10 Lehren, die man vor einer Vorlesung über Differentialgleichungen gelernt haben sollte [PDF] (1997)

• Gian-Carlo Rota, der lange das MIT-Kursfach Differentialgleichungen im zweiten Studienjahr unterrichtete, meint, dass der Einführungskurs an alten Lösungsrezepten und Trägheit festhängt und sich eher von selbst in kurze Alternativkurse aufspalten dürfte als durch eine realistische Reform erneuert zu werden
• Früh gelernte Techniken für Gleichungen 1. Ordnung wie integrierender Faktor und exakte Differentialgleichungen sind als isolierte Kniffe weit von realen Ingenieurproblemen entfernt; langfristig lohnend bleiben im Wesentlichen nur Trennung der Variablen und Variablentransformationen
• Das zentrale Lernziel sind lineare Gleichungen und Systeme mit konstanten Koeffizienten; lineare Gleichungen 2. Ordnung mit nichtkonstanten Koeffizienten oder formaler Sturm-Liouville-Stoff passen seiner Ansicht nach schlecht in einen Einführungskurs
• Existenz- und Eindeutigkeitssätze, Textaufgaben, Variation der Konstanten und Erklärungen rund um Differentialschreibweise fördern leicht eher prüfbare Manipulationen als Verständnis und sollten aus der Sicht von Bahnen, Vektorfeldern und Integralkurven neu erklärt werden
• Ein Einführungskurs in Differentialgleichungen sollte den Studierenden nicht viele Kniffe hinterlassen, sondern ein begriffliches Gespür für die Universalität der Exponentialfunktion, Stabilität, Phasenebene und Laplace-Transformation

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Problembewusstsein für einen veralteten Einführungskurs in Differentialgleichungen

• Gian-Carlo Rota blickt darauf zurück, dass es ein Fehler gewesen sei, in jungen Jahren ein Lehrbuch über gewöhnliche Differentialgleichungen zu schreiben; durch diese Erfahrung habe er erkannt, dass er nicht wusste, was Differentialgleichungen eigentlich sind
• Der MIT-Kurs über Differentialgleichungen im zweiten Studienjahr galt für Lehrende wie Studierende als belastendes Mathematikfach im Grundstudium, und weil er ein Lehrbuch geschrieben hatte, musste er die Vorlesung immer wieder übernehmen
• Der Text fasst die Lehrfehler und Vorurteile, die sich seit 1958 in seinen Vorlesungen wiederholt haben, als 10 Lehren zusammen

1. Große Teile des Einführungskurses sind veraltet

• Vergleicht man Cauchys Vorlesungsnotizen zu Differentialgleichungen aus dem 19. Jahrhundert mit heutigen Einführungslehrbüchern, hat sich inhaltlich fast nichts verändert außer der Ergänzung von Systemen
• Am Anfang heutiger Lehrbücher stehen exakte Differentialgleichungen, integrierende Faktoren und homogene Differentialgleichungen als nützliche Werkzeuge nebeneinander, obwohl sie kaum zusammenhängen
• Solche Gleichungstypen kommen in der Ingenieurpraxis selten vor, und auch die dazugehörigen Übungsaufgaben hätten sich seit Euler kaum verändert
• Der Einführungskurs in Differentialgleichungen wird wahrscheinlich nicht grundlegend reformiert, sondern eher allmählich verschwinden und durch mehrere kurze Kurse mit realistischeren Aspekten ersetzt werden
• Allerdings hängen Mathematikbudgets stark von der Zahl der Ingenieurstudierenden ab, die mathematische Grundkurse belegen; ohne solche Kurse sei das Überleben eines Mathematikdepartments schwierig

2. Differentialgleichungen 1. Ordnung sollte man auf ein Minimum reduzieren

• Booles Buch über Differentialgleichungen verwendet fast die Hälfte seines Umfangs auf Gleichungen 1. Ordnung, doch von den Verfahren habe heute im Wesentlichen nur Trennung der Variablen und Variablentransformation bleibenden Wert
• Der integrierende Faktor sei fast zu einem Witz geworden, und er habe nie von einem realen Fall gehört, in dem eine Differentialgleichung 1. Ordnung durch Finden eines integrierenden Faktors gelöst wurde
• Trotzdem werde in Vorlesungen weiterhin ein oder zwei Stunden darauf verwendet und Studierenden gesagt, das sei wichtig

3. Lineare Gleichungen mit konstanten Koeffizienten sind der Kern

• Studierende müssen unbedingt lernen, lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten zu lösen; insbesondere gehört das Lösen linearer Gleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten zur mathematischen Grundbildung
• Umgekehrt sollten lineare Differentialgleichungen mit nichtkonstanten Koeffizienten stark gekürzt werden
  • Mit Ausnahme der Euler-Cauchy-Gleichung gebe es keine lineare Gleichung 2. Ordnung, die sich ohne Einführung spezieller Funktionen explizit lösen lasse
  • Bessel-Funktionen standen früher zwar im Lehrplan, seien aber für heutige Einführungskurse kaum geeignet
• Die Sturm-Liouville-Theorie sei schöne Mathematik, doch die im Einführungskurs behandelten nichtsingulären Sturm-Liouville-Eigenwertprobleme träten in realer Mathematik, Physik oder Technik nicht auf
  • Tatsächlich auftretende Sturm-Liouville-Systeme seien singuläre Systeme
  • Eine strenge Theorie gehe seiner Ansicht nach nicht nur über einen ersten, sondern sogar über einen zweiten Kurs in Differentialgleichungen hinaus
• Nichtkonstante Koeffizienten müsse man nicht völlig verbergen; auch auf Einführungsniveau könne man Wronskian und einige Resultate der Differentialalgebra zeigen
  • Auch wenn es keine allgemeine Formel für die allgemeine Lösung linearer Gleichungen 2. Ordnung gibt, gibt es eine explizite Formel für den Wronskian zweier Lösungen
  • Kennt man eine Lösung, kann man mit dem Wronskian eine zweite finden

4. Variablentransformationen sollten gelehrt werden

• Eine Technik, die Studierende später sicher brauchen, ist die Variablentransformation sowohl bei Differentialgleichungen 1. als auch 2. Ordnung
• Variablentransformationen sind kein bloßer Trick, sondern Teil einer konsistenten Theorie, doch heutige Lehrbücher gäben ihnen nicht genügend Gewicht
• Für lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung seien Transformationsformeln für abhängige und unabhängige Variable bekannt, in Büchern des 20. Jahrhunderts aber schwer zu finden
• Liouville entdeckte Invarianten, also Differentialpolynome der Koeffizienten linearer Differentialgleichungen 2. Ordnung, und bewies, dass zwei Gleichungen genau dann durch Variablentransformation ineinander überführt werden können, wenn sie dieselben Invarianten besitzen
• Dieser Satz erscheine nicht in Lehrbüchern; in der ersten Auflage seines Lehrbuchs habe er noch als Übungsaufgabe gestanden, in späteren Auflagen nicht mehr

5. Existenz und Eindeutigkeit sind weniger wichtig

• Der Existenzsatz für gewöhnliche Differentialgleichungen sei nicht so wichtig, wie oft angenommen werde, sondern eher ein Satz, der psychologische Sicherheit gebe
• Gäbe es bei gewöhnlichen Differentialgleichungen markante Beispiele ohne Lösung, wäre der Existenzsatz interessanter; solche Probleme träten jedoch bei partiellen Differentialgleichungen deutlicher hervor
• Der Eindeutigkeitssatz sei heikler, und er habe ein schlechtes Gewissen, wenn er ohne Beweis sagt, dass jede Lösung einer linearen Gleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten Linearkombination zweier Lösungen ist
• Selbst wenn man beweist, dass alle Lösungen von y' = ay die Form y = ce^{ax} haben, lasse sich das Studierenden nur schwer überzeugend vermitteln

6. Lineare Systeme mit konstanten Koeffizienten stehen im Zentrum des Kurses

• Das Lösen linearer Systeme mit konstanten Koeffizienten ist die wichtigste Technik, die Studierende im Differentialgleichungskurs lernen
• Studierende in Wissenschaft und Technik werden später großen linearen Systemen begegnen; je stärker das Lösen großer Systeme computerisiert wird, desto wichtiger wird das theoretische Verständnis
• Studierende müssen die zugehörige Theorie kennen: Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen, Matrixexponential und Ähnliches
• In den letzten 30 Jahren seien in Regelungstechnik, Ökonomie, Signalverarbeitung und Mathematik interessante Beispiele für Systeme mit konstanten Koeffizienten entstanden, die in Einführungslehrbüchern jedoch nicht vorkämen
• Die Beispiele zu Matrixsystemen in Lehrbüchern seien meist ebene Systeme oder künstliche Beispiele
• Die Variation der Konstanten tauche im Kapitel über Systeme pflichtschuldig auf, sei aber wenig praktisch und liefere kaum sinnvolle Aufgaben für Studierende
• Das alte Verfahren der Variation der Konstanten zum Lösen inhomogener linearer Gleichungen 2. Ordnung mit nichtkonstanten Koeffizienten werde seit Jahrhunderten zusammen mit denselben künstlichen Beispielen in Lehrbüchern wiederholt

7. Erklärungen, die auf Differentialsymbolen zentriert sind, sollte man vermeiden

• Die Art, wie Lehrbücher seit 1800 integrierende Faktoren erklären, kritisiert er scharf als nicht rigoros
• In der üblichen Erklärung wird die Gleichung 1. Ordnung dy/dx = -M(x,y)/N(x,y) plötzlich in die „Differentialform“ M dx + N dy = 0 verwandelt, und dann wird behauptet, das sei nur eine andere Schreibweise
• Danach heißt es, dass q(x,y) so gewählt werden könne, dass qM dx + qN dy = 0 exakt wird, ohne sauber zu klären, ob die ursprüngliche und die multiplizierte Gleichung dieselbe oder verschiedene Gleichungen sind
• Eine bessere Erklärung ist, zusammen mit der gegebenen Gleichung 1. Ordnung ein autonomes ebenes System zu betrachten
  • dx/dt = N(x,y), dy/dt = -M(x,y)
  • Lösungen des Systems sind parametrisierte Kurven mit Geschwindigkeit, also Bahnen
  • Lösungen der ursprünglichen Differentialgleichung sind die Graphen der Integralkurven, bei denen die Geschwindigkeit entfernt wurde
• Ändert man q(x,y), so ändert sich die Geschwindigkeit entlang der Bahnen, aber die Integralkurven bleiben gleich
• Der integrierende Faktor kann so als Faktor q eingeführt werden, der das Vektorfeld geometrisch und analytisch handhabbarer macht
• Gegen Differentialformen an sich habe er nichts; im Mathematikstudium könne bald sogar ein elementarer Analysis-Kurs über Differentialformen nötig werden

8. Textaufgaben sollte man vermeiden

• Textaufgaben zu bevorzugen, nur weil sich damit in Prüfungen und Hausaufgaben leicht eine Notenverteilung erzeugen lässt, hält er für falsches Denken
• Wie in der alten Ausbildung für die Cambridge Tripos werde beim Training auf Lösungsrezepte eher Manipulationsfähigkeit als Verständnis belohnt
• Die Textaufgaben in Lehrbüchern zu Differentialgleichungen kritisiert er als künstlich, unrealistisch, repetitiv und wenig relevant
• Dass Studierende Aufgaben zu Schneepflügen oder Salzwasserströmen zwischen verbundenen Tanks lösen, bedeute noch nicht, dass sie etwas Sinnvolles lernen
• Die realen Probleme, denen Studierende der Ökonomie begegnen, unterscheiden sich stark von denen des Chemieingenieurwesens; ein einziger Einführungskurs kann das nicht in simplen Textaufgaben abdecken

9. Die Motivation für die Laplace-Transformation muss stimmen

• Üblicherweise wird die Laplace-Transformation über Anfangswertprobleme linearer Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten motiviert, doch da die Rücktransformation nicht einfach ist und Anfangswertprobleme auch anders lösbar sind, sei diese Motivation schwach
• Beim Sprechen über „Funktionen“ werden bei der Laplace-Transformation meist zwei verschiedene Begriffe vermischt
  • allgemeine Funktionen mit Graph
  • Dichtefunktionen, deren Bedeutung durch Integration bestimmt wird, etwa Massen- oder Wahrscheinlichkeitsdichten
• Bei Dichtefunktionen ist der Wert an einem einzelnen Punkt bedeutungslos, und das Integral über ein Intervall [a,b] repräsentiert Masse oder Wahrscheinlichkeit
• Nimmt man diese Sichtweise an, lässt sich die Dirac-Deltafunktion einfach und rigoros behandeln
  • Eine Einheitsmasse am Punkt c ist die einfachste Dichtefunktion ohne Graph
  • Enthält ein Intervall den Punkt c nicht, ist ihr Integral 0; enthält es ihn, ist es 1
  • Ihre Eigenschaften lassen sich herleiten, ohne von einer Funktion mit unendlichen Werten zu sprechen
• Bei Dichtefunktionen übernimmt eher die Faltung (convolution) als die gewöhnliche Multiplikation die Rolle eines natürlichen Produkts
• Als wichtigen Satz zur Faltung nennt er den Faltungssatz von Titchmarsh; dafür gebe es keinen bekannten elementaren Beweis, und Titchmarshs Beweis verwende Methoden der Funktionentheorie

10. Man sollte Konzepte lehren, nicht Kniffe

• Ein Einführungskurs in Differentialgleichungen hat keinen pädagogischen Wert, wenn er als Sammlung von Kniffen unterrichtet wird
• Studierende vergessen nach einem Jahr die meisten dieser Kniffe wieder, und viele davon seien ohnehin nutzlos
• Was bleiben sollte, sind folgende Konzepte
  • das universelle Auftreten der Exponentialfunktion
  • Stabilität
  • die Beziehung zwischen Bahnen und Integralkurven von Systemen
  • Phasenebenenanalyse
  • Rechenweisen mit der Laplace-Transformation
  • die Beziehung zwischen Partialbruchzerlegung und Faltung über die Laplace-Transformation
• Wichtiger als routiniertes Lösen kniffliger Aufgaben ist, dass Studierende ein Gespür für die Bedeutung von Differentialgleichungen und die Kraft der Mathematik gewinnen
• Es ist falsch, den Zweck des Grundstudiums nur als Informationsvermittlung zu sehen; Informationen lassen sich außerhalb des Hörsaals oft besser beschaffen
• Eine erfolgreiche Vorlesung im Grundstudium ist daran zu erkennen, dass Studierende das Gefühl haben, einen guten Kurs gehört zu haben, auch wenn sie nicht genau benennen können, was sie konkret gelernt haben

[excovert]

Der Inhalt und der Titel scheinen nicht zusammenzupassen?

[GN⁺]

Hacker-News-Kommentare

• Ähnliches gibt es auch in anderen Bereichen der Mathematik oder in vielen Disziplinen. Als ich im Mathematikunterricht die Fourier-Transformation lernte, wirkte sie wie Algebra, bei der man mechanisch Integrale komplexer Exponentialfunktionen handhabt, und ich verstand überhaupt nichts. Aber sobald ich bei der Analyse von Audiosignalen das Amplitudenspektrum einer Wellenform sah, hatte ich sofort ein Gefühl dafür, was vor sich ging, und auch die Phase war danach nicht mehr schwierig.
  In der Hochschulmathematik scheinen solche praktischen Beispiele fast verboten zu sein; vermutlich will man alles sehr abstrakt und streng machen. Nachdem ich Intuition gewonnen hatte, begann ich auch die formale Mathematik zu verstehen, und wenn man selbst unterrichtet, sieht man auch, warum das so läuft. Für Lehrkräfte ist es so selbstverständlich, dass sie sich schwer vorstellen können, wie es ist, wenn Studierende die Notation und das Vokabular noch nicht verstehen. Wenn man also Konzepte aus anderen Bereichen findet, die die Studierenden bereits kennen, und sie mit einfachen Beispielen des neuen Themas verknüpft – „das ist dasselbe, nur mit anderer Notation und Abstraktion“ –, macht es häufig klick. In Lehrbüchern oder großen Vorlesungen ist das allerdings schwierig, und genau deshalb braucht es Menschen, die unterrichten, statt nur Material hinzuwerfen.

  • Wenn man die praktischen Beispiele nicht kennt, ist es schwer. Als ich kurz Hochschulmathematik unterrichtete, sagte ich, da ich Physik studiert hatte und Industrieerfahrung mitbrachte, dass ich mir in der Differentialgleichungen-Vorlesung ingenieurwissenschaftliche Anwendungen wünschen würde. Darauf antwortete ein kluger Doktorand, der Tutor für Differentialgleichungen war, völlig ernst: „Differentialgleichungen haben keine ingenieurwissenschaftlichen Anwendungen.“
  • Aus der Perspektive von jemandem, der theoretische Mathematik studiert hat und hobbymäßig auch Elektronik betreibt: Unter Studierenden und Lehrenden der theoretischen Mathematik gab es tatsächlich eine Atmosphäre, in der man andere Fächer ein wenig herabsetzte. Wo ich war, machten sie sogar über Physik- oder angewandte-Mathematik-Studierende Witze: „Das ist doch keine Mathematik, nur Formeln und Auswendiglernen.“ Informatikstudierende wurden noch schlechter angesehen.
    Dabei wurden viele mathematische Konzepte erfunden, um reale physikalische Probleme zu lösen, oder stellten sich später als extrem nützlich für physikalische Probleme heraus. Historisch trennte man Physik und Mathematik nicht so stark, und beide beeinflussten einander stark. Interessant ist die Geschichte, dass Einstein bei der Entwicklung der Allgemeinen Relativitätstheorie mathematisch nicht besonders stark war, Hilfe von Freunden bekam und sie in einem Prozess verstand, der fast Einzelunterricht ähnelte. Fourier-Analysis verstand ich zwar schon, bevor ich Elektronik machte, aber erst als ich bei Hochfrequenzproblemen anfing, für Schaltungsarbeit den Frequenzbereich zu verwenden, wurde mir ihr Nutzen wirklich klar.
  • Ich finde, die Fourier-Transformation sollte nicht in die Analysis gehören, sondern in der linearen Algebra gelehrt werden. Dort passt ihre Bedeutung gut, und sie wäre ein nichttriviales Anwendungsbeispiel, an dem es Lehrbüchern mangelt.

• Das intuitivste Einführungsmaterial zu Differentialgleichungen, das ich bisher gesehen habe, war https://www.complexityexplorer.org/courses/31-introduction-t....
  Es erklärt Differentialgleichungen von Anfang an, behandelt ihre physikalische Bedeutung und ein oder zwei traditionelle Lösungsverfahren und geht dann zu numerischen Methoden über. Wenn man Differentialgleichungen lernen will, ist es kurz und gut genug, um es sehr zu empfehlen; es ist aber kein Material zur Vorbereitung auf einen regulären Kurs und deckt auch nicht alles ab.

  • Wenn man Material auf dem Niveau eines regulären Kurses von frühen Pionieren eines Lehransatzes sucht, der numerische Methoden zum Verständnis von Differentialgleichungen nutzt, kann ich das Buch von Blanchard, Devaney und Hall (http://math.bu.edu/odes) sehr empfehlen.

• Als ich mit 14 oder 15 zum ersten Mal Analysis lernte, wäre ich viel weniger verwirrt gewesen, wenn mir jemand erklärt hätte, warum man das macht. Heute ergibt es vollkommen Sinn, wenn man es mit Beispielen wie Geschwindigkeit, Strecke und Beschleunigung erklärt; aber nur über Funktionen, infinitesimale Stücke, Delta-Größen, Gleichungen und Beweislisten zu lernen, war unglaublich trocken und uninteressant. Bis es ein paar Jahre später im Physikunterricht auftauchte, hatte ich kein Gefühl dafür, was Analysis eigentlich macht.

  • Die Analysis-Kurse, die ich besucht und später unterrichtet habe, waren voller Beispiele aus der physikalischen Welt. Allerdings hatte ich beim ersten Lernen wohl noch nicht genug Boden im Kopf, auf dem solche Erklärungen und Beispiele hätten Wurzeln schlagen können.
    Als Doktorand sah ich mir die Grundlagen noch einmal an und dachte: „Das ergibt doch so viel Sinn, warum hat man uns das in der Schule nicht beigebracht?“ Dann wurde mir klar, dass ich es wahrscheinlich tatsächlich gelernt hatte, es aber wegen fehlender mathematischer Reife nicht hängen geblieben war. Dass ich gut in algebraischen Umformungen war und daher die meisten Aufgaben erledigen konnte, ohne die konzeptuellen Grundlagen tief zu verstehen, war ebenfalls hinderlich. Algebraische Umformungsfähigkeit ist wichtig, aber es wäre gut, Kurse so umzubauen, dass man ohne konzeptuelles Verständnis nicht leicht durchkommt.
  • Ich habe Analysis aus einer reinmathematischen Perspektive gelernt, hatte aber genug Physikwissen, um die beiden Konzepte zu verbinden, und das half. Trotzdem reichte es in den ersten drei Semestern meistens, „Integral = Fläche unter der Kurve“ und „Ableitung = Steigung an einem Punkt der Kurve berechnen“ zu kennen.
    Physikbeispiele funktionieren allerdings vor allem bei Studierenden, die sich für Physik interessieren. Als ich in einer Nachhilfeschule für Mathematik arbeitete, sah ich, dass Physikbeispiele wie in Stewart-Lehrbüchern Studierende ohne Physikinteresse eher stark verwirrten. Sie mussten nämlich zusätzlich zum Mathematiklernen auch noch physikalische Konzepte verstehen, um die Beispiele zu begreifen. Bei separater Analysis für Finanz- und Wirtschaftsstudierende war es ähnlich: Tutoren mussten grundlegende Finanzkonzepte lernen, um bei den Aufgaben helfen zu können, und Studierende konnten am Ende manchmal nur Aufgaben lösen, in die Finanzkonzepte eingebettet waren.
  • Dass Physik faktisch die Aufgabe übernimmt, Mathematik zu lehren, sollte für mathematische Fakultäten eine allgemeine Blamage sein.
  • Bei mir war es genauso. Den größten Teil des ersten Semesters stand ich auf einem C-Schnitt, weil ich nicht verstand, was wir taten und warum.
    In der Schulbibliothek löste ich Aufgaben, bei denen Wasser durch ein immer größer werdendes Loch neben einem Schwimmbecken abfloss, und hatte einen Heureka-Moment; danach ergab alles Sinn. Später bekam ich meistens Einsen und war in diesem Jahr der Einzige in der Klasse, der in der AP-Prüfung eine 5 schaffte. Ironischerweise studierte ich schließlich Elektrotechnik mit Schwerpunkt Signalverarbeitung und ging bis in die Graduate School – ich verbrachte also fast acht Jahre mit Analysis, obwohl ich sie anfangs nicht verstanden hatte.
  • Kinder mit Ingenieuren als Eltern haben hier einen Vorteil. Solche Eltern können Beispiele dafür geben, wie Mathematik in der realen Welt verwendet wird.
    Wenn Relevanz entsteht, kann man erklären, dass diese Mathematik in Software eingebettet ist: Auch wenn man sie nicht direkt verwendet, hat irgendjemand diese Mathematik in Code umgesetzt, und wir profitieren davon. „Du benutzt sie vielleicht nicht direkt, aber das Werkzeug, das du benutzt, verwendet sie intern“ kann für Schüler, denen es wie eine seltsame Pflichtübung vorkommt, motivierend sein.

• Der erste Mathematikkurs, den ich an der Universität belegte, war sein Analysis-Kurs im zweiten Semester, und ich höre seine Stimme noch immer in meinem Kopf. Eine unvergessliche Stimme und ein großartiger Lehrer.
  Ein weiterer interessanter Punkt: Mit 50 wurde ich aus eigener Entscheidung Ingenieur, aber das Engineering hatte sich bereits stark verändert, und entscheidend war die Fähigkeit, teure Computerprogramme souverän zu bedienen. Diese Programme lösten Differentialgleichungen numerisch, und kaum jemand dachte daran, sie auf andere Weise zu lösen. Dafür blieb keine Zeit.

  • Ich vermute, die meisten Differentialgleichungen lassen sich nicht analytisch lösen. Diejenigen mit sauberen Lösungen sind nur eine sehr kleine, kunstvoll konstruierte Teilmenge, wie ausgefeilte Rätsel; bei realen Problemen sind numerische Verfahren oft der einzige Weg zu Näherungslösungen.
    Trotzdem verstehe ich die Theorie der Differentialgleichungen weiterhin als nützlich, um den Rahmen zu entwerfen, in dem numerische Verfahren funktionieren.
  • Ich habe ebenfalls Rotas Seminar „exploring higher mathematics“ besucht; er war wirklich außergewöhnlich. Die Begeisterung für die Hierarchie der Unendlichkeiten ist mir bis heute geblieben.
    Der zweiten Aussage stimme ich zu. Programme lösen Differentialgleichungen numerisch, aber es ist meiner Meinung nach immer noch sinnvoll, ein wenig darüber zu wissen, wie man sie früher gelöst hat.

• Ich habe einen Text geschrieben, in dem ich alle allgemeinen Lösungen linearer gewöhnlicher Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten, also des Masse-Feder-Dämpfer-Systems, in einer knappen Matrixform herleite, die sich leicht in Code implementieren lässt: https://esporttoys.pages.dev/2022/11/21/damped
  Außerdem habe ich eine vollständige Lösung in Lua angegeben, die je nach Dämpfung, Eigenkreisfrequenz und Restterm sin/cos oder sinh/cosh auswählt und damit die zeitliche Entwicklung von Position und Geschwindigkeit berechnet.

  • Gutes Beispiel. Die mathematische Erklärung war schwergewichtig, sodass es lange dauerte, überhaupt ein Grundverständnis zu bekommen, und ich bin mir nicht sicher, ob ich es wirklich richtig verstanden habe. Der Lua-Code dagegen war leicht verständlich, auch wenn die Variablennamen einen dazu zwingen, vieles selbst zu lesen und zu erraten.
    Es ist lange her, dass ich beruflich mit Differentialgleichungen zu tun hatte, aber ich stimme der Aussage aus dem PDF zu: „Je mehr ich wusste, desto weniger verstand ich.“ Warum reine Mathematik erst verständlich wird, wenn sie mit der Unsauberkeit der Realität verunreinigt wird, und ob das dem Verständnis im Weg steht, weiß ich nicht recht.
  • Das Graduiertenstudium bestand im Grunde daraus, F=Ma-Cv-Kx auf alle möglichen Arten zu erweitern, bis man schließlich bei der Finite-Elemente-Analyse landet. Am Ende läuft der Kern darauf hinaus, die Basisfunktionen zu wählen, die für die Frage, die man beantworten will, am praktischsten sind.

• Als ich vor 10 Jahren für Chemieingenieurwesen an die Graduate School ging, frustrierte mich am Unterricht, dass die Mathematik eher nicht streng genug war. Wenn ich um Klarstellung bat, wurden Inkonsistenzen oft einfach übergangen.
  Die im Text erwähnten Differentialformen sind ein gutes Beispiel. In Engineering-Kursen tauchen sie plötzlich als eine Methode auf, Gleichungen umzuschreiben, ohne Strenge oder Formalismus. Niemand erklärt, was „Differential“ bedeutet oder ob es eine axiomatische Grundlage gibt, mit der man diese Symbole konsistent manipulieren kann; man bekommt einfach nur Lösungsschritte für die Prüfung. Auch in einem Quantenchemie-Kurs stellte ich Fragen zum Kollaps der Wellenfunktion und zur Möglichkeit von Informationsübertragung schneller als Licht, aber das wurde mit „nicht Gegenstand dieses Kurses“ abgetan. In einem Graduiertenkurs zu statistischer Mechanik wandte ich gegen die Erklärung, die Wellenfunktion des Gesamtsystems sei die Slater-Determinante der einzelnen Wellenfunktionen, ein, dass der Kern der Quantenmechanik gerade darin bestehe, dass die Zustandsfunktion des Gesamtsystems im Allgemeinen nicht separierbar ist und es sonst auch keine Verschränkung gäbe; der Professor wischte das jedoch mit dem Hinweis beiseite, ein Student solle einen Professor nicht zu Themen herausfordern, von denen der Student nichts verstehe. Die Forschungslaufbahn dieses Professors stützte sich in hohem Maße auf Arbeiten in der Computerchemie, bei denen man Dateien mit Atomkoordinaten und -arten in DFT-Software einspeist, sie ausführt und anschließend die Ergebnisse veröffentlicht.

  • Bis zu welcher Systemgröße Quantenverschränkung oder Quantenkohärenz erhalten bleiben kann, ist noch eine offene Frage. Weil das Auswirkungen auf Quantencomputer hat, ist sie sehr wichtig.
    Experimentell scheint es so, dass ausreichend große Systeme Quantenkohärenz nicht lange aufrechterhalten können. Wenn du wissen willst, wie man diesen Prozess mathematisch behandelt, suche nach „quantum decoherence“; wenn du mögliche physikalische Interpretationen kennenlernen willst, nach „objective collapse theory“.
  • Als Mathematiker hatte ich den Eindruck, dass viele Nichtmathematiker, einschließlich Professoren in Engineering, Chemie und Physik, Mathematik nur so weit verstehen, dass sie damit arbeiten können, aber nicht tiefer einsteigen.
    Auf die Frage, ob es „eine axiomatische Grundlage gibt, um diese Symbole konsistent zu manipulieren“, gibt es eine Antwort. Außerdem publiziert ein großer Teil der akademischen Welt innerhalb seines kleinen Teilgebiets und denkt kaum über weiterreichende Implikationen nach. Deshalb machen Neueinsteiger mit etwas anderem Hintergrund auch viele Entdeckungen.
  • DFT verwendet die Kohn-Sham-Näherung, eine Einteilchen-Näherung, und ist eine Theorie des Grundzustands. In der Quantenchemie gibt es eindeutig Forschung in der von dir genannten Richtung, aber DFT ist das nicht. Sieh dir die Levy-Lieb-Dichte und die Arbeiten von Mazziotti an.
  • Für alle, die es nicht wissen: DFT ist die Dichtefunktionaltheorie.

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• Der Aussage „lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten sind der Kern“ stimme ich völlig zu. Wenn man einfache Konstanten in die Variablen einsetzt, bekommt man ein Gefühl dafür, wie es funktioniert; ich finde es kaum zu glauben, dass konstante Koeffizienten nicht zuerst gelehrt werden.

  • Dann warte nur, bis du Studierende triffst, die Algebra II bestanden haben und trotzdem den Unterschied zwischen konstanten Koeffizienten und variablen Koeffizienten nicht verstehen.

• Fast alle Lehrenden, bei denen ich bisher gelernt habe, bestanden unbewusst darauf, dass Lernmaterial steril bleiben müsse, und ließen nicht zu, dass es so witzig und pointiert wurde wie dieser Text. Für die meisten Studierenden ist „Lernen“ absurd langweilig, bis sie die Universität verlassen oder in die Graduate School kommen und über Essays und Memoiren lernen.
  Was einem 12 bis 16 Jahre lang als knochentrocken formulierte, etablierte Wahrheit präsentiert wird, war in Wirklichkeit mitunter das Lebenswerk von Dutzenden bis Tausenden Menschen, die ihre Karrieren aufs Spiel setzten, kämpften, gesellschaftliche Ansichten prägten, Witze machten, heirateten, sich scheiden ließen, starben, stritten und gegeneinander stichelten, während sie enorme Leidenschaft zu Lehrbüchern destillierten. Viele Informationen, die man als Student lernt, waren zur Zeit ihrer Entdeckung höchst umstritten. Selbst im Glaskunstmuseum in Sandwich, Massachusetts, lauteten die Ausstellungstafeln bereinigt etwa: „Etablierte Glasmacher wehrten sich gegen den Eingriff in ihre Industrie“; das tatsächliche Zitat war aber viel menschlicher und besagte sinngemäß, dass sich der Erfinder wegen gewaltsamer Gegenreaktionen wochenlang in einem Zimmer verstecken musste. Wenn ich an der modernen Bildung eine Sache ändern könnte, dann, dass Studierende erfahren, dass die Entwicklung und Bewahrung von Information nie geordnet oder frei von Voreingenommenheit war, und dass sie ausreichend mit Witz und Weisheit früherer Autoren in Berührung kommen. Nebenbei: Abgesehen von Künstlern und Schriftstellern, die sich der Comedy verschrieben haben, waren Mathematiker und Ingenieure oft deutlich lustiger als Künstler und Schriftsteller.

  • Als ehemaliger Lehrer sehe ich den Grund darin, dass das Bildungssystem, wie wir es kennen, existiert, um in großem Maßstab reproduzierbare Lernergebnisse zu erzeugen. Es ist der Versuch, mühsam errungenes Wissen jahrhundertealter Genies in die Köpfe Jugendlicher zu übertragen — wenn man darüber nachdenkt, eine ziemlich seltsame Sache.
    So betrachtet ist es trotz seiner Schwächen bei der Vermittlung echter Einsicht erstaunlich erfolgreich. Bessere Bildung wäre wohl stärker schülergesteuert und entdeckungsorientiert, lässt sich aber schwerer skalieren und liefert weniger deterministische Ergebnisse. Also wiederholen wir immer weiter eine langweilige, aber in gewissem Maße wirksame Form von Bildung.

• Diskussion von 2022: https://news.ycombinator.com/item?id=32530035

  • In dieser Diskussion ging es darum, dass die Mathematik Zahlen, die nicht 0, aber unendlich klein sind, durch Grenzwerte ersetzt hat. Infinitesimale wurden später über https://mathworld.wolfram.com/NonstandardAnalysis.html wieder rigoros eingeführt.
    Ich habe schon lange gedacht, dass dieser Ansatz auf modernen Computern leichter zu handhaben wäre.