6174: eine natürliche Zahl, bekannt als Kaprekar-Konstante

 (en.wikipedia.org)
3 Punkte von GN⁺ 2024-01-17 | 1 Kommentare | Auf WhatsApp teilen
  • 6174 ist eine natürliche Zahl zwischen 6173 und 6175 und wird mathematisch als Kaprekar's Constant eingeordnet
  • Die Primfaktorzerlegung lautet 2 × 3² × 7³; damit ist sie eine 7-smooth number, deren sämtliche Primfaktoren höchstens 7 sind
  • 6174 lässt sich als 18³ + 18² + 18¹ darstellen; auch die Quersumme beträgt 18
  • Quadriert man die Primfaktoren einschließlich ihrer Wiederholungen und addiert sie, erhält man 169 = 13², also erneut eine Quadratzahl
  • Verlinkt sind ein Numberphile-Video sowie Beispielcode in Perl, Python und C, mit denen sich Berechnungsbeispiele zu Kaprekar's Constant ansehen lassen

Grunddefinition von 6174

  • 6174 ist die natürliche Zahl nach 6173 und vor 6175
  • Die Kardinalzahl lautet „six thousand one hundred seventy-four“, die Ordinalzahl 6174th
  • Die Primfaktorzerlegung lautet 2 × 3² × 7³
  • Die Teiler sind 1, 2, 3, 6, 7, 9, 14, 18, 21, 42, 49, 63, 98, 126, 147, 294, 343, 441, 686, 882, 1029, 2058, 3087, 6174

Schreibweisen in verschiedenen Zahlensystemen

  • Binär: 1100000011110₂
  • Ternär: 22110200₃
  • Senär: 44330₆
  • Oktal: 14036₈
  • Duodezimal: 36A6₁₂
  • Hexadezimal: 181E₁₆
  • In griechischen Zahlzeichen lautet die Schreibweise ,ϚΡΟΔ´, in römischen Zahlzeichen V MCLXXIV oder VI CLXXIV

Mathematische Eigenschaften

  • 6174 ist Kaprekar's Constant
  • Als 7-smooth number hat sie unter ihren Primfaktoren keine Zahl größer als 7
  • 6174 lässt sich als Summe der ersten drei Potenzen von 18 bilden
    • 18³ + 18² + 18¹ = 5832 + 324 + 18 = 6174
    • 6 + 1 + 7 + 4 = 18; die Quersumme beträgt also ebenfalls 18
  • Die Summe der Quadrate ihrer Primfaktoren ist eine Quadratzahl
    • 2² + 3² + 3² + 7² + 7² + 7² = 4 + 9 + 9 + 49 + 49 + 49 = 169 = 13²

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1 Kommentare

 
GN⁺ 2024-01-17
Hacker-News-Kommentare

  • Das scheint eindeutig mit einem Standardtrick aus der manuellen Buchhaltung zusammenzuhängen, den man nutzt, wenn man Fehler in doppelt geführten Büchern sucht. Zuerst prüft man, ob der Fehlerbetrag durch 9 teilbar ist; wenn ja, nimmt man an, dass irgendwo zwei oder mehr Ziffern vertauscht wurden.
    Der Grund lässt sich so beweisen: Für beliebige Ziffern x, y ist der korrekte Wert 10x + y, der vertauschte Wert x + 10y. Die Differenz ist (10x - x) + (y - 10y), reduziert sich zu 9x - 9y und lässt sich schließlich als 9(x - y) faktorisieren.

    • Genau. Hier gibt es zwei Elemente, und das scheint das erste zu sein. Die jeweilige Quersumme auf der linken und rechten Seite konvergiert gegen 18.
      Die Quersummen auf beiden Seiten der Gleichung a - rev_a = b nähern sich mit jeder Iteration an. Manchmal bleiben sie im gleichen Abstand, aber sie entfernen sich nicht weiter voneinander. Und diese Konvergenz geschieht nur bei 18.
      Beispiel:
      5200 (Summe 7) - 0025 = 5175 (Summe 18, Differenz 11)
      7551 (Summe 18) - 1557 = 5994 (Summe 27, Differenz 9)
      9954 (Summe 27) - 4599 = 5355 (Summe 18, Differenz 9)
      5553 (Summe 18) - 3555 = 1998 (Summe 27, Differenz 9)
      9981 (Summe 27) - 1899 = 8082 (Summe 18, Differenz 9)
      8820 (Summe 18) - 0288 = 8532 (Summe 18, Differenz 0)
      8532 (Summe 18) - 2358 = 6174 (Summe 18, Differenz 0)
      7641 (Summe 18) - 1467 = 6174 (Summe 18, Differenz 0)
      Das scheint der erste Hinweis zu sein. Die Ziffernsummen beider Seiten können nur dann gleich werden, wenn beide 18 sind; die beiden Summen nähern sich immer weiter an und müssen schließlich gleich werden, und dieser Punkt muss 18 sein. Wenn man tiefer gräbt, ist das vermutlich eine Variante der klassischen Quersummenregel mod 9.
      Danach scheint es so zu sein, dass, sobald die Quersummen beider Seiten 18 sind, sie von dort aus gegen 6174 konvergieren müssen.
      Mit anderen Worten: Zuerst konvergieren die Quersummen immer so, dass sie auf beiden Seiten gleich werden, und diese Konvergenz geschieht immer dann, wenn die Quersummen beider Seiten der Gleichung 18 sind. Diese Eigenschaft lässt sich wahrscheinlich mit der klassischen mod-9-Regel beweisen, aber das erfordert etwas Arbeit.
      Danach greift eine zweite Eigenschaft: Alle vierstelligen Zahlen dieser Gleichung, bei denen die Quersummen beider Seiten 18 sind, konvergieren offenbar gegen 6174. Das ist eine stärker eingeschränkte Menge von Zahlen. Da man die Konvergenz zu 18 oben separat betrachten kann, muss man nur Zahlen der Form a - a_rev = b betrachten, bei denen sowohl a als auch b eine Quersumme von 18 haben.
    • Die Formulierung offensichtlich war hier ganz und gar nicht zutreffend. Ich musste ziemlich intensiv darüber nachdenken.
    • Warum ist der korrekte Wert 10x + y?

  • Ich habe keine Ahnung, warum das wichtig ist, aber es ist das Coolste, was ich in letzter Zeit auf HN gesehen habe.
    Ich bin weit davon entfernt, ein Mathe-Nerd zu sein, und habe Mathe in der Schule so gut es ging gemieden, aber so etwas ist wirklich faszinierend und seltsam. Wie und aus welchem Grund hat man so etwas überhaupt entdeckt? Die Eigenschaft dieser Zahl ist schon interessant genug, aber der Entdeckungsprozess selbst ist wirklich bizarr.

    • Lies einmal Lockhart's Lament. Vielleicht magst du Mathematik eigentlich, nur die Art, wie Mathematik in der Schule gelehrt wird, war miserabel.
    • In eine ähnliche Richtung war ich in der Schule von Lychrel-Zahlen fasziniert. Man nimmt eine Zahl x, dreht ihre Ziffern um, um y zu erhalten, addiert x und y und wiederholt das.
      Schließlich führt dieser Prozess zu einer Palindromzahl, die beim Umkehren der Ziffern gleich bleibt. Aber Zahlen wie 196 scheinen niemals eine Palindromzahl zu erzeugen. Niemand weiß, ob das wirklich so ist oder ob die Palindromzahl nur so groß ist, dass Computer sie bisher nicht gefunden haben.

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  • Eine weitere interessante vierstellige Zahl mit Bezug zu einem indischen Mathematiker ist 1729: https://en.wikipedia.org/wiki/1729_(number)

  • Erstaunlich. Gibt es eine informelle Intuition dafür, warum überhaupt eine vierstellige Konstante mit dieser Eigenschaft existiert? Intuitiv würde ich erwarten, dass es in diesem Graphen mehrere Zyklen gibt.

    • Was es weniger erstaunlich macht, ist, dass viele Zahlen auf dasselbe Ergebnis abgebildet werden. Zum Beispiel alle Permutationen derselben Ziffernmenge.
      Ich habe nachgesehen: Wenn man diesen Prozess auf alle vierstelligen Zahlen anwendet, gibt es nur 55 unterschiedliche Ergebnisse, ohne 0000 sind es 54. Dadurch bleibt weniger Raum für viele Zyklen.
    • Siehe https://en.wikipedia.org/wiki/Kaprekar%27s_routine
      Bei grober Betrachtung gibt es einige Muster. Zum Beispiel gibt es in Basen mit einer zweistelligen Kaprekar-Zahl Fälle, in denen die Quersumme Basis-1 ist. Dafür gibt es wahrscheinlich eine zahlentheoretische Erklärung.
    • In der ersten Referenz des Artikels gibt es eine Lösung.
      https://plus.maths.org/content/mysterious-number-6174
    • Der Graph ist klein. In ähnlichen Graphen, etwa für diesen Algorithmus mit 2 oder 5 Stellen oder für 3- bis 4-stellige Zahlen im Neuner- oder Elfersystem, gibt es mehrere Zyklen: https://en.wikipedia.org/wiki/Kaprekar's_routine#Kaprekar's_...
    • Funktioniert das auch in anderen Zahlensystemen? Als jemand, der sogar in Analysis auf Highschool-Niveau durchgefallen ist, würde ich mir vorstellen, dass das ein Produkt des Dezimalsystems ist.

  • Ich muss an ein zylindrisches Gerät denken, das ich vor mehr als zehn Jahren im Exploratorium in San Francisco gesehen habe. Ich glaube, es wurde noch früher auch in den Kolumnen „Mathematical Recreations“ oder „Computer Recreations“ von Scientific American vorgestellt.
    Es war wohl ein großer horizontaler Zylinder, der mit Zahlen bedeckt war, und vielleicht gab es Ringe oder irgendeine Art Cursor. Wenn man ihn drehte, wurde eine mathematische Operation ausgeführt, und wie bei dieser 6174 schien sie unabhängig vom Anfangszustand nach einigen Wiederholungen auf eine einzige Zahl zu konvergieren.
    Ich wünschte, ich könnte mich erinnern, was das war.

    • Ich weiß, welches Exponat gemeint ist. Soweit ich weiß, steht es immer noch dort. Mein letzter Besuch ist etwa ein Jahr her.
    • „Vermutlich meinen Sie die Kaprekar Machine im San Francisco Exploratorium. Das ist ein interaktives Exponat, das anhand einer mathematischen Operation mit vierstelligen Zahlen das Kaprekar-Verfahren und die Konvergenz zu 6174 zeigt.“ (ChatGPT 3.5)

  • Ich habe versucht, Kaprekars Originalaufsatz zu finden, aber ohne Erfolg. Hat jemand das PDF?

    • Stimmt, ich finde ihn auch nicht.
      Nebenbei frage ich mich, wie viel Forschung einfach im Nichts verschwunden ist, weil sie nicht annähernd so interessant war.

  • 6174 ist nur besonders, wenn man im Dezimalsystem zählt. Hier ist Hacker News, also benutzen doch alle Hexadezimal. Leider gibt es laut https://kaprekar.sourceforge.net/output/sample_hex.php im Hexadezimalsystem keine einfache Kaprekar-Konstante.

  • Bei 5 Stellen ist es 98532. Interessant.

    • Bei 5 Stellen gibt es keine Zahl wie 6174, nur Zyklen. Diese Zahl ist Teil eines davon:
      74943 -> 62964 -> 71973 -> 83952 -> repeat
      63954 -> 61974 -> 82962 -> 75933 -> repeat
      53955 -> 59994 -> repeat
      https://kaprekar.sourceforge.net/output/sample.php

  • Im Artikel heißt es, es funktioniere für alle Zahlen, mit repdigits als einziger Ausnahme. Scheitert es nicht auch bei allen Palindromzahlen?

    • Bei diesem Verfahren werden die Ziffern nicht einfach umgedreht. Eine Palindromzahl bliebe dann zwar gleich, aber hier werden die Ziffern zuerst sortiert und erst danach umgedreht, daher ändern sich auch Palindromzahlen.
    • Aus 1221 wird 2211, wodurch vermieden wird, dass die Differenz 0 wird.