Ordnung anhand von Bildern aus der Kategorientheorie verstehen

• Eine Ordnungsstruktur entsteht, wenn eine binäre Relation auf einer Menge von Elementen Gesetze wie Reflexivität, Transitivität und Antisymmetrie erfüllt.
• Eine lineare Ordnung ist eine Struktur, in der je zwei Elemente vergleichbar sind; entfernt man die Totalität, erhält man eine partielle Ordnung.
• In partiellen Ordnungen lässt sich die Struktur mit Ketten, größtem und kleinstem Element, Join und Meet sowie Hasse-Diagrammen erfassen.
• Farbmischung, Teilbarkeit und Inklusionsbeziehungen von Mengen sind Beispiele für partielle Ordnungen; wenn sowohl Join als auch Meet immer existieren, entsteht ein lattice.
• Eine Präordnung ist eine Struktur mit nur Reflexivität und Transitivität, und jede Präordnung kann als Kategorie interpretiert werden, in der es zwischen zwei Objekten höchstens einen Morphismus gibt.

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Ordnung

• Eine Ordnung besteht aus einer Menge von Elementen und einer binären Relation darauf; wenn bestimmte Gesetze erfüllt sind, entsteht eine mathematische Struktur.
  • Entscheidend ist nicht das Ordnungskriterium selbst, sondern welche Eigenschaften die Beziehungen zwischen den Elementen haben.
  • Eine binäre Relation ist eine Beziehung zwischen zwei Elementen einer Menge und kann auch durch Pfeile dargestellt werden.
• In der Mengenlehre kann eine Ordnung als Teilmenge des kartesischen Produkts einer Menge mit sich selbst dargestellt werden, in der Programmierung als Funktion zum Vergleichen zweier Objekte.
  • Allerdings definiert nicht jede Vergleichsfunktion oder jede Menge von Elementpaaren eine Ordnung; damit unabhängig von der anfänglichen Anordnung konsistente Ergebnisse entstehen, sind bestimmte Regeln nötig.

Lineare Ordnung

• Eine lineare Ordnung ist eine Ordnung, in der alle Elemente zueinander eine Position haben, also eine Struktur, in der nicht mehrdeutig ist, welches Element vor einem anderen steht.

  • Als Beispiele werden die Reihenfolge von Farben nach Wellenlänge des Lichts oder die Anordnung im Regenbogen genannt.
  • Eine lineare Ordnung wird als binäre Relation definiert, die Reflexivität, Transitivität, Antisymmetrie und Totalität erfüllt.
  • Diese vier Gesetze bilden die Bedingungen für eine Ordnungsrelation.

• Reflexivität

  • Jedes Element muss größer oder gleich sich selbst sein; für alle $a$ gilt also $a \le a$.
  • Das ist die Regel für den Basisfall; definiert man stattdessen, dass ein Element nicht zu sich selbst in Beziehung steht, entsteht ein anderer Typ ähnlich einer strict order.

• Transitivität

  • Wenn $a \le b$ und $b \le c$, dann muss $a \le c$ gelten.
  • Dieses Gesetz prägt den Kern einer Ordnung besonders stark.

• Antisymmetrie

  • Dies ist die Regel, die widersprüchliche Vergleichsergebnisse verbietet: Wenn $x \le y$ und $y \le x$, ist das nur erlaubt, wenn $x = y$ gilt.
  • Zusammengefasst wird das auch als Ausschluss echter Gleichstände formuliert.

• Totalität

  • Jedes Paar von Elementen muss vergleichbar sein; für beliebige zwei Elemente gilt also $a \le b \lor b \le a$.
  • Für jedes Paar muss also eines der beiden größer oder gleich dem anderen sein.
  • Da die Totalität auch den Fall $a=b$ umfasst, enthält sie die Reflexivität als Spezialfall.
  • Entfernt man die Totalität, erhält man eine partielle Ordnung; lineare Ordnungen werden auch als total order bezeichnet.

• Ordnung der natürlichen Zahlen

  • Die natürlichen Zahlen bilden unter der Relation größer oder gleich eine lineare Ordnung.
  • Jede endliche lineare Ordnung ist isomorph zu einer Teilmenge der natürlichen Zahlen, indem man das erste Element auf 1, das zweite auf 2 usw. abbildet.
  • Daher sind alle endlichen linearen Ordnungen gleicher Größe zueinander isomorph.
  • Aus Sicht der Kategorientheorie wird außerdem erwähnt, dass die Diagramme aller endlichen linearen Ordnungen und der meisten unendlichen linearen Ordnungen gleich aussehen.

Partielle Ordnung

• Eine partielle Ordnung ist eine Struktur, die aus einer linearen Ordnung durch Entfernen der Totalität entsteht und nur Reflexivität, Transitivität und Antisymmetrie beibehält.
  • Auch die Bezeichnung partially-ordered set bzw. poset wird verwendet.
• Jede lineare Ordnung ist eine partielle Ordnung, aber nicht jede partielle Ordnung ist linear.
• Partielle Ordnungen stehen auch mit Äquivalenzrelationen in Verbindung; es handelt sich um eine Struktur, in der anstelle der Symmetrie die Antisymmetrie auftritt.
• Im Beispiel zum Vergleich von Fußballstärke kann eine lineare Ordnung möglich sein, wenn nur Personen vorkommen, die direkt oder indirekt vergleichbar sind; kommen Personen hinzu, die nie gegeneinander gespielt haben, entsteht eine nichtlineare Struktur und damit eine partielle Ordnung.
  • Eine partielle Ordnung liefert auf die Frage, wer besser ist, also nicht immer eine eindeutige Antwort.

• Kette

  • Eine partielle Ordnung kann aus mehreren linearen Teilmengen bestehen; solche linearen Teilmengen heißen chain.
  • Als Beispiel werden zwei Ketten $m \to g \to f$ und $d \to o$ angegeben.
  • Ketten müssen nicht vollständig getrennt sein; solange nicht alle Verbindungen eins zu eins zu einer einzigen Kette zusammenlaufen, bleibt es eine partielle Ordnung.
  • Im Beispiel kann man $d \le g$ und $f \le g$ erkennen, aber die Beziehung zwischen $d$ und $f$ bleibt unbestimmt.

• Größtes und kleinstes Element

  • Wenn für ein Element $a$ und jedes andere Element $x$ $x \le a$ gilt, dann ist dieses Element ein greatest element.
  • In manchen partiellen Ordnungen existiert ein solches Element; im Beispieldiagramm ist $m$ das greatest element.
  • Auch wenn mehrere Elemente jeweils größer als alle anderen sind, gibt es kein greatest element, solange sie nicht identisch sind.
  • Entsprechend wird auch ein least element definiert.

• Join

  • Die least upper bound zweier verbundener Elemente heißt join.
  • Die Definition hat zwei Bedingungen:
    • Es muss $A \le G$ und $B \le G$ gelten.
    • Für jedes andere Element $P$, das größer als $A$ und $B$ ist, muss $G \le P$ gelten.
  • Wenn ein Element größer als das andere ist, ist das Join einfach das größere Element selbst.
  • In einer linearen Ordnung ist das Join beliebiger zwei Elemente immer das größere Element.
  • Gibt es mehrere obere Schranken derselben Minimalität, dann existiert kein Join; ein Join muss eindeutig sein.

• Meet

  • Unter den Elementen, die kleiner oder gleich beiden betrachteten Elementen sind, heißt das größte Element meet.
  • Dabei gelten dieselben Regeln wie beim Join, nur in umgekehrter Richtung.

• Hasse-Diagramm

  • Die in diesem Abschnitt verwendeten Darstellungen sind Hasse diagrams.
  • Es gilt die zusätzliche Regel, dass größere Elemente immer höher platziert werden.
  • Falls Pfeile eingezeichnet sind, liegt der Punkt, auf den der Pfeil zeigt, immer weiter oben.
  • Dadurch kann man die Vergleichbarkeit allein anhand der vertikalen Lage zweier Punkte erkennen; auch ein Join lässt sich finden, indem man unter den gemeinsam erreichbaren Elementen das niedrigste auswählt.

• Partielle Ordnung der Farbmischung

  • Vorgestellt wird eine color-mixing partial order, in der jede Farbe auf eine Farbe zeigt, die sie enthält.
  • Das Join zweier beliebiger Farben ist die Farbe, die beim Mischen dieser beiden Farben entsteht.

• Partielle Ordnung von Zahlen durch Teilbarkeit

  • Ordnet man Zahlen nicht nach Größe, sondern nach Teilbarkeit, entsteht eine partielle Ordnung.
  • Man definiert: Wenn $a$ $b$ teilt, dann steht $a$ vor $b$.
  • Da etwa $2 \times 5 = 10$ gilt, stehen 2 und 5 vor 10, 3 jedoch nicht.
  • In dieser Ordnung ist das Join das kleinste gemeinsame Vielfache, das Meet der größte gemeinsame Teiler.

• Inklusionsordnung

  • Hat man mehrere Mengen mit teilweise gemeinsamen Elementen, kann man eine inclusion order definieren.
  • Wenn eine Menge $a$ die Menge $b$ enthält, oder anders gesagt $b$ eine Teilmenge von $a$ ist, dann steht $a$ vor $b$.
  • In diesem Fall ist das Join die Vereinigung, das Meet der Schnitt.
  • Mischt man die in den Mengen enthaltenen Farben, entsteht dieselbe Struktur wie bei der zuvor betrachteten partiellen Ordnung der Farbmischung.
  • Die Teilbarkeitsordnung der Zahlen ist isomorph zur Inklusionsordnung von Primzahlmengen oder prime powers mit erlaubten Wiederholungen.
  • Das folgt aus dem Fundamentalsatz der Arithmetik, nach dem jede Zahl genau auf eine Weise als Produkt von Primzahlen dargestellt werden kann.

Birkhoffs Darstellungssatz

• Sowohl die partielle Ordnung der Farbmischung als auch die Teilbarkeitsordnung von Zahlen lassen sich als Inklusionsordnung möglicher Mengenkombinationen bestimmter Grundelemente darstellen.
  • Im ersten Fall sind die Grundelemente Primärfarben, im zweiten Primzahlen oder Primzahlpotenzen.
• Welche endlichen partiellen Ordnungen auf diese Weise darstellbar sind, bestimmt das Birkhoff’s representation theorem.
  • Dafür gibt es zwei Bedingungen:
    • Für jedes Paar von Elementen müssen Join und Meet existieren.
    • Join und Meet müssen zueinander distributiv sein. Mit den Symbolen $∨$ und $∧$ gilt also $x ∨ (y ∧ z) = (x ∨ y) ∧ (x ∨ z)$.
• Eine partielle Ordnung, in der alle Elemente Join und Meet besitzen, heißt lattice.
• Sind diese Operationen zueinander distributiv, spricht man von einem distributive lattice.
• Die „primartigen“ Elemente, aus denen sich eine Inklusionsordnung aufbaut, sind genau die Elemente, die sich nicht als Join anderer Elemente ausdrücken lassen; sie heißen join-irreducible elements.
• Der Satz lässt sich auch so formulieren: Jedes distributive lattice ist isomorph zur Inklusionsordnung seiner join-irreducible elements.
• Auch partielle Ordnungen, die kein distributive lattice sind, können zur Inklusionsordnung isomorph sein; dann entsprechen sie allerdings einer Inklusionsordnung, die nicht alle möglichen Kombinationen enthält.

Gitter

• Ein lattice ist eine partielle Ordnung, in der je zwei Elemente Join und Meet besitzen.
  • Jedes lattice ist eine partielle Ordnung, aber nicht jede partielle Ordnung ist ein lattice.
• Viele durch bestimmte Regeln erzeugte partielle Ordnungen sind distributive lattices; auch die Beispiele im vorigen Abschnitt wären bei vollständiger Darstellung distributive lattices.
• Im Beispiel der Farbmischung werden oben eine schwarze Kugel und unten eine weiße Kugel ergänzt.
  • Andernfalls hätten die drei oberen Elemente kein Join und die drei unteren kein Meet.

• Beschränktes Gitter

  • Ein lattice mit greatest element und least element heißt bounded lattice.
  • Im Farbmischungs-lattice ist die schwarze Kugel das greatest element und die weiße Kugel das least element.
  • Außerdem wird erwähnt, dass jedes endliche lattice bounded ist.

Ordnungsisomorphismus

• Ein Ordnungsisomorphismus ist eine umkehrbare Funktion zwischen den Trägermengen zweier Ordnungen, die die Ordnungspfeile erhält.
• Für die Teilbarkeitsordnung von Zahlen und die Inklusionsordnung von Primzahlen bestehen die beiden Funktionen beispielsweise aus:
  • einer Funktion von der Primzahl-Inklusionsordnung zur Zahlenordnung durch Multiplikation der Mengenelemente,
  • und einer Funktion von der Zahlenordnung zur Primzahl-Inklusionsordnung durch prime factorization.
• Die zentrale Bedingung lautet: Für zwei Elemente $a$ und $b$ gilt genau dann $a \le b$, wenn $F(a) \le F(b)$.
• Eine solche Funktion nennt man order-preserving.

Präordnung

• Eine preorder ist eine Struktur, die aus einer linearen Ordnung durch Entfernen der Antisymmetrie entsteht und nur Reflexivität und Transitivität beibehält.
• Hinsichtlich der Vergleichbarkeit gilt:
  • In einer linearen Ordnung gilt $a \le b$ oder $b \le a$.
  • In einer partiellen Ordnung kann eines von beiden gelten oder keines von beiden.
  • In einer Präordnung kann eines von beiden gelten, keines von beiden oder auch beides zugleich.
• Eine Präordnung unterscheidet sich vom alltagsüblichen Ordnungsbegriff; von einem beliebigen Punkt kann ein Pfeil zu einem anderen Punkt gehen.
  • Als Beispiel wird im Fußball modelliert, „wer wen geschlagen hat“, einschließlich direkter und indirekter Siege.
• Durch die Transitivität werden indirekte Siege wie direkte Beziehungen ergänzt; gibt es dadurch Zyklen, entsteht eine Struktur, in der mehrere Objekte wechselseitig vollständig verbunden sind.

• Präordnung und Äquivalenzrelation

  • Eine Präordnung ist eine Zwischenstruktur zwischen partieller Ordnung und Äquivalenzrelation.
  • Denn es fehlt nur der Punkt, an dem sie sich unterscheiden: die (Anti-)Symmetrie.
  • Elemente, die in einer Präordnung in beide Richtungen verbunden sind, erfüllen Symmetrie und bilden daher eine Äquivalenzrelation.
  • Fasst man solche Elemente zusammen, entstehen die equivalence classes der Präordnung.
  • Überträgt man nur die Verbindungen zwischen diesen Äquivalenzklassen, erfüllen sie Antisymmetrie und bilden damit eine partielle Ordnung.
  • Daher kann man für jede Präordnung eine partielle Ordnung auf ihren Äquivalenzklassen definieren.

Präordnung und Kategorie

• Die Transitivität einer Präordnung ist die Regel, dass aus $a \le b$ und $b \le c$ ein $a \le c$ folgt; das lässt sich als Komposition von Relationen verstehen.
• Die Definition einer Kategorie enthält die beiden folgenden Bedingungen:
  • Für jedes Objekt existiert ein Identitätsmorphismus.
  • Geeignete Morphismen lassen sich komponieren, und diese Komposition ist assoziativ.
• In einer Präordnung übernimmt die Transitivität die Rolle der Komposition, die Reflexivität die Rolle des Identitätsmorphismus.
• Daher ist jede Präordnung eine Kategorie.
• In allgemeinen Kategorien kann es zwischen zwei Objekten mehrere Morphismen geben; in einer Präordnung gibt es zwischen beliebigen zwei Objekten jedoch höchstens einen Morphismus.
  • Entweder gilt $a \le b$ oder eben nicht.
• So wie ein Monoid eine Kategorie mit genau einem Objekt ist, lässt sich eine Ordnung als Kategorie beschreiben, in der es zwischen zwei Objekten höchstens einen Morphismus gibt.
• Wegen dieser Eigenschaft kommutieren in Präordnungen alle Diagramme.

• Kategoriale Eigenschaften von partieller Ordnung und Präordnung

  • Partielle Ordnungen und Präordnungen sind beide Spezialfälle von Präordnungen und damit ebenfalls Kategorien.
  • Präordnungen werden in der Kategorientheorie als skeletal categories erwähnt, also als Kategorien, in denen isomorphe Objekte nicht als getrennte Objekte nebeneinander existieren.

• Produkt und Koprodukt

  • Die Definition des coproduct in einer Kategorie besteht aus zwei Morphismen $A \to A + B$, $B \to A + B$ und einer universellen Eigenschaft.
  • Das hat genau dieselbe Form wie die Definition von Join in einer Ordnung.
  • In einer Ordnung ist jeder Morphismus eindeutig, daher entspricht „größer sein“ der Existenz eines eindeutigen Morphismus.
  • Deshalb ist im Kategoriensinn das coproduct einer Präordnung das Join.
  • Durch Dualität entspricht das product dem Meet.

• Formale Definition

  • In der Kategorientheorie nennt man Kategorien, in denen es zwischen zwei Objekten höchstens einen Morphismus gibt, thin categories.
  • Jede Präordnung kann als solche thin category aufgefasst werden, und umgekehrt lässt sich jede solche Kategorie als Präordnung interpretieren.
  • Thin categories dienen dazu, den Kategorienbegriff in einem leichter verständlichen Kontext zu untersuchen als bei allgemeinen Kategorien.
  • Wer Meet und Join versteht, bekommt dadurch auch leichter Zugang zu den allgemeineren kategorialen Begriffen product und coproduct.
  • Sie sind außerdem nützlich, wenn man sich nicht für Unterschiede zwischen mehreren Morphismen interessiert und nur eine einfache Struktur benötigt.

[GN⁺]

Hacker-News-Kommentare

• Wenn man Category Theory auf eine etwas klassischere Art lernen möchte, empfehlen viele das kostenlose Basic Category Theory von Tom Leinster. Ich will es mir auch bald in Ruhe anschauen; mein Eindruck nach dem Überfliegen war, dass es mathematischer ist als Materialien wie TFA, aber ziemlich gut. Besonders bei der Erklärung, warum Category Theory überhaupt als eigenes Forschungsfeld besteht, fand ich es überzeugender.
  • Allerdings scheint auch dieses Buch, wie Category-Theory-Bücher generell, meist für Leute geschrieben zu sein, die bereits mit Mathematik auf Bachelor-Niveau vertraut sind. Wenn man mit algebraischen Strukturen, linearer Algebra oder Topologie nicht vertraut ist, muss man sich wahrscheinlich zwischendurch noch andere Quellen dazunehmen. Und Category Theory wirkt auch dann besonders eindrucksvoll, wenn man den semantischen Kontext, den sie vereinheitlichen will, schon einigermaßen kennt. Im Buch wird zum Beispiel die initial property anfangs so eingeführt, als wirke sie selbstverständlich, aber der entscheidende Punkt ist, zu erkennen, dass sie bei beliebigen Strukturen eben nicht einfach so gilt.
• Auch wenn man den Text wohlwollend liest, ohne jede mathematische Zeile nachzuprüfen, hat schon dieses JavaScript-Beispiel mein Vertrauen erschüttert: [1, 3, 2].sort((a, b) => { if (a > b) { return true } else { return false } }) ist kein gültiger Comparator. Die API erwartet eine negative Zahl, 0 oder eine positive Zahl, aber hier wird ein Boolean zurückgegeben, und in meinem Chrome blieb [1, 3, 2] unverändert. Für mich wirkte die mathematische Genauigkeit des Textes auf einem ähnlichen Niveau; ausführlichere Kritik habe ich in diesem Kommentar gesammelt.
  • Ich frage mich allerdings, warum man unbedingt annimmt, dass dieser Code JavaScript sein soll. Soweit ich gesehen habe, war die Sprache im Original nirgends angegeben.
• Meiner Ansicht nach ist die eigentliche Hürde bei abstrakter Mathematik allgemein, besonders bei Category Theory, nicht, dass Leute „linear order“ nicht verstehen. Das größere Problem ist eher das Gefühl, dass es nutzlos wirkt, weil es so weit vom Alltag entfernt ist. Es fühlte sich an, als würde man Wasser auf vollkommen glattes Glas gießen.
  • Mich würde interessieren, ob es in der Category Theory auch so etwas wie eine umwerfende Einsicht gibt, wenn man sie zum ersten Mal hört. Als ich früher zum ersten Mal hörte, dass man mit Group Theory beweisen kann, dass Polynome fünften oder höheren Grades keine allgemeine Lösung durch Radikale haben, fand ich das wirklich verblüffend; ich würde gern wissen, ob es in der Category Theory ein ähnliches Gegenstück gibt.
  • Ich finde, diese Kritik trifft noch mehr zu, als es zunächst scheint. Wenn das Ziel der Mathematik präzises Denken ist, war der Text viel zu ungenau. Es hat mich eher überrascht, dass das entweder niemanden störte oder es niemand bemerkte, und ich habe in meinem anderen Kommentar eine sehr unvollständige Fehlerliste notiert. Mein Fazit war, dass solche Texte für allgemeine Leser nicht besonders hilfreich sind. Wenn falsche Mathematik ähnlich konsumiert wird wie richtige Mathematik, wird ihr praktischer Nutzen noch fragwürdiger.
  • Für mich ist das ein Problem der Vermittlung. Order Theory ist im Programmieren sehr nützlich. Entscheidend ist, die Gewohnheit abzulegen, die Welt durch den Lens von totally ordered comparators zu sehen, und ich finde besonders preorders mächtig. Zustandsübergänge in State Machines lassen sich zum Beispiel in manchen Fällen als Preorder betrachten, und wenn man das hinbekommt, kann man komplexe Tests darauf reduzieren zu prüfen, ob <= gilt. Natürlich braucht es einiges an Denken, bis das vertraut wird, aber umgekehrt wird es immer natürlicher, wenn man es fortlaufend in alltägliche Arbeit hineinzieht. Dann bekommt man beim Betrachten von Tests irgendwann ein Gefühl wie: „Diese Bedingung lässt sich wohl als irgendein Preorder modellieren.“
  • Mir ist das erst bewusst klar geworden, als ich ungefähr zwei Jahre im Promotionsstudium war. Und in diesem Moment wusste ich sofort, dass ich nach dem Abschluss das Feld verlassen wollte.
• Der Schreibstil des Autors und der übermäßige Gebrauch von Klammern waren für mich ziemlich unerquicklich. Echtes parenthetisches Material ist eher selten, und gute technische Texte setzen Klammern meiner Meinung nach viel sparsamer ein.
  • Ich habe generell im Internet, besonders in HN-Kommentaren, den Eindruck, dass Klammerausdrücke übermäßig oft vorkommen. Ich mache das selbst manchmal auch, aber eine Browser-Erweiterung, die verschachtelte Klammern ab einer eingestellten Tiefe einklappt oder durchstreicht, wäre vermutlich ziemlich nützlich.
  • Ich habe halb im Scherz das Gefühl, dass man aus der Menge der verwendeten Klammern bis zu einem gewissen Grad etwas über den ADHS-Einschlag einer Person ablesen kann. Lisp-Programmierer sind davon natürlich vielleicht ausgenommen.
• Ich habe Category Theory nicht besonders tief gelesen, aber für mich wirkte sie wie eine mathematischere Beschreibung von Dingen, die Programmierer ohnehin schon tun. Das Denken in Abstraktionsebenen, der Umgang mit Graphen und mit Funktionen, die Objekte eines Typs in Objekte eines anderen Typs überführen, sah für mich ziemlich ähnlich aus.
• Ich glaube auch, dass man Category Theory praktisch als Theorie nur der Pfeile erklären kann. Jedes Objekt hat definitionsgemäß einen Identity Arrow, also kann man diesen Identity Arrow dem Objekt selbst zuordnen. Aus dieser Perspektive wirken Objekte wie eine Art syntactic sugar.
  • Als ich den Text öffnete und sah, dass er voller bunter M&M-Bilder war, erschien mir dieser Punkt fast sofort offensichtlich, und ich habe die Seite direkt wieder geschlossen.
• Ich habe früher einmal jemanden gesehen, der solche Diagramme mit Notizbuch und Bleistift zeichnete. Damals sah es für mich nach Graph Theory aus, und ich bedaure, dass ich den Moment verpasst habe, die Person anzusprechen. Es wirkte, als würde sie daran hobbymäßig arbeiten, was mich nur noch neugieriger machte. Ich würde Leute aus Praxis oder Forschung gern fragen, ob es Rätsel gibt, die man mit solcher Theorie oder Mathematik leicht konstruieren kann.
  • Ich habe in algebraischer Graph Theory zu s-arc-transitiven Graphen gearbeitet, und überraschenderweise habe ich fast nie tatsächlich Graphen gezeichnet. Meist ging es darum, mit Group Actions, Automorphismen, Arc-Stabilisatoren und ähnlichem zu argumentieren. Für Leute, die neugierig sind, wie das konkret aussieht, habe ich hier eine kurze Notiz hochgeladen. Sie behandelt nicht die s-arc-transitivity selbst, an der ich geforscht habe, vermittelt aber ein Gefühl für das Gebiet. Ein erheblicher Teil der Graph Theory kommt völlig ohne das Zeichnen konkreter Graphen aus.
• Als ich 2015 im Master Category Theory studierte, habe ich gesehen, dass Ordnungsrelationen wirklich sehr viele Dinge beeinflussen, von Data Structures bis zu Algorithms. Es wirkte auf mich ziemlich grundlegend und zentral.
• Das erinnerte mich an die Type Classes in Haskell. Die Ähnlichkeit liegt darin, wie sie den Begriff von Ordnung elegant mit einem eigenen Regelsatz definieren und Beziehungen sauber erfassen.
• Für mich erklärt dieses Material Ordnungsrelationen wirklich sehr klar. Dadurch, dass es die Struktur visualisiert, wurden die abstrakten Konzepte viel leichter verdaulich.