„Calculus Made Easy“ Prolog: Differential- und Integralrechnung lässt sich leichter lernen, als man denkt
(calculusmadeeasy.org)- Dieser Prolog geht von der Tatsache aus, dass viele Menschen Differential- und Integralrechnungen durchführen, und sagt, dass es nicht unbedingt schwierig oder langweilig sein muss, dieselben Kniffe zu lernen
- Er unterscheidet, dass es in der Differential- und Integralrechnung sehr einfache Kniffe ebenso wie sehr schwierige Teile gibt und dass man nicht von Anfang an alles als schwer betrachten muss
- Fortgeschrittene Mathematiklehrbücher werden dafür kritisiert, einfache Rechnungen nicht einfach zu zeigen, sondern sie kompliziert zu behandeln, als wollten sie die Schlauheit des Autors zur Schau stellen
- Der Sprecher bezeichnet sich selbst bescheiden als „remarkably stupid fellow“ und sagt, er wolle Lesern in ähnlicher Lage die nicht schwierigen Teile zeigen, die er selbst freigelegt hat
- Wenn man die einfachen Teile gründlich beherrscht, kann der Rest folgen; mit der Haltung „What one fool can do, another can“ wird die Möglichkeit des Lernens betont
Was der Prolog über den Schwierigkeitsgrad der Differential- und Integralrechnung sagt
- Differential- und Integralrechnung ist kein Fach, in dem alle Teile gleich schwer sind; es gibt leichte Kniffe und sehr schwierige Kniffe nebeneinander
- Die Tatsache, dass viele Menschen Rechnungen ausführen können, ist ein Beleg dafür, dass auch andere dieselben Rechentricks lernen können
- Fortgeschrittene Mathematiklehrbücher werden dafür kritisiert, die einfachen Teile eher kompliziert zu behandeln, statt sie leicht verständlich zu erklären
Welche Lernhaltung den Lesern empfohlen wird
- Der Sprecher sagt, dass er den Prozess des Beseitigens von Schwierigkeiten selbst durchlaufen hat
- Dieses Buch vertritt die Haltung, zuerst die nicht schwierigen Teile zu beherrschen; wenn diese Grundlage stark genug ist, folgt der Rest ebenfalls
- Der letzte Satz „What one fool can do, another can“ verdichtet die Idee, dass das, was ein Mensch kann, auch ein anderer lernen kann
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Etwa zehn Jahre, nachdem ich die Schule verlassen hatte, bekam ich wieder Lust auf Physikvorlesungen, griff zu einem Buch über klassische Mechanik und schaute mir auch die Grundlagen der linearen Algebra noch einmal an.
Dabei war ich überrascht, dass mehrere Lehrbücher nur das Verfahren zur Berechnung des Skalarprodukts von Vektoren behandelten, aber kaum erklärten, warum es wichtig ist – nämlich dass es nützlich ist, um die Ähnlichkeit zweier Vektoren zu beurteilen.
Erst nachdem ich mit ChatGPT über die Bedeutung gesprochen hatte, ergab es für mich Sinn; heute finde ich es gut, dass ich langsamer vorgehen kann als an der Uni und Konzepte wirklich festhalten kann, bevor ich weitergehe.
Die meisten Mathematikbücher, die ich lese, sind stärker darauf ausgerichtet, mechanische Verfahren zu zeigen, als den Gesamtzusammenhang zu vermitteln; deshalb frage ich mich, wo es Bücher gibt, die die semantische Erklärung von Konzepten besser leisten.
Ich erinnere mich, dass ich gelernt habe, wie man Eigenvektoren berechnet, aber kein einziges Wort darüber gehört habe, warum man so etwas überhaupt haben will.
Um das richtig zu erklären, müsste man die Kursziele wohl bescheidener formulieren, statt etwa „wir unterrichten Analysis, lineare Algebra und Quantenmechanik“.
Danach verlor ich die Motivation für Mathematik; als ich später erfuhr, dass Integrale mit der Fläche unter einer Kurve zusammenhängen und wie nützlich sie sind, wurde ich wieder wütend.
Die meisten Lehrkräfte meinen es sicher gut und geben sich Mühe, aber es gibt eindeutig auch Menschen, die so schlecht sind, dass sie nie wieder ein Klassenzimmer betreten sollten.
Bis dahin war es nur ein weiteres abstraktes Konzept gewesen, das mit anderen abstrakten Konzepten verbunden war, die man auswendig lernen musste, um Prüfungen zu bestehen.
Auch heute frustriert es mich, wenn ich Arbeiten etwa zu Beziehungen in der abstrakten Algebra lese und dort nur symbolische Beziehungen aufgelistet werden, ohne auch nur ein oder zwei Sätze dazu, wie man sich das Konzept intuitiv vorstellen kann.
Innerhalb des Spiels namens Mathematik wird diese Sichtweise wohl natürlich, aber viele Menschen lernen Mathematik mit zusätzlicher Motivation und wünschen sich eine Perspektive, die den praktischen Nutzen oder den Bezug zur Realität zeigt.
Schon ein einziges konkretes Beispiel für ein abstraktes Konzept würde viel mehr klugen und fachlich interessierten Lesern helfen, mathematische Arbeiten zu verstehen.
Erst durch Steven Strogatz’ hervorragendes Buch Infinite Powers habe ich Analysis wirklich verstanden; es erklärt nicht nur, warum etwas so ist, sondern auch die Geschichte hinter diesen Gründen.
Für mich persönlich ein Buch mit 10 von 10 Punkten.
https://www.stevenstrogatz.com/books/infinite-powers
Die Physikbücher auf niedrigerem Niveau, die ich gesehen habe, führten das Skalarprodukt über die geometrische Definition und die algebraische Definition ein und zeigten, dass beide in zwei bis drei Dimensionen übereinstimmen.
Wenn das „Wie“ die algebraische Definition ist, dann entspricht das „Warum“ der geometrischen Definition.
In der Physik ist das Skalarprodukt nicht wichtig, um Ähnlichkeit zu messen, sondern weil es Länge und Winkel liefert; in abstrakteren Räumen wird das Skalarprodukt mitunter sogar zur Definition von Länge und Winkel.
Im maschinellen Lernen braucht man eine Definition von Ähnlichkeit, und man kann sie etwa darüber fassen, dass der Winkel zwischen zwei Vektoren klein ist; daher kommt diese Perspektive ins Spiel.
Ein traditionelleres Ähnlichkeitsmaß ist die Länge der Differenz, also der Abstand, und auch der wird über das Skalarprodukt berechnet.
Ich habe mich in Schule, Beruf und als Hobby 20 Jahre lang mit Analysis beschäftigt, und solche Texte machen mir immer Freude und bringen mich zum Lächeln.
Wenn es gut entfaltet wird, fühlt es sich an, als würde eine über Jahre aufgebaute Intuition in wenigen Minuten vermittelt.
Erklärungen wie „(dx)^2 ist ein winziges Stück eines winzigen Stücks von x“ waren sogar ein zentraler Pfeiler bei meiner jüngsten Mühe, in Dutzenden Stunden stochastische Analysis auch nur grundlegend zu verstehen.
Wenn ich solche Materialien sehe, denke ich, dass die Menschheit vorankommt, weil neue Generationen Zugang zu solchen Informationen haben und schneller lernen können.
Auch heute scheint sich daran kaum grundlegend etwas ändern zu lassen.
Ein Teil davon hängt mit alten, oft philosophischen und theologischen Debatten über den ontologischen Status von Infinitesimalen zusammen.
Der Differenzenquotient wurde zur offiziellen Formalisierung der Differentialrechnung, wird in der Praxis aber kaum so verwendet; in der Realität nutzt man Analysis genau auf diese Art.
In der Praxis verwendet man weiterhin eine behelfsmäßige infinitesimale Notation, aber sie ist ein seltsames Gebilde mit eigenen Regeln, und tatsächlich kennen nicht viele diese Regeln.
Die Nichtstandardanalysis erlaubt es, Infinitesimale fast nach den gewöhnlichen algebraischen Regeln zu behandeln; ob sie wegen grundlegender technischer und philosophischer Probleme weniger genutzt wird oder schlicht aus Konservatismus, weiß ich nicht.
Stochastische Analysis ist wirklich eigenartig, und zum Beispiel habe ich die „richtige“ Formalisierung eines kontinuierlichen Kalman-Filters nie verstanden.
Wenn man es so betrachtet, dass man das Zeitintervall gegen 0 gehen lässt, kommt mit passenden Anpassungen das richtige Ergebnis heraus, aber formal ist es nach meinem Verständnis nicht exakt.
Aus Sicht von jemandem, der im Zuge der Studienzulassung Analysis belegt, wirken solche Pamphlete der Art Analysis leicht gemacht ärgerlich abgedroschen.
Das Schwierige sind nicht die Konzepte auf höchstem Niveau, sondern das Grundlagenwissen, das man braucht, um tatsächlich Analysis-Aufgaben zu lösen.
Für mich ist das Schwerste erstens, das vorausgesetzte Wissen so gründlich zu beherrschen, dass man unerwartete Aufgaben lösen kann – von quadratischer Ergänzung über Polynomdivision bis hin zu Gleichungen mit Ableitungen.
Zweitens geht es darum, Notation und grafische Verfahren zu verstehen und korrekt anzuwenden, von der Leibniz-Notation bis zum Kurvenskizzieren.
Deshalb gibt es dicke Bücher und Vorlesungen, die sich nur mit einführender Analysis beschäftigen und nicht einmal an der Oberfläche höherer Mathematik kratzen.
Wenn man nicht nur die HTML-Seite gelesen hat: Es ist ein einbändiges Buch, das Silvanus P. Thompson 1910 veröffentlicht hat, das genügend Anerkennung fand, dass Martin Gardner es 1998 neu herausgegeben hat, und das Freiwillige sorgfältig in TeX neu gesetzt und als Website verfügbar gemacht haben.
Es erfüllt eindeutig einen Bedarf und ist nicht einfach ein „abgedroschenes“ Pamphlet.
Allerdings gibt es auch Leute, die die Gardner-Ausgabe nicht empfehlen, weil dort zwei starke Persönlichkeiten aufeinanderprallen.
Ich persönlich empfehle Khan Academy, und es ist sinnvoll, die gesamte Schulmathematik noch einmal der Reihe nach durchzuarbeiten.
Als ich in einer ähnlichen Lage war, habe ich mir die Khan-Materialien auf YouTube angesehen; meine Schulnoten waren zwar ordentlich, aber die Schule war nicht gut, sodass viele Grundlagen übersprungen wurden und ich auf echtes Mathematiklernen überhaupt nicht vorbereitet war.
Jedes Mal, wenn ein Professor oder Tutor bei einem komplizierten Ausdruck einen „offensichtlichen Trick aus der Algebra“ zeigte, sah ich ihn oft zum ersten Mal in meinem Leben.
Es gibt kaum einen anderen Weg, als sich beim Lernen von Analysis Algebra, Geometrie und Trigonometrie selbst noch einmal zu erarbeiten.
Wenn die Algebra-Fähigkeiten schwach sind, kommt man mit Analysis-Gleichungen nicht zurecht; die Lösung findet man dann nicht in „Analysis leicht gemacht“, sondern in „Algebra leicht gemacht“.
In der Schule konnte ich Analysis-Aufgaben ziemlich gut lösen, aber ich verstand kaum, was ein Grenzwert tatsächlich ist.
An der Universität war es für mich ein großer Aha-Moment, die Definition des Grenzwerts und die darauf aufbauenden grundlegenden Sätze zu verstehen.
Für die meisten Menschen, die nicht täglich komplexe Mathematikaufgaben lösen müssen, liegt der Kern des Mathematiklernens nicht in der Fähigkeit, mechanisch Aufgaben zu lösen, sondern im Verständnis mathematischer Konzepte und Ideen, die das Denken insgesamt formen.
Welche Teile der Algebra du brauchst? Das musst du selbst herausfinden.
Das ist die große Hürde, wenn man Mathematik rückwärts lernt: Hinter jeder Ecke taucht ein fehlendes Teil auf, und dieses Teil führt wieder zu einem weiteren fehlenden Teil.
Der Weg von den Grundlagen nach oben ist frustrierend, weil die mathematischen Muskeln so langsam wachsen; der Weg von oben nach unten ist ebenfalls langsam und frustrierend.
Nur durch Begriffsverständnis wird man in Mathematik nicht gut, und bis man ein paar Aufgaben gelöst hat, täuscht man sich leicht selbst vor, man habe es „verstanden“.
Erst wenn man Aufgaben auf niedrigerem Niveau ausreichend wiederholt und daraus Muskelgedächtnis gemacht hat, kann man zur nächsten Ebene aufsteigen.
Irgendwann kommt aber ein Wendepunkt, an dem Schmerz und das Gefühl eines Kaninchenbaus ziemlich schnell nachlassen; die wiederholte Übung zahlt sich aus, und das nächste Bündel wird etwas leichter.
Beim Programmieren ist es genauso: Nur das Konzept einer Schleife zu kennen reicht nicht, um Code zum Sortieren von Arrays effizient zu schreiben; man muss Syntax und Schleifen ausreichend verwendet haben und dann Sortieralgorithmen wiederholt einüben, bis sie sitzen.
Wenn man diesen Prozess durchläuft, wiederholen sich dieselben Konzepte in anderen Varianten, und man bekommt sie mit immer weniger Zeitaufwand in den Griff.
Genau deshalb geben viele Menschen einfach auf und akzeptieren, dass sie kein Mathematik-Gen hätten.
Ein anderes Buch, um Analysis zu lesen, ist Otto Toeplitz’ The Calculus: A Genetic Approach.
Es folgt einem ähnlichen Weg, und ich habe es gern gelesen.
https://press.uchicago.edu/ucp/books/book/chicago/C/bo548572...
Ich „kannte“ Analysis gut genug, um in Mathematikkursen in der Schule und im Ingenieurstudium gute Noten zu bekommen, aber das Gefühl, Analysis wirklich zu kennen, hatte ich erst, nachdem ich ein Buch wie „A Course of Pure Mathematics“ von 1908 gelesen hatte.
Dieses Buch beginnt bei der Zahlentheorie und baut daraus die Analysis auf; soweit ich mich erinnere, erscheint der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ungefähr in der Mitte des Buchs.
Wenn man es so lernt, vergisst man es nur schwer.
Dass heute nicht so gelehrt wird, liegt meiner Ansicht nach daran, dass Prüfungssysteme und große Hörsäle eher fördern, zentrale Formeln kurzfristig auswendig zu lernen und zu wissen, wo man sie mechanisch anwendet, statt ein tiefes und dauerhaftes Bedeutungsverständnis zu entwickeln.
Ein weiterer Grund ist, dass jedes Jahr die Mathematiklehrer wechseln, sodass das Verständnis des Vorwissens für den Stoff des nächsten Jahres von Schüler zu Schüler sehr unterschiedlich ist und der Anfang jeder Einheit für Wiederholung und Integration verwendet werden muss.
Für ein reiches Verständnis, das ein Leben lang hält, bräuchte man vermutlich nur 10–20 % mehr Zeit, aber tatsächlich werden Verdichtung und sofort messbare Ergebnisse höher bewertet als echtes Lernen.
Es freut mich sehr, auf solche Materialien zu stoßen, aber es ist auch bitter, weil einem dabei bewusst wird, wie trostlos der übliche Zustand moderner Didaktik oft ist.
In den letzten Monaten lerne ich die Grundlagen der Algebra über den YouTube-Kanal von Professor Leonard[0].
Mein Ziel ist, Wissenslücken zu schließen, bevor ich mir Analysis erneut ansehe.
Wenn man es richtig machen will, dauert es eine ganze Weile, aber inzwischen bin ich deutlich zuversichtlicher, was meine Fähigkeiten angeht, und das allein ist lohnend und motivierend.
Vor dem Anfang wusste ich nicht, dass die Lücken in meinem Algebrawissen so groß waren.
Mein letztliches Ziel ist, Andrej Karpathys „Neural Networks: Zero to Hero“[1] ohne größere Probleme folgen zu können.
Es ist mühsam, fast bei „0“ anzufangen und das Vorwissen zu lernen, bevor man sich im Selbststudium an das macht, was man wirklich lernen will; aber wenn ich eine Abkürzung nehme, führt das am Ende wohl nur zu Frust.
Deshalb sitze ich mit 38 auf YouTube und höre Algebra-Vorlesungen.
[0] https://youtube.com/@ProfessorLeonard?si=0kiGvmbZv4b9Sgf9
[1] https://youtube.com/playlist?list=PLAqhIrjkxbuWI23v9cThsA9Gv...
Ich verwechsle dieses Buch ständig mit Calculus for the Practical Man, das Feynman studiert hat
https://archive.org/details/calulusforthepra000526mbp
Ich frage mich, ob man nicht gleich zu Beginn den Autor Silvanus P. Thompson[1] ausdrücklich nennen sollte
[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Calculus_Made_Easy
Der Link führt nicht zur ersten Seite mit dem Namen des Autors
Ich dachte einfach, der Autor schreibe absichtlich in einem übertrieben niedlichen Ton
Der Titel sagt, dass Infinitesimalrechnung leicht gemacht wird, aber Kategorientheorie kommt darin gar nicht vor
Man meint fast, jemanden fragen zu hören: „Wie kann das sein?!“
Dieses Buch wurde 1910 geschrieben, und die Kategorientheorie entstand erst 50 Jahre später, also musste es wohl so sein
Trotzdem kein Grund zur Sorge
Es gibt ein Buch, das gewöhnliche Differential- und Integralrechnung mithilfe von Kategorien entwickelt
Ich weiß nicht, was noch einfacher sein soll, aber wenn ich etwas finde, sage ich Bescheid
https://books.google.com/books?id=gaE5EAAAQBAJ&newbks=1&newb...
Danke für die Mühe, aber schon nach ein paar Seiten hatte ich das Gefühl, dass es nicht das Material wäre, das ich mir wünschen würde, wenn ich Infinitesimalrechnung zum ersten Mal lerne
Auch als Wiederholung ist es nicht perfekt
Der Autor benennt zwar zutreffend die Probleme der meisten „richtigen“ Bücher, korrigiert aber zu stark in die andere Richtung, macht das Verständnis dadurch unnötig kompliziert und könnte am Ende sogar schwieriger sein als manche formalen Lehrbücher
Es ist zu weitschweifig und informell und ziemlich schwer zu lesen und nachzuvollziehen
Ich brauche keine Anspielungen auf Gedichte von Dean Swift oder auf „die Zeit von Queen Elizabeth“, sondern möchte nur wissen, was Infinitesimalrechnung ist, warum man sie braucht und wie man sie praktisch anwendet
Das gilt selbst dann, wenn man einem scheinbar einfacheren ingenieurmäßigen Ansatz folgt; und wenn man auch nur ein wenig mathematisch vorgehen will, halte ich ein gewisses Maß an Formalität weiterhin für nötig
Mathematik ist ein Gebiet, auf dem man sich sehr leicht einbilden kann, etwas verstanden zu haben, obwohl man es in Wirklichkeit nicht verstanden hat, und dann vor paradoxen Scheinbeweisen oder der Aufforderung, etwas selbst zu beweisen, ratlos dastehen kann
Um gültige von ungültigen Herleitungen zu unterscheiden, braucht man am Ende formale Definitionen
Tatsächlich sind die formalen Grundlagen selbst überhaupt nicht schwer zu verstehen
Jeder kann leicht zustimmen, dass x² schneller wächst als x, und wenn man den Begriff des Grenzwerts einführt, sieht man, warum man (dx)² im Vergleich zu dx vernachlässigen kann
Dafür muss man nicht Wochen mit Minuten vergleichen, und solche Analogien können eher ablenken
Ich finde, ein paar formale Definitionen zu lesen erfordert weit weniger Geduld als mehrere Seiten „altenglischer“ Weitschweifigkeit
Edit: Ach, das war keine „Stilisierung“, sondern tatsächlich ein alter Text
Trotzdem bleibt der Kernpunkt: Es gibt deutlich bessere moderne Materialien, um Infinitesimalrechnung zu lernen