Wie schnell werden die Tage länger?
(joe-antognini.github.io)- Auf der Nordhalbkugel nimmt die Tageslänge direkt nach der Frühlings-Tagundnachtgleiche am schnellsten zu, und selbst derselbe Abstand von einem Tag führt je nach Breitengrad zu sehr unterschiedlich wahrgenommenen Zunahmen an Sonnenlicht
- Die Tageslänge lässt sich berechnen, indem man aus dem Breitengrad des Beobachters und der Deklination der Sonne den Stundenwinkel (hour angle) zum Sonnenaufgang bestimmt
- Am Äquator ist der Tag das ganze Jahr über 12 Stunden lang, und zu Frühlings- und Herbst-Tagundnachtgleiche beträgt er unabhängig vom Breitengrad 12 Stunden, doch ab der Arktisgrenze bei 66,55° tritt zur Sommersonnenwende die Ausnahme auf, dass die Sonne nicht untergeht
- Tatsächliche Sonnenauf- und -untergänge verlängern sich gegenüber dem einfachen Modell wegen der Größe der Sonnenscheibe und der atmosphärischen Refraktion; selbst am Äquator entstehen zur Tagundnachtgleiche dadurch 6 Minuten 40 Sekunden zusätzliche Tageszeit
- Die Elliptizität der Erdbahn und die Schiefe der Ekliptik lassen sich genauer berücksichtigen, doch außer in der Nähe des Polarkreises liegt der Einfluss der elliptischen Bahn auf die Tageslänge bei höchstens etwa 10 Sekunden
Warum die Tage nach der Frühlings-Tagundnachtgleiche schnell länger werden
- Auf der Nordhalbkugel werden die Tage nach der Frühlings-Tagundnachtgleiche schnell länger
- Die Erfahrung mit dem Hintergrundfenster eines in Stavanger, Norwegen lebenden Freundes, das ein halbes Jahr lang dunkel war und zwischen Meetings heller wurde, führte zu der Frage, wie stark die Sonnenlichtdauer von Tag zu Tag zunimmt
- Tageslänge und tägliche Veränderung nach Breitengrad lassen sich in einem interaktiven Diagramm vergleichen
- Die vertikalen gestrichelten Linien im Diagramm markieren Sommer- und Wintersonnenwende sowie Frühlings- und Herbst-Tagundnachtgleiche
- In Breitengraden der Nordhalbkugel ist der Tag zur Sommersonnenwende am längsten und zur Wintersonnenwende am kürzesten
- Zur Frühlings- und Herbst-Tagundnachtgleiche ist der Tag unabhängig vom Breitengrad genau 12 Stunden lang, und in dieser Zeit ändert sich die Tageslänge auch am schnellsten
- Regionen sehr nahe am Polarkreis bei 66,55° bilden jedoch eine Ausnahme
- Je näher man dem Polarkreis kommt, desto mehr nähert sich die Tageslänge zwischen Winter- und Sommersonnenwende einem fast linearen Anstieg und anschließendem Rückgang in einer Zickzack-Form
Die grundlegende Mathematik zur Berechnung der Tageslänge
- Um für ein bestimmtes Datum die Dauer zu berechnen, in der die Sonne über dem Horizont steht, verwendet man in der sphärischen Astronomie den Stundenwinkel (hour angle)
- Der Stundenwinkel ist der Winkel zwischen einem Himmelskörper und dem Meridian; in Zeiteinheiten umgerechnet gibt er an, wie lange es noch dauert, bis der Himmelskörper den Meridian passiert
- Die Zeit vom Sonnenaufgang bis zum Sonnenuntergang wird als das Doppelte der Zeit vom Sonnenaufgang bis zum Meridiandurchgang berechnet
- Für die Berechnung sind zwei Werte entscheidend
- der Breitengrad des Beobachters (\lambda)
- die Deklination der Sonne (\delta), also der Winkelabstand der Sonne vom Himmelsäquator
- Setzt man die Höhe der Sonne beim Aufgang auf 0, ergibt sich aus dem sphärischen Kosinussatz die folgende Sonnenaufgangsgleichung
[ H = \arccos (-\tan \lambda \tan \delta) ]
- Die Sonne bewegt sich entlang der Ekliptik, eines Großkreises am Himmel, und in erster Näherung kann man annehmen, dass sie sich nahezu gleichförmig bewegt
- Die Sonnendeklination lässt sich durch eine einfache Sinuskurve annähern
[ \delta \simeq \epsilon \sin \left( \frac{T}{365 , \textrm{d}} \right) ]
- Dabei ist (\epsilon) die Schiefe der Ekliptik, also die Neigung der Erdachse, mit etwa (23.45^\circ), und (T) die Anzahl der Tage seit der Frühlings-Tagundnachtgleiche
- Sind Breitengrad und Datum gegeben, lässt sich die Tageslänge näherungsweise mit der folgenden Gleichung berechnen
[ t_{\textrm{daylight}} \approx \frac{2}{15^{\circ}} \arccos \left(-\tan \lambda \tan \left(23.45^{\circ} \times \sin \frac{2 \pi T}{365 , \textrm{d}} \right) \right) , \textrm{hr} ]
Wie sich die Tageslänge nach Breitengrad unterscheidet
- Am Äquator ist der Breitengrad (\lambda) gleich 0, wodurch sich die Gleichung vereinfacht und die Tageslänge das ganze Jahr über genau 12 Stunden beträgt
- Zur Frühlings-Tagundnachtgleiche gilt (T = 0), sodass die Tageslänge 12 Stunden beträgt
- Da (\cos(x+\pi)=\cos x) gilt, ergibt sich dasselbe auch zur Herbst-Tagundnachtgleiche
- Zu Frühlings- und Herbst-Tagundnachtgleiche ist der Tag unabhängig vom Breitengrad genau 12 Stunden lang
- Die Arkuskosinus-Funktion ist nur definiert, wenn ihr Eingabewert zwischen (-1) und (1) liegt
- Zur Sommersonnenwende wird der Term (\sin T) zu 1, und wenn (\tan \lambda \tan 23.45^\circ) größer als 1 ist, ist die Gleichung nicht mehr definiert
- Diese Bedingung tritt ab dem Breitengrad (90^\circ - 23.45^\circ = 66.55^\circ) auf; dieser Breitengrad definiert den Polarkreis
- Am und oberhalb des Polarkreises geht die Sonne zur Sommersonnenwende nicht unter, sodass die Gleichung für die Tageslänge dort nicht mehr gilt
- Am Nordpol geht die Sonne einmal im Jahr zur Frühlings-Tagundnachtgleiche auf und bleibt bis zur Herbst-Tagundnachtgleiche über dem Horizont
Veränderung der Tageslänge von einem Tag zum nächsten
- Hat man eine Gleichung für die Tageslänge, lässt sich per Differentiation berechnen, wie stark sie sich pro Tag ändert
- Umgerechnet in Minuten pro Tag ergibt sich die folgende Form
[ \frac{dt_{\textrm{daylight}}}{dT} = \frac{576 \epsilon \cos 2\pi \widetilde{T} \tan \lambda \sec^2 (\epsilon \sin 2\pi \widetilde{T})}{73\sqrt{1 - \tan^2 \lambda \tan^2 (\epsilon \sin 2\pi \widetilde{T})}} , \frac{\textrm{min}}{\textrm{day}} ]
- (\widetilde{T}) bezeichnet den Anteil des seit der Frühlings-Tagundnachtgleiche vergangenen Jahres
Faktoren, die tatsächliche Sonnenauf- und -untergänge komplizierter machen
-
Sonnenscheibe und atmosphärische Refraktion
- Die einfache Berechnung behandelt den Moment, in dem das Sonnenzentrum den Horizont berührt, als Sonnenaufgang, tatsächlich erscheint die Sonne aber früher
- Die Sonne hat einen scheinbaren Durchmesser von etwa 0,5 Grad, daher befindet sich, wenn ihr Zentrum am Horizont steht, bereits die Hälfte der Sonnenscheibe über dem Horizont
- Tatsächlich muss der Zeitpunkt betrachtet werden, an dem der obere Rand der Sonne den Horizont berührt
- Wenn ein Beobachter die Sonne aufgehen sieht, kann sich ihre tatsächliche Position noch unter dem Horizont befinden
- Wegen der atmosphärischen Refraktion wird das Sonnenlicht nach oben gebogen, sodass die Sonne höher erscheint, als sie tatsächlich steht
- Um atmosphärische Refraktion zu berücksichtigen, muss man die Sonnenhöhe nicht auf 0, sondern auf einen leicht negativen Wert setzen
- Berücksichtigt man Sonnenscheibe und atmosphärische Refraktion gemeinsam, beträgt die Sonnenhöhe bei Sonnenauf- und -untergang im Mittel etwa (-50')
- Wegen der Wetterbedingungen nahe am Horizont kann die atmosphärische Refraktion recht stark variieren
- In diesem Fall wird die Sonnenaufgangsgleichung wie folgt komplizierter
[ H = \arccos \left(-\tan \lambda \tan \delta - \frac{\sin a}{\cos \lambda \cos \delta} \right) ]
- Der Unterschied von (-50') wirkt klein, erzeugt für die Tageslänge aber einen nicht zu vernachlässigenden Effekt
- Auf dem Breitengrad von Los Angeles (34^\circ) entstehen dadurch etwa 8 Minuten zusätzliche Tageszeit
- Wegen der Atmosphäre ist der Begriff equinox streng genommen ungenau
- Selbst am Äquator entstehen zur Frühlings-Tagundnachtgleiche 6 Minuten 40 Sekunden zusätzliche Tageszeit, sodass der Tag mehr als 13 Minuten länger ist als die Nacht
- In höheren Breitengraden ist der Einfluss der atmosphärischen Refraktion größer
- Dort verläuft die Ekliptik fast parallel zum Horizont, sodass sich die Sonne horizontal viel weiter bewegen muss, um sich vertikal nur ein wenig zu ändern
- In Stavanger verlängert dieser Effekt die Tageszeit um die Sonnenwenden herum um fast 20 Minuten
- Bis kurz vor dem Polarkreis ist der Einfluss dieses Effekts auf die tägliche Änderung der Tageslänge vergleichsweise klein
-
Schiefe der Ekliptik und Elliptizität der Erdbahn
- Das einfache Modell nähert die Sonnendeklination durch eine Sinuskurve an
[ \delta \simeq \epsilon \sin \left( \frac{T}{365 , \textrm{d}} \right) ]
- Diese Näherung ist vernünftig, hat aber zwei Einschränkungen
- Erstens bildet sie die sphärische Geometrie nicht exakt ab
- Im Extremfall einer um (90^\circ) geneigten Ekliptik würde die Sonnendeklination von (0^\circ) bis (90^\circ) linear ansteigen und anschließend wieder abfallen
- Die genauere Gleichung lautet wie folgt
[ \delta = \arcsin \left(-\sin \epsilon \sin \left( \frac{T}{365 , \textrm{d}} \right) \right) ]
- Die einfache Näherung verwendet damit faktisch die Kleinwinkelnäherungen (\sin x \simeq x) und (\arcsin x \simeq x)
- Da die Schiefe der Ekliptik (\epsilon) relativ klein ist, beträgt die Abweichung vom tatsächlichen Wert höchstens (1.5^\circ), und der Einfluss auf die tägliche Änderung der Tageslänge ist entsprechend eher klein
- Zweitens nimmt das einfache Modell an, dass sich die Sonne im Jahresverlauf mit konstanter Winkelgeschwindigkeit bewegt
- Da die Erdbahn eine Ellipse ist, bewegt sich die Sonne Anfang Januar nahe dem Perihel schneller als im Mittel und Anfang Juli nahe dem Aphel langsamer
- Um die Exzentrizität der Erdbahn zu berücksichtigen, muss man die Kepler-Gleichung verwenden
- Löst man die Gleichung, erhält man die eccentric anomaly, die sich in die true anomaly umrechnen lässt; daraus erhält man statt der mittleren Sonne die tatsächliche ekliptikale Länge der Sonne
- Der gesamte Einfluss der elliptischen Erdbahn auf die Tageslänge ist sehr klein
- Da sich die Sonne relativ zu den Hintergrundsternen langsam von Westen nach Osten bewegt, ist der Sonnentag etwa 4 Minuten länger als der Sterntag, der einer vollständigen Erdrotation von (360^\circ) entspricht
- In der Nähe des Perihels bewegt sich die Sonne schneller als im Mittel, wodurch der Tag leicht länger wird; nahe dem Aphel wird er leicht kürzer
- Selbst im Maximum liegt dieser Effekt bei einer Änderung der Tageslänge von nur etwa 10 Sekunden
- Ausnahmen bilden allerdings der Polarkreis und Regionen in seiner unmittelbaren Nähe
Berechnungscode
- Der zur Erstellung der Abbildungen verwendete Code steht im Jupyter notebook
1 Kommentare
Meinungen auf Hacker News
Der Autor hat das erst bemerkt und den Beitrag geschrieben, nachdem er mit einem Kollegen aus Norwegen ein Stand-up hatte; als Muslim spüre ich das jedes Jahr während des Ramadan
In diesem Jahr war der erste Tag des Ramadan der 1. März, und an meinem Standort nahe Los Angeles bedeutete das 12 Stunden und 45 Minuten Fasten vom ersten Licht der Morgendämmerung bis zum Sonnenuntergang. Heute sind es 13 Stunden 15 Minuten, und gegen Ende des Ramadan Ende März werden es 13 Stunden 37 Minuten sein
Der Ramadan richtet sich nach einem Mondkalender, der etwa 10 Tage kürzer ist als das Sonnenjahr. Deshalb ist ein Winter-Ramadan auf der Nordhalbkugel kurz und leicht; 2031 kommen die kürzesten Tage, und 2047 fällt er in den Hochsommer und wird damit am härtesten
An Orten, an denen die Sonne nicht untergeht, gibt es unterschiedliche Auslegungen dazu, wann Suhur und Iftar stattfinden sollen, aber meist orientiert man sich an den Sonnenauf- und -untergangszeiten einer realistischeren Referenzregion. Mein Schwager, der vor ein paar Jahren in Schweden war, nahm die Zeit in Mekka als Maßstab
Ich habe sie schon mehrfach angefleht, es entweder das ganze Jahr über zu verkaufen oder mir wenigstens das Rezept zu geben
Seit ich in Stockholm lebe, habe ich gelernt, weniger streng zwischen Tag und Nacht zu unterscheiden und stattdessen die vielen Abstufungen von Dämmerung und Dunkelheit zu schätzen
Auch die Art, wie die tief über dem Horizont stehende Sonne ihr Licht über den ganzen Himmel streut, ist sehr schön und hält viel länger an als Sonnenauf- und -untergänge in Australien, wo ich aufgewachsen bin
Ich bin daran gewöhnt, dass man im Sommer selbst um 23 Uhr noch draußen lesen kann; deshalb fühlte es sich wirklich seltsam an, in tropischer Hitze zu sein und um 18 Uhr schon völlige Dunkelheit zu haben
Ich komme ursprünglich aus São Paulo in Brasilien, und der südliche Wendekreis verläuft fast durch die Stadt. Sonnenauf- und -untergang sind dort sehr schnelle Ereignisse: Wenn man sich hinsetzt und zuschaut, ist nach etwa 30 Minuten alles vorbei und es wird bald dunkel
Selbst nach mehr als zehn Jahren in Schweden bin ich von den langen Sonnenauf- und -untergängen hier immer noch wie gebannt. Man kann sehen, wie sich Farben, Schatten und Formen über Stunden verändern, und zu meinen liebsten Dingen gehört es, im Sommer mit Freunden am See zu essen und zu trinken und die endlose Dämmerung zu betrachten
Deshalb entstehen je nach Jahreszeit Ausdrücke wie „8 de la tarde“ (8 Uhr abends) oder „6 de la noche“ (6 Uhr nachts/abends)
In der Region Australiens, in der ich bin, ist es zur Sommersonnenwende bis 22 Uhr hell, und zur Wintersonnenwende gibt es kaum Sonne, von der man sprechen könnte
Dass es am Äquator das ganze Jahr über ziemlich nahe an „Sonnenaufgang um 6 Uhr morgens, Sonnenuntergang um 18 Uhr“ liegt, ist ziemlich verblüffend.
Eine weitere vielleicht kontraintuitive Tatsache ist, dass bei einer vernünftigen Näherung jeder Ort der Erde über das ganze Jahr hinweg dieselbe Anzahl an Tageslichtstunden bekommt.
Soll das heißen, um 20 Uhr steht die Sonne noch am Himmel?
Im Grunde gibt es in solchen Regionen kaum ausgeprägte Jahreszeiten in dem Sinn, an den viele Menschen denken. Es gibt Veränderungen, aber der Winter unterscheidet sich nicht stark vom Sommer.
Schaut man dagegen auf London[5], Osaka[6], Auckland[7], Los Angeles[8], Seattle[9] und Oslo[10], ist die Situation völlig anders. Solche Unterschiede beeinflussen stark, wie Menschen über Wetter, Zeit und anderes nachdenken.
Es ist interessant, dass etwas, das für die einen völlig selbstverständlich und normal ist, für andere komplett anders sein kann. Manchmal scheint es, als lebten wir in verschiedenen Welten, und in gewissem Sinne tun wir das tatsächlich — das vergessen wir offenbar oft.
[0] https://www.timeanddate.com/weather/kenya/nairobi/climate
[1] https://www.timeanddate.com/weather/gabon/libreville/climate
[2] https://www.timeanddate.com/weather/brazil/macapa/climate
[3] https://www.timeanddate.com/weather/ecuador/quito/climate
[4] https://www.timeanddate.com/weather/malaysia/kuching/climate
[5] https://www.timeanddate.com/weather/uk/london/climate
[6] https://www.timeanddate.com/weather/japan/osaka/climate
[7] https://www.timeanddate.com/weather/new-zealand/auckland/climate
[8] https://www.timeanddate.com/weather/usa/los-angeles/climate
[9] https://www.timeanddate.com/weather/usa/seattle/climate
[10] https://www.timeanddate.com/weather/norway/oslo/climate
Eine weitere Überraschung an der Äquatorsonne ist, die Sonne direkt über dem Kopf zu sehen. Dort, wo ich aufgewachsen bin, ist die Sonne nie höher als 30 Grad gestiegen.
Wenn die Sonne jeden Tag fast zur gleichen Zeit aufgeht, ergibt dieses System ziemlich viel Sinn.
In der Navigation, der Seefahrt und bei Gezeitenberechnungen gibt es eine praktische Faustregel namens Zwölftelregel. Ich denke, sie lässt sich als mentales Modell auf alles anwenden, was zyklisch wie eine Sinuskurve verläuft, etwa Sonne, Jahreszeiten und so weiter.
Teilt man die Hälfte eines Zyklus, also vom Höchst- zum Tiefststand, in passende Einheiten wie 6 Stunden oder 6 Monate, dann beträgt die Änderung auf der y-Achse pro Einheit beim Abstieg vom Höchststand oder beim Anstieg vom Tiefststand relativ zur gesamten Höchst-Tiefst-Differenz 1/12, 2/12, 3/12, 3/12, 2/12, 1/12.
Für uns sind die Höchst- und Tiefstpunkte der 21. Juni und der 21. Dezember, und die Einheit auf der x-Achse ist 1 Monat. Nehmen wir an, die Differenz zwischen längstem und kürzestem Tag beträgt 2 Stunden; dann ist 1/12 davon 10 Minuten.
Deshalb befinden wir uns jetzt Ende März mitten in der Phase, in der die Tage am schnellsten kürzer oder länger werden: Das Tageslicht nimmt monatlich um 30 Minuten zu, und der Sonnenuntergang verschiebt sich täglich um etwa 1 Minute nach hinten.
Siehe: https://en.wikipedia.org/wiki/Rule_of_twelfths, die Grafik erklärt es viel besser.
Mir ist auch aufgefallen, dass die Tageslänge in der Nähe des Polarkreises wie ein Zickzack aussieht, der von der Wintersonnenwende bis zur Sommersonnenwende direkt ansteigt und dann wieder fällt, und ich habe mich gefragt, ob die Linien wirklich gerade sind.
Ich dachte, man könnte das vielleicht mit trigonometrischen Identitäten einfach beweisen, aber so ist es nicht. Selbst wenn man atmosphärische Brechung ignoriert, sind die Linien nicht exakt gerade, sondern nur eine sehr gute Näherung.
Die berechnete Tageslänge unterschätzt das tatsächlich vorhandene Licht in hohen oder niedrigen Breiten ziemlich stark. Auf 60 Grad Breite zum Beispiel dauert die Nacht im Hochsommer nominell etwa 4 Stunden, aber selbst wenn die Sonnenscheibe nicht zu sehen ist, ist das Licht so stark, dass es praktisch nicht dunkel wird.
Wenn man die 50 Bogenminuten durch 6 Grad ersetzt, erhält man die „bürgerliche Dämmerung“, also grob die Zeit, in der man draußen keine Beleuchtung braucht. Auf 60 Grad nördlicher Breite liegt die minimale Sonnenhöhe im Hochsommer bei etwa -6,5 Grad, sodass fast die gesamte nominelle Nacht bürgerliche Dämmerung ist.
12 Grad entsprechen der „nautischen Dämmerung“, wenn der Horizont deutlich zu erkennen ist, und 18 Grad der „astronomischen Dämmerung“, wenn der Himmel für alle astronomischen Beobachtungen ausreichend dunkel ist.
Es ist auch möglich, dass diese Werte wie 6 Grad + 50 Bogenminuten definiert sind.
In meinem Fall ist X ein „wandernder“ Wert: im Winter liegt er bei einem Drittel des Weges zwischen Sonnenuntergang bei 0 Grad und bürgerlicher Dämmerung bei -6 Grad, im Sommer steigt er auf zwei Drittel. Ich berechne ihn als den Moment, in dem die Jalousien herunterfahren.
Für diese Berechnung verwende ich https://astral.readthedocs.io.
Die bürgerliche Dämmerung dauert fast 5 Stunden, und nach meinem Maßstab ist bürgerliche Dämmerung immer noch Tag.
Ich komme aus Island, also etwa von 64,15 Grad Breite. Die extreme Form der Kurve beschreibt ziemlich gut, wie die Stimmung der Menschen im Lauf des Jahres auf und ab geht.
Um die Sommersonnenwende herum werden die Leute fast manisch, weil sie das endlose Tageslicht genießen und den Tag maximal ausnutzen wollen. Wenn die Wintersonnenwende näher rückt, wird alles gedämpfter und manchmal auch etwas deprimierend.
Besonders an den kürzesten Wintertagen ist das Leben ziemlich schwierig, aber der Sommer ist so großartig, dass es sich am Ende trotzdem lohnend anfühlt.
Im Norden Finnlands sind die Extreme der saisonalen Tageslänge so groß, dass sich der Wechsel von Nacht und Tag eher wie ein 365-Tage-Zyklus anfühlt als wie ein 24-Stunden-Zyklus.
Das führt dazu, dass ein fünfjähriges Kind den ganzen Sommer über möglicherweise keinen dunklen Himmel sieht, es sei denn, es bleibt wegen traditioneller Mittsommer-Treffen lange wach.
Ich komme aus Mittelschweden, und ich erinnere mich, wie überrascht ich war, als ich meine erste Mittsommernacht im südschwedischen Lund verbrachte und feststellte, dass die Nacht tatsächlich dunkel ist.
Meine Heimat liegt weit unterhalb des Polarkreises, aber der Juni ist trotzdem noch fast durchgehender Tag.
Nachts lasse ich mein iPhone im Standby-Modus und eine Weltkarte anzeigen, auf der die Tageszone wie eine Sinuswelle dargestellt ist.
Es war interessant zu beobachten, wie sich die Form der Tageszone immer weiter der Oberkante der Karte näherte; nach der Tagundnachtgleiche durchbricht sie die Oberkante und ist für die nächsten sechs Monate umgekehrt.
Wenn man ein Jahr lang verfolgt, wie sich die vom Sonnenlicht beleuchtete Fläche auf der Karte verändert, versteht man viel besser, was eine Tagundnachtgleiche ist, warum sich die Tageslänge ändert und wo wir uns im Sonnensystem befinden.