Als Erstautor des Manuskripts möchte ich ein paar Fragen beantworten und Missverständnisse ausräumen. Würfe, die nach niedriger Rotationszahl aussehen, wirkten meist deshalb so, als würden sie sich nicht drehen, weil sie mit einer 30-FPS-Webcam aufgenommen wurden und die Münzrotation viel schneller war als der Sensor; die Videos dienten dazu, zu prüfen, ob Daten erfasst wurden, und die Ergebnisse zu auditieren.
Eine Wurfmaschine haben wir nicht gebaut, weil diese Studie menschliche Münzwürfe untersucht und Diaconis, Holmes, Montgomery (DHM, 2007) theoretisiert haben, dass die Unvollkommenheit menschlicher Würfe einen Bias zugunsten derselben Seite erzeugt. Würden wir eine Maschine bauen, ginge der eigentliche Zweck des Experiments verloren.
Auch die Kritik, es gebe zu viele Autoren und öffentliche Mittel seien verschwendet worden, trifft nicht zu. Das Experiment wurde in der Freizeit durchgeführt, und da es keine Forschungsförderung gab, wurde auch kein Geld verschwendet. Ich verstehe auch schwer, warum es so empörend sein soll, Studierenden, die dazu beigetragen haben, den ganzen Tag Münzen zu werfen, eine Koautorenschaft zu geben; ohne sie wäre das Experiment unmöglich gewesen.
Nicht alle werfen Münzen perfekt, und manche sind deutlich ungeschickter. Den Teilnehmenden wurde gesagt, sie sollten so werfen, wie sie es beim Entscheiden einer Wette tun würden, und dafür sorgen, dass die Münze mindestens einmal umklappt. Bei den meisten nahm der Bias mit der Zeit ab; das deutet darauf hin, dass sie durch Übung besser warfen und der Bias dadurch kleiner wurde, und schwächt auch die Theorie, sie hätten den Bias absichtlich gelernt.
Ich persönlich habe über 20.000 Mal geworfen, weiß aber überhaupt nicht, wie man den Bias erzeugt. Wir haben auch mehrmals Sensitivitätsanalysen ohne Ausreißer durchgeführt; der Effekt wurde etwas kleiner, aber es gab weiterhin genügend Evidenz zur Unterstützung von DHM. Wenn Sie Zweifel am statistischen Hintergrund haben, können Sie die Daten und Aufbereitungsskripte auf OSF selbst erneut analysieren: https://osf.io/mhvp7/
An der Analyse habe ich nichts auszusetzen, und ich stimme zu, dass die Ergebnisse das D-H-M-Modell stark stützen: dass Münzwürfe also einen leichten Bias haben und dessen Ursache Präzession ist. Allerdings hatte etwa ein Drittel der Freiwilligen kaum oder gar keinen Bias, vermutlich weil sie ohne Präzession end-over-end warfen, und ein weiteres Drittel hatte offenbar viel Präzession und einen großen Bias.
Das Paper kommt zu dem Schluss, dass Münzwürfe inhärent einen kleinen, aber signifikanten Bias haben; Tabelle 2 scheint jedoch ebenso gut die Schlussfolgerung zu erlauben, dass manche Menschen ohne Bias werfen und andere nicht. Insbesondere würde ich erwarten, dass sich der Bias verringert oder verschwindet, wenn man den Teilnehmenden mit großen Ausreißerwerten Präzession erklärt und sie bittet, sie absichtlich zu reduzieren.
Es gibt auch einen Ansatz, Münzwurfdaten statt mit Webcams niedriger Bildrate anhand von Ton zu analysieren. Ton wird üblicherweise mit viel höherer Abtastrate aufgenommen, sodass man die Rotation der Münze „hören“ kann: https://cs.stanford.edu/~kach/can-one-hear-the-fate-of-a-coi...
Bei weniger geübten Werfenden könnte vielleicht eine Art Kurve ähnlich dem Benfordschen Gesetz wirken. Wenn man annimmt, dass die Münze mindestens eine Umdrehung macht, landet sie bei 1,0 Umdrehungen auf der Startseite, bei 1,5 Umdrehungen auf der Gegenseite, bei 2,0 Umdrehungen wieder auf der Startseite und so weiter.
Die NFL wirft Münzen weiterhin professionell. Ich frage mich, ob es zu jedem Wurf besseres Videomaterial als von einer Webcam gibt, und irgendein Buchmacher dürfte an einem potenziellen Bias ziemlich interessiert sein.
Hier gibt es ein Video, das das Paper gut vorstellt: https://www.youtube.com/watch?v=-QjgvbvFoQA
Der Kern ist, dass der Effekt aus der Präzession entsteht. Das heißt: Die Münze kippt nicht vollkommen vertikal um, sondern hat ein leichtes Taumeln und einen Drehimpuls, sodass sie so rotiert, dass eine Seite länger sichtbar ist als die andere.
Je nach Technik variiert der Einfluss auf die Fairness: Bei guter Technik lag die Wahrscheinlichkeit für dieselbe Seite bei etwa p_same = 0.508; ein Studienteilnehmer kam bei großer Stichprobe auf 0,6, was bei einem rein fairen Wurf extrem unwahrscheinlich wäre. Als extremes Beispiel zeigt das Video einen Zauberer, der Präzession nutzt, sodass es so aussieht, als würde die Münze kippen, während sie tatsächlich die Seite nicht wechselt, sondern sich in der Münzebene dreht und nur etwas taumelt.
Das Video erklärt auch recht gut, wie Hypothesentests funktionieren.
Hier wäre es wohl gut, bayessche Statistik zu verwenden. Der Vortragende sagt allerdings selbst, dass er sich mit Statistik nicht gut auskennt.
Das Paper sieht zwar nach einer großen Stichprobe aus, tatsächlich gab es aber nur 48 Versuchspersonen/Werfer. In einigen Videos sieht man sehr niedrige Würfe mit wenigen Umdrehungen, im Grunde nur ein- bis zweimaliges Überschlagen, und vermutlich wurde das tausende Male auf dieselbe Weise wiederholt.
Daher liegt die tatsächliche Stichprobengröße der Studie eher bei N=48, und Personen, die nicht ordentlich werfen – also Werfer mit geringer Rotationszahl, niedriger Höhe und wenig Spin –, könnten das Ergebnis unverhältnismäßig stark beeinflussen.
Auch der Hintergrund der Autoren scheint nicht besonders stark auf Statistik ausgerichtet zu sein. Bis auf 3 der 48 Autoren haben sie alle Münzen geworfen, sodass einige eher Versuchspersonen als Autoren gewesen sein könnten. Selbst Proband der eigenen Studie zu sein, könnte ebenfalls Verzerrungen erzeugen.
Wenn man sich selbst beweisen will, dass ein bestimmter Faktor dazu führt, dass die Münze auf einer bestimmten Seite landet, kann man diese Technik womöglich erlernen – besonders wenn man niedrig und langsam wirft. Den Ergebnissen zufolge scheinen einige Werfer das ziemlich gut gelernt zu haben. Wenn die Autoren überzeugt gewesen wären, dass eine faire Münze auf der der Startseite entgegengesetzten Seite landet, und dieselbe Studie durchgeführt hätten, hätten sie vermutlich auch Daten und ein Paper erzeugen können, die genau das belegen.
Wenn es „Versuchspersonen, die nicht ordentlich werfen“ gibt, müssten wohl auch Münzwürfe vor Sportspielen von ausgebildeten Schiedsrichterteams auf ihre Gültigkeit geprüft werden. Wenn neue Münzen ausgegeben und verschiedene Wurfstile vorgeschlagen werden, bräuchte man zur Wahrung der Integrität dieser Disziplin wohl regionale, nationale und internationale Organisationen sowie ein System zur Schiedsrichterausbildung; die Mitgliedschaft sollte vermutlich auf Angehörige des Ancient Order of Coin Flippers beschränkt sein.
Ich glaube, genau das ist der Punkt. Es zeigt, dass verzerrte Ergebnisse entstehen, weil Menschen Münzen normalerweise nicht ordentlich werfen.
Die eigentliche Lektion ist vermutlich, dass man, wenn man ausreichend geübt ist oder lange genug trainiert, die Wahrscheinlichkeiten ziemlich stark manipulieren kann, ohne dass es jemand bemerkt.
Dieses Paper überprüft experimentell ein statistisches Modell, das in einem früheren Paper vorgeschlagen wurde. Das Experiment stimmte genau mit den Vorhersagen dieses Modells überein, und der Grund dafür, dass es nicht 50/50 ist, liegt in der Präzession der Münze.
Tatsächlich wirkt ein Ansatz über Cluster-Standardfehler robuster. Die Grundintuition ist ähnlich, aber die Stichprobengröße existiert auf Personenebene, und die Beobachtungen sind nicht bei jedem Wurf unabhängig, sondern zwischen Personen unabhängig. https://en.m.wikipedia.org/wiki/Clustered_standard_errors
Dass es irgendeinen Effekt gibt, überrascht mich nicht, aber ich hatte den Verdacht, dass keine legitimen Münzwürfe verwendet wurden. Viele Menschen scheinen Münzen nicht richtig werfen zu können, und nach den Videos zu urteilen scheint dieser Verdacht zumindest bei den Würfen von Bartos zu stimmen: https://osf.io/6a5hy/
Die Zahl der Umdrehungen ist sehr niedrig und die Zeit in der Luft sehr kurz. Wenn es um etwas ginge, das es wert ist, per Münzwurf entschieden zu werden, würde ich diese Art von Wurf nicht akzeptieren.
Das ist weniger ein Münzwurf als fast nur ein leichtes Hochwerfen in die Luft. Wenn man das sieht, wirkt die ganze Studie samt ihren Autoren weniger glaubwürdig.
Natürlich kann es irgendeinen Effekt geben, aber Menschen, die sich die Videos nicht ansehen, stellen sich etwas völlig anderes vor. Hättest du nicht darauf hingewiesen, sie sich anzusehen, hätte ich es vermutlich auch nicht getan. Es ist schwer vorstellbar, dass den Autoren nicht klar ist, wie irreführend diese Methode ist, und intuitiv würde ich erwarten, dass ein ordentlicher Münzwurf nicht dieselbe Eigenschaft zeigt.
Das war anfangs auch mein Einwand. Aber wenn die meisten Menschen Münzen tatsächlich so werfen, ist die Messung gültig. Die Schlussfolgerung betrifft nämlich nicht den perfekten mechanischen Münzwurf, sondern das, was normale Menschen tun. Sonst landet man beim Fehlschluss „kein echter Münzwurf“.
Ich habe das Gefühl, dass Wissenschaft wie alles andere in der Praxis ein Spektrum ist. Es hängt davon ab, wie fanatisch man testet.
Selbst wenn man mit einer automatisierten Maschine über Jahre so viele Würfe wie möglich macht, Wurfkraft und Winkel variiert, submillimetergenaue Abnutzung der Münzoberfläche erkennt und alle existierenden Stile und Größen, alle Abnutzungsgrade, alle Positionen und Winkel sowie jede Kombination der Zusammensetzung der Erdatmosphäre testet – was würde dieses Ergebnis wirklich bedeuten? In der Praxis wäre es eher eine Liste präziser Ereignisse als eine „Schlussfolgerung“, und in Zukunft würde man die Handlung dennoch weiterhin über Ergebniswahrscheinlichkeiten beschreiben.
Dieses Paper ist auch ein diesjähriger Gewinner des Ig Nobel Prize.
„Wahrscheinlichkeit: ein Team aus 50 Forschern, das 350.757 Experimente durchgeführt hat, um zu zeigen, dass eine geworfene Münze mit etwas höherer Wahrscheinlichkeit auf derselben Seite landet, mit der sie gestartet ist.“
Quelle: https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_Ig_Nobel_Prize_winners...
Unter den diesjährigen Preisträgern gibt es auch Botanik. Jacob White und Felipe Yamashita fanden heraus, dass eine bestimmte Pflanze die Blattform nahegelegener Plastikpflanzen imitiert, und kamen zu dem Schluss, dass „Pflanzensehen“ plausibel sei; das passt für mich nicht ganz zu dem Bild, das ich vom Ig Nobel Prize im Kopf habe.
Unter Zauberkünstlern ist das seit Jahrzehnten allgemein bekannt. Ich glaube zwar nicht, dass ein einzelner Zauberer 350.000 Würfe gemacht hat, aber ich selbst habe als Kind etwa 2.500-mal geworfen, um den Effekt zu testen.
Wenn 30 Zauberkünstler ihre Daten zusammengelegt hätten, wäre eine Metaanalyse in dieser Größenordnung möglich gewesen, und der Versuchszeitpunkt hätte ungefähr ein Jahrhundert zurückgelegen.
Nicht ganz damit verwandt, aber ich habe früher festgestellt, dass man zumindest mit einer australischen 20-Cent-Münze einen Münzwurf ziemlich leicht manipulieren kann. Nachdem man die Münze geworfen und mit der Hand gefangen hat, kann man beim Übertragen auf den Handrücken der anderen Hand ertasten, welche Seite oben ist, und sie bei Bedarf umdrehen.
Bei unseren Münzen ist das Gesicht der Königin auf der Vorderseite eine große, glatte Fläche und daher recht gut von der rauen Rückseite mit Schnabeltier und Wellenmuster zu unterscheiden. Wenn man etwas Wichtiges per Münzwurf entscheidet, sollte man die Münze unbedingt direkt auf den Boden fallen lassen.
Was ich aus diesem Thread gelernt habe: Die Frage beim fairen Münzwurf ist nicht wirklich, ob er fair ist, sondern was als ordentlicher Münzwurf gelten soll. Und wer das entscheidet.
Wenn die meisten Menschen nicht so werfen, sollte man dann eine Maschine zum Münzwerfen entwickeln? Sollte man auch andere Faktoren kontrollieren? Oder ist das Werfen durch einen Menschen samt seiner Unvollkommenheiten wesentlich für die Begriffe Münzwurf, Statistik und Zufälligkeit?
Mit etwa sechs oder sieben Jahren habe ich von einem Friseur im Laden meines Großvaters einen Münzwurf-Trick gelernt. Seitdem konnte ich mit einem Münzwurf immer das Ergebnis bestimmen. Im Grunde kommt es nur darauf an, die Art des Werfens und des Fangens konsequent gleich zu halten.
Wenn man das schafft, während man schnell wirft und die Münze sich in der Luft schnell dreht, ist das ziemlich beeindruckend.
Dieses Paper wird tatsächlich sowohl in der vorliegenden Arbeit als auch im Video zitiert. Diaconis stellte ein Modell auf, nach dem die Präferenz für „dieselbe Seite“ bei etwa 51 % liegt, und meinte wohl, dass man nach eigenen 2.500 Würfen etwa 250.000 Würfe bräuchte, um eine Signifikanz von 3 Sigma zu erreichen. Diese Arbeit hat das also empirisch getestet, und das Forschungsteam kam mit 350.000 Würfen ziemlich nah an diese Zahl heran.
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Als Erstautor des Manuskripts möchte ich ein paar Fragen beantworten und Missverständnisse ausräumen. Würfe, die nach niedriger Rotationszahl aussehen, wirkten meist deshalb so, als würden sie sich nicht drehen, weil sie mit einer 30-FPS-Webcam aufgenommen wurden und die Münzrotation viel schneller war als der Sensor; die Videos dienten dazu, zu prüfen, ob Daten erfasst wurden, und die Ergebnisse zu auditieren.
Eine Wurfmaschine haben wir nicht gebaut, weil diese Studie menschliche Münzwürfe untersucht und Diaconis, Holmes, Montgomery (DHM, 2007) theoretisiert haben, dass die Unvollkommenheit menschlicher Würfe einen Bias zugunsten derselben Seite erzeugt. Würden wir eine Maschine bauen, ginge der eigentliche Zweck des Experiments verloren.
Auch die Kritik, es gebe zu viele Autoren und öffentliche Mittel seien verschwendet worden, trifft nicht zu. Das Experiment wurde in der Freizeit durchgeführt, und da es keine Forschungsförderung gab, wurde auch kein Geld verschwendet. Ich verstehe auch schwer, warum es so empörend sein soll, Studierenden, die dazu beigetragen haben, den ganzen Tag Münzen zu werfen, eine Koautorenschaft zu geben; ohne sie wäre das Experiment unmöglich gewesen.
Nicht alle werfen Münzen perfekt, und manche sind deutlich ungeschickter. Den Teilnehmenden wurde gesagt, sie sollten so werfen, wie sie es beim Entscheiden einer Wette tun würden, und dafür sorgen, dass die Münze mindestens einmal umklappt. Bei den meisten nahm der Bias mit der Zeit ab; das deutet darauf hin, dass sie durch Übung besser warfen und der Bias dadurch kleiner wurde, und schwächt auch die Theorie, sie hätten den Bias absichtlich gelernt.
Ich persönlich habe über 20.000 Mal geworfen, weiß aber überhaupt nicht, wie man den Bias erzeugt. Wir haben auch mehrmals Sensitivitätsanalysen ohne Ausreißer durchgeführt; der Effekt wurde etwas kleiner, aber es gab weiterhin genügend Evidenz zur Unterstützung von DHM. Wenn Sie Zweifel am statistischen Hintergrund haben, können Sie die Daten und Aufbereitungsskripte auf OSF selbst erneut analysieren: https://osf.io/mhvp7/
Das Paper kommt zu dem Schluss, dass Münzwürfe inhärent einen kleinen, aber signifikanten Bias haben; Tabelle 2 scheint jedoch ebenso gut die Schlussfolgerung zu erlauben, dass manche Menschen ohne Bias werfen und andere nicht. Insbesondere würde ich erwarten, dass sich der Bias verringert oder verschwindet, wenn man den Teilnehmenden mit großen Ausreißerwerten Präzession erklärt und sie bittet, sie absichtlich zu reduzieren.
Hier gibt es ein Video, das das Paper gut vorstellt: https://www.youtube.com/watch?v=-QjgvbvFoQA
Der Kern ist, dass der Effekt aus der Präzession entsteht. Das heißt: Die Münze kippt nicht vollkommen vertikal um, sondern hat ein leichtes Taumeln und einen Drehimpuls, sodass sie so rotiert, dass eine Seite länger sichtbar ist als die andere.
Je nach Technik variiert der Einfluss auf die Fairness: Bei guter Technik lag die Wahrscheinlichkeit für dieselbe Seite bei etwa p_same = 0.508; ein Studienteilnehmer kam bei großer Stichprobe auf 0,6, was bei einem rein fairen Wurf extrem unwahrscheinlich wäre. Als extremes Beispiel zeigt das Video einen Zauberer, der Präzession nutzt, sodass es so aussieht, als würde die Münze kippen, während sie tatsächlich die Seite nicht wechselt, sondern sich in der Münzebene dreht und nur etwas taumelt.
Das Video erklärt auch recht gut, wie Hypothesentests funktionieren.
Das Paper sieht zwar nach einer großen Stichprobe aus, tatsächlich gab es aber nur 48 Versuchspersonen/Werfer. In einigen Videos sieht man sehr niedrige Würfe mit wenigen Umdrehungen, im Grunde nur ein- bis zweimaliges Überschlagen, und vermutlich wurde das tausende Male auf dieselbe Weise wiederholt.
Daher liegt die tatsächliche Stichprobengröße der Studie eher bei N=48, und Personen, die nicht ordentlich werfen – also Werfer mit geringer Rotationszahl, niedriger Höhe und wenig Spin –, könnten das Ergebnis unverhältnismäßig stark beeinflussen.
Auch der Hintergrund der Autoren scheint nicht besonders stark auf Statistik ausgerichtet zu sein. Bis auf 3 der 48 Autoren haben sie alle Münzen geworfen, sodass einige eher Versuchspersonen als Autoren gewesen sein könnten. Selbst Proband der eigenen Studie zu sein, könnte ebenfalls Verzerrungen erzeugen.
Wenn man sich selbst beweisen will, dass ein bestimmter Faktor dazu führt, dass die Münze auf einer bestimmten Seite landet, kann man diese Technik womöglich erlernen – besonders wenn man niedrig und langsam wirft. Den Ergebnissen zufolge scheinen einige Werfer das ziemlich gut gelernt zu haben. Wenn die Autoren überzeugt gewesen wären, dass eine faire Münze auf der der Startseite entgegengesetzten Seite landet, und dieselbe Studie durchgeführt hätten, hätten sie vermutlich auch Daten und ein Paper erzeugen können, die genau das belegen.
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Clustered_standard_errors
Dass es irgendeinen Effekt gibt, überrascht mich nicht, aber ich hatte den Verdacht, dass keine legitimen Münzwürfe verwendet wurden. Viele Menschen scheinen Münzen nicht richtig werfen zu können, und nach den Videos zu urteilen scheint dieser Verdacht zumindest bei den Würfen von Bartos zu stimmen: https://osf.io/6a5hy/
Die Zahl der Umdrehungen ist sehr niedrig und die Zeit in der Luft sehr kurz. Wenn es um etwas ginge, das es wert ist, per Münzwurf entschieden zu werden, würde ich diese Art von Wurf nicht akzeptieren.
Natürlich kann es irgendeinen Effekt geben, aber Menschen, die sich die Videos nicht ansehen, stellen sich etwas völlig anderes vor. Hättest du nicht darauf hingewiesen, sie sich anzusehen, hätte ich es vermutlich auch nicht getan. Es ist schwer vorstellbar, dass den Autoren nicht klar ist, wie irreführend diese Methode ist, und intuitiv würde ich erwarten, dass ein ordentlicher Münzwurf nicht dieselbe Eigenschaft zeigt.
Selbst wenn man mit einer automatisierten Maschine über Jahre so viele Würfe wie möglich macht, Wurfkraft und Winkel variiert, submillimetergenaue Abnutzung der Münzoberfläche erkennt und alle existierenden Stile und Größen, alle Abnutzungsgrade, alle Positionen und Winkel sowie jede Kombination der Zusammensetzung der Erdatmosphäre testet – was würde dieses Ergebnis wirklich bedeuten? In der Praxis wäre es eher eine Liste präziser Ereignisse als eine „Schlussfolgerung“, und in Zukunft würde man die Handlung dennoch weiterhin über Ergebniswahrscheinlichkeiten beschreiben.
Dieses Paper ist auch ein diesjähriger Gewinner des Ig Nobel Prize.
„Wahrscheinlichkeit: ein Team aus 50 Forschern, das 350.757 Experimente durchgeführt hat, um zu zeigen, dass eine geworfene Münze mit etwas höherer Wahrscheinlichkeit auf derselben Seite landet, mit der sie gestartet ist.“
Quelle: https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_Ig_Nobel_Prize_winners...
Unter Zauberkünstlern ist das seit Jahrzehnten allgemein bekannt. Ich glaube zwar nicht, dass ein einzelner Zauberer 350.000 Würfe gemacht hat, aber ich selbst habe als Kind etwa 2.500-mal geworfen, um den Effekt zu testen.
Wenn 30 Zauberkünstler ihre Daten zusammengelegt hätten, wäre eine Metaanalyse in dieser Größenordnung möglich gewesen, und der Versuchszeitpunkt hätte ungefähr ein Jahrhundert zurückgelegen.
Nicht ganz damit verwandt, aber ich habe früher festgestellt, dass man zumindest mit einer australischen 20-Cent-Münze einen Münzwurf ziemlich leicht manipulieren kann. Nachdem man die Münze geworfen und mit der Hand gefangen hat, kann man beim Übertragen auf den Handrücken der anderen Hand ertasten, welche Seite oben ist, und sie bei Bedarf umdrehen.
Bei unseren Münzen ist das Gesicht der Königin auf der Vorderseite eine große, glatte Fläche und daher recht gut von der rauen Rückseite mit Schnabeltier und Wellenmuster zu unterscheiden. Wenn man etwas Wichtiges per Münzwurf entscheidet, sollte man die Münze unbedingt direkt auf den Boden fallen lassen.
Was ich aus diesem Thread gelernt habe: Die Frage beim fairen Münzwurf ist nicht wirklich, ob er fair ist, sondern was als ordentlicher Münzwurf gelten soll. Und wer das entscheidet.
Wenn die meisten Menschen nicht so werfen, sollte man dann eine Maschine zum Münzwerfen entwickeln? Sollte man auch andere Faktoren kontrollieren? Oder ist das Werfen durch einen Menschen samt seiner Unvollkommenheiten wesentlich für die Begriffe Münzwurf, Statistik und Zufälligkeit?
Mit etwa sechs oder sieben Jahren habe ich von einem Friseur im Laden meines Großvaters einen Münzwurf-Trick gelernt. Seitdem konnte ich mit einem Münzwurf immer das Ergebnis bestimmen. Im Grunde kommt es nur darauf an, die Art des Werfens und des Fangens konsequent gleich zu halten.
Zur Einordnung: Es gibt auch ein Paper von 2007, das eine physikalische Erklärung liefert.
[1] https://www.stat.berkeley.edu/~aldous/157/Papers/diaconis_co...