Illustrierte Einführung in die lineare Algebra

• Dieser Beitrag führt mit Illustrationen in die Grundkonzepte der linearen Algebra ein
• Zu Beginn liegt der Schwerpunkt auf den Konzepten Gaußsches Eliminationsverfahren und Zeilenbild vs. Spaltenbild
• Anhand realistischer Beispiele (Münzen, Lebensmittel) wird lineare Gleichungen und der Prozess zum Finden von Lösungen leicht verständlich erklärt
• Hervorgehoben wird der Wechsel der mathematischen Denkweise über bloße Zahlenfolgen hinaus, etwa durch Vektoren und Matrixnotation
• Es wird betont, dass es in der linearen Algebra im Kern darum geht, statt einzelner Zahlen mit Arrays, Vektoren und Matrizen zu arbeiten

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Einleitung

Dieser Text ist eine Einführung für Menschen, die mit klassischer Algebra vertraut sind, aber lineare Algebra noch nicht kennen.
Die ersten beiden wichtigen Konzepte, die behandelt werden, sind das Gaußsche Eliminationsverfahren (Gaussian elimination) und das Zeilenbild (row picture) vs. Spaltenbild (column picture).

Geldbeispiel

• Es wird das Problem erklärt, wie man mit mehreren Nickels und Pennys 23 Cent bildet und berechnet, wie viele Münzen jeder Sorte dafür nötig sind
• x steht für die Anzahl der Nickels, y für die Anzahl der Pennys. Als Gleichung formuliert ergibt sich daraus eine lineare Gleichung, bei der Kombinationen von x und y den Wert 23 ergeben
• In diesem Beispiel sind mehrere Lösungen möglich (z. B. 4 Nickels und 3 Pennys oder 23 Pennys)
• Es wird betont, dass eine lineare Gleichung (linear equation) eine Gleichung ohne Kurven oder Löcher ist, bei der alles in einer Ebene liegt
• Zwei Variablen auf eine Zahl abzustimmen ist einfach, aber wenn zwei Variablen gleichzeitig auf zwei Zahlen abgestimmt werden müssen, wird es komplizierter — und genau dann ist das Gaußsche Eliminationsverfahren nützlich

Lebensmittelbeispiel

• Es gibt zwei Lebensmittel wie Brot und Milch, und auf Basis ihrer Werte für Kohlenhydrate (carbs) und Protein (protein) soll eine Kombination gefunden werden, die ein vorgegebenes Ziel erfüllt (z. B. 5 g Kohlenhydrate, 7 g Protein)
• In diesem Fall müssen zwei Gleichungen aufgestellt werden, um die Werte von x (Anzahl Milch) und y (Anzahl Brot) zu finden
• Für solche Probleme wird das Gaußsche Eliminationsverfahren verwendet

Gaußsches Eliminationsverfahren

• Es wird der Prozess beschrieben, die Aufgabe in zwei lineare Gleichungen umzuschreiben und dann durch Subtraktion oder Addition eines Vielfachen der einen Gleichung zur anderen schrittweise Variablen zu eliminieren und die Werte einzugrenzen
• Im Beispiel wird y eliminiert, x bestimmt und dieser Wert anschließend wieder eingesetzt, um y zu berechnen
• Das Ergebnis ist 3 Milch und 1 Brot
• Es wird erwähnt, dass das Gaußsche Eliminationsverfahren eine allgemeine Technik mit langer Geschichte ist

Verstehen über Bilder

• Während oben mit dem Zeilenbild (row picture) gearbeitet wurde, wird das Problem nun über Bilder/Grafen visuell gelöst
• Jede Gleichung wird in Bezug auf x (Milch) umgeformt und als Gerade in einem Graphen dargestellt
• Der Graph der ersten Gleichung steht für alle Milch-Brot-Kombinationen, die das Ziel bei den Kohlenhydraten erfüllen (Punkte auf der Geraden)
• Dasselbe wird für die zweite Gleichung dargestellt
• Um beide Ziele gleichzeitig zu erreichen, ist der eine Schnittpunkt der beiden Geraden die richtige Lösung
• Auch diese Methode liefert letztlich 3 Milch und 1 Brot
• Es wird erklärt, dass das Gaußsche Eliminationsverfahren eine sehr grundlegende und unverzichtbare Technik ist, die auch ohne lineare Algebra seit über 2000 Jahren verwendet wird

Spaltenbild (Column Picture)

• Zuvor lag der Fokus auf dem Zeilenbild (row picture), bei dem jede Gleichung einzeln betrachtet wird; nun wird das Spaltenbild (column picture) eingeführt
• Die beiden Gleichungen werden zu einer einzigen zusammengefasst, und die Koeffizienten werden als Array (Vektor) dargestellt
• Ein Vektor kann ohne Weiteres als ein Array mit geordneten Einträgen verstanden werden (ähnlich dem Vektorbegriff in der Informatik)
• Vektoren grafisch darstellen: Ein Vektor kann als Punkt oder als Pfeil dargestellt werden
• Betrachtet man die Addition von Vektoren visuell, lässt sich der Weg zur Lösung intuitiv erkennen (z. B. dreimal der Milch-Vektor plus einmal der Brot-Vektor)
• Es wird erklärt, dass Multiplikation und Addition bei Vektoren jeweils auf die einzelnen Elemente des Vektors angewendet werden
• Das Spaltenbild mit Vektoren kann in vielerlei Hinsicht intuitiver sein als die bisherige Methode

Lineare Algebra verstehen

• Es wird daran erinnert, dass lineare Algebra wesentlich einen Perspektivwechsel von Algebra auf Zahlenebene hin zu einer Algebra mit Arrays und Vektoren bedeutet
• Sowohl Spaltenbild als auch Zeilenbild sind zentrale Visualisierungsmethoden der linearen Algebra
• Zum Schluss wird kurz die Matrixnotation (matrix) eingeführt und gezeigt, dass sich das gesamte System in der Form Matrix × Vektor darstellen lässt

Ausblick auf die nächsten Inhalte

• In künftigen Kapiteln sollen weitere wichtige Konzepte der linearen Algebra wie Matrizen und das Skalarprodukt (dot product) behandelt werden
• Wer neugierig ist, wird zum Abonnieren eingeladen

Weiterführende Lektüre und Abschluss

• Es wird ein Instagram-Link zu weiteren Materialien und Kunstwerken bereitgestellt

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Hacker-News-Kommentare

• Ich stimme zu, dass der Inhalt klar und nützlich ist, aber in dem Beispiel stehen die Zahlen 1 und 2 gleichzeitig für Brot und Milch, sodass man in der Matrixdarstellung intuitiv nur schwer erkennen kann, welche 1 Brot und welche 1 Milch ist; wenn stattdessen unterschiedliche Zahlen wie 1, 2, 3, 4 verwendet worden wären, wäre es deutlich klarer gewesen.

  • Ich stimme dieser Anmerkung zu. Beim Lernen von linearer Algebra tauchen ohnehin sehr viele Zahlen auf, und die Reihenfolge ist wirklich wichtig. Deshalb bevorzuge ich bei Beispielzahlen besondere Folgen wie Primzahlen, weil man dann auch leicht nachvollziehen kann, welche Zahlen zum Ergebnis einer Multiplikation beigetragen haben.

• Der spätere Teil des Blogposts hat mir wirklich gefallen. Aber mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren anzufangen ist, mir fällt kein besseres Wort ein, ein wenig „mystisch“. Zuerst sollte das Problem kommen („Wie löst man ein lineares Gleichungssystem?“ „Wie findet man den Schnittpunkt zweier Geraden?“), dann eine grafische Darstellung davon, und erst danach die Methode oder der Algorithmus. Andersherum wirkt es so, als würde man in der Analysis zuerst die Kettenregel lehren, ohne ihre geometrische Bedeutung zu zeigen.

  • Ich bin der Autor – ich glaube, du hast recht. Den Teil zum Gaußschen Eliminationsverfahren habe ich als Wiederholung geschrieben, weil ich davon ausgegangen bin, dass die meisten Leser ihm schon einmal begegnet sind, und ich wollte schneller zum eigentlichen Stoff kommen. Falls es noch mehr Leute gibt, die an dieser Stelle Schwierigkeiten hatten, würde ich gern Feedback hören. Vielleicht muss ich das langsamer und ausführlicher erklären.

  • Mir ist immer noch nicht klar, was es eigentlich bedeutet, dass „wir eliminieren können“. Aber die Art, wie du als Autor die Spaltenperspektive einführst, ist an sich sehr ansprechend und für Anfänger wie mich wirklich hilfreich.<br>Außerdem gibt es unzählige Lehrbücher zur linearen Algebra, aber Inhalt und Reihenfolge unterscheiden sich alle. Deshalb scheint lineare Algebra sowohl schwer zu lehren als auch schwer zu verstehen zu sein. Darum denke ich, dass wir mehr verschiedene Perspektiven brauchen, weil es keinen einzigen Ansatz gibt, der für alle gleichermaßen passt.

• Dieser Artikel gefällt mir wirklich. Es wäre wohl weniger verwirrend gewesen, für die Variablen, die Brot und Milch bedeuten, nicht einfach nur x und y zu verwenden, sondern andere Variablenbuchstaben, weil x und y später im Diagramm wieder zu anderen Konzepten wie Kohlenhydraten und Proteinen als x und y werden.

  • Bei den Variablen gibt es offenbar tatsächlich etwas Verwirrung. Ich sollte darüber nachdenken, welchen Teil ich ändern könnte.

• Schön, wieder etwas von Aditya Bhargava zu sehen. Ich bin schon seit Grokking Algorithms ein Fan.

  • Danke, das Schreiben dieses Buches hat mir sehr viel Spaß gemacht.

• Der Inhalt ist ziemlich gut. Bis ich an der Universität ein Semester lang lineare Algebra gehört hatte, war das für mich ein völliges Mysterium. Das ist wirklich gut aufbereitet.<br>Für Leute, die mit dem Konzept von Vektoren nicht vertraut sind, wäre es vielleicht noch besser, kurz zu erklären, wie zwei Vektoren (Betrag und Richtung) jeweils 1 Brot und 1 Milch darstellen und wie man Vektoren verschiebt oder addiert.

• Ich wünschte, es gäbe mehr Inhalte dieser Art auf der Welt. Gute Bildungsinhalte für Mathematik zu erstellen ist wirklich schwer, das ist sehr gut gemacht.

• Mir gefallen die visuelle Erklärweise und die Art der Motivation sehr. Ich lerne lineare Algebra gerade mit einigen Materialien wie „The No Bullshit Guide to Linear Algebra“ und finde das ziemlich gut. Falls jemand weitere Empfehlungen für Bücher zur linearen Algebra auf so einem praktischen, direkt anwendbaren Niveau hat, würde ich mich freuen. Die meisten Bücher wirken mir zu theoriezentriert oder haben eine zu hohe Einstiegshürde.

  • Ich schaue mir gerade auch Lehrbücher zur linearen Algebra an. Ich interessiere mich für ML/AI und gehe deshalb aus dieser Perspektive heran.<br>Ich habe bei KA academy bis zur linearen Algebra gelernt und nutze parallel andere Materialien und Lehrbücher.<br>Leute werden wahrscheinlich 3B1B und Strang (den LinAlg-Kurs im MIT OCW) empfehlen; 3B1B ist intuitiv und als Einstieg großartig, wirkt aber etwas schnell, wenn man zum ersten Mal richtig damit lernt, und Strang ist wirklich hervorragend, schweift in den Vorlesungen aber manchmal ab, sodass es schwer ist, dranzubleiben. Trotzdem nutze ich es unbedingt als Begleitmaterial.<br>LADR4e (Linear Algebra Done Right) ist auch gut, aber die Beweise sind schwer, deshalb bin ich da noch nicht komplett mitgekommen.<br>Es gibt auch „Linear Algebra Done Wrong“ und Bücher von Hefferon, aber auch dort wird es recht schnell beweislastig; für ein zweites oder drittes Durcharbeiten wären sie wohl hervorragend.<br>Zusätzlich gibt es noch das Fach „abstrakte lineare Algebra“, das vom Schwierigkeitsgrad her gar nicht so weit von traditionellen Lehrbüchern zur linearen Algebra entfernt ist.<br>Am weitesten gekommen bin ich mit dem ROB101-Lehrbuch (https://github.com/michiganrobotics/rob101/blob/main/Fall%202021/Textbook/ROB_101_December_2021_Grizzle.pdf), das ich bis zur linearen Unabhängigkeit als Hauptreferenz genutzt habe, parallel zu Strangs MIT-Vorlesungen.<br>ROB101 behandelt auch die Coding-Seite gut und eignet sich deshalb dafür, im ML/AI-Kontext zusammen mit dem Programmieren darüber nachzudenken.<br>Außerdem habe ich ein paar osteuropäische Mathematiklehrbücher für Übungsaufgaben.<br>Zuletzt wiederhole ich den Kurs/das Lehrbuch unter https://www.math.ucdavis.edu/~linear/ und bekomme auch viel Hilfe aus den Notizen unter https://math.berkeley.edu/~arash/54/notes/.

  • Ein Buch, das ich wirklich mit großem Interesse gelesen habe, ist „Introduction to Applied Linear Algebra – Vectors, Matrices, and Least Squares“.<br>https://web.stanford.edu/~boyd/vmls/

  • Du hast geschrieben, dein Ziel sei ein „praktisches, direkt anwendbares Verständnis“, aber ich frage mich, wofür genau du es anwenden willst. Meiner Meinung nach ist es ein wenig seltsam, Theorie wie lineare Algebra nur aus praktischer Motivation zu lernen. Eigentlich könnte man auch ein Buch zu einer konkreten Anwendung lesen und die Theorie parallel mitnehmen. Und wenn man wirklich an einen Punkt kommt, an dem man die Theorie zwingend braucht, bleibt einem letztlich nichts anderes übrig, als sie zu lernen, egal wie schwierig der Stoff ist.<br>Lineare Algebra ist zum Beispiel sehr wichtig, wenn man Quantenmechanik studieren will. Für dieses Ziel wäre es meiner Ansicht nach sogar besser, zuerst ein Lehrbuch zur Quantenmechanik anzusehen.

  • Du hast geschrieben, dein Ziel sei ein „praktisches, direkt anwendbares Niveau“, und bei mir ist es genauso. Ich denke, ML ist ein perfektes Feld, um das tatsächlich einzusetzen. Ich bereite dazu auch gerade eine Reihe vor.

• Ich finde, man sollte auf jeden Fall auch die Reihe zur linearen Algebra von 3blue1brown erwähnen. Sie ist etwas fortgeschrittener als dieser Artikel, aber die Erklärungen sind wirklich hervorragend und trotzdem noch gut zugänglich.<br>https://youtube.com/playlist?list=PLZHQObOWTQDPD3MizzM2xVFitgF8hE_ab

  • Die Videos von 3B1B sind wirklich beeindruckend. Aber die Videos zur linearen Algebra waren für mich etwas zu schnell, und das war der Auslöser dafür, dass ich diese Reihe zu schreiben begonnen habe.

  • Es ist großartig, dass das von 3B1B verwendete Grafik-Framework als Open Source veröffentlicht wurde.<br>https://github.com/ManimCommunity/manim

• Immer wenn ich solche Artikel lese, denke ich am Anfang: „Wow! Endlich ist da jemand, der Mathematik so erklärt, dass ich sie verstehen kann!“ Aber ab dem Teil zum Gaußschen Eliminationsverfahren verliere ich den Faden dann wieder.

• Beim Namen Josh Starmer muss ich automatisch an den Ausruf „Bam!“ denken. Ich weiß nicht, ob sich noch jemand an das Buch erinnert, in dem er Machine Learning mit Zeichnungen erklärt hat; seinen YouTube-Kanal habe ich früher auch oft gesehen. Solche erklärenden Inhalte machen Lernen wirklich unterhaltsamer.