Einführung in eine Fourier-Reihen-Animation

 (andreinc.net)
2 Punkte von GN⁺ 2024-06-05 | 1 Kommentare | Auf WhatsApp teilen

Vom Kreis zu Epizykeln (Teil 1) – Eine animierte Einführung in die Fourier-Reihe

Inhaltsverzeichnis

  • Kreis
  • Die Zahl π
  • Radiant
  • Sinus und Kosinus
  • Kosinus führt den Sinus an
  • Symmetrie von Kosinus und Sinus
  • Komplexe Zahlen und der Einheitskreis
  • Multiplikation mit i ist eine Drehung um π/2
  • Eulers Identität
  • Eulers Formel, die Verbindung von e, π und i
  • Exponentialform von Sinus und Kosinus
  • Sinuswelle
  • Die Flexibilität der Sinuswelle
  • Komplexe Sinuswelle
  • Auslöschung von Sinuswellen
  • Die Summe von Sinuswellen erzeugt Komplexität
  • Zum Spaß Sinuswellen addieren
  • Sinuswellen-Tetris
  • Sinuswellen und Rechteckwellen
  • Epizykel – erste Begegnung
  • Epizykel – intuitives Verständnis
  • Epizykel – Blume
  • Fourier-Reihe
  • Exponentialform der Fourier-Reihe
  • Beispiel: Fourier-Reihe einer Box-Funktion
  • Beispiel: Fourier-Reihe einer Dreieckswelle
  • Beispiel: Fourier-Reihe einer Sägezahnwelle
  • Fourier-Reihen-Maschine

Kreis

  • Ein Kreis ist eine geometrische Form mit Mittelpunkt P(a, b) und Radius r.
  • Der Einheitskreis ist ein Kreis mit Mittelpunkt (0, 0) und Radius 1.
  • Der Kreis ist der Inbegriff der Symmetrie.

Die Zahl π

  • π ist das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser.
  • π ist ungefähr 3,14 und wird zur Berechnung von Umfang und Fläche eines Kreises verwendet.
  • π ist eine irrationale und transzendente Zahl.

Radiant

  • Der Radiant ist die eigentliche Einheit zur Messung von Winkeln.
  • Um einen Winkel in Radiant umzuwandeln, wird er mit π multipliziert und durch 180 geteilt.

Sinus und Kosinus

  • Sinus und Kosinus werden am Einheitskreis definiert.
  • Sinus steht für die y-Koordinate, Kosinus für die x-Koordinate.
  • Beide Funktionen sind periodisch, mit der Periode 2π.

Kosinus führt den Sinus an

  • Der Kosinus liegt dem Sinus um π/2 voraus.
  • sin(x + π/2) = cos(x)

Symmetrie von Kosinus und Sinus

  • Der Kosinus ist eine gerade Funktion, also cos(x) = cos(-x).
  • Der Sinus ist eine ungerade Funktion, also sin(-x) = -sin(x).

Komplexe Zahlen und der Einheitskreis

  • In der komplexen Ebene werden die Punkte auf dem Kreis durch z = cos(θ) + i*sin(θ) definiert.

Multiplikation mit i ist eine Drehung um π/2

  • Multipliziert man eine komplexe Zahl mit i, wird sie gegen den Uhrzeigersinn um π/2 gedreht.

Eulers Identität

  • Die natürliche Exponentialfunktion wird als e^x geschrieben, wobei e ungefähr 2,71828 ist.
  • Zwischen e und dem Kreis besteht eine starke Verbindung.
  • e^(ix) = cos(x) + i*sin(x)

Eulers Formel, die Verbindung von e, π und i

  • Eulers Formel: e^(ix) = cos(x) + i*sin(x)
  • Für x = π gilt: e^(iπ) + 1 = 0

Exponentialform von Sinus und Kosinus

  • cos(x) = (e^(ix) + e^(-ix)) / 2
  • sin(x) = (e^(ix) - e^(-ix)) / (2i)

Sinuswelle

  • Eine Sinuswelle wird definiert als A*sin(2πft + φ).
  • A ist die Amplitude, f die Frequenz, ω die Kreisfrequenz und φ der Phasenoffset.

Die Flexibilität der Sinuswelle

  • Sinuswellen lassen sich mit verschiedenen Amplituden, Frequenzen und Phasen anpassen.

Komplexe Sinuswelle

  • Eine komplexe Sinuswelle bildet das Verhalten von zwei Sinuswellen (Kosinus und Sinus) ab.
  • Der Realteil verhält sich wie Kosinus, der Imaginärteil wie Sinus.

Auslöschung von Sinuswellen

  • Zwei Sinuswellen mit gleicher Amplitude, aber entgegengesetzter Frequenz, löschen sich gegenseitig aus.

Die Summe von Sinuswellen erzeugt Komplexität

  • Addiert man zwei Sinuswellen, entsteht ein komplexes Muster.

Zum Spaß Sinuswellen addieren

  • Werden mehrere Sinuswellen addiert, entstehen noch komplexere Muster.

Sinuswellen-Tetris

  • Ein Tetris-Spiel mit Sinuswellen ist möglich.

Sinuswellen und Rechteckwellen

  • Mit geeignet gewählten Sinuswellen lassen sich vorhersagbare Muster erzeugen.
  • Mehrere Sinuswellen zusammen können eine Rechteckwelle bilden.

Epizykel – erste Begegnung

  • Sinuswellen entsprechen rotierenden Kreisen.
  • Addiert man mehrere Sinuswellen, lassen sich komplexe Formen zeichnen.

Epizykel – intuitives Verständnis

  • Jeder Epizykel entspricht einer bestimmten Sinuswelle.
  • Die Summe der Sinuswellen reduziert sich auf Vektoraddition.

Epizykel – Blume

  • Mit passend gewählten Sinuswellen lassen sich gewünschte Formen zeichnen.

Fourier-Reihe

  • Die Fourier-Reihe ist ein mathematisches Verfahren, bei dem eine periodische Funktion als Summe trigonometrischer Funktionen entwickelt wird.
  • Eine Funktion f(x) wird als Summe trigonometrischer Funktionen dargestellt.

Exponentialform der Fourier-Reihe

  • Mithilfe von Eulers Formel kann die Fourier-Reihe als Summe komplexer Sinuswellen ausgedrückt werden.

Beispiel: Fourier-Reihe einer Box-Funktion

  • Eine Rechteckwelle kann als Summe von Sinuswellen angenähert werden.
  • y(x) = (4/π) * Σ (sin((2k-1)ωx) / (2k-1))

Meinung von GN⁺

  • Fourier-Reihen sind äußerst nützlich für die Analyse und Synthese periodischer Signale.
  • Wer die Grundkonzepte von Sinus und Kosinus versteht, hat einen großen Vorteil bei der Verarbeitung komplexer Signale.
  • Komplexe Zahlen und Eulers Formel spielen in der Signalanalyse eine wichtige Rolle.
  • Fourier-Reihen werden in vielen Anwendungsbereichen eingesetzt, etwa in der Audiosignalverarbeitung und der Bildkompression.
  • Dieser Artikel erklärt die Grundkonzepte der Fourier-Reihe leicht verständlich und ist für Einsteiger:innen im Engineering hilfreich.

Verwandte Beiträge

1 Kommentare

 
GN⁺ 2024-06-05
Hacker-News-Kommentare

  • Es hat lange gedauert, Fourier-Transformationen zu verstehen. Nachdem ich die Discrete Fourier Transform (DFT) verstanden hatte, wurden die inverse FFT, der Satz von Plancherel und der Satz von Parseval ganz natürlich verständlich. Nachdem ich lineare Algebra verstanden hatte, war es leicht, das auf die kontinuierliche Fourier-Transformation zu erweitern. Es war einfacher, Formeln anzusehen als visuelles Material.

  • Der Link zum Quellcode war falsch. Der tatsächliche Link ist hier. Anscheinend wurde die Animation mit Processing umgesetzt.

  • Eine Erklärung der Fourier-Transformation findet sich auch in den Feynman Lectures. Link

  • Um FFT zu verstehen, habe ich den Kurs Introduction to Graduate Algorithms von Georgia Tech besucht und alles in Python implementiert. Wirklich ein sehr guter Kurs. Link

  • Ich habe ein gewisses Verständnis der Fourier-Transformation, und viele Leute behandeln dieses Thema. Es wäre schön, wenn auch die Laplace-Transformation behandelt würde. Ich habe sie für die Analyse elektronischer Schaltungen verwendet, habe sie inzwischen aber wieder vergessen. Link

  • Die Epizykel-Animation hat sehr dabei geholfen, die komplexe Darstellung der Fourier-Reihe zu verstehen. Dieser Beitrag geht weit über jene Seite hinaus. Ich werde ihn künftig mit anderen teilen.

  • Dieses Tutorial eignet sich hervorragend zur Verwendung zusammen mit einem Lehrbuch. Die Animationen und interaktiven Animationen haben mir gefallen. Allerdings braucht es Korrekturlesen.

  • Vielen Dank für das großartige Beispiel und die tolle Website. Diese Seite lässt sich leicht nutzen, aber die meisten statischen Nachrichtenseiten bringen den Browser häufig zum Absturz.

  • Es gibt eine schöne Einführung in die Signalverarbeitung. Empfehlenswert für Leute, die Visualisierungen mögen. Link

  • Es gibt auch andere großartige Arbeiten dieser Person. Link