- Eine Mannigfaltigkeit (manifold) ist ein mathematisches Konzept von Raum, das lokal wie eine Ebene aussieht, insgesamt jedoch eine komplexere Struktur besitzt
- Dieses von Bernhard Riemann im 19. Jahrhundert vorgestellte Konzept erweiterte den Raum von einem physikalischen Hintergrund zu einem eigenständigen Forschungsgegenstand
- Mithilfe der Eigenschaft, an jedem Punkt wie ein euklidischer Raum auszusehen, berechnen Mathematiker mit klassischen Werkzeugen der Analysis Flächen, Volumina und Bewegungen
- Durch Karten (charts) und Atlanten (atlases) werden komplexe Räume in mehrere Teile zerlegt und analysiert; anschließend werden die Ergebnisse zusammengeführt, um die Gesamtstruktur zu verstehen
- Heute haben sich Mannigfaltigkeiten als grundlegende mathematische Sprache etabliert und spielen eine Schlüsselrolle in der Allgemeinen Relativitätstheorie, der Topologie, der Datenanalyse und der Physik
Entstehung der Idee
- Seit der Antike war die Geometrie eine Disziplin, die sich mit Geraden und Ebenen des euklidischen Raums befasste
- In diesem Raum ist die kürzeste Strecke zwischen zwei Punkten eine Gerade, und die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks beträgt 180 Grad
- Zu Beginn des 19. Jahrhunderts begannen Mathematiker, gekrümmte Räume zu erforschen, und entdeckten Phänomene, bei denen sich Parallelen schneiden oder sich die Winkelsumme eines Dreiecks verändert
- Riemann erweiterte Gauß’ Untersuchungen zu Flächen und legte eine allgemeine Theorie vor, mit der sich Geometrie auch in Räumen beliebiger Dimension definieren lässt
- Er stellte dieses Konzept 1854 in einem Vortrag an der Universität Göttingen vor; später wurde es zur Grundlage der modernen Topologie und der Relativitätstheorie
- Damals wurde die Idee wegen ihres abstrakten Charakters ignoriert, doch über die Arbeiten von Poincaré und Einstein hinweg etablierte sie sich bis zur Mitte des 20. Jahrhunderts als Standardbegriff der Mathematik
Definition und Struktur der Mannigfaltigkeit
- „Manifold“ leitet sich von Riemanns deutschem Begriff Mannigfaltigkeit ab
- Eine Mannigfaltigkeit ist ein Raum, der lokal wie ein euklidischer Raum aussieht; ein Kreis ist zum Beispiel eine 1-dimensionale Mannigfaltigkeit
- Eine Ameise auf einem Kreis würde nicht bemerken, dass sie sich auf einer gekrümmten Linie befindet
- Dagegen ist eine achtförmige Kurve keine Mannigfaltigkeit, weil sie am Schnittpunkt nicht wie eine Gerade aussieht
- Die Erdoberfläche ist eine 2-dimensionale Mannigfaltigkeit, die Spitze eines Doppelkegels (double cone) jedoch nicht
- Im Kern geht es bei Mannigfaltigkeiten darum, sich auf intrinsische Eigenschaften zu konzentrieren
- Statt Eigenschaften zu betrachten, die von der Dimension oder der äußeren Form des Raums abhängen, erfolgt die Analyse über die euklidische Approximation an jedem Punkt
- Dafür teilen Mathematiker den Raum in mehrere Patches auf und beschreiben jeden Patch durch ein Koordinatensystem (chart)
- Für die überlappenden Bereiche werden Regeln für den Koordinatenwechsel definiert; die Gesamtheit davon nennt man einen Atlas
- Mit einem Atlas lässt sich ein komplexer Raum in kleine euklidische Stücke zerlegen, berechnen und anschließend wieder zu einer Gesamtstruktur zusammensetzen
- Dieser Ansatz wird heute in Mathematik und Physik insgesamt standardmäßig verwendet
Anwendungen von Mannigfaltigkeiten
- In der Allgemeinen Relativitätstheorie ist die Raumzeit eine 4-dimensionale Mannigfaltigkeit, und Gravitation wird durch ihre Krümmung beschrieben
- Auch der von uns wahrgenommene 3-dimensionale Raum ist eine Mannigfaltigkeit; lokal erscheint er flach, seine globale Form ist jedoch noch nicht vollständig geklärt
- Physiker übersetzen Probleme in die Sprache der Mannigfaltigkeiten und nutzen deren geometrische Eigenschaften
- Beispiel: Drückt man beim Doppelpendel (double pendulum) alle möglichen Zustände durch zwei Winkel aus, dann wird sein Zustandsraum zu einer **donutförmigen (Torus-)**Mannigfaltigkeit
- Die Bewegung des Pendels erscheint als Pfad auf diesem Torus, wodurch sich komplexe Bewegungen geometrisch analysieren lassen
- Ebenso lassen sich Lösungsmengen komplexer algebraischer Gleichungen oder hochdimensionale Daten (z. B. die Aktivität von Gehirnneuronen) als Mannigfaltigkeiten interpretieren, um ihre Struktur zu verstehen
- Mannigfaltigkeiten sind eine grundlegende Sprache in Mathematik und Wissenschaft insgesamt und werden als Werkzeug angesehen, das „so universell ist wie die Verwendung von Zahlen“
1 Kommentare
Hacker-News-Kommentare
Das Buch ist dicht, aber wunderschön strukturiert und führt logisch von der grundlegenden Topologie zu glatten Abbildungen und Tangentialräumen.
Es verlangt Konzentration, aber jede einzelne Definition trägt dazu bei, das Wesen der Geometrie offenzulegen. Sehr zu empfehlen.
Lees Topological Manifolds ist ebenfalls gut, und bei der neuesten Ausgabe von Riemannian Manifolds liest man am besten nur die Teile, die man braucht.
Nicht schlecht, aber in Sachen Strenge fand ich sie eher unzureichend. Stattdessen fand ich Jeffrey M. Lees Manifolds and Differential Geometry deutlich besser.
Er gibt nicht nur eine bloße Definition, sondern erklärt auf interessante Weise, wie sich das mathematische Konzept entwickelt hat.
Der eigentliche Feed ist https://www.quantamagazine.org/feed/.
Zum Beispiel wurde der Raum aller möglichen Zustände eines Doppelpendels (double pendulum) als Mannigfaltigkeit beschrieben, aber es blieb unklar, warum man ihn unbedingt als Mannigfaltigkeit betrachten sollte.
Außerdem fehlte eine Erklärung des Konzepts eines Atlas. Selbst eine einfache Kugel kann nicht mit einer einzigen Ebene überdeckt werden, daher braucht man mehrere Koordinatensysteme, und der Umgang mit ihren Überlappungen ist der entscheidende Punkt.
Nebenbei: Die Raumzeit in der Relativitätstheorie ist nicht Riemannian, sondern Minkowski-Raum.
Ich halte es für eines der derzeit hochwertigsten Medien im Wissenschaftsjournalismus.
Ernsthaft statt clickbaitig, und die Kombination aus technischen Diagrammen und künstlerischen Illustrationen ist hervorragend.
Der Podcast ist auch ganz gut, aber ich wünschte, es gäbe eine Version, die alle Artikel vorliest.
Außerdem gibt es dort keinerlei Paywall, Cookie-Pop-ups oder politische Reizthemen.
Oder ist es nur eine bildhafte Umschreibung für einen eingebetteten Unterraum?
Es ist vernünftig anzunehmen, dass die meisten Daten tatsächlich auf einer Mannigfaltigkeit liegen.
Wenn man zum Beispiel eine handgeschriebene „6“ sanft verformt, wird sie immer noch als „6“ erkannt.
Verwendet man jedoch die Aktivierungsfunktion ReLU, geht die Glattheit verloren, sodass der Repräsentationsraum eines neuronalen Netzes keine echte Mannigfaltigkeit ist.
Mit glatten Aktivierungsfunktionen wie Swish lässt sich die Struktur dagegen erhalten.
Dort gibt es interessante Arbeiten, die geometrische Analysen auf den Lernprozess neuronaler Netze anwenden.
Dabei sollen sogar Phänomene gefunden worden sein, die Phasenübergängen (phase transitions) ähneln.
Information Geometry of Evolution of Neural Network Parameters While Training
Daten wie y=sin(x)+noise kann man zum Beispiel als 1-dimensionale Mannigfaltigkeit betrachten.
Wegen des Fluchs der Dimensionalität bin ich allerdings skeptisch, ob eine solche Definition algorithmisch wirklich nützlich ist.
Wikipedia-Link
Ehrlich gesagt habe ich nicht alles verstanden, aber die Bilder sind wirklich wunderschön.
Google-Bildersuche
Das ist ein glatter und symmetrischer spezieller Raum, der lokal flach ist, global aber auf komplexe Weise gekrümmt.
Die Krümmung ist perfekt ausbalanciert, sodass es insgesamt weder Expansion noch Kontraktion gibt.
In der Stringtheorie werden diese Mannigfaltigkeiten verwendet, um verborgene Dimensionen zu erklären, und ihre Form beeinflusst die Eigenschaften von Teilchen und Kräften.
Oberflächlich wirkt das wie ein Zirkelschluss, aber tatsächlich unterscheidet gerade diese Transformationseigenschaft Tensoren von anderen Zahlenfeldern.
Abstrakt betrachtet ist es praktisch, weil man sich nicht an Visualisierungen binden muss.
Im Kern geht es aber um eine vom Koordinatensystem unabhängige geometrische Struktur.
Zum Beispiel kann der Minkowski-Raum der speziellen Relativitätstheorie auch ohne Koordinaten definiert werden.
Viel klarer wird es, wenn man Tensoren als multilineare Abbildungen versteht, die Vektoren und kovariante Vektoren als Eingabe nehmen und reelle Zahlen ausgeben.
Man lernt nur Transformationsregeln, aber nicht, warum sie so sind.
Die mathematische Definition vermittelt dagegen über Differentialformen und Kovektoren ein viel grundlegenderes Verständnis.
Denn die Definition enthält sich selbst.
Der Radius muss nur größer als 0 sein.
Eigentlich wirkt das doch fast wie ein Paradebeispiel für eine Mannigfaltigkeit; ich frage mich, warum das so ist.
Kartografen beschäftigen sich hauptsächlich mit Verzerrung (distortion), und dafür gibt es bereits passende Methoden.
Außerdem werden Mannigfaltigkeiten nicht über globale Koordinatensysteme (global coordinates), sondern über lokale Karten (local charts) definiert, sodass die Koordinaten verschiedener Regionen nicht übereinstimmen.
Auch historisch existierte die Kartografie schon lange vor dem Konzept der Mannigfaltigkeit.
In anderen Sprachen wird für beides manchmal dasselbe Wort verwendet. Im Italienischen etwa heißt beides varietà.
Eine Erklärung dazu gibt es in dieser math.stackexchange-Antwort.
Eine bereits bekannte Bedeutung bleibt im Kopf und stört das Verständnis des neuen Begriffs.
Es wäre viel hilfreicher, wenn man zugleich auch die Etymologie des Begriffs erklären würde.
Häufig sind dabei zwei Räume miteinander verflochten, etwa bei Ansaugung und Auspuff.