Kategorientheorie illustriert: Logik (2021)

Logik

Was ist Logik?

• Logik ist die Wissenschaft des Möglichen und die Grundlage aller anderen Wissenschaften.
• Wenn Wissenschaft erklärt, wie das Universum funktioniert, dann ist Logik der Teil der Erklärung, der auf jedes mögliche Universum anwendbar ist.
• Die Logik untersucht die Regeln, nach denen man aus der Kenntnis einer Tatsache schließen kann, dass eine andere Tatsache wahr ist.

Logik und Mathematik

• Logik ist der Mengenlehre und der Kategorientheorie ähnlich; mathematische Theorien sind Logik, der zusätzliche Definitionen hinzugefügt wurden.
• Mengenlehre kann definiert werden, indem man zu den Standardaxiomen der Logik eine primitive Relation hinzufügt.

Grundlegende Aussagen

• Da Logik die Wissenschaft des Möglichen ist, braucht sie eine anfängliche Menge von Aussagen, die als wahr oder falsch akzeptiert werden.
• Diese Aussagen werden „Prämissen“, „Grund­aussagen“ oder „atomare Aussagen“ genannt.

Aufbau von Aussagen

• Der Kern der Logik ist das Konzept der Zusammensetzung; mehrere Aussagen können mithilfe logischer Operatoren kombiniert werden.
• Zu den logischen Operatoren gehören „und“, „oder“, „daher“ usw.

Gleichwertigkeit von grundlegenden und zusammengesetzten Aussagen

• Eine aus mehreren Prämissen aufgebaute Aussage unterscheidet sich nicht von einer Grund­aussage und wird auf dieselbe Weise aufgebaut.

Beweis durch Widerspruch

• Der Beweis durch Widerspruch ist eine der ältesten logischen Aussagen und zeigt: Wenn A wahr ist und A B impliziert, dann ist auch B wahr.

Selbstverständliche Wahrheiten

• Selbstverständliche Wahrheiten sind Aussagen, die immer wahr sind; ihr Gegenteil ist ein Widerspruch, der immer falsch ist.
• Selbstverständliche Wahrheiten werden als Grundlage für Axiomenschemata/Inferenzregeln verwendet.

Logische Systeme

• Mithilfe von Axiomenschemata/Inferenzregeln können neue Aussagen erzeugt werden.
• Ein logisches System besteht aus einer kleinen Sammlung solcher Schemata/Regeln.

Fazit

• Um die Hauptbestandteile der Logik (Axiome, Inferenzregeln) zu verstehen, muss man sie durch eine bestimmte Interpretation beweisen.

Klassische Logik: wahrheitsfunktionale Interpretation

• Die klassische Logik basiert auf Platons Ideenlehre; jede Aussage ist entweder wahr oder falsch.
• Logische Operatoren werden als Funktionen dargestellt, die boolesche Werte als Eingabe nehmen und andere boolesche Werte zurückgeben.

Intuitionistische Logik: BHK-Interpretation

• Die intuitionistische Logik versteht Wahrheit als Konstruktion eines Beweises und lehnt die Dichotomie ab, dass jede Aussage wahr oder falsch sei.
• In der BHK-Interpretation bedeutet, dass eine Aussage wahr ist, dass für sie ein Beweis existiert.

Logik als Kategorie interpretieren

• Die BHK-Interpretation bietet eine höherdimensionale Perspektive, in der Logik auf Grundlage der Kategorientheorie interpretiert werden kann.
• Der Curry-Howard-Isomorphismus beschreibt die Ähnlichkeit zwischen Logik und Programmiersprachen.

Theorem von GN⁺

• Logik ist ein grundlegender Teil von Mathematik und Wissenschaft und spielt in vielen Bereichen eine wichtige Rolle.
• Klassische und intuitionistische Logik haben unterschiedliche philosophische Hintergründe und können je nach Interpretation zu unterschiedlichen Ergebnissen führen.
• Logische Systeme sind mächtige Werkzeuge, mit denen sich durch Axiome und Inferenzregeln neue Aussagen erzeugen lassen.
• Die Interpretation der Logik kann mit der Kategorientheorie verknüpft werden, was durch die Ähnlichkeit zu Programmiersprachen noch interessanter wird.