- Daten aus 350.757 Münzwürfen stützen das physikalische DHM-Modell, demzufolge von Menschen geworfene Münzen zwar nahezu wie ein perfektes 50:50 erscheinen, aber mit etwas höherer Wahrscheinlichkeit wieder auf der anfangs nach oben zeigenden Seite landen
- Das Modell von Diaconis, Holmes und Montgomery aus dem Jahr 2007 geht davon aus, dass kleine Präzessionsbewegungen und Taumeln beim menschlichen Wurf dazu führen, dass die Münze in der Luft die anfängliche Seite länger oben hält
- Im Experiment lag die Wahrscheinlichkeit, auf derselben Seite zu landen, bei 0,508; das 95%-Konfidenzintervall [0,506, 0,509] und ein Bayes-Faktor von 2359 stützen die Same-Side-Verzerrung stark
- Wird die anfängliche Seite zufällig festgelegt, ergibt sich für Kopf eine Wahrscheinlichkeit von Pr(heads)=0,500; die Kopf-Zahl-Verzerrung und die Same-Side-Verzerrung sollten daher getrennt betrachtet werden
- Die Größe der Verzerrung unterschied sich je nach Person und nahm tendenziell ab, je mehr Würfe eine Person durchführte; Wurftechnik und Übung können das Ergebnis also leicht physikalisch beeinflussen
Das DHM-Modell mit 350.757 Würfen überprüft
- Münzwürfe gelten in Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik als typisches Beispiel für ein Zufallsereignis, sind physikalisch aber ein deterministischer Prozess nach den Gesetzen der Newtonschen Mechanik
- Das Standardmodell des Münzwurfs nimmt an, dass die Zufälligkeit des Ergebnisses aus kleinen Schwankungen der Anfangsbedingungen entsteht, etwa Startposition, Aufbau der Münze, nach oben ausgeübte Kraft und Drehimpuls
- In diesem Standardmodell liegt die Wahrscheinlichkeit, dass eine faire Münze mit Kopf landet, bei 50%; das bedeutet, dass es keine Kopf-Zahl-Verzerrung gibt
- Das DHM-Modell ergänzt dies um eine kleine Präzessionsbewegung (precession) oder ein Taumeln, das beim menschlichen Wurf entsteht
- Wenn sich die Richtung der Rotationsachse während des Flugs ändert, zeigt die Münze die anfangs nach oben gerichtete Seite in der Luft länger nach oben
- Dadurch wird die Wahrscheinlichkeit, auf derselben Seite wie der Anfangsseite zu landen, etwas höher als 50%
- Diaconis et al. sagten auf Basis von Beobachtungen typischer menschlicher Würfe eine Same-Side-Landewahrscheinlichkeit von etwa 51% voraus
Same-Side-Verzerrung und Kopf-Zahl-Verzerrung
- Der aktuelle Datensatz umfasst insgesamt 350.757 Münzwürfe und ist damit deutlich größer als frühere umfangreiche Aufzeichnungen von Münzwürfen
- Die Ergebnisse zur Landung auf derselben Seite stützen die präzise Vorhersage des DHM-Modells stark
-
Pr(same side)=0,508
- Das 95%-Konfidenzintervall beträgt [0,506, 0,509]
- Der Bayes-Faktor für die Same-Side-Verzerrung beträgt 2359
- Die Tendenz, dass eine Münze wieder auf der anfangs nach oben gerichteten Seite landet, liegt zwar nur geringfügig, aber konsistent über 50%
-
Pr(heads)=0,500
- Das 95%-Konfidenzintervall beträgt [0,498, 0,502]
- Der Bayes-Faktor für die Kopf-Zahl-Verzerrung beträgt 0,182
- Das Ergebnis, dass es keine Kopf-Zahl-Verzerrung gibt, erwies sich als unabhängig von der Münzart
- Die Same-Side-Verzerrung war nicht bei allen Personen gleich, sondern zeigte große Unterschiede zwischen Individuen
- Auch innerhalb einer Person nahm die Same-Side-Verzerrung ab, je mehr Münzen geworfen wurden
- Das passt zu der Möglichkeit, dass Übung mit einem weniger taumelnden Wurf zusammenhängt
-
Messwerte, die frühere Experimente nicht erfassten
- Auch in der Vergangenheit gab es groß angelegte Münzwurf-Experimente, doch die meisten erfassten nicht, ob die Münze auf derselben Seite wie der Anfangsseite landete, und waren daher für die Überprüfung des DHM-Modells nicht geeignet
- Als historische Beispiele führte Count de Buffon 2.048 Münzwürfe durch, Karl Pearson 24.000 und John Kerrich 10.000
- Das Experiment von Janet Larwood und Priscilla Ku mit 40.000 Würfen war eine Ausnahme, da sich Anfangsseite und Ergebnis vergleichen ließen
- Larwood begann immer mit Kopf und endete in 10.231 von 20.000 Würfen von Kopf zu Kopf
- Ku begann immer mit Zahl und endete in 10.014 von 20.000 Würfen von Zahl zu Zahl
- Kombiniert werden die beiden Ergebnisse als nur uneindeutige Evidenz für eine dynamische Verzerrung interpretiert
Auswirkungen auf Entscheidungen
- Eine von Menschen geworfene faire Münze ergibt für Kopf oder Zahl im Wesentlichen 50:50, hat aber eine etwas höhere Wahrscheinlichkeit, auf der anfangs nach oben zeigenden Seite zu enden
- Wenn Münzwürfe bei Entscheidungen mit hohem Risiko verwendet werden, sollte die Anfangsseite zufällig festgelegt werden, damit sie ohne Kopf-Zahl-Verzerrung genutzt werden können
- Die Same-Side-Verzerrung ist bei manchen Personen stärker ausgeprägt, sodass die menschliche Wurftechnik selbst einen kleinen physikalischen Einfluss auf das Ergebnis haben kann
1 Kommentare
Hacker-News-Kommentare
Von Neumann beschrieb eine elegante Methode, um aus einer verzerrten Münze ein faires Ergebnis zu gewinnen.
Man wirft die Münze zweimal; sind die beiden Ergebnisse gleich, beginnt man von vorn.
Sind die beiden Ergebnisse verschieden, nimmt man das erste Ergebnis dieses Paars als Endergebnis.
https://en.wikipedia.org/wiki/Fair_coin#Fair_results_from_a_...
https://www.techiedelight.com/generate-fair-results-biased-c...
Die Münze war so verzerrt, dass sie zu 20 % Kopf und zu 80 % Zahl zeigte; mit der Von-Neumann-Methode ergaben sich jedoch 50,035 % Kopf und 49,965 % Zahl.
Der Studie zufolge kann man die Verzerrung dadurch wählen, mit welcher Seite nach oben man startet.
Wenn man zum Beispiel Zahl möchte, würde man den ersten Wurf mit Zahl nach oben beginnen; ist das erste Ergebnis Zahl, beginnt man den zweiten Wurf mit Kopf nach oben, und ist das erste Ergebnis Kopf, würde man wieder mit Kopf nach oben starten, um erneut Kopf zu bekommen und das Ergebnis damit ungültig zu machen.
Angenommen, man kann die Verzerrung auf 75 % zu 25 % steuern, dann beträgt die Wahrscheinlichkeit für Zahl im ersten Ergebnis 75 % und danach ebenfalls 75 % für Kopf, sodass die Chance, innerhalb der ersten beiden Würfe das gewünschte Ergebnis zu erhalten, bei 56,25 % liegt.
Der schlimmste Fall ist, dass das erste Ergebnis Kopf ist und danach nicht noch einmal Kopf kommt; mit 25 % × 25 % = 6,25 % verliert man also in der ersten Runde.
Am Ende ergibt sich für die ersten beiden Würfe eine Gewinnchance von 56,25 %, eine Verlustchance von 6,25 % und eine Wiederholungswahrscheinlichkeit von 37,5 %, was insgesamt wohl gegen etwa 90 % zu 10 % konvergiert.
„Der Grund, warum dieses Verfahren ein faires Ergebnis liefert, ist: Wenn die Münze ihre Verzerrung nicht von Wurf zu Wurf ändert und die beiden Würfe unabhängig sind, ist die Wahrscheinlichkeit für Kopf gefolgt von Zahl gleich der Wahrscheinlichkeit für Zahl gefolgt von Kopf.“
Deshalb muss man immer mit derselben Seite nach oben beginnen.
Diese Methode setzt voraus, dass die werfende Person keine Verzerrung erzeugen kann.
Auch E. T. Jaynes schrieb in Probability Theory, es sei leicht zu lernen, wie man eine faire Münze so wirft, dass man das Ergebnis vorab festlegen kann; selbst nach etwas Suchen habe ich aber nicht herausgefunden, worauf er sich genau bezog.
Vor etwa einem Jahr habe ich damit begonnen herauszufinden, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass eine faire Münze, wenn man sie wirft und mit der Hand fängt, auf derselben Seite landet, die anfangs oben lag.
Dank Freunden, Mitwirkenden und Fremden aus dem Internet kamen insgesamt 350.757 Münzwürfe zusammen, und wir führten mehrere „Coin Tossing Marathons“ durch: https://youtu.be/3xNg51mv-fk?si=o2E3hKa-ReXodOmc
Im Ergebnis fanden wir starke Hinweise auf den von Diaconis, Holmes und Montgomery 2007 vorhergesagten Bias zur „gleichen Seite“.
Beginnt man mit Kopf nach oben, ist es wahrscheinlicher, dass am Ende Kopf oben liegt; bei Zahl gilt dasselbe.
In der Stichprobe lag die mittlere Schätzung bei 50,8 %, das Konfidenzintervall bei [50,6 %, 50,9 %].
Auch zwischen den 48 Werfenden gab es recht große Unterschiede beim Bias zur gleichen Seite; die Standardabweichung lag bei 1,6 %, das Konfidenzintervall bei [1,2 %, 2,0 %].
Dieser Unterschied lässt sich dadurch erklären, dass die Präzession/Unruhe beim Werfen je nach Person unterschiedlich ausfällt.
Wenn man bei 1000 Münzwürfen jeweils 1 Dollar auf das Ergebnis setzt und die Ausgangsposition kennt, kann man im Schnitt 19 Dollar verdienen.
Das ist mehr als der Casino-Vorteil von 5 Dollar bei 6-Deck-Blackjack gegen einen optimalen Spieler, aber weniger als die 27 Dollar beim Single-Zero-Roulette.
Das Manuskript liegt auf arXiv: https://arxiv.org/abs/2310.04153
Öffentliche Daten, Code und Videoaufzeichnungen liegen auf OSF: https://osf.io/pxu6r/
Diaconis, P., Holmes, S., & Montgomery, R. (2007). Dynamical bias in the coin toss. SIAM Review, 49(2), 211-235. https://doi.org/10.1137/S0036144504446436
Ich habe nachgerechnet: Wenn man es mit etwa 20 Würfen pro Tag unauffällig angeht, dauert es ohne Wochenenden 10 Wochen, bis man 19 Dollar verdient hat, und bis dahin hätten die Leute den Trick sicher bemerkt.
Um schnell Geld zu verdienen, müsste man die Strategie auf mehrere Personen verteilen, aber dann fliegt das Geheimnis auf.
Selbst wenn die Komplizen völlig ehrlich sind: Wenn viele Leute dieselbe Strategie öffentlich anwenden, ist die Wahrscheinlichkeit groß, dass man auffliegt, bevor echte Gewinne entstehen.
Trotzdem ist es eine lustige Vorstellung, und die Ergebnisse des Papers sowie der Aufwand für die Umsetzung sind beeindruckend.
Der Münzwurf dort ist ziemlich sanft, und die Münze steigt nicht einmal einen Fuß hoch in die Luft.
Bei einem normalen Münzwurf denkt man eher an etwas wie vor einem Sportspiel: Die Münze steigt hoch und rotiert schnell, fällt auf den Boden, rollt noch ein Stück und man schaut dann, welche Seite oben liegt.
Wenn das Experiment so durchgeführt worden wäre, wäre der Bias von 50,8 % zur gleichen Seite vermutlich deutlich näher an 50 % gelegen.
Wenn man auf Schwarz/Rot setzte und eine 0 kam, wurden alle Einsätze unverändert in die nächste Runde übernommen.
Meine Gewinnstrategie war, immer auf die entgegengesetzte Farbe wie mein Freund zu setzen.
Wenn man die Münze stattdessen auf eine harte Oberfläche fallen und abprallen ließe, würde der Bias vermutlich verschwinden.
Man kann sagen, dass dieses Experiment keinen „typischen“ Münzwurf repräsentiert.
Im Durchschnitt warf jede teilnehmende Person die Münze über 7000-mal; bei dieser Menge dürften viele gelernt haben, die Münze bequemer und konsistenter zu werfen.
Wenn die Schwankungen in Bewegung und Kraft kleiner werden, könnte die Wahrscheinlichkeit steigen, dass die Münze in derselben Ausrichtung landet.
Ich glaube nicht, dass dieses Ergebnis bei Personen ohne Übung genauso ausfallen würde.
Allerdings bin ich definitiv besser darin geworden, die Münze zu werfen und mit der Hand zu fangen, ohne sie fallen zu lassen, und allein das braucht Übung.
Ich weiß, dass es eine Technik gibt, dem Wurf mehr Taumeln zu geben, aber ich habe sie nicht gelernt und weiß auch nicht, wie sie funktioniert.
Man kann wohl sicher sagen, dass das keine Technik ist, die man intuitiv zufällig entdeckt.
Wenn es darum geht, einen zugrunde liegenden Bias zu erkennen, ist es ein ziemlicher Unterschied, ob eine Person 7000-mal wirft oder 7000 Personen jeweils einmal werfen.
Ich suche noch nach einer Möglichkeit, den Mechanismus hinter dieser Verzerrung intuitiv zu erklären, oder so, dass ihn auch Grundschüler verstehen können.
Das Originalpaper erklärt, dass Menschen beim normalen Werfen einer Münze ein geringes Maß an Präzession (precession) oder Taumeln erzeugen und sich dadurch die Richtung der Rotationsachse der Münze während des Flugs ändert.
Nach dem Diaconis-Modell bleibt die Münze wegen der Präzession in der Luft länger in einem Zustand, in dem die Ausgangsseite nach oben zeigt, und landet daher mit höherer Wahrscheinlichkeit auf derselben Seite wie am Anfang.
Andere Experiment-Websites zum Münzwurf erklären, dass eine normal geworfene Münze nicht, wie man es sich vorstellt, um eine horizontale Achse rotiert, sondern um eine geneigte Achse präzediert, die sich im dreidimensionalen Raum bewegt, und deshalb eine gewisse „Erinnerung“ an die Anfangsbedingungen bleibt.
Das Diaconis-Paper enthält die entscheidende Erklärung, aber intuitiv ist sie nicht.
Die beste Erklärung, die ich geben kann, ist: Beim Werfen erzeugt der Mensch ein gewisses Maß an Präzession, und wenn Präzession vorhanden ist, verweilt der Drehimpulsvektor, wenn man mit Kopf startet, länger in Richtung Kopf und erzeugt so die Verzerrung.
Für eine Erklärung für Grundschüler wäre wohl eine Münzwurf-Animation gut, die zeigt, welchen Bereich der Drehimpulsvektor während des Flugs überstreicht und dass die Zeit, in der er zur Kopfseite zeigt, ein wenig länger ist.
[1] https://www.stat.berkeley.edu/~aldous/Real-World/coin_tosses...
[2] http://epubs.siam.org/doi/10.1137/S0036144504446436
Menschen können das tatsächlich trainieren, und für die Person, die darauf hereinfällt, ist es sehr schwer zu erkennen, dass die Münze in der Luft nicht umklappt, sondern nur taumelt.
Dann ist klar, dass die Seite, die anfangs oben war, auch beim Fangen weiterhin oben ist.
Der nächste Schritt — dass auch jemand, der fair werfen will, ein gewisses Maß an Präzession erzeugt und diese nicht von der Rotation getrennt ist — ist für mich überhaupt nicht intuitiv.
Ich habe immer gesagt, dass das Ergebnis eines Münzwurfs stark vom Anfangszustand abhängt.
Wenn man an eine Folge wie Kopf, Zahl, Kopf, Zahl denkt, kann die Anzahl der Zahl-Ergebnisse bei Start mit Kopf nicht größer sein als die der Kopf-Ergebnisse; Kopf kann aber um eins häufiger sein.
Ich habe es nicht selbst getestet, aber ich nehme an, dass die Wahrscheinlichkeit umso stärker verzerrt ist, je geringer die Anzahl der Umdrehungen ist, also je kürzer die Kopf-Zahl-Sequenz ist.
Mit Sequenz ist hier nicht das Wurfergebnis gemeint, sondern die Reihenfolge der Seiten, die während der Rotation nach oben zeigen.
[Kopf, Zahl] ist eine vollständige Umdrehung mit Start auf Kopf, und [Zahl, Kopf, Zahl, Kopf] sind zwei Umdrehungen, die mit Zahl beginnen und mit Kopf enden.
Das Ergebnis des Münzwurfs ist das letzte Element dieser Sequenz.
Wenn man eine Münze, die mit Kopf startet, wirft und sofort in der Luft wieder fängt, ist das Ergebnis selbstverständlich Kopf.
Wenn die Zeit, zu der man die Münze stoppt, aber ein relativ großes T ist, kann man die Wahrscheinlichkeit als eine Art Summe betrachten.
Setzt man zum Beispiel eine Zeitdiskretisierung von \Delta T = 10ms an, unterscheiden sich die Summen der Kopf- und Zahl-Intervalle, und wenn T gegen unendlich geht, werden P(H) und P(T) ähnlicher.
In der Praxis wartet man nicht für eine gleichverteilte Zeit, sondern im Allgemeinen für eine Zeit, die eher einer Gauß-Verteilung ähnelt; daher werden die einzelnen Terme der Summe unterschiedlich gewichtet.
Die Varianz und der Offset dieser Verteilung können die Wahrscheinlichkeit in Richtung Kopf oder Zahl verschieben, und das hängt stark von den konkreten Parametern ab.
Wenn man sie zum Beispiel immer nach 35 ms fängt, könnte immer Zahl herauskommen.
Der Zustand, in dem die Münze auf der Hand darauf wartet, geworfen zu werden, liegt bereits in der Mitte des Intervalls der aktuell nach oben zeigenden Seite.
Denn der Übergang von Kopf oben zu Zahl oben findet statt, wenn die Münze senkrecht steht.
Wenn das schwer nachzuvollziehen ist, kann man sich vorstellen, die Münze in verschiedenen Winkeln zu halten und sie „plattzudrücken“.
50 % der Winkel entsprechen der einen oder der anderen Seite, aber im Moment, in dem die Münze geworfen wird, hat sie bereits die Hälfte des Winkelbereichs durchlaufen, der die aktuelle Seite repräsentiert.
Deshalb ist die richtige Sequenz nicht THTHTH, sondern eher THHTTHHTTHH.
Betrachtet man gleiche Intervalle, erscheinen beide Seiten gleich oft; betrachtet man eine ungerade Anzahl von Intervallen, gibt es in der Hälfte der Fälle mehr Zahl und in der anderen Hälfte mehr Kopf.
Das scheint ziemlich schwer zu passieren, daher würde die Sequenz bei einem Start mit Kopf wohl eher Zahl-Kopf-Zahl-Kopf lauten.
Wenn ich das nächste Mal etwas per Münzwurf entscheide, sollte ich wohl auf Best of 350.757 bestehen.
Ich habe die Münze nach dem Fangen immer auf den Handrücken umgedreht, um das Ergebnis zu zeigen.
Dann gäbe es wahrscheinlich eine Verzerrung zur Gegenseite.
Wie könnte man einen Münzwurf verzerren?
Dem Paper zufolge scheint es möglich zu sein, die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze auf derselben Seite landet, mit der sie gestartet ist, auf 55 % zu bringen; der extremste Teilnehmer lag ungefähr dort.
Da die Verzerrung durch Präzession entsteht, sollte man beim Werfen wohl möglichst viel Präzession erzeugen.
Es könnte gut sein, den Finger möglichst weit vom Mittelpunkt der Münze entfernt anzusetzen und möglichst viel Kraft einzusetzen.
Zuletzt muss man beim Aufdecken des Ergebnisses die Oberseite nach oben zeigend fangen.
Stell dir vor, du klemmst die Münze mit Kopf nach oben zwischen Zeigefinger und Daumen und stützt sie von unten mit dem Mittelfinger; das unterscheidet sich nicht groß von der üblichen Ausgangsposition für einen Münzwurf.
Mit dem Zeigefinger drehst du sie in ihrer Ebene, sodass Kopf weiter nach oben zeigt, aber nur das Kopf-Motiv rotiert.
Wenn du jetzt gleichzeitig mit dem Daumen einen Punkt nahe am unteren Rand der Münze wegschnippst und sie wirfst, kannst du ihr Spin geben.
Bei passendem Spin überschlägt sich die Münze tatsächlich nicht, sondern taumelt nur, und landet daher auf Kopf.
Ein Beobachter kann bei hoher Geschwindigkeit Überschlagen und Taumeln mit bloßem Auge kaum unterscheiden und wird daher wahrscheinlich nicht genau merken, was du gemacht hast.
In diesem Fall macht der kleine Rechtschreibfehler die Bedeutung des Satzes ziemlich unklar.
Interessant, aber meine Intuition war genau das Gegenteil des Ergebnisses.
Ich dachte, dass die Münze eine ungerade Anzahl von Drehungen machen muss, um auf der gegenüberliegenden Seite zu landen, und eine gerade Anzahl, um auf derselben Seite zu landen.
Da es für jede Anzahl von Drehungen gleich viele gerade und ungerade Fälle geben kann oder einen ungeraden Fall mehr, hielt ich es für wahrscheinlicher, dass sie sich ungerade oft dreht.
Hier spielen jedoch mehr Faktoren eine Rolle, und am Ende kann nur das Experiment das Modell validieren.
Ich würde gern sehen, wie TianqiP die Münze wirft.
Bei diesem Nutzer ist der Anteil der Kopfseite mit 0,601 [0,582, 0,619] ziemlich hoch.
Strategisch eingesetzt ist das eine Fähigkeit, mit der man ein paar Dollar verdienen könnte.