- Grafische lineare Algebra ist ein Blog, der Konzepte aus linearer Algebra und Kategorientheorie mithilfe von Diagrammen auf anschauliche und interessante Weise erklärt
- Jede Episode nähert sich zentralen mathematischen Themen wie Addition, Matrizen, ganzen Zahlen, Brüchen und Unterräumen visuell
- Durch kategorientheoretische Deutungen wie PROPs, monoidale Kategorien und lineare Relationen wird die Verbindung zur klassischen linearen Algebra gestärkt
- Der Blog versteht sich als offene Forschungs- und Lerngemeinschaft für Forschende und Studierende
- Auch Gastbeiträge, Workshops und Übersetzungsprojekte werden aktiv angebunden
Einführung in die grafische lineare Algebra
- Graphic Linear Algebra ist ein Blog, der abstrakte mathematische Konzepte wie lineare Algebra und Kategorientheorie anhand visueller Diagramme leicht verständlich aufbereitet
- Das Hauptziel besteht darin, die traditionell formellastige lineare Algebra hinter sich zu lassen und komplexe Konzepte durch visuelles Denken und diagrammatische Argumentation leichter verständlich zu machen
- Die zahlreichen Episoden behandeln, nach Themen geordnet, zentrale Begriffe, Algorithmen, Beziehungen und Fallstudien; die Inhalte werden als offenes Forschungsprojekt laufend erweitert und aktualisiert
- Der Blog bietet einen Ort zum Lernen und Austausch für Lesende mit ganz unterschiedlichem Hintergrund, darunter Forschende, Promovierende und Entwickler aus der Praxis
Wichtige Episoden und Struktur
Introduction
- Diese Episoden behandeln Grundlagen wie Makélélé und lineare Algebra, die Methodologie des Argumentierens und die Einführung von Diagrammen
Adding and Copying
- Addition, Kopieren, Verwerfen und Regeldefinitionen werden als Wesen natürlicher Zahlen und ihrer Operationen mit diagrammatischer Logik untersucht
- Charakteristisch sind zugängliche Beispiele und ein erzählerischer Stil, etwa mit Mr Fibonacci oder Lego-Metaphern
- Es wird visuell gezeigt, wie Additions- und Kopieroperationen mit der Struktur natürlicher Zahlen zusammenhängen
Matrices and PROPs
- Hier werden Matrizen, PROPs (Products and Permutations categories) und höherstufige Konzepte der Kategorientheorie wie monoidale Kategorien eingeführt
- Erklärt werden verschiedene Transformationen, etwa der Übergang von Diagrammen zu Matrizen, Isomorphismen von PROPs und diagrammatische Darstellungen von Matrizen
- Dieser kategorientheoretische Zugang betont das Wesen und die Erweiterbarkeit der linearen Algebra
Integers and Relations
- Diskutiert werden fortgeschrittene Themen wie ganzzahlige Matrizen, Kausalität und Feedback, Funktionen und Relationen sowie die Frobenius-Formel
- Mit diagrammatischen Methoden werden Zahlentheorie, Relationen, Funktionen und verschiedene mathematische Strukturen erläutert
Fractions and Spaces
- Brüche, Unterräume, lineare Relationen, inverse Matrizen bis hin zur Unmöglichkeit der Division werden als Erweiterungen der linearen Algebra aus verschiedenen Perspektiven behandelt
- Diagramme erleichtern die Interpretation komplexer Operationen, der Strukturierung von Räumen und von Sätzen über Inversen von Matrizen
Redundancy – Jason Erbeles Trilogie
- Innerhalb der grafischen linearen Algebra wird Redundanz als zentrales Thema aus einer neuen Perspektive betrachtet
Interlude – String-Diagramme und ressourcensensitive Grammatik
- Die Bedeutung und der Nutzen von String-Diagrammen (string diagrams) werden hervorgehoben
Sequences and Signal Flow Graphs
- Behandelt werden sequenzbasierte Modelle wie Fibonacci-Folgen und Signalflussgraphen
Out of order
- Fortgeschrittene Themen wie orthogonale Projektionen und Eigenwerte werden ausgewählt behandelt
Contributions
- Enthält Gastbeiträge externer Forschender, etwa zu Determinanten und zum Lindström-Gessel-Vienot-Lemma
Offtopic
- Gelegentlich geht es auch um Neuigkeiten aus der Mathematik- und IT-Community, etwa zu Hochschulen und Forschungsumgebungen, Diskussionen über Monoid-Monade-Kategorie und Workshop-Ankündigungen
Lernen und Community
- Der Blog ist auf Englisch verfasst, und auch Übersetzungen in verschiedene Sprachen werden aktiv unterstützt
- Es gibt Informationen zu offenen Forschungsprojekten wie der ACT Research School (Applied Category Theory)
- Mit Abonnement- und Feedback-Kanälen, Ausschreibungen für Doktorandenstellen und Übersetzungsprojekten bestehen vielfältige Möglichkeiten zur Beteiligung
Merkmale und Bedeutung
- Der systematische Einsatz von Diagrammen als Visualisierungswerkzeug für lineare Algebra, Kategorientheorie und die Vermittlung von Algorithmen wird eingehend untersucht
- Auch Lesende, die mit Formeln weniger vertraut sind, erhalten durch intuitive Zugänge und wiederholte Beispiele eine Grundlage, komplexe mathematische Strukturen zu verstehen
- Als offen ausgerichtete Plattform eignet sich das Angebot gut als Lernmaterial für aktuelle Forschung, Beiträge und Networking
1 Kommentare
Hacker-News-Kommentare
Es ist beeindruckend, dass einige Diagramme fast identisch aussehen, wenn man Berechnung in Interaktionsnetzwerken mit symmetrischen interaction combinators kodiert.
Aus Sicht des Lambda-Kalküls entspricht das Duplizieren des Additionsknotens aus dem Artikel „When Adding met Copying“ exakt dem wiederholten Duplizieren eines Lambda-Terms der Form
(λx.x x) M.Mehr dazu in diesem Artikel und in der Diagrammerklärung.
Als ich zum ersten Mal das Kapitel gelesen habe, in dem Graphen und die Kommutativität ernsthaft erklärt werden, dachte ich, es würde ein simples Konzept unnötig breit auswalzen.
Allerdings konnte ich mir schon immer mathematische Begriffe, die mit c anfangen, schlecht merken, etwa Kommutativität oder Assoziativität.
Durch die grafische Darstellung konnte ich mir zum ersten Mal wirklich merken, was Kommutativität ist, und die Verbindung war so unterhaltsam, dass ich laut lachen musste.
Die Formel „x + y = y + x“ an sich hatte ich zwar verstanden, aber das grafische Diagramm zusammen mit dem Namen hat sich viel stärker eingeprägt.
Ich war von dieser Art der Erklärung wirklich begeistert.
Im Inhaltsverzeichnis scheint es nicht zu stehen.
Es geht um Transformer, verallgemeinert aus Applicative Functors.
Im Machine Learning bilden Transformer die Grundlage von State-of-the-Art-Modellen und wurden ursprünglich in [arXiv:1706.03762] vorgeschlagen.
Dieser Beitrag stellt einen verallgemeinerten Transformer vor, der auf (fast) beliebigen Strukturen funktionieren kann – Funktionen, Graphen, Wahrscheinlichkeitsverteilungen usw.
Es geht darum, wie man sie nicht nur auf Matrizen oder Vektoren beschränkt, sondern auf viele unterschiedliche Strukturen anwendet.
Das ist Teil einer Ideenreihe, die Machine Learning mit dieser abstrakten diagrammatischen Methode untersucht.
Mehr dazu hier.
Ich mag solche Materialien wirklich, aber ich finde es schade, dass sie ständig Wörter wie „einfach“ oder „simpel“ verwenden.
Für Leser, die ein Konzept beim Lesen nicht sofort verstehen und sich deshalb stumpf vorkommen, kann das eher zu Frust oder zum Aufgeben führen.
Solche Wörter sollen wohl Zugänglichkeit signalisieren, können aber leicht das Gegenteil bewirken, deshalb sollte man damit vorsichtig sein.
In Erklärtexten sollte man Wörter wie „offensichtlich“ oder „obvious“ besser nie verwenden.
Wenn etwas wirklich offensichtlich wäre, müsste der Leser wahrscheinlich gar keine Erklärung dazu lesen.
Wenn ein Text unnötig explizite Emotionen ausdrückt – etwa so, als würde man direkt schreiben „diese Stelle hat mich wütend gemacht“ –, kann das für Leser die Immersion eher mindern.
Wenn man den Kern zeigt und klar sowie knapp formuliert, können Leser es oft selbst gut erfassen.
Statt dem Leser aufzudrängen, dass etwas „leicht zu verstehen“ sei, ist eine Haltung besser, die davon ausgeht, dass Leser auf unterschiedlichem Niveau bereit sind, sich der Herausforderung zu stellen.
Weil es fast unmöglich ist, dass wirklich alle Leser etwas sofort einfach finden, sollte man es so leicht und klar wie möglich vermitteln und zugleich akzeptieren, dass der Schwierigkeitsgrad je nach Leser unterschiedlich wahrgenommen wird.
Als dieses Material erschien, habe ich es mit großer Freude gelesen und es auch mit meinen Studenten weiterverfolgt.
Schade nur, dass es inzwischen eingestellt zu sein scheint.
Pawel ... oder so, aber sicher bin ich mir nicht.
„Das Internet hat uns gelehrt: Mensch + Anonymität = Widerlichkeit.“
Das ist eines meiner Lieblingsbonmots, und mit diesem Comic von Penny Arcade kann man das noch besser nachfühlen.
Als ich vor ein paar Jahren einige Kapitel dieses Materials gelesen habe, wurde mir zum ersten Mal klar, wie mächtig diagrammatische Darstellungen für logisches Schlussfolgern sind.
Ich habe mit string diagrams zwar nichts Praktisches gemacht, aber es hat mir enormen Spaß gemacht zu sehen, was mit diesem System alles möglich ist.
Wenn man uns in der Schule Analysis mit solchem visuellen Material beigebracht hätte, wären mein Verständnis und mein Interesse sicher viel größer gewesen.
Es hat mich erneut erstaunt, wie viel Kraft visuelle Darstellungen dafür haben, Verständnis zu fördern.
Ich habe das nie vollständig verstanden, aber es erinnert mich an den ZX-Kalkül.
Einführung in den ZX-Kalkül (Wiki)
Das erinnert mich an die Arbeit von Bob Coecke von der University of Oxford, der eine Bildsprache für Quantenprozesse entwickelt hat.
Falls du mehr wissen willst, lohnt sich auch dieser Thread auf Hacker News.
Ich möchte auch Immersive Linear Algebra empfehlen.
Auf der Seite Immersive Linear Algebra und im Hacker-News-Thread (hier) gibt es mehr dazu.