden, klar unterscheidbaren Bildern auf jeder Seite
- Verwendet wurde diese printed template
- Einige Wochen später berichtete der Vater eines Kindes, das Kind sei regelrecht von dem Hexaflexagon besessen und habe erst kürzlich die sechste Seite entdeckt
- Auch die Bewegungen eines Flexagons lassen sich wie die Karte der Seven Bridges als Graph darstellen, wodurch der gesamte Zustandsraum klarer sichtbar wird
Welcher Ansatz beim Start einer neuen Gruppe nötig wäre
- Auch diese Gruppe gewöhnt sich mit der Zeit allmählich daran, Mathematik um ihrer selbst willen zu schätzen
- Würde noch einmal mit einer neuen Gruppe von Kindern ohne vorherige Begeisterung für Mathematik begonnen, müsste das Einbetten von Problemen in mitreißende Geschichten deutlich bewusster gestaltet werden
1 Kommentare
Hacker-News-Kommentare
Diese Kinder haben wirklich enormes Glück, dass sie in so jungen Jahren durch einen motivierten Lehrer mit solchen Konzepten und Problemen in Berührung kommen.
Selbst unter K-12-Mathematiklehrkräften dürfte es nicht viele geben, die einen solchen Lehrplan gut unterrichten könnten. Dem Blog des Autors nach zu urteilen, hat er das offenbar nicht gegen viel Geld gemacht, sondern kostenlos, und anscheinend sogar versucht, andere Eltern davon zu überzeugen, ihre Kinder teilnehmen zu lassen: https://buttondown.email/j2kun/archive/a-foray-into-math-cir...
In der Mathematikbildung gibt es eine große Privilegienlücke, die außerhalb der Mathematik-Community wenig bekannt ist. Schüler, die nur dem Standard- oder beschleunigten Curriculum folgen, sind auf eine Mathematikkarriere meist schlechter vorbereitet als Schüler, die schon früh über Nachhilfe, Begabtenprogramme oder Mathematiker-Eltern mit solchen nichtstandardmäßigen Konzepten in Berührung kommen.
Das Standardcurriculum besteht bis ungefähr zum zweiten Studienjahr fast nur aus auswendig gelerntem Rechnen und wechselt dann plötzlich zu offenen Problemen und Beweisen; die Welt professioneller Mathematiker verlangt aber die Fähigkeit, Logik kreativ anzuwenden. Schüler, die diese Art von Erfahrung schon früh sammeln, schaffen diesen Übergang viel leichter und bauen sich auch früher mathematische Karriere-Assets wie Veröffentlichungen oder Wettbewerbserfolge auf.
Andere Eltern wissen das vielleicht nicht, aber OP bietet einen sehr wertvollen Service, der in manchen Regionen schwer zu bekommen ist und für den manche Eltern viel Geld zahlen würden.
Ich war in Mathematik nicht schlecht, aber auch nicht besonders frühreif; ich nahm ein paarmal als Vertreter meiner Mittelschule an regionalen Mathematikwettbewerben teil, erzielte aber keine besonderen Ergebnisse. Rückblickend fühlt es sich etwas seltsam an, dass mir überhaupt niemand bei der Vorbereitung geholfen hat.
In den letzten ein bis zwei Jahren habe ich darüber mehr nachgedacht und einen erheblichen Teil meiner Spenden auf Programme nach Art von Mathe-Zirkeln umgeschichtet. Ihre Überprüfbarkeit ist geringer als bei den Ursachen des effektiven Altruismus vor dem Longtermism, aber ich halte dieses mathematische Denken für äußerst wertvoll und ohne solche Programme nur schwer zugänglich.
Mir fällt die Geschichte ein, dass man in Frankreich einen Zweitklässler fragte, was 2×3 sei, und er, weil er nur das Kommutativgesetz der Multiplikation kannte, „3×2“ antwortete.
Wenn man sich als Elternteil oder potenzieller Kursleiter an einem Online-Mathe-Zirkel beteiligen möchte, kann man sich https://theglobalmathcircle.org ansehen.
Jeremy, der Autor dieses Beitrags, hat ebenfalls das dortige Trainingsprogramm absolviert.
Das Funktionsmaschinen-Spiel habe ich ausprobiert, nachdem ich es auf HN gesehen hatte, als mein Kind 6 Jahre alt war, und es kam sehr gut an.
Sobald mein Kind fortgeschrittenere mathematische Operationen lernte, nahm ich sie in den Werkzeugkasten auf; wenn wir die Rollen tauschten und mein Kind meine Abfragen korrekt beantworten konnte, wusste ich, dass es das Konzept verstanden hatte.
Wenn einen solche Aktivitäten interessieren, gibt es auch einige, wenn auch nicht viele, ähnliche kostenpflichtige Optionen.
Ein Mathe-Team nach der Schule für 7- bis 11-Jährige in San Francisco: https://www.meetup.com/chess-games-inner-fire/events/2956372...
Mathe-Zirkel nach der Schule an einigen SFUSD-Schulen: https://www.sfmathcircle.org/jose-ortega https://www.sfmathcircle.org/starr-king
Eine Remote-501(c)(3)-Nonprofit-Organisation, die wöchentliche Online-Sitzungen zu Wettbewerbs-Mathematik für Grund- und Mittelschüler anbietet: https://mrmathonline.com/
Wenn man etwas zwischen Unterricht und Zirkel sucht, sind auch Engaging Math Circles(https://emc.school) oder die Russian School of Math(RSM) einen Blick wert.
Wenn man mehr über Mathe-Zirkel erfahren möchte, gibt es diese Ressource: https://www.msri.org/people/staff/levy/files/MCL/Zvonkin.pdf
Als Nebenbemerkung: Für Kinder kann ich Mammoth Math empfehlen.
https://www.penguinrandomhouse.com/books/704500/mammoth-math...
Für eine andere Altersgruppe, nämlich Oberstufenschüler, habe ich einmal Bitcoin-Mining genutzt, um ihr Interesse zu wecken.
Das war eine etwa 15-minütige Aktivität nach einer Blockchain-Vorlesung in einem Kryptografie-Seminar.
Der ursprüngliche Proof-of-Work-Algorithmus von Bitcoin besteht darin, eine Zwischeneingabe des Hashs so zu verändern, dass das Ergebnis mit mehreren binären Nullen beginnt, also ein
xzu finden, für dassha256(sha256(a || x || b)) < Hgilt. Ich habe das zux^2 % N < 10^Hvereinfacht, Taschenrechner und Computer erlaubt undNundHfrei veränderbar gemacht.Die Schüler hatten großen Spaß daran; ich denke, weil es aktueller war als alte Rätsel, weil sie gegeneinander antraten, weil die Belohnung halb zufällig war und schnelle oder kluge Teams einen Vorteil hatten, weil die Belohnung aus „physischen Bitcoins“ in Form von Schokoladenmünzen bestand und weil man zwar fast durch Brute Force gewinnen konnte, es aber viele Abkürzungen zu entdecken gab.
Konstruktionen mit Lineal und Zirkel weckten bei den Kindern leider kein Interesse.
Da ich gerade eine hebräische Übersetzung von Euclids Elements digitalisiere, hatte ich erwartet, dass die fast wie Kunstunterricht wirkende physische Seite spannender ist als der theoretische Inhalt und dass sie, weil sie unabhängig von Zahlen ist, weniger einschüchternd wirkt als normaler Mathematikunterricht.
Ich glaube, dass Euclids Elements neben ihrer historischen Bedeutung auch pädagogischen Wert haben, aber meine Annahme, dass sie für die meisten Kinder im Bildungskontext mehr Spaß machen würden, war vielleicht falsch.
Wenn es Kinder gibt, die sich für eine bestimmte Sportart interessieren, ist eine Aktivität, bei der man anhand von Toren und Fehlschüssen vergleicht, wer Elfmeter besser schießt, eine gute Methode, um lineare Algebra zu vermitteln. „Who's #1? - The Science of Rating and Ranking“ behandelt verschiedene Bewertungs- und Ranking-Methoden ausführlich und war eines der Pflichtbücher in meinem Data-Science-Masterstudium.
Ich weiß allerdings nicht, ob sie zum Lernen am besten geeignet ist. Normalerweise ist entscheidend, aktiv mit dem Material zu interagieren, etwa indem man die Konstruktionen selbst ohne Modell ausführt; bei Kindern können aber andere Regeln gelten.
Dass die Kinder Interesse an Aussagenlogik gezeigt haben, freut mich eher. Sie kann eine Grundlage für konsistentes Denken sein. Wie der Autor hätte auch ich erwartet, dass sie Aktivitäten mit den Händen lieber mögen.
Was war ursprünglich überhaupt die Motivation für Konstruktionen mit Lineal und Zirkel? Ideen wie Vollständigkeit, Symmetrie und Konstruierbarkeit sind alle ziemlich abstrakt.
https://www.euclidea.xyz/ hat Spaß gemacht, aber ich zeichne auch gern Girih-Muster und bin nicht acht Jahre alt.
Um Kindern Euclid auf unterhaltsame Weise zu zeigen, war meiner Erinnerung nach das Spiel Euclidea gut geeignet: https://www.euclidea.xyz/
Nicht so sehr wegen des axiomatischen Aspekts, sondern wegen Fragen, die mathematische Annahmen ins Wanken bringen, etwa: „Wie viele Geraden kann man durch zwei Punkte zeichnen? Ganz wie du willst!“, und wegen der interessanten Diagramme. Auch das Fano-Projektivmodell und das Poincaré-Scheibenmodell waren spannend, und es gab Animationen sowie interaktive Software.
Trotzdem war ich nach etwa einer Woche gelangweilt. Eine einzelne zweistündige Session zu verschiedenen Geometrien und Konstruktionen scheint angemessen.
Axiomatische Geometrie im Stil von Euclids Elements ist interessant und kann für die Oberstufe passen. Bevor Schüler Algebra lernen, ist es schwierig, ein richtiges Gefühl dafür zu entwickeln, aus kleinen Ausgangspunkten Gleichungen oder Beweise abzuleiten, und Koordinatengeometrie ist viel praktischer. Mit Lineal und Zirkel gibt es ohnehin Dinge, die gar nicht konstruierbar sind.
Der Level-Fortschritt, das Punktesystem und die Art, durch das Lösen von Beweisen neue „Werkzeuge“ freizuschalten, waren sehr gut gemacht.
https://play.google.com/store/apps/details?id=com.hil_hk.euc...
Als Aktivität für Kinder in ähnlichem Alter möchte ich mit den Fingern bis 1000 zählen hinzufügen.
Für Programmierer ist das naheliegend, aber es enthält zentrale Elemente, die für den Mathematikunterricht hilfreich sind.
Die Frage „Kannst du mit deinen Fingern bis 1000 zählen?“ wirkt auf Kinder wie Magie oder eine Superkraft, deshalb macht es ihnen Spaß. Anfangs zeigt man ihnen, wie man ungefähr bis 20 zählt, und geht schnell über 4 und 6 hinweg. Danach lässt man sie eine bestimmte, nicht sichtbare Fingerstellung vorhersagen, und wenn sie scheitern, zeigt man sie erneut.
Wenn sie das Muster verstanden haben, stellt man ihnen als Quiz die Frage, welche Zahl es ist, wenn alle Finger ausgestreckt sind. Meist kommen sie ins Stocken, aber mit dem Hinweis „Wenn du einen weiteren Finger hättest und nur dieser Finger ausgestreckt wäre, während alle anderen eingeklappt wären, welche Zahl wäre das? Kannst du daraus eine andere Zahl ableiten?“ lösen sie es fast immer, auch wenn es etwas dauert.
Das Schöne daran ist die niedrige Einstiegshürde. Das Kind muss nur mit 2 multiplizieren können und die Zahlwörter bis 1024 kennen. Gleichzeitig kann man mehrere Darstellungen, eine zielgerichtete Formalisierung und das Gefühl vermitteln, von den Erwartungen gewöhnlicher Menschen abzuweichen und eine „Superkraft“ zu bekommen.
Das obige Rätsel zeigt auch, dass man Probleme besser lösen kann, wenn man Muster findet. Statt der Brute-Force-Methode, die Werte jedes Fingers zu addieren, kann man einen Referenzpunkt nutzen, weil die Hinweisposition nur um eins von der gewünschten Position abweicht. Referenzpunkte sind in der Mathematik ein sehr wichtiges Konzept und liegen vielen berühmten Problemlösungen zugrunde.
Wenn man tiefer einsteigt, kann man auch über Beweise und Algorithmendesign sprechen. Den Algorithmus kann man ähnlich wie einen Induktionsbeweis erklären. In der Anfangsphase zeigt die Handfläche zum Benutzer, alle Finger sind eingeklappt, und man beginnt rechts, indem man den ganz rechten Finger inkrementiert. Im n-ten Schritt beginnt man am rechten Rand: Ist der Finger eingeklappt, streckt man ihn aus; ist er ausgestreckt, klappt man ihn ein und inkrementiert rekursiv den nächsten rechten Finger nach derselben Bedingung.
Bei jedem „Spiel“ war es gut, das zu wählen, was dem Kind am besten gefällt. Wenn es bei einem Spiel Schwierigkeiten hatte, nutzte man ein anderes Spiel, in dem es gut war, um ihm das schwierige Spiel beizubringen. Letztlich ist Mathematik eine Sprache, und vieles lässt sich umformulieren.
Eine Schwierigkeit sehe ich darin, dass viele Menschen Mathematik als etwas übermäßig Strenges verinnerlichen. Wenn man sie als „das ist der richtige Weg“ lehrt und andere Methoden nicht anerkennt, sinkt die Fähigkeit, Konzepte zu verallgemeinern. Textaufgaben versuchen zwar, das zu lösen, fühlen sich aber eher wie ein Brute-Force-Ansatz an, der mehr dazu passt, Maschinen statt Menschen zu unterrichten.
Hinzu kommt, dass man in jungen Jahren oft von Menschen lernt, die keine Leidenschaft für Mathematik haben. Diese Gleichgültigkeit überträgt sich von der Lehrkraft auf die Schüler. Viele erinnern sich vermutlich an die Frische, wenn sie das Glück hatten, eine Lehrkraft zu treffen, die Mathematik liebt und ihre kreative Seite fördert. Auch ich mochte Mathematik nicht, obwohl ich gut darin war und im Leistungskurs saß, bis ich in der 11. Klasse auf einen solchen Unterricht stieß.
Letztes Jahr habe ich zusammen mit meiner Tochter ihrer ersten Klasse SET beigebracht. Das didaktische Konzept stammte größtenteils von mir, aber die Kinder konnten es lernen und zeigten auch Interesse.
Es war keine Math-Circle-Umgebung, sondern Unterricht mit der ganzen Klasse; es wäre interessant zu schauen, worin der Unterschied liegt.
Mit diesem Spiel lässt sich auch viel Mathematik machen. Man kann mit einfacher modularer Arithmetik beginnen und das Konzept behandeln, Eigenschaften als 0, 1, 2 zu abstrahieren. Geht man etwas weiter, kann man auch über Gruppentheorie sprechen und darüber, dass das Spiel
Z3^4entspricht, also vier Kopien vonZ3.Wenn Interesse an Gruppentheorie besteht, kann man ähnliche Kartenspiele ausdrucken und verwenden, die andere Gruppen darstellen, und die Gruppenaxiome behandeln, wie das Spiel eine Gruppe darstellt und warum das sinnvoll ist.
Auch Programmierung kann man kurz einführen. Über die Invariante in der Definition eines Sets, dass für alle
igilt:sum c_i = 0, lässt sich erklären, wie man einem Computer dieses Spiel beibringt. Durch Hinzufügen oder Entfernen von Eigenschaften wie der Hintergrundfarbe der Karten lässt sich auch die Spieldauer leicht verallgemeinern.Jedenfalls ist dieses Spiel großartig.
Nach ein paar Runden fand er Sets genauso schnell wie wir, aber Können und Interesse schwankten je nachdem, wie abgelenkt oder müde er war.
Wenn man ein Solo-Set-Spiel sucht, gibt es eine brauchbare Open-Source-Version: https://playset.netlify.app/
Die „KI“ dort findet Lösungen zufällig. Im einfachen Modus wählt sie alle 2 Sekunden zufällig zwei sichtbare Karten aus und prüft, ob die Karte, die zum Vervollständigen des Sets nötig ist, auf dem Bildschirm liegt.
Wenn ein Kind Set zum ersten Mal ausprobiert, kann es sinnvoll sein, die Verzögerung auf etwa 5 Sekunden zu setzen. Natürlich macht Set mehr Spaß, wenn man gegen Menschen spielt.