Das Emoji-Problem (2022)
(artofproblemsolving.com)- Das im Internet bekannt gewordene Emoji-Matheproblem ist dafür bekannt, dass es wegen eingebauter Fallstricke verschiedene Antworten zulässt
- In der Mathe-Community wollte man als Alternative zu solchen Problemen einmal ein wirklich schwieriges Problem erstellen
- Der Beitrag erklärt, wie man pythagoreische Tripel findet und die dazugehörige Technik (Linien ziehen)
- Beim schwierigen Emoji-Problem stehen elliptische Kurven und die Analyse rationaler Lösungen im Mittelpunkt
- Der Text betont eine Strategie zur Lösungssuche mithilfe von mathematischen Werkzeugen und Mathematica
Hintergrund und Entstehung des Emoji-Matheproblems
Im Internet verbreiteten sich Matheaufgaben, die mit Emojis (oder etwa Fruchtbildern) dargestellt werden. Diese Aufgaben erzeugen durch verwirrende Elemente (z. B. subtile Unterschiede in der Anzahl von Bananen) Kontroversen und virale Effekte, weil für ein und dieselbe Aufgabe mehrere Antworten möglich sind. Echte Mathematiker und die Mathe-Community waren solcher Aufgaben überdrüssig, und 2017 erschien auf reddit in r/math ein Thread mit der Idee: „Lasst uns ein wirklich schwieriges bildbasiertes Matheproblem machen.“ Das dort vorgestellte Problem war im Unterschied zu den üblichen Varianten noch relativ leicht, wenn es darum ging, ganzzahlige Lösungen zu finden, doch jemand namens Sridhar Ramesh modifizierte es leicht und machte daraus ein extrem schwieriges Problem. Schon die kleinste Lösung der abgeänderten Version hat mehr als 80 Stellen, und man kam zu der Einschätzung, dass dafür fortgeschrittenes Wissen über elliptische Kurven nötig ist.
Ein anschauliches Beispiel zum Finden pythagoreischer Tripel
Zunächst behandelt der Text als einfacheres Beispiel eine vollständige Methode für pythagoreische Tripel. Statt direkt nach ganzzahligen Lösungen (diophantischen Gleichungen) von x² + y² = z² zu suchen, geht man über rationale Lösungen (Bruchlösungen) von x₁² + y₁² = 1.
- Setzt man dabei x₁ = x/z und y₁ = y/z, wird das Problem in die Suche nach allen rationalen Punkten auf dem Einheitskreis umgewandelt
- Man nimmt etwa den Punkt (0,1) als Ausgangspunkt und denkt sich eine Gerade mit rationaler Steigung
- Der zweite Schnittpunkt dieser Geraden mit dem Kreis ist immer ein rationaler Punkt
- Das lässt sich unter anderem mit den Vieta-Formeln zeigen, und bei fest gewählter Steigung kann man so alle rationalen Punkte erreichen
- Daraus folgt die Charakterisierung pythagoreischer Tripel in der Form (x, y, z) = (2mn, n²–m², n²+m²) (für positive ganze Zahlen m, n)
- Der Kern ist das Prinzip: „Wenn man eine Linie zieht, erhält man einen neuen Punkt“
Das eigentliche Emoji-Problem: Umformung einer schwierigen Gleichung in eine elliptische Kurve
Die zentrale Gleichung des Problems beginnt mit x/(y+z) + y/(x+z) + z/(x+y) = 4 und wird umgeformt zu x³+y³+z³ = 3(x²(y+z)+y²(x+z)+z²(x+y)) + 8xyz .
- Mit der Substitution x₁ = x/z und y₁ = y/z sowie der Division durch z³ geht man zur Analyse rationaler Lösungen über
- Nach dem Einsetzen erhält man die Gleichung x₁³ + y₁³ + 1 = 3(x₁²(y₁+1)+y₁²(x₁+1)+x₁+y₁) + 8x₁y₁
- Visualisiert man diese, ist der Graph symmetrisch; durch geeignete Drehung des Koordinatensystems und erneute Substitution (x₂, y₂) lässt sie sich in eine einfachere Form bringen
- Schließlich erhält man die folgende Gleichung in Form einer elliptischen Kurve: 1 - 6x₂ - 11x₂² - 4x₂³ - y₂² + 12x₂y₂² = 0
Das Prinzip zur Erzeugung rationaler Punkte auf elliptischen Kurven
Beschrieben wird das Verfahren, auf einer elliptischen Kurve zwei rationale Punkte (P, Q) auszuwählen, eine Gerade durch diese beiden Punkte zu ziehen und den dritten Schnittpunkt R mit der Kurve zu bestimmen.
- Alle drei Punkte (P, Q, R) haben dann rationale Koordinaten
- Mithilfe der Vieta-Formeln, der Geradensteigung und algebraischer Umformungen lässt sich der dritte Schnittpunkt konsistent berechnen
- Ist es derselbe Punkt (P=Q), dann wird die gezeichnete Gerade zur Tangente; auch hier gilt dasselbe Prinzip
- Wichtig ist die Einsicht: „Verbindet man zwei rationale Punkte, entsteht wieder ein weiterer rationaler Punkt“
Die Grenze der „Vermehrung“ rationaler Punkte und die Entdeckung eines Punkts unendlicher Ordnung
Die auf einer elliptischen Kurve leicht zu findenden trivialen rationalen Punkte ((0,1), (-1,0), (0,-1) usw.) führen jeweils nur zu bedeutungslosen Ergebnissen für die Lösung.
- Mit diesen Punkten wiederholen sich nur Torsionspunkte (Punkte endlicher Ordnung), aus denen sich keine wirklich neuen rationalen Punkte mehr erzeugen lassen
- Man benötigt einen unbekannten Punkt von unendlicher Ordnung (der unendlich viele Lösungen liefert)
- Mithilfe von Computerrechnung, etwa mit Mathematica, wurde ein neuer rationaler Punkt gefunden, zum Beispiel in der Form (-2, 1/5) (dieser Punkt wird A genannt)
- Mit diesem Punkt lassen sich über Tangenten oder Geraden zu anderen Punkten nach und nach immer neue und komplexere rationale Lösungen erzeugen
Bedingungen für echte positive Lösungen und iterative Berechnung
Eine Lösung ist für das Problem nur dann sinnvoll, wenn alle x, y, z positiv sind. Aus der Umformung folgt: Unter der Annahme z > 0 müssen auch x₁ > 0 und y₁ > 0 gelten, und für die transformierten Koordinaten (x₂, y₂) muss x₂ > |y₂| erfüllt sein.
- Den Bereich, der diese Bedingung erfüllt (einen bestimmten Teil des Graphen), nimmt man als „Zielgebiet“ und wendet den Linientrick wiederholt an, um rationale Lösungen in diesem Gebiet zu erreichen
- Im Rechenprozess werden die x- und y-Koordinaten der tatsächlichen rationalen Punkte jeweils mithilfe komplexer algebraischer Ausdrücke (L-, T- und Y-Funktionen) bestimmt
- Auf diese Weise gelangt man über die Berechnung von Tangenten- und Geradensteigungen sowie deren wiederholte Anwendung zu sehr großen Lösungen mit vielen Dutzend Stellen
Fazit
Das gegebene Emoji-Matheproblem wirkt einfach, in Wirklichkeit muss man jedoch die Eigenschaften elliptischer Kurven und das Prinzip zur Erzeugung rationaler Punkte aktiv nutzen, und die Zahlenwerte der Lösungen wachsen mitunter exponentiell an.
- Das einfache strukturierte Prinzip „Durch das Ziehen einer Linie einen neuen Punkt erhalten“ wird in abgewandelter Form auch auf elliptische Kurven angewandt
- Die Suche nach tatsächlichen ganzzahligen oder positiven Lösungen ist äußerst komplex, und Computeralgebra ist dafür unverzichtbar
- In einem Folgeteil des Beitrags sollen der Abschluss dieses Prozesses, ein tieferer mathematischer Hintergrund und die genaue Beschreibung der Lösung folgen
1 Kommentare
Hacker-News-Kommentare
Teilen eines Links zu einer wirklich hervorragenden Quora-Antwort
Die Quora-Antwort wurde von Alon Amit geschrieben, und der Originalartikel enthält auch zitierte Hinweise auf Äußerungen von Alon Amit.
Genau so fühlt sich das wahre Highlight von Quora an.
Bericht aus eigener Erfahrung beim Unterrichten von Mathematik für Kinder: Formeln oder Ausdrücke wurden durch niedliche, vertraute Begriffe wie Tiere, Wolken oder Sterne ersetzt. Die Kinder fanden es anfangs lästig, aber gerade dadurch bekamen sie Interesse an abstrakten Konzepten. Später kam das Feedback, dass sie dieselbe Methode auch beim Unterrichten anderer Freunde verwendet hätten. Hervorgehoben wird, dass
xnichts Besonderes sein muss und man „anstelle von x irgendeinen Namen wie Sonne oder ‚Summe der Katzenzahlen‘ verwenden kann“.φhingeschrieben …“. Mit Verweis auf den Witz, dass Programmierer schon schlecht im Benennen von Variablen seien, wird betont, dass Mathematiker noch schlimmer seien. Obwohl der Mensch seit Jahrtausenden Sprache und Bezeichnungen nutzen kann, sei es unnötig, nutzlose, quasi verschlüsselte Symbole wie „rho“ zu verwenden. Betont wird, dass zumindest in Programmen, die aus mathematischen Arbeiten abgeleitet werden, Variablennamen intuitiv verständliche Bedeutungen vermitteln sollten.Erfahrungsbericht zum Versuch, über die OpenAI-Oberfläche ein Bild des Problems in ChatGPT hochzuladen: Zunächst wurde erwartet, dass das Modell die Aufgabe bereits kennt und die richtige Antwort ausgibt, sich irgendetwas ausdenkt oder die Lösung ganz verweigert. Tatsächlich gab es aber selbstsicher Vermutungen als vermeintlich richtige Antworten aus, stellte nach eigener Rechnung fest, dass sie falsch waren, und wiederholte dieselbe Vermutung dann erneut. Es erkannte nicht einmal die Symmetrie und verhielt sich wie ein unstrukturierter Agent. Am Ende bestand es mit Nachdruck darauf, dass es keine richtige Antwort gebe. Dieses Ergebnis war unerwartet, und falls es bei anderen Rätseln künftig ähnlich schlecht abschneidet, soll das die eigene Einschätzung entsprechend ändern.
Es wird geteilt, dass dieselbe Frage auch mit Gemini ausprobiert wurde und außerdem ChatGPT o3 zum Einsatz kam, das 11,5 Minuten zum Nachdenken brauchte. Ein Link zu der betreffenden Arbeit wird ebenfalls geteilt.
Gerade weil es offenbar überhaupt keine für Menschen verständliche „vernünftige“ Antwort gibt, wirkt das eher beeindruckend. Es gebe wohl auch eine mit Wolfram Alpha verbundene Version von ChatGPT; gefragt wird, ob die nicht ausprobiert wurde.
In Bezug auf die Erwähnung von Sridhar Ramesh wird betont, dass er ein seltener Mensch sei, der zugleich in Mathematik auf Promotionsniveau und in internetmimbasierten Scherzen („shitposting“) versiert ist.
Es wird betont, wie sehr solche Rätsel geliebt werden, und berichtet, dass sie Freunden unter dem Namen „Dantzig Sniping“ vorgestellt wurden. Ein Link zu selbst erstellten Aufgaben und zum zugehörigen Kontext wird geteilt.
Als Reaktion wird geteilt, dass zunächst der Ortsname Gdańsk (Danzig) in den Sinn kam und man sich fragte, was da wohl „gesnipet“ worden sei.
Es wird gefragt, wie man Probleme mit solchen Eigenschaften eigentlich entdeckt.
Mit humorvollem Unterton wird gefragt, warum der Autor im Jahr 2025 nicht tatsächlich Frucht-Emojis als Variablennamen verwendet.
Es wird darauf hingewiesen, dass beim Analysieren komplexen C-Codes das Ersetzen von Variablennamen durch Emojis dabei geholfen habe, auf einen Blick zu erkennen, wo welche Variable verwendet wird, und so die Struktur des Codes besser zu verstehen. Ein Beispielbild wird geteilt. Leider verhinderten moderne Sprachen wie Rust und JS durch die Standards XID_Start/XID_Continue die Nutzung von Emoji-Bezeichnern.
Es wird ein Link zu einem Beispiel in C# geteilt, in dem Gemini das Problem per brute force mit Frucht-Emoji-Variablennamen gelöst hat.
Ergänzend wird realistisch angemerkt, dass zwar das Jahr 2025 ist, die betreffende Sprache aber nicht 2025 entwickelt wurde.
Es wird geteilt, dass beim Einsetzen anderer Konstanten statt „4“ weitaus größere minimale Lösungen auftreten können, zusammen mit einem Link zu einem interessanten Beispiel einer diophantischen Gleichung (Gleichung mit ganzzahligen Lösungen).
Es wird an die Erinnerung erinnert, dass alle in einem zahlentheoretischen Seminar laut lachen mussten, als dieses Problem zum ersten Mal auftauchte.
Auch wenn die tiefe Auseinandersetzung mit Zahlentheorie und seltsamen Graphen interessant ist, wird gefragt, was am ursprünglich gegebenen Apfel-/Bananen-Rätsel denn genau verwirrend oder der eigentliche Fallstrick war. Gab es leicht zu verwechselnde Elemente oder einen Punkt, der Diskussionen auslöste, oder stürzen sich alle nur darauf, um klug zu wirken, weil es eigentlich zu leicht ist? Genannt wird, dass man selbst auf die Antwort 10, 4, 2 gekommen sei und nun vermute, vielleicht selbst etwas verwechselt zu haben.
Es wird der Tipp geteilt, dass der Query-Parameter „srsltid“ in der URL eines bestimmten Problem-Links ein unnötiger Wert ist.