Notation als Werkzeug des Denkens (1979)

• Notation ist ein wichtiges Werkzeug, das das Denken unterstützt, und spielt sowohl in der Mathematik als auch in Programmiersprachen eine zentrale Rolle
• Die APL-Sprache wurde als Versuch entwickelt, die Vorteile mathematischer Notation mit der Ausführbarkeit und Universalität von Programmiersprachen zu verbinden
• Merkmale guter Notation sind Prägnanz, Klarheit, Suggestivität, Unterordnung von Details und die Möglichkeit formaler Beweise
• Verschiedene mathematische Strukturen (Polynome, Transformationen, Graphen usw.) lassen sich mit APL effizient ausdrücken und transformieren
• Einführung und Erlernen von Notation sollten natürlich im Kontext erfolgen; auch die Strukturiertheit und Allgemeingültigkeit der Notation sind wichtig

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Notation als Werkzeug des Denkens

• Auch in wissenschaftlichen Bereichen wie Chemie und Botanik fördert eine systematische Nomenklatur den Fortschritt des Fachs
• George Boole betonte, dass Sprache selbst ein Mittel des Denkens ist
• Mathematische Notation ist ein typisches Beispiel für eine Sprache, die das Denken unterstützt, die Denklast reduziert und die Denkfähigkeit erweitert
• A.N. Whitehead und Charles Babbage betonten die Bedeutung mathematischer Notation

Das Potenzial von Programmiersprachen als Werkzeuge des Denkens

• Programmiersprachen haben die Stärken Allgemeingültigkeit und Klarheit
• Mit dem Computer lassen sich Ideen erproben und klare Denkexperimente durchführen
• Die meisten Programmiersprachen sind jedoch als Werkzeuge des Denkens schwächer als mathematische Notation
• APL wurde als Notation entworfen, die das Denken unterstützt und auf Klarheit und Präzision abzielt

Wichtige Merkmale guter Notation

• Leichte Darstellung von Problemen: Strukturen, die sich direkt aus einem Problem ableiten, sollten sich einfach ausdrücken lassen
• Suggestivität: Die ausgedrückte Form sollte auf ähnliche oder erweiterte Probleme hinweisen
• Unterordnung von Details: Sie sollte eine Struktur bieten, die komplexe Details vereinfacht und so das Denken unterstützt
• Prägnanz: Mit minimalen Symbolen und Regeln sollte ein breites Ausdrucksspektrum möglich sein
• Möglichkeit formaler Beweise: Die Notation sollte für formale Beweise und deduktives Schließen geeignet sein

Einführung in die grundlegenden Notationstechniken von APL

• Array-basierte Strukturen wie Vektoren und Matrizen werden auf natürliche Weise verwendet
• Funktionen und Operatoren werden automatisch elementweise auf Vektoren/Matrizen angewendet
• Mit Operatoren wie Reduktion(/), Scan(\) und innerem Produkt(.) lassen sich Funktionskombinationen ausdrücken
• Mit Grundsymbolen wie ⍳, ⌽, ⍴, +, ×, * lassen sich reichhaltige Ausdrücke bilden
• Alle Funktionen folgen der Regel der Rechtsbindung, sodass sich natürliche Ausdrücke ohne Klammern schreiben lassen

Beispiele für Problemlösung und Förderung des Denkens

• Mathematische Folgen wie Dreieckszahlen oder Fakultäten lassen sich mit einfachen Ausdrücken darstellen
• Polynomdarstellung sowie Operationen wie Multiplikation und Differentiation lassen sich mit konsistenten Regeln knapp behandeln
• Auch die Graphentheorie (Bäume, transitive Hülle, Spannbäume) lässt sich mit Array-Operationen klar ausdrücken
• Das lässt sich auf verschiedene Bereiche wie Permutationen, Boolesche Algebra und Zahlensystemumwandlungen (Primfaktorzerlegung) erweitern

Formale Beweise und strukturiertes Denken

• Da alle Operationen und Ausdrücke in klar ausführbarer Form dargestellt werden, ist eine automatische Verifikation durch den Computer möglich
• Es werden verschiedene Beispiele formaler Beweise gezeigt, darunter mathematische Induktion, vollständige Suche und das Auflisten von Identitäten
• Formale Beweise für Zerlegungsidentitäten von Reduktion und Scan sowie für Assoziativität und Distributivität innerer Produkte werden gegeben
• Newtonsche symmetrische Funktionen sowie Formeln für Polynom-Multiplikation und Differentiation werden direkt bewiesen

Vergleich von APL mit traditioneller mathematischer Notation

• APL bietet eine klare Definition von Funktionen, konsistente Array-Operationen und ein reichhaltiges Symbolsystem
• Für alle Operationen gilt statt eines Prioritätsregelsystems die Regel der Ausführung von rechts nach links
• Es reduziert die Komplexität der Verwendung mathematischer Symbole und unterstützt formale Manipulation
• Die Syntax ist knapp und die Regeln konsistent, was sowohl für Einsteiger als auch für Fortgeschrittene vorteilhaft ist

Einführung und Lernen von Notation

• Es wird betont, benötigte Notation ohne separate „Sprachlektionen“ natürlich im Kontext einzuführen
• Neue Symbole werden in konkreten Problemsituationen intuitiv erlernt
• Wichtiger als die Schwierigkeit der Notation selbst ist es, die vielfältigen Möglichkeiten und Erweiterbarkeit zu erkennen, die sie andeutet

Erweiterbarkeit und Vorschläge für APL

• Vorschläge zur Erweiterung von Funktionen einschließlich der Verarbeitung komplexer Zahlen
• Bedarf an Standardisierung einer Funktion für eindeutige Elemente (unique elements) sowie einer Zusammenfassungsfunktion (summary)
• Durch allgemeinere Operatoren könnten zusätzliche Themen wie Vektoranalysis unterstützt werden
• Ziel ist eine höhere Klarheit des Sprachdesigns und bessere Schlussfolgerungsfähigkeit

Gleichgewicht zwischen Effizienz und Klarheit

• Empfohlen wird, zunächst eine klare und analysierbare Notation zu definieren und die Effizienz anschließend durch Optimierung zu erhöhen
• Die Klärung des Algorithmus hilft später auch bei Optimierung und Compiler-Optimierung
• In APL geschriebene Grundausdrücke können sowohl zur wissenschaftlichen Forschung als auch zu industriellen Anwendungen beitragen

[GN⁺]

Hacker-News-Kommentare

• Notation bedeutet mehr, als einfach nur einen Ausdruck durch einen anderen zu ersetzen

  • Eine neue Notation lässt einen über ein Problem auf neue Weise nachdenken
  • Viele ungelöste Probleme könnten mit einer mächtigen Notation lösbar sein
  • Für Mathematiker oder Informatiker ist das offensichtlich, unter Linguisten oder Pädagogen ist es jedoch umstritten
  • Die Sapir-Whorf-Hypothese behauptet, dass Sprache das Denken bestimmt
  • Natürliche Sprache ist ein kulturelles Produkt, und in der Wissenschaft gilt es als tabu, Kultur mit Denken zu verknüpfen
  • Auch im Bildungswesen wird verhindert, dass Schüler eine Notation lernen, mit der sie Probleme wirklich verstehen können

• Der Niedergang von APL lag am Aufkommen von Lotus 123 und MS Excel

  • APL hätte einen viel größeren Einfluss haben können
  • Die CS-Community konzentrierte sich auf Symbolics, KI und LISP

• Die Sapir-Whorf-Hypothese deutet darauf hin, dass Sprache das Denken einschränken kann

  • Sprache und Denken könnten durch die Regeln sozialer Interaktion bestimmt werden
  • Musik kann Dinge ausdrücken, die sich auf andere Weise nicht ausdrücken lassen

• Es wird an einem Projekt entwickelt, das APL verwendet

  • Die Konzepte von APL bilden eine Grundlage des Denkens
  • In einem Architekturprogramm wird NAATOT gelehrt
  • Der Traum ist, Studierende dazu zu bringen, ihr eigenes symbolisches Notationssystem zu entwickeln

• Schade, dass eine Freeform-Notiz-App nicht fertiggestellt wurde

  • Es war eine Idee, die gut zu technischem Content in STEM-Fächern gepasst hätte
  • Als Beispiel werden alte Chemie-Notizen geteilt

• Dies ist die Vorlesung, in der der Ausdruck "Werkzeuge des Denkens" erstmals verwendet wurde

  • Beim Lernen von APL wurde klar, dass man in einem Tweet viel Code unterbringen kann
  • Mathematische Notation ist nicht universell genug und kann unterschiedlich interpretiert werden
  • Wenn Notation von Visualisierung und der Ergonomie eines Problems getrennt wird, ist das kostspielig
  • Standardnotation kann kreatives Denken einschränken

• Als verwandtes Material wird Iversons "Notation as a Tool of Thought" erwähnt