- Ausgehend von der Rotationsinvarianz von Kreis und Einheitskreis wird der visuelle Zusammenhang von Sinus und Kosinus, komplexen Zahlen, der Euler-Formel, Sinuswellen und Epizyklen bis hin zur Fourier Series hergestellt
- Die Rotation des Einheitskreises lässt $\sin$ als y-Koordinate und $\cos$ als x-Koordinate interpretieren; beide Funktionen haben die Periode $2\pi$ und eine Phasenverschiebung von $\frac{\pi}{2}$
- In der komplexen Ebene wird $e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$ zur Rotation auf dem Einheitskreis, und eine komplexe Sinuswelle bündelt Kosinus und Sinus in einem einzigen rotierenden Objekt
- Addiert man mehrere Sinuswellen, entstehen Verstärkung und Auslöschung; kombiniert man ungerade Frequenzen mit abnehmenden Amplituden, lassen sich auch unstetige Formen wie eine Rechteckwelle immer genauer approximieren
- Epizyklen stellen jede Sinuswelle als rotierenden Kreis und Vektoraddition dar; der Radius entspricht der Amplitude $A$, die Rotationsgeschwindigkeit der Kreisfrequenz $\omega$ und der Anfangswinkel der Phase $\varphi$
Rotation ausgehend von Kreis, $\pi$ und Radiant
- Ein Kreis wird durch ein Zentrum $P(a,b)$ und einen Radius $r$ definiert und algebraisch als $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ beschrieben
- Legt man das Zentrum in den Ursprung und den Radius auf 1, erhält man den Einheitskreis; die Gleichung vereinfacht sich zu $x^2+y^2=1$
- Ein Punkt auf dem Kreis und sein gegenüberliegender Spiegelpunkt behalten ihre Beziehung auch bei Rotation bei; diese Rotationsinvarianz dient als zentrale Intuition der Fourier-Mathematik
- $\pi$ ist das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser eines Kreises und hat für alle Kreise den konstanten Wert $\pi \approx 3.14159...$
- Der Umfang ist $P=2\pi r$
- Die Fläche ist $A=\pi r^2$
- $\pi$ ist keine rationale Zahl und außerdem eine transzendente Zahl, also keine Nullstelle eines von null verschiedenen Polynoms mit rationalen Koeffizienten
- Radiant ist in Mathematik und Physik die Standardeinheit zur Winkelmessung; um Grad in Radiant umzuwandeln, multipliziert man den Winkel mit $\pi$ und teilt durch 180
- In der Fourier-Mathematik erlaubt die Verwendung von Radiant, trigonometrische Funktionen nicht nur als Winkel, sondern als Funktionen reeller Zahlen zu behandeln, wodurch die Analysis von Wellen und Schwingungen sauberer wird
Interpretation von Sinus und Kosinus am Einheitskreis
- $\sin$ und $\cos$ lassen sich als Koordinaten-Tracker eines Punkts betrachten, der sich auf dem Einheitskreis bewegt
- $\theta$ ist der Winkel zwischen dem Radius und der positiven x-Achse
- $\sin$ ist die vertikale Auslenkung des Punkts, also die y-Koordinate
- $\cos$ ist die horizontale Auslenkung des Punkts, also die x-Koordinate
- Da der Punkt zu seiner Startposition zurückkehrt, sind $\sin$ und $\cos$ periodische Funktionen mit Periode $2\pi$
- $\cos$ hat dieselbe Wellenform wie $\sin$, ist aber um $\frac{\pi}{2}$, also $90^\circ$, verschoben
- $\sin(x+\frac{\pi}{2})=\cos(x)$
- Technisch gesehen eilt $\cos$ dem $\sin$ um $\frac{\pi}{2}$ voraus
- Durch diese Phasenverschiebung stehen die beiden Funktionen in einer Quadratur-Beziehung
- In der Fourier-Analyse kann man durch gemeinsame Verwendung von Sinus- und Kosinusanteilen beliebige periodische Signale unabhängig von der Startposition, also der Phase, darstellen
- Aus Sicht der Parität, also der Symmetrie einer Funktion, ist $\cos$ eine gerade Funktion und $\sin$ eine ungerade Funktion
- $\cos(x)=\cos(-x)$
- $\sin(-x)=-\sin(x)$
Komplexe Zahlen, $i$ und die Euler-Formel
- In der komplexen Ebene entspricht jeder Punkt auf dem Einheitskreis einer komplexen Zahl mit Betrag 1
- Für einen reellen Winkel $\theta$ ist $z=\cos(\theta)+i\sin(\theta)$ ein Punkt auf dem Einheitskreis und beschreibt eine Rotation um $\theta$ von der positiven reellen Achse aus
- Multipliziert man eine komplexe Zahl mit $i$, rotiert sie in der komplexen Ebene gegen den Uhrzeigersinn um $\frac{\pi}{2}$, also 90 Grad
- Der Betrag $r=|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}$ bleibt erhalten
- Nur das Argument erhöht sich um $\frac{\pi}{2}$
- Multipliziert man dieselbe komplexe Zahl wiederholt mit $i$, durchläuft sie nacheinander die Quadranten und kehrt nach vier Multiplikationen an die ursprüngliche Position zurück
- Die Eulersche Zahl $e \approx 2.71828$ ist irrational und transzendent und kann über Reihen und Grenzwerte definiert werden
- $e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}$
- $e=\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x$
- $e=\lim_{x\to0}(1+x)^{1/x}$
- Die natürliche Exponentialfunktion ist eine Eigenfunktion der Ableitung, da sie beim Ableiten wieder als konstantes Vielfaches derselben Funktion erscheint
- $\frac{d}{dx}e^{ax}=ae^{ax}$
- Bei $f(x)=e^{ix}$ wird bei jeder Ableitung mit $i$ multipliziert; nach vier Ableitungen erhält man wieder die ursprüngliche Funktion
- $\frac{d}{dx}f(x)=ie^{ix}$
- $\frac{d^2}{dx^2}f(x)=-e^{ix}$
- $\frac{d^3}{dx^3}f(x)=-ie^{ix}$
- $\frac{d^4}{dx^4}f(x)=e^{ix}$
- Dieses Muster entspricht der wiederholten Multiplikation einer komplexen Zahl mit $i$ und der dadurch entstehenden Rotation; daraus ergibt sich die Intuition, dass $e^{ix}$ in der komplexen Ebene einen Kreis zeichnet
- Die Euler-Formel lautet $e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$; setzt man $x=\pi$ ein, erhält man $e^{i\pi}+1=0$
- Mithilfe der Euler-Formel lassen sich Sinus und Kosinus in Exponentialform schreiben
- $\cos(x)=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$
- $\sin(x)=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$
- Dieselben Parameter $x$, $t$, $\theta$ können je nach Kontext als Winkel oder Zeit interpretiert werden; die mathematische Form bleibt identisch
Sinuswellen und komplexe Sinuswellen
- Eine Sinuswelle ist eine glatte, wiederholte Schwingung und wird als Funktion der Zeit $t$ etwa durch $y(t)=A\sin(2\pi ft+\varphi)=A\sin(\omega t+\varphi)$ beschrieben
- Jeder Term bestimmt Form und Bewegung der Welle
- $A$ ist die Amplitude, also die maximale Abweichung vom Mittelwert 0
- $f$ ist die gewöhnliche Frequenz, die die Anzahl vollständiger Schwingungen pro Sekunde angibt und in Hz gemessen wird
- $\omega=2\pi f$ ist die Kreisfrequenz und wird statt in Zyklen pro Sekunde in Radiant pro Sekunde gemessen
- $\varphi$ ist der Phasenoffset oder die Phasenverschiebung und verschiebt die Sinuswelle entlang der x-Achse nach links oder rechts
- $\sin$ und $\cos$ sind Spezialfälle von Sinuswellen; eine Kosinuswelle entspricht einer Sinuswelle, die um $\frac{\pi}{2}$ Radiant nach links verschoben ist
- Durch Anpassen von $A$, $\omega$ und $\varphi$ lassen sich verschiedenste Schwingungen ausdrücken, vom Klang einer Bassgitarre bis zum Haushaltswechselstrom
- Ersetzt man in der Euler-Formel den statischen Winkel $\theta$ durch den zeitabhängigen Ausdruck $\omega t+\varphi$, erhält man eine komplexe Sinuswelle
- $s(t)=Ae^{i(\omega t+\varphi)}$
- $s(t)=A\cos(\omega t+\varphi)+iA\sin(\omega t+\varphi)$
- Eine komplexe Sinuswelle bündelt zwei Wellen in einem einzigen mathematischen Objekt
- Der Realteil verhält sich wie eine Kosinuswelle
- Der Imaginärteil verhält sich wie eine Sinuswelle
- Beide Komponenten hängen vom selben Rotationswinkel $\theta=\omega t+\varphi$ ab und sind daher synchronisiert
- Projiziert man eine komplexe Sinuswelle auf die Y-Z-Ebene, entsteht eine Sinuswelle; projiziert man sie auf die X-Z-Ebene, entsteht eine Kosinuswelle
- Der Schatten, den ein einzelnes rotierendes Objekt auf zueinander orthogonale Ebenen wirft, erscheint als vertraute reellwertige Sinuswelle
Summe von Sinuswellen und Interferenz
- Addiert man mehrere Sinuswellen, werden die Funktionswerte an jedem Punkt summiert und je nach Ausrichtung von Wellenbergen und -tälern gegenseitig verstärkt oder ausgelöscht
- Treffen Wellenberge und -täler zweier Sinuswellen aufeinander, können sie sich gegenseitig subtrahieren, sodass die Summe nahe 0 liegt
- Dieses Phänomen lässt sich als Welleninterferenz verstehen
- Addiert man beispielsweise die beiden Sinuswellen $y_1(x)=\frac{9}{10}\sin(7x+\frac{\pi}{2})$ und $y_2(x)=\frac{12}{10}\sin(3x-2)$, entsteht mit $y(x)=y_1(x)+y_2(x)$ ein komplexes Muster
- Wellenformen mit unterschiedlichen Frequenzen und Phasenoffsets wechseln fortlaufend zwischen Synchronisation und Desynchronisation; je mehr Sinuswellen addiert werden, desto komplexer wird das Muster
Eine Rechteckwelle aus Sinuswellen erzeugen
- Wählt man bestimmte Sinuswellen sorgfältig aus, lassen sich vorhersagbare geometrische Muster erzeugen
- Eine Rechteckwelle besteht aus der folgenden unendlichen Summe
- $y(x)=\frac{4}{\pi}\sin(\omega x)+\frac{4}{3\pi}\sin(3\omega x)+...+\frac{4}{(2k-1)\pi}\sin((2k-1)\omega x)+...$
- Diese Darstellung addiert nur ungerade Frequenzen, wobei die Amplitude jedes Terms immer kleiner wird
- Addiert man glatte stetige Kurven, entsteht durch Interferenz von Wellenbergen und -tälern eine Rechteckwelle mit flacher Oberseite
- Je mehr Sinuswellen in der Summe enthalten sind, desto schärfer wird die Approximation
- Da eine einzelne Sinuswelle einem Punkt entspricht, der sich um einen Kreis bewegt, lässt sich das Addieren von Sinuswellen als Epizyklen sehen, bei denen rotierende Kreise verbunden werden
- Bei Epizyklen liegt das Zentrum des zweiten Kreises auf dem Rand des ersten Kreises, das Zentrum des dritten Kreises auf dem Rand des zweiten Kreises und so weiter
- Jeder Epizyklus entspricht einer bestimmten Sinuswelle; ihre Kombination lässt sich als sequenzielle Vektoraddition interpretieren
- Drei Beispiel-Sinuswellen werden wie folgt addiert
- $y_1(x)=1.4\sin(x+1)$
- $y_2(x)=0.8\sin(2x)$
- $y_3(x)=0.5\sin(3x)$
- $y(x)=1.4\sin(x+1)+0.8\sin(2x)+0.5\sin(3x)$
- Zu einem beliebigen Zeitpunkt wird der gesamte Positionsvektor als $\vec{u}=\vec{u_1}+\vec{u_2}+\vec{u_3}$ beschrieben
- Wählt man passende Sinuswellen, können die bewegten Kreise gewünschte Formen wie eine Blume approximieren; um die einzelnen Sinuswellen zu bestimmen, braucht man Fourier Analysis
Grundform der Fourier Series
- Eine Fourier Series ist ein mathematisches Verfahren, das eine periodische Funktion mit Periode $P$ als unendliche Summe mehrerer schwingender trigonometrischer Funktionen entwickelt
- In der Analogie zum Albumcover von Pink Floyds Dark Side of The Moon ist die periodische Funktion $f(x)$ das Licht, das Prisma die Fourier Mathematics und die getrennten Farben entsprechen einfachen Sinuskomponenten
- Die Grundformel lautet wie folgt
- $f(x)=A_0+\sum_{n=1}^{\infty}[A_n\cos(\frac{2\pi nx}{P})+B_n\sin(\frac{2\pi nx}{P})]$
- $A_0$, $A_n$ und $B_n$ sind Fourier coefficients und geben an, wie stark eine bestimmte Frequenz zur Rekonstruktion der ursprünglichen Wellenform benötigt wird
- Die Koeffizienten werden durch Integration berechnet
- $A_0=\frac{1}{P}\int_{-\frac{P}{2}}^{+\frac{P}{2}}f(x)dx$
- $A_n=\frac{2}{P}\int_{-\frac{P}{2}}^{+\frac{P}{2}}f(x)\cos(\frac{2\pi nx}{P})dx$
- $B_n=\frac{2}{P}\int_{-\frac{P}{2}}^{+\frac{P}{2}}f(x)\sin(\frac{2\pi nx}{P})dx$
- Sinus und Kosinus sind visuell intuitiv, können bei algebraischen Umformungen aber umständlich sein; mit der Euler-Formel lassen sie sich in Exponentialform umschreiben
- Die Fourier Series in Exponentialform lautet wie folgt
- $f(x)=\sum_{n=-N}^{N}C_ne^{i2\pi\frac{n}{P}x}$
- In der Exponentialform wird der Index $n$ auch auf negative Werte erweitert; dadurch wird das Konzept negativer Frequenzen eingeführt, das die Rotationsrichtung komplexer Vektoren beschreibt
- Die vereinheitlichte Koeffizientenformel lautet
- $C_n=\frac{1}{P}\int_{-\frac{P}{2}}^{\frac{P}{2}}e^{-i2\pi\frac{n}{P}x}f(x)dx$
Boxfunktion und Berechnung der Koeffizienten einer Rechteckwelle
- Die zuvor verwendete Approximation der Rechteckwelle lautet
- $y(x)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\sin(2\pi(2k-1)fx)}{2k-1}$
- Mit $\omega=2\pi f$ wird daraus $y(x)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\sin((2k-1)\omega x)}{2k-1}$
- Die Rechteckwellenfunktion kann im Intervall $[0,2L]$ mithilfe der Heaviside Step Function als $f(x)=2[H(\frac{x}{L})-H(\frac{x}{L}-1)]-1$ geschrieben werden
- $A_0$ ist der Mittelwert der Funktion im Intervall $[0,2L]$; positive und negative Flächen heben sich auf, sodass der Wert 0 wird
- $A_n$ ist der Koeffizient, der den $\cos$-Term steuert; da $f(x)$ ungerade und $\cos$ gerade ist, ist ihr Produkt ungerade
- Integriert man über eine vollständige Periode, heben sich die Flächen auf
- Alle $A_n$-Koeffizienten werden 0
- $B_n$ ist der Koeffizient, der den $\sin$-Term steuert
- Für gerade $n$ heben sich die roten und grünen Flächen auf, sodass der Integralwert 0 wird
- Für ungerade Terme addieren sich die Flächen
- Das Rechenergebnis ist $B_n=\frac{2}{n\pi}(1-(-1)^n)$
- Übrig bleiben nur die ungeraden $B_n$-Terme, sodass die Rechteckwelle die folgende Form annimmt
- $f(x)=\frac{4}{\pi}\sum_{n=1,3,5...}^{+\infty}(\frac{1}{n}\sin(\frac{\pi nx}{L}))$
- Ersetzt man $n\rightarrow2k-1$, ergibt sich $f(x)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{\sin(\frac{\pi(2k-1)x}{L})}{2k-1}$
- Setzt man $L\rightarrow\frac{1}{2f}$ und $2\pi f\rightarrow\omega$ ein, erhält man $f(x)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\sin((2k-1)\omega x)}{2k-1}$
- Da man in der Praxis nicht unendlich viele Terme addieren kann, verwendet man eine bei endlichem $n$ abbrechende Partialsumme $s(x)$
- $s(x)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=1}^{n}\frac{\sin((2k-1)\omega x)}{2k-1}\approx f(x)$
- Erhöht man $n$, verbessert sich die Genauigkeit der Approximation, und die verbleibende Lücke in der Näherung wird immer kleiner
- Die ersten fünf Terme bestehen aus einfachen Sinuswellen, deren Amplitude schnell abnimmt und deren Frequenz zunimmt
Beispiele für Dreieck- und Sägezahnwellen
- Die Fourier-Series-Approximation einer Dreieckwelle lautet wie folgt
- $s(x)=\frac{8}{\pi^2}\sum_{k=1}^{N}\frac{(-1)^{k-1}}{(2k-1)^2}\sin((2k-1)x)$
- Die Dreieckwelle ist glatt und konvergiert schnell; wenn sich $n$ dem Wert 6 nähert, wird die Dreiecksform deutlich
- In der Entwicklung der Dreieckwelle sind gerade Terme wie $s_2(x)$, $s_4(x)$ und $s_6(x)$ negativ
- Negative Amplituden sind physikalisch nicht intuitiv, daher lassen sie sich auf zwei Arten umschreiben
- Mit $\sin(-x)=-\sin(x)$ kann man die Frequenz negativ machen
- Man kann die Amplitude positiv lassen und eine Phase $\pi$ addieren
- In der Praxis ist die zweite Methode nützlicher und bietet eine bessere geometrische Kontrolle
- $-\frac{8}{3^2\pi^2}\sin(3x)$ lässt sich als $\frac{8}{3^2\pi^2}\sin(3x+\pi)$ schreiben
- Eine rückwärts gerichtete Sägezahnwelle hat die folgende Form
- $s(x)=\frac{2}{\pi}\sum_{k=1}^{N}(-1)^k\frac{\sin(kx)}{k}$
Fourier Series als Epizyklen betrachtet
- Betrachtet man Fourier-Terme statt als statische Gleichung als physikalische Bewegung, verhalten sie sich wie mehrere rotierende Kreise, die auf einer Stange Ende an Ende verbunden sind
- In der Visualisierung kann man als gewünschte Signalform sawtooth wave, triangle wave oder square wave auswählen
- Jedes visuelle Element entspricht direkt einer Variablen in der Fourier-Formel
- Der Radius jedes Kreises ist die Amplitude $A$
- Die Rotationsgeschwindigkeit jedes Kreises ist die Kreisfrequenz $\omega$
- Der Anfangswinkel der Stange im Kreis bei $t=0$ ist der Phasenoffset $\varphi$
- Selbst komplexe, spitze und scharfkantige Wellenformen lassen sich in Kombinationen glatt rotierender Kreise zurückzerlegen
- Die Animation zeigt Schritt für Schritt die Verbindungen zwischen Kreis, Sinuswellen, komplexen Zahlen, Epizyklen und Fourier Series
1 Kommentare
Hacker-News-Kommentare
Die diskrete Fourier-Transformation ist letztlich nur eine orthogonale Matrix, die auf einen Vektor angewendet wird, und inverse FFT, der Satz von Plancherel und der Satz von Parseval folgen ganz natürlich daraus, dass diese Matrix orthonormal ist
Vielleicht funktioniert dieser Zugang nur, wenn man lineare Algebra bereits versteht, aber nachdem ich diese diskrete Sichtweise verinnerlicht hatte, fiel mir auch der Übergang zur kontinuierlichen Fourier-Transformation leicht
Persönlich fand ich es viel einfacher, die Formeln direkt anzusehen, als Kreise und Animationen zu betrachten
[1] https://www.youtube.com/watch?v=spUNpyF58BY
[2] https://betterexplained.com/articles/an-interactive-guide-to...
[3] https://en.wikipedia.org/wiki/Discrete_Fourier_transform
Fast alles Weitere folgt von dort aus. Die Fourier-Transformation integriert in einer Schreibweise f(x) multipliziert mit e^{-ikx}; das Integral ist ein riesiges Skalarprodukt, und e^{-ikx} ist so etwas wie die „Transponierte“ des Basisvektors e^{ikx}, sodass man f_i letztlich in dieser Basiskomponente ausdrückt
Die meisten, die lineare Algebra verstehen, würden die Fourier-Transformation vermutlich so lernen, wie man fortgeschrittene Mathematik eben lernt, also aus Lehrbüchern oder Uni-Vorlesungen. In diesem Kontext sind Erklärungen wie „eine orthogonale Matrix, die auf einen Vektor wirkt“ der Standard-Ausgangspunkt, können aber wenig Intuition vermitteln, und YouTube-Videos versuchen eher, genau diese Lücke zu schließen
Zum Beispiel erklärt das 3b1b-Video auch noch einmal langsam, warum komplexe Zahlen nützlich sind; das heißt einfach, dass sich das Video an ein anderes Publikum richtet
Deshalb gehe ich mathematische Themen immer noch durch, indem ich Beweise selbst nachvollziehe und prüfe, ob ich die Herleitungen eigenständig hinbekomme
Es wäre schön, wenn allein schöne Visualisierungen die Konzepte wie durch Magie im Kopf verankern würden, aber für mich fühlt sich das eher wie eine Art intellektuelles Dopamin an
So ähnlich wie diese Formulierung „das Monoid der Kategorie der Endofunktoren“ im Bereich Signale und Systeme
/, und der echte Link ist dieser hierhttps://www.andreinc.net/2024/04/24/assets/js/2024-04-24-fro...
Für die Animationen scheint Processing verwendet zu werden
https://github.com/nomemory/andreinc-site/tree/main/assets/j...
Während ich den Artikel geschrieben habe, habe ich gerade p5.js gelernt, deshalb habe ich auf eine ziemlich ineffiziente Weise angefangen, und besonders stolz bin ich darauf nicht
Wenn ich Zeit habe, werde ich den Artikel überarbeiten und den korrekten Link einfügen
Ich hatte sogar vor, die gesamte grundlegende lineare Algebra in Processing zu visualisieren, um mich von einer atypischen Depression zu erholen, aber ich konnte eine Zeit lang am Computer überhaupt nicht programmieren
Andere Erklärungen quetschen komplexe Zahlen manchmal erst ganz am Ende noch hinein
Wenn einen das Thema interessiert, sind vielleicht auch meine Visualisierung der fraktionalen Fourier-Transformation [1] und meine Visualisierung der komplexen Ebene [2] sehenswert
[1]: https://static.laszlokorte.de/frft-cube/
[2]: https://static.laszlokorte.de/complex-plane/
Wenn jemand gern solches Erklärungsmaterial macht, wäre es schön, wenn sich auch mal jemand der Laplace-Transformation annehmen würde [1]
Früher wusste ich, wie man sie zur Analyse elektronischer Schaltungen verwendet, inzwischen habe ich das aber fast alles wieder vergessen, also ist das gewissermaßen eine faule Bitte
1: https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_transform
Aber dieser Artikel geht weit über diese Seite hinaus. Den werde ich künftig gut weiterempfehlen können
Introduction to Graduate Algorithmsvon Georgia Tech verfolgt und den gesamten Vorlesungsstoff selbst in Python implementiert hatteWirklich ein großartiger Kurs:
https://edstem.org/us/courses/47529/lessons/80063/slides/440...
Von Ed habe ich noch nie gehört und bin interessiert, aber selbst der Abschnitt „see how it works“ erklärt nicht wirklich, wie es funktioniert. Schade, dass man sich dem aktuellen Trend folgend offenbar erst anmelden muss
Es gibt auch eine nützliche Seite, die Videos und Bücher zu Fourier-Reihen und Fourier-Transformationen sammelt:
https://howthefouriertransformworks.com/