Ramanujans verlorenes Notizbuch

• Srinivasa Ramanujan hinterließ dieses Manuskript in seinem letzten Lebensjahr 1919–1920; nachdem sein Verbleib jahrzehntelang ungeklärt war, fand George Andrews es 1976 in der Wren Library des Trinity College Cambridge wieder
• Das Manuskript ist kein Buch, sondern eher ein loses Bündel Papier; mehr als 600 mathematische Formeln sind ohne Beweise fortlaufend notiert, sodass spätere Forschende ihre Überprüfung und Beweisführung fortsetzten
• Das Material gelangte über die University of Madras sowie die Nachlässe von G. H. Hardy und G. N. Watson 1968 zurück in die Wren Library und wurde in ungeordneten Unterlagen kurz vor der Verbrennung entdeckt
• George Andrews und Bruce C. Berndt veröffentlichten von 2005 bis 2018 in mehreren Büchern Beweise der Ramanujan-Formeln aus dem Notizbuch
• Zentrale mathematische Objekte sind q-series und Mock-Theta-Funktionen; einige Mock-Theta-Funktionen erwiesen sich auch für die Berechnung der Entropie von Schwarzen Löchern als nützlich

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Charakter und Umfang des Manuskripts

• Ramanujans verlorenes Notizbuch ist ein Manuskript mathematischer Entdeckungen des indischen Mathematikers Srinivasa Ramanujan, das er 1919–1920, in seinem letzten Lebensjahr, verfasste
• Anders als der Name „Notizbuch“ nahelegt, handelt es sich nicht um ein gebundenes Buch, sondern um lose und ungeordnete Blätter
  • Der Umfang beträgt mehr als 100 Seiten, beschrieben auf 138 Seiten
  • Es ist in Ramanujans charakteristischer Handschrift verfasst
  • Mehr als 600 mathematische Formeln sind ohne Beweise fortlaufend aufgeführt
• George Andrews und Bruce C. Berndt veröffentlichten die Beweise der im Notizbuch enthaltenen Ramanujan-Formeln in mehreren Büchern
  • Die Erscheinungsjahre sind 2005, 2009, 2012, 2013 und 2018
• Berndt verglich die Wirkung der Entdeckung dieses „Lost Notebook“ auf die Mathematik mit dem Aufsehen, das in der Musikwelt die Entdeckung von Beethovens 10. Sinfonie auslösen würde

Wege des Manuskripts nach Ramanujans Tod

• Ramanujan starb am 26. April 1920 im Alter von 32 Jahren
• Nach seinem Tod übergab Ramanujans Frau seine Notizen der University of Madras
• Am 30. August 1923 schickte der Registrar Francis Drewsbury einen großen Teil dieses Materials an G. H. Hardy, Ramanujans Mentor am Trinity College
  • Hardy könnte dabei das Manuskript des verlorenen Notizbuchs erhalten haben
• Das Manuskript gilt mit hoher Wahrscheinlichkeit als nach Ramanujans Rückkehr aus England nach Indien in seinem letzten Lebensjahr entstanden
  • Es gibt kein Vorwort und keinen Begleitbrief
  • Im Manuskript selbst stehen kaum Wörter
  • Es enthält einige Markierungen von Klassifizierenden sowie kurze Notizen, die offenbar in Hardys Handschrift verfasst sind
• Das bekannteste Thema im verlorenen Notizbuch sind die Mock-Theta-Funktionen

Von Watsons Unterlagen bis zur Wren Library

• Irgendwann zwischen 1934 und 1947 übergab Hardy das Manuskript vermutlich an G. N. Watson
• Watson begann gemeinsam mit B. M. Wilson ein Projekt zur Herausgabe von Ramanujans Notizbüchern
  • Wilson starb 1935
  • Watson scheint in der zweiten Hälfte der 1930er-Jahre das Interesse an diesem Projekt verloren zu haben
• Nach Watsons Tod 1965 sah J. M. Whittaker Watsons Unterlagen durch
  • Watsons Papiere lagen chaotisch verstreut und bedeckten den Boden des Zimmers etwa einen Fuß hoch
  • Sie sollten wenige Tage später verbrannt werden
  • Whittaker entdeckte zufällig Ramanujans Notizbuch
• Whittaker und R. A. Rankin schickten das Notizbuch am 26. Dezember 1968 an die Trinity College Wren Library

George Andrews’ Wiederentdeckung 1976

• George Andrews entdeckte das verlorene Notizbuch im Frühjahr 1976 während eines Besuchs am Trinity College
• Andrews hielt 2012 anlässlich des 125. Geburtstags von Ramanujan einen Bericht über diese Entdeckung fest
• 1970 schrieb Andrews vor einem Sabbatical an die britische Mathematikerin Lucy Slater
  • Andrews forschte damals in Bereichen, die Ramanujans Arbeiten nahe standen, darunter Mock-Theta-Funktionen und hypergeometrische Reihen
  • Slater antwortete, sie habe ungeordnete Arbeiten von Watson, Bailey, Jackson, Rogers und anderen geerbt; darunter befinde sich eine von Ramanujans letzten Arbeiten
  • Slater fügte hinzu, dass sich weiteres Material auch in der Trinity College library befinde
• Andrews konnte 1970 nicht nach Europa reisen, doch durch seine Teilnahme an einer European conference in Strasbourg 1976 wurde ein Besuch in Cambridge möglich
• Mit Genehmigung und Unterstützung von Slater, der Trinity College library und seinem Professor Ben Noble untersuchte er unveröffentlichte Manuskripte von Watson und anderen
  • Noble fügte hinzu, es wäre schön, wenn er auch die verlorenen Arbeiten von James Clerk Maxwell finden könnte
• Im Verzeichnis von Watsons Nachlass in den Bibliotheksdokumenten gab es einen Eintrag „139-seitiges Manuskript von S. Ramanujan zu q-series“
• Das Manuskript hatte kein ausdrückliches Titelblatt, doch Ramanujan hatte in seinem letzten Brief an Hardy die Entdeckung von Mock-Theta-Funktionen erwähnt, und im Manuskript fanden sich Inhalte, die wie zugehörige Notizen wirkten, sodass seine Identität bestätigt wurde

Mathematischer Inhalt und Veröffentlichung

• Rankin beschrieb das verlorene Notizbuch 1989 ausführlich
• Die meisten Formeln betreffen q-series und Mock-Theta-Funktionen
• Etwa ein Drittel behandelt modulare Gleichungen und singuläre Moduln
• Die übrigen Formeln betreffen vor allem Integrale, Dirichlet-Reihen, Kongruenzen und Asymptotik
• Die Mock-Theta-Funktionen des Notizbuchs erwiesen sich als nützlich für die Berechnung der Entropie von black holes
• Das Manuskript wurde am 22. Dezember 1987 im Verlag Narosa publishing house veröffentlicht

[GN⁺]

Meinungen auf Hacker News

• Passend zur Offenheit, die freie Open-Source-Software wie GNU/Linux auszeichnet, wäre es schön, wenn auch dieses Buch gescannt und öffentlich zugänglich gemacht würde, damit alle es sehen können.
  Wie freie Software gehört meiner Ansicht nach auch Mathematik der Welt. Ich habe gehört, dass die Universität vieles von Ramanujans Arbeit nicht veröffentlicht hat; falls das stimmt, ist das bedauerlich. Wenn es öffentlich wäre, könnten Leute wie Terence Tao vielleicht formale Beweise ergänzen, ähnlich wie er Yitang Zhangs Arbeit verbessert hat.

  • Dieses Notizbuch wurde, wie Ramanujans drei frühere Notizbücher, bereits von Bruce Berndt und George Andrews in fünf Bänden veröffentlicht, einschließlich umfangreicher Anmerkungen.
    Wenn man es zum Beispiel irgendwo aufschlägt: Band 3, Kapitel 6 heißt „Theorems on the Partition Function, pages 189 and 182“, umfasst 24 Seiten und enthält tatsächlich auch formale Beweise. Scans des Originals sind ebenfalls online: http://ramanujan.sirinudi.org
  • Im zweiten Absatz steht bereits, dass George Andrews und Bruce C. Berndt in den Jahren 2005, 2009, 2012, 2013 und 2018 mehrere Bücher veröffentlicht haben, die Beweise zu den Formeln in Ramanujans Notizbüchern enthalten.
  • Freie Open-Source-Software ist keine illegale Kopie.
    Ehrlich gesagt finde ich es ziemlich ärgerlich, dass du die beiden offenbar gleichsetzt.

• Ich erwarte, dass zukünftige KI-Modelle wie Ramanujan sein werden: mit enormer Intuition, aber ohne genau erklären zu können, mit welcher Schlussfolgerung sie zur Lösung gekommen sind.

  • Dass Ramanujan seine Schlussfolgerungen nicht erklären konnte, wirkt eher wie ein Missverständnis.
    Er schrieb sie nicht in seine Notizbücher, und bevor er nach England ging, verfügte er größtenteils nicht über die Sprache formaler Beweise. Aber die meisten Gleichungen sind in einer logischen Reihenfolge angeordnet. Als er Hardy traf, hatte er auch keine Schwierigkeiten zu erklären, woher die einzelnen Gleichungen stammten; nur war ein großer Teil seiner Argumentation aus Hardys Sicht nicht streng genug.
  • Wenn es um Einsichten geht, die auch beim Menschen enorme Intuition erfordern, kann das so sein. Der Unterschied liegt darin, dass man den gesamten Zustand der KI untersuchen kann, um den Prozess nachzuvollziehen, der zu dieser Einsicht geführt hat, und vielleicht daraus lernen kann.

• Ich bin Atheist, aber wenn Ramanujan sagt, er habe all seine Formeln von Gott erhalten, möchte ich ihm nicht widersprechen, sondern frage mich eher, wie man ihm helfen könnte, Gottes Stimme besser zu hören.

  • Ramanujans Ausdrucksweise über Gott fühlt sich sehr ähnlich an wie diese Aussage:
    Zitiert wird: „Simon P. Norton, ein Experte für die Eigenschaften der Monstergruppe, sagte: ‚Ich kann in einem Satz erklären, was Monstrous Moonshine ist. Es ist die Stimme Gottes.‘“
    https://en.wikipedia.org/wiki/Monster_group#Moonshine
  • Wenn man diesen Kommentar oder die Reaktionen westlicher Atheisten sieht, scheint der Westen ohne viel Nachdenken das Konzept eines jüdisch-christlichen Gottes in jedes Gespräch einzubringen. Für Ramanujan war Gott eher so etwas wie ein Gefühl.
  • Zuerst muss man es aus theoretischer Perspektive verstehen. Wenn Menschen das Wort „Gott“ verwenden, müssen sie definieren, worauf sich dieses Wort bezieht und welche Fähigkeiten sie diesem Gott zuschreiben.
    Wenn man sich in einem physischen Universum mit Energie befindet, könnte man behaupten, ein schöpferischer Gott habe das Prinzip der Existenz selbst „erschaffen“, und darauf habe sich dann mit Energie alles entwickelt. Was genau ist dann dieses Prinzip? Die moderne Physik hat bereits fast alles davon aufgeklärt.
    Wenn ein Wesen funktional in der Lage wäre, den Einfluss des Falschen abzulegen oder sich ihm zu widersetzen: Was bliebe diesem Wesen dann? Würde es unter ordentlich kontrollierten Bedingungen umso besser wahrnehmen, „was ist, wie es ist“, je wahrhaftiger es ist – oder schlechter?
  • Tatsächlich war es auch eine Göttin.
    https://en.m.wikipedia.org/wiki/Srinivasa_Ramanujan
    Siehe den Abschnitt „Personality and spiritual life“.
  • Ich habe eine persönliche Theorie zur menschlichen Intuition.
    Es fühlt sich so an, als käme die Antwort von „außerhalb des Universums“ oder von „Gott“, aber tatsächlich ist es wohl ein Teil des Gehirns, der für eine sehr spezifische Funktion hochgradig optimiert und effizient ist. Für diese enge Funktion arbeitet das Gehirn, als hätte es etwa IQ 2000. Die durchschnittliche Intelligenz unseres Gehirns ist viel niedriger, sodass uns der Kontext fehlt, um zu verstehen, wie es die Antwort gefunden hat; deshalb erleben und beschreiben wir es als Intuition.
    Wenn das gesamte Gehirn mit IQ 2000 arbeiten würde, würden wir es nicht als Intuition oder genialen Geistesblitz empfinden, sondern einfach sagen: „Ich habe es gelöst.“
    Nach allem, was ich über Ramanujan gelesen habe, klingt es so, als habe er eine Art hochfunktionales Savant-Syndrom gehabt. https://en.wikipedia.org/wiki/Savant_syndrome

• Wilson starb 1935, und Watson scheint Ende der 1930er-Jahre das Interesse an diesem Projekt verloren zu haben. Beeindruckend ist die Stelle, an der J. M. Whittaker nach Watsons Tod 1965 Watsons ungeordnete Papiere durchsah, die wenige Tage später verbrannt werden sollten, und dabei Ramanujans Notizbuch entdeckte.

• Ich glaube nicht, dass es hier besonders viele Kommentare geben wird. Diese Formeln sind kompliziert, und in der zweiten Hälfte des 20. Jahrhunderts brauchte eine einzelne Person lange, um einen beträchtlichen Teil davon erneut herzuleiten.

  • Falls du Bruce Berndt meinst: Bruce hat Ramanujans Ergebnisse nicht allein erneut hergeleitet.
    Er hatte ein großes Netzwerk von Mitwirkenden und Studierenden, mit denen er zusammenarbeitete, und natürlich haben auch viele unabhängige Forschende einige von Ramanujans Formeln hergeleitet. Seine Bücher enthalten die entsprechenden Zuschreibungen und die gesamte Geschichte dazu. Während meiner Promotion an der UIUC habe ich viel mit ihm gesprochen und auch Kurse bei ihm besucht.

• Manchmal fühlt es sich an, als gäbe es einen zufälligen Ramanujan-Beitragsgenerator. So, als liefe er täglich per Cronjob und poste mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit irgendetwas über ihn.
  Wie beim Dunning-Kruger-Effekt tauchen bestimmte Themen erstaunlich zuverlässig immer wieder auf. Man fragt sich, warum.

  • Weil er nicht nur der größte Mathematiker seit Euler war, sondern auch eine faszinierende und geheimnisvolle Figur.
  • Wenn man sich https://hn.algolia.com/?dateRange=all&page=0&prefix=false&qu... ansieht, scheint es ungefähr 5 bis 6 Beiträge pro Jahr zu geben.
  • Ein nur zu einem Viertel durchdachtes Softwareprojekt, schwache verschwörungstheoretische Überinterpretation und ein falsch geschriebener Dunning-Kruger-Sprung sind auch dabei. Wirkt wie eine Parodie auf Hacker-News-Kommentare.