Ein Lehrbuch zur Infinitesimalrechnung streng zu schreiben, ist nicht einfach.
Wenn man zu streng wird, landet man schnell bei einem Buch über „reelle Analysis“, während das Ziel der Infinitesimalrechnung darin besteht, Konzepte einzuführen und nicht vollständige Analysis zu lehren.
Mir gefällt an diesem Buch, dass es sich nicht übermäßig am Konvergenzbegriff festbeißt, sondern sich stärker auf den sprachlichen Ausdruck von Funktionen und die Schnittstelle zur linearen Algebra konzentriert.
Als Mathematikprofessor, der mehrfach Infinitesimalrechnung unterrichtet hat, denke ich, dass sich das Ziel eines Infinitesimalrechnungskurses nur schwer auf einen Punkt reduzieren lässt.
Die Infinitesimalrechnung ist ein seltener Bereich der Mathematik, der auf einem nicht-strengen Niveau viel leichter zu verstehen ist.
Wenn man zum Beispiel sagt: „Die Ableitung ist die momentane Änderungsrate“ und dy/dx wie einen echten Bruch behandelt, lassen sich Konzepte wie die Kettenregel viel intuitiver erklären.
Die meisten Lehrbücher stehen etwas unentschlossen zwischen Strenge und Nicht-Strenge; ich denke, es ist besser, sich klar für eine Seite zu entscheiden.
Dieses Buch wird nicht für alle passen, aber genau das ist eher seine Stärke.
Es gibt bereits Apostol, also ist es besser, sich eine ältere Ausgabe zu besorgen, wenn man die Infinitesimalrechnung selbst lernen will.
Neuere Ausgaben enthalten zusätzliche Inhalte wie lineare Algebra, sind aber viel zu teuer (150 $ pro Band).
Der Autor sagte, er wolle Mathematik „auf intuitive und informelle Weise, aber ohne Verlust logischer Strenge“ darstellen, doch westliche Lehrbücher tendieren im Lauf der Zeit dazu, weniger streng zu werden.
Bei asiatischen oder russischen Lehrbüchern ist das dagegen nicht so.
Weil Studierende stärker visuelle und informelle Erklärungen wünschen, mache ich mir Sorgen, dass sie sich später in der Forschung nur schwer an streng formale Darstellungen anpassen können.
Unter den russischen Lehrbüchern gilt Aleksandrov, Kolmogorov und Lavrent’evs Mathematics: Its Content, Methods and Meaning weiterhin als Meisterwerk.
Es erschien 1962 in drei Bänden, die englische Ausgabe wurde zu einem Band zusammengefasst.
Ein Grund dafür, dass westliche Lehrbücher weniger streng geworden sind, könnte sein, dass sich die Zielgruppe verbreitert hat, weil heute auch jene an die Universität kommen, die früher auf eine Berufsschule gegangen wären.
Wenn man Studierende mit sehr unterschiedlichen Hintergründen einbeziehen will, müssen sich Lehrbücher zwangsläufig ändern.
Ich frage mich, was genau mit „streng“ gemeint ist.
Bedeutet das, dass alles beweisorientiert behandelt wird, oder dass der Fokus eher auf Theorie als auf Anwendungen liegt?
Es gibt dazu einen älteren Blogbeitrag → Professor Confess
Dort wird behauptet, dass die Ausweitung von Studienkrediten mit dem Zusammenbruch akademischer Strenge zusammenhängt.
Weil Schulen bzw. Hochschulen die Studiengebühren maximieren wollten und deshalb Studierende nicht durchfallen lassen wollten, seien Schwierigkeitsgrad und Strenge gesunken.
Ich stimme dieser Ansicht ebenfalls zu.
Das Problem sind nicht die Studierenden, sondern die Pädagogik-Fachleute und Verlage, die Lehrbücher auswählen und deren Veröffentlichung entscheiden.
Ein Lehrbuch für alle machen zu wollen, ist töricht.
Die meisten Menschen müssen keine Infinitesimalrechnung können, und wenn sie sie lernen, dann sollten sie sie wirklich streng lernen.
Dieses Buch wirkt wie ein Versuch, mehrere Lernpfade abzudecken.
① beweisorientierte Infinitesimalrechnung für Mathematikstudierende
② rechenorientierte Infinitesimalrechnung für Ingenieur- und Naturwissenschaftsstudierende
③ vereinfachte Infinitesimalrechnung für Sozialwissenschafts- und BWL-Studierende
Wenn sich ① und ② tatsächlich integrieren ließen, wäre das wirklich bemerkenswert.
Ich glaube jedoch, dass sich diese beiden Pfade schwer zusammenführen lassen. Ziele und Methodik sind zu unterschiedlich.
Zum Beispiel haben die ε-δ-Diskussionen in Taos Analysiskurs wenig mit tatsächlichen Differentialgleichungen oder Stabilitätsanalyse zu tun.
Man kann vielleicht beweisen, dass ein dichter Teilraum in einem Hilbertraum existiert, und sich bei der Multiskalenanalyse trotzdem völlig verirren.
Ich habe das Buch kurz durchgeblättert und es gefällt mir ziemlich gut.
Ich habe Mathematik eher über Verfahren und Regeln gelernt und war daher stärker an mechanische Manipulation als an theoretische Strenge gewöhnt.
Dieses Buch bringt Menschen wie mich dazu, die Grundkonzepte noch einmal zu überprüfen.
„What is Calculus?“ kommt erst in Kapitel 6 (S. 223), „Differentiation“ sogar erst in Kapitel 8 (S. 261); die ersten 200 Seiten legen zuvor die Grundlagen solide.
Als Wiederholung oder begleitendes Lernmaterial kann ich es sehr empfehlen.
Ich frage mich, wie sehr Strenge und Abstraktion in der Mathematik tatsächlich bei der Lösung realer Probleme helfen.
Ich habe den Eindruck, dass für bessere Fähigkeiten beim Lösen von Ingenieurproblemen das Studium probabilistischer Modelle nützlicher ist als Maßtheorie.
Bücher wie Mathematical Methods for Physics and Engineering, die stärker auf Intuition und Anwendung setzen, waren für mich effektiver.
Ich bevorzuge Bücher, die keine gesonderten Vorkenntnisse verlangen und alles Nötige in einem Band behandeln.
Beispiele dafür sind Calculus for Machine Learning (Jason Brownlee) oder No Bullshit Guide to Math & Physics (Ivan Savov).
In der Hochschule hört man mehrere Fächer parallel, aber eigentlich ist ein integriertes Curriculum meiner Meinung nach effizienter.
Als ich hörte, dass dieses Buch Infinitesimalrechnung für Informatiker sei, dachte ich zunächst, es würde vielleicht den von Knuth 1998 vorgeschlagenen Big-O-basierten Ansatz verwenden
(Link zu Knuths Brief).
Tatsächlich beginnt es aber mit einer entschärften Einführung in die reelle Analysis.
Tatsächlich behandelt auch dieses Buch im Kapitel „Limits and Continuity“ im Abschnitt „Order of Vanishing“ die O-Notation.
Ich bin eher im numerischen Rechnen zu Hause, aber dieses PDF ist als Referenz deutlich leichter zu lesen als Wikipedia.
Das erinnert mich an ein Zitat von Goethe — „Mathematiker sind eine Art Franzosen: Redet man zu ihnen, so übersetzen sie es in ihre eigene Sprache, und dann ist es sogleich etwas ganz anderes.“
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Hacker-News-Kommentare
Ein Lehrbuch zur Infinitesimalrechnung streng zu schreiben, ist nicht einfach.
Wenn man zu streng wird, landet man schnell bei einem Buch über „reelle Analysis“, während das Ziel der Infinitesimalrechnung darin besteht, Konzepte einzuführen und nicht vollständige Analysis zu lehren.
Mir gefällt an diesem Buch, dass es sich nicht übermäßig am Konvergenzbegriff festbeißt, sondern sich stärker auf den sprachlichen Ausdruck von Funktionen und die Schnittstelle zur linearen Algebra konzentriert.
Die Infinitesimalrechnung ist ein seltener Bereich der Mathematik, der auf einem nicht-strengen Niveau viel leichter zu verstehen ist.
Wenn man zum Beispiel sagt: „Die Ableitung ist die momentane Änderungsrate“ und
dy/dxwie einen echten Bruch behandelt, lassen sich Konzepte wie die Kettenregel viel intuitiver erklären.Die meisten Lehrbücher stehen etwas unentschlossen zwischen Strenge und Nicht-Strenge; ich denke, es ist besser, sich klar für eine Seite zu entscheiden.
Dieses Buch wird nicht für alle passen, aber genau das ist eher seine Stärke.
Neuere Ausgaben enthalten zusätzliche Inhalte wie lineare Algebra, sind aber viel zu teuer (150 $ pro Band).
Der Autor sagte, er wolle Mathematik „auf intuitive und informelle Weise, aber ohne Verlust logischer Strenge“ darstellen, doch westliche Lehrbücher tendieren im Lauf der Zeit dazu, weniger streng zu werden.
Bei asiatischen oder russischen Lehrbüchern ist das dagegen nicht so.
Weil Studierende stärker visuelle und informelle Erklärungen wünschen, mache ich mir Sorgen, dass sie sich später in der Forschung nur schwer an streng formale Darstellungen anpassen können.
Es erschien 1962 in drei Bänden, die englische Ausgabe wurde zu einem Band zusammengefasst.
Wenn man Studierende mit sehr unterschiedlichen Hintergründen einbeziehen will, müssen sich Lehrbücher zwangsläufig ändern.
Bedeutet das, dass alles beweisorientiert behandelt wird, oder dass der Fokus eher auf Theorie als auf Anwendungen liegt?
Dort wird behauptet, dass die Ausweitung von Studienkrediten mit dem Zusammenbruch akademischer Strenge zusammenhängt.
Weil Schulen bzw. Hochschulen die Studiengebühren maximieren wollten und deshalb Studierende nicht durchfallen lassen wollten, seien Schwierigkeitsgrad und Strenge gesunken.
Das Problem sind nicht die Studierenden, sondern die Pädagogik-Fachleute und Verlage, die Lehrbücher auswählen und deren Veröffentlichung entscheiden.
Ein Lehrbuch für alle machen zu wollen, ist töricht.
Die meisten Menschen müssen keine Infinitesimalrechnung können, und wenn sie sie lernen, dann sollten sie sie wirklich streng lernen.
Dieses Buch wirkt wie ein Versuch, mehrere Lernpfade abzudecken.
① beweisorientierte Infinitesimalrechnung für Mathematikstudierende
② rechenorientierte Infinitesimalrechnung für Ingenieur- und Naturwissenschaftsstudierende
③ vereinfachte Infinitesimalrechnung für Sozialwissenschafts- und BWL-Studierende
Wenn sich ① und ② tatsächlich integrieren ließen, wäre das wirklich bemerkenswert.
Ziele und Methodik sind zu unterschiedlich.
Zum Beispiel haben die ε-δ-Diskussionen in Taos Analysiskurs wenig mit tatsächlichen Differentialgleichungen oder Stabilitätsanalyse zu tun.
Man kann vielleicht beweisen, dass ein dichter Teilraum in einem Hilbertraum existiert, und sich bei der Multiskalenanalyse trotzdem völlig verirren.
Ich habe das Buch kurz durchgeblättert und es gefällt mir ziemlich gut.
Ich habe Mathematik eher über Verfahren und Regeln gelernt und war daher stärker an mechanische Manipulation als an theoretische Strenge gewöhnt.
Dieses Buch bringt Menschen wie mich dazu, die Grundkonzepte noch einmal zu überprüfen.
„What is Calculus?“ kommt erst in Kapitel 6 (S. 223), „Differentiation“ sogar erst in Kapitel 8 (S. 261); die ersten 200 Seiten legen zuvor die Grundlagen solide.
Als Wiederholung oder begleitendes Lernmaterial kann ich es sehr empfehlen.
Ich frage mich, wie sehr Strenge und Abstraktion in der Mathematik tatsächlich bei der Lösung realer Probleme helfen.
Ich habe den Eindruck, dass für bessere Fähigkeiten beim Lösen von Ingenieurproblemen das Studium probabilistischer Modelle nützlicher ist als Maßtheorie.
Bücher wie Mathematical Methods for Physics and Engineering, die stärker auf Intuition und Anwendung setzen, waren für mich effektiver.
Ich bevorzuge Bücher, die keine gesonderten Vorkenntnisse verlangen und alles Nötige in einem Band behandeln.
Beispiele dafür sind Calculus for Machine Learning (Jason Brownlee) oder No Bullshit Guide to Math & Physics (Ivan Savov).
In der Hochschule hört man mehrere Fächer parallel, aber eigentlich ist ein integriertes Curriculum meiner Meinung nach effizienter.
Als ich hörte, dass dieses Buch Infinitesimalrechnung für Informatiker sei, dachte ich zunächst, es würde vielleicht den von Knuth 1998 vorgeschlagenen Big-O-basierten Ansatz verwenden
(Link zu Knuths Brief).
Tatsächlich beginnt es aber mit einer entschärften Einführung in die reelle Analysis.
den Quomodocumque-Blogbeitrag sowie den Cornell-Math-Blog und den Texnical-Stuff-Blog.
Außerdem ist Terry Taos Beitrag zur Formalisierung der O-Notation lesenswert.
(Diese Links stammen aus Shreevatsas Zusammenstellung.)
Ich bin eher im numerischen Rechnen zu Hause, aber dieses PDF ist als Referenz deutlich leichter zu lesen als Wikipedia.
Das erinnert mich an ein Zitat von Goethe — „Mathematiker sind eine Art Franzosen: Redet man zu ihnen, so übersetzen sie es in ihre eigene Sprache, und dann ist es sogleich etwas ganz anderes.“