Die verlorene Kunst der Logarithmen — Charles Petzolds Webbuch

 (lostartoflogarithms.com)
1 Punkte von GN⁺ 2025-03-14 | 1 Kommentare | Auf WhatsApp teilen
  • Ein Webbuch, an dem Charles Petzold derzeit schreibt, das über die Geschichte und Nutzung von Logarithmen Themen wie Multiplikation, Potenzen, Trigonometrie, Musik und Graphen miteinander verknüpft
  • Im Mittelpunkt stehen Logarithmen als Rechenwerkzeug und der Rechenschieber; behandelt werden nicht nur Theorie, sondern auch das tatsächliche Rechnen und der Bau solcher Werkzeuge
  • Die Schreibfarbe der Kapitelüberschriften kennzeichnet den Bearbeitungsstand, sodass Leser sofort erkennen können, welche Kapitel fast fertig sind und welche noch im Wandel, unvollständig oder noch nicht begonnen sind
  • Es hat noch kein professionelles Lektorat durchlaufen, und die vollständige Fertigstellung ist für Ende 2027 geplant
  • Am besten für die Ansicht auf Desktop- und Laptop-Computern geeignet; auf dem iPad Mini mit iOS 12.5.7 und auf Mobiltelefonen kann es zu Darstellungsproblemen kommen

Umfang des Webbuchs und Stand der Arbeit

  • The Lost Art of Logarithms ist ein Webbuch, an dem Charles Petzold derzeit schreibt
  • Es behandelt Logarithmen nicht nur als mathematisches Konzept, sondern als Werkzeug für das Rechnen und für die Wissenschaftsgeschichte insgesamt
    • was Logarithmen sind
    • ihre Nützlichkeit, Geschichte und Universalität
    • die historische Verwendung von Logarithmen in der ebenen und sphärischen Trigonometrie
    • Theorie und praktische Nutzung des Rechenschiebers
  • Die Farbe der Kapitelüberschriften zeigt die aktuelle Bearbeitungsphase an
    • Grün: nahezu abgeschlossen; große Änderungen sind nicht zu erwarten, aber kleinere Bearbeitungen, Korrekturen und gestalterische Anpassungen sind möglich
    • Rot: unvollständig und derzeit noch in Veränderung
    • Schwarz: noch nicht begonnen
  • Ein professionelles Lektorat hat bislang noch nicht stattgefunden, und die Fertigstellung wird für Ende 2027 erwartet

Anzeigeumgebung und Aufbau des Inhaltsverzeichnisses

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1 Kommentare

 
GN⁺ 2025-03-14
Hacker-News-Kommentare

  • Logarithmen verstand ich viel besser, als ich ihrer ursprünglichen Motivation nachging, statt der Art, wie man sie in der Grund- und Sekundarstufe lernt.
    Wenn man an das Problem denkt, vor dem Napier stand – die Multiplikation großer astronomischer Beobachtungswerte zu vereinfachen –, und daran, dass er dafür eine Funktion der Form f(ab) = f(a) + f(b) suchte, sowie daran, warum das zu bestimmten Funktionsfamilien führt, wird viel greifbarer, warum Logarithmen überall auftauchen.
    Das steht im Kontrast zur Vermittlung als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion; tatsächlich gab es solche Betrachtungen erst ab Euler.
    Ich finde, Mathematik auf diese Weise zu lernen, macht mehr Spaß: Man verfolgt, welches Problem der ursprüngliche Autor lösen wollte und welche Werkzeuge damals zur Verfügung standen.

    • Toeplitz’ „Calculus: The Genetic Approach“ erklärt Mathematik anhand ihrer historischen Entwicklung, und dieser Ansatz scheint auch allgemeiner als https://en.wikipedia.org/wiki/Genetic_method verbreitet zu sein.
      Felix Klein sagte ebenfalls, dass „der Lernende im Kleinen auf natürliche und notwendige Weise die Entwicklung wiederholen muss, die die Wissenschaft im Großen durchlaufen hat“.
    • Wenn einem dieser Ansatz gefällt, empfehle ich nachdrücklich Kolmogorovs Mathematics: It's Content, Methods, and Meaning.
      Das Buch wendet dieselbe Methode auf viel mehr Konzepte der Mathematik an und umfasst etwa 1.000 Seiten.
      Ich glaube, ich habe auch von diesem Buch wahrscheinlich hier erfahren, also gebe ich es nun gewissermaßen weiter.
      Dieser Ansatz hatte auch Berührungspunkte mit der sowjetischen Philosophie des dialektischen Materialismus, nach der alles aus materiellen Bedürfnissen entsteht.
      Ich weiß nicht, ob ich dieser Philosophie insgesamt vollständig zustimme, aber Kolmogorovs Buch war wirklich augenöffnend.
    • Ich finde, dieser Ansatz sollte im Vordergrund stehen.
      In diesem Sinne schlage ich „magnitude notation“[0] vor. Das Wort „logarithm“ klingt nach höherer Mathematik und schreckt Leute ab, dabei macht das Grundkonzept Mathematik eigentlich einfacher und interessanter.
      https://saul.pw/mag
    • Ich denke oft darüber nach.
      Der Mathematikunterricht scheint dazu zu neigen, Menschen wie Euler anzuziehen: sehr kluge, abstrakt denkende Leute, die nicht über Rechenverfahren, sondern über Intuition verstehen.
      Andere müssen erst eine Weile im ursprünglichen Problem herumschwimmen, bevor ihnen ein Licht aufgeht.
    • Mir gefällt dagegen die direkte Erklärung besser, dass der Logarithmus die Umkehrfunktion der Potenzierung ist.
      10^2 * 10^3 = 10^5 versteht man dadurch automatisch, was intuitiver ist.
      Deshalb ergibt Addition bei der Verwendung von Logarithmentafeln Sinn. Ein langer Text war dafür nicht nötig.
      Man nimmt den Logarithmus, addiert 2 + 3 = 5 und potenziert dann wieder zurück zu 10^5.

  • Gutes Timing. Erst gestern habe ich gelernt, wie man einen Rechenschieber benutzt.
    Als ich einen kaufen wollte, gab es so viele Optionen, dass ich in einen kleinen Kaninchenbau[0] geraten bin; manche Rechenschieber sahen aus wie reine Kunstwerke.
    In einer Zeit, in der alle Interfaces Glasplatten sind, entdecke ich gerade die unerwarteten Vorteile analoger Werkzeuge wieder.
    In letzter Zeit macht es mir Spaß, Stift und Papier beim ersten Entwurf von Coding-Projekten wie einen Editor zu verwenden.
    Mich würde interessieren, ob ihr bestimmte analoge Werkzeuge besonders mögt.
    [0]:https://sliderulemuseum.com/

    • Beim Besuch von Mathevorlesungen denke ich manchmal darüber nach, mir solche analogen Werkzeuge zuzulegen.
      Jemand auf Hacker News hat mein Interesse am Soroban[1], dem japanischen Abakus, geweckt; er wird bis heute genutzt, um enorme Kopfrechengeschwindigkeit zu trainieren[2].
      1. https://en.wikipedia.org/wiki/Soroban
      2. https://www.youtube.com/watch?v=s6OmqXCsYt8
    • Ich habe mehrere Rechenschieber und benutze sie täglich.
      Besonders in der Küche, wo man oft Verhältnisse anpasst, sind sie das bestmögliche Werkzeug.
      Wenn man sie auf den gewünschten Skalierungsfaktor einstellt, kann man jedes benötigte Verhältnis im Handumdrehen ablesen.
      Ehrlich gesagt überrascht es mich, dass sie nicht zur Standardausstattung einer Küche gehören.
    • Soroban. Das ist ein japanischer Abakus.
      Jede Zahl hat genau eine Darstellung, und + - * / sowie andere Berechnungen sind möglich.
      http://totton.idirect.com/
    • Ich benutze Stift/Bleistift und Punktrasterpapier. Das öffnet einen völlig anderen Denkraum.
    • Wo bekommt man den 1-Meter-Rechenschieber, den der Mann auf dem Foto im Originalartikel in der Hand hält?

  • Interessant ist, warum Daten nach einer Log-Transformation oft wie normalverteilt aussehen.
    Naturgesetze haben meist eine multiplikative Form, etwa F=ma oder PV=nRT.
    Multipliziert man unabhängige, identisch verteilte Zufallsvariablen, entstehen dank des zentralen Grenzwertsatzes lognormalverteilte Daten. Denn auf der Log-Skala wird Multiplikation zu Addition, und der zentrale Grenzwertsatz ist bis zu einem gewissen Grad auch dann robust, wenn die Variablen nicht identisch verteilt sind.
    Wenn man Daten als Ergebnis mehrerer miteinander multiplizierter Einflussfaktoren betrachtet, ergibt sich deshalb eine Lognormalverteilung.

    • Der zentrale Grenzwertsatz verlangt keine unabhängigen, identisch verteilten Variablen.
      Es reicht, dass sie unabhängig sind, eine Varianz besitzen und einige recht schwache Bedingungen für etwas höhere Momente erfüllen.
      Ansonsten dürfen sich die Variablen ziemlich stark voneinander unterscheiden.
    • Wenn man mit einem dicken Marker auf einer Log-Log-Skala zeichnet, sind alle Daten linear.

  • Es gibt eine Tatsache über Logarithmen, die ich oft genutzt habe:
    Wenn X eine Zufallsvariable ist, die einer Gleichverteilung zwischen 0 und 1 folgt, dann hat –ln(X)/λ eine Exponentialverteilung mit Rate λ.
    Das ist zum Beispiel nützlich, wenn man gewichtete Zufallsstichproben zieht oder in Simulationen Ereigniszeiten erzeugt.

    • Die Verallgemeinerung davon nennt man Inverse-Transform-Sampling[0].
      Sie nutzt die Tatsache, dass für die kumulative Verteilungsfunktion F einer beliebigen Zufallsvariable X die Zufallsvariable Y = F(X) einer Standard-Gleichverteilung[1] folgt.
      Jede kumulative Verteilungsfunktion ist auf dem Einheitsintervall monoton steigend, daher ist eine Umkehrfunktion möglich[2].
      Wendet man also auf beide Seiten der obigen Gleichung die inverse kumulative Verteilungsfunktion an, erhält man F^-1(Y) = X, was wie X verteilt ist.
      Aus einer Standard-Gleichverteilung Stichproben zu ziehen und anschließend die inverse Transformation zu verwenden, ist die gängigste Methode, um Zufallszahlen aus einer beliebigen Verteilung zu erzeugen.
      0. https://en.m.wikipedia.org/wiki/Inverse_transform_sampling
      1. https://en.m.wikipedia.org/wiki/Probability_integral_transfo...
      2. Nicht jede kumulative Verteilungsfunktion ist injektiv, daher kann eine verallgemeinerte Umkehrfunktion nötig sein.
    • Wie viel Mathematik muss man lernen, um das zu verstehen?
    • Es gibt auch eine Möglichkeit, das ohne kumulative Verteilungsfunktion oder Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion zu verstehen.
      Wenn X eine exponentialverteilte Variable ist und c eine Konstante, dann hat X + c, unter der Bedingung, dass man große Werte betrachtet, dieselbe Verteilung wie X.
      Anders gesagt: Die beiden Variablen haben dieselbe Tail-Verteilung. Diese Eigenschaft gilt für die Exponentialverteilung exakt und wird oft Gedächtnislosigkeit genannt.
      Ähnlich gilt: Wenn U gleichverteilt auf [0, 1] ist und c eine Konstante, dann hat cU, unter der Bedingung, dass man kleine Werte betrachtet, dieselbe Verteilung wie U.
      Wenn cU in der Nähe von 0 wie U verteilt ist, dann ist -ln(c U) in der Nähe von unendlich wie -ln(U) verteilt.
      Da aber -ln(c U) = -ln(c) - ln(U) gilt, ändert sich der Tail von -ln(U) nicht, wenn man eine Konstante addiert. Also muss es eine Exponentialverteilung sein.

  • In einigen Projekten haben wir angefangen, LMAX Disruptor zu verwenden.
    Eine Besonderheit des Disruptor ist, dass die Queue-Größe immer eine Zweierpotenz sein muss.
    Ich wollte sicherstellen, dass für jede gewünschte Größe mindestens genügend Platz vorhanden ist, und wollte das nicht manuell ausrechnen, also schrieb ich:
    var actualSize = Double.valueOf(Math.pow(2, Math.ceil(Math.log(approxSize) / Math.log(2)))).intValue();
    Für eine einzige Zeile ist das etwas übertrieben, aber es nutzt nur grundlegende Logarithmenregeln, um den richtigen Exponenten zu erhalten.
    Das ist Stoff aus der Highschool, aber einige Kollegen sahen es so, als würde ich beispiellose, mysteriöse Mathematik verwenden.
    Vermutlich verwenden sie Logarithmen außerhalb der Big-O-Notation gar nicht.

    • Natürlich kann man das so völlig ausreichend verwenden, aber ich würde es wohl so schreiben:
      var actualSize = Integer.highestOneBit(approxSize - 1) << 1;
      Nur um den Schrecken zu vermeiden, der unter den unschuldigen pow() und log() lauert.
      Integer.highestOneBit wird auch als „linkestes Bit isolieren“ oder „höchstwertige 1“ bezeichnet und sollte für eine effiziente Implementierung im Grunde eine primitive Operation sein.
      Das ist nicht dasselbe wie x&-x für das niederwertigste Bit.
      Die tatsächliche CPU-Instruktion liegt meist näher an Integer.numberOfLeadingZeros, aber von dort aus braucht man nur noch einen Bit-Shift.
    • Wenn man die Größe jeweils um 1 Bit nach rechts schiebt und zählt, bis der Wert 0 wird, erhält man den Zweierexponenten für diese Größe.

  • Ich empfehle sehr, ein paar Logarithmen auswendig zu lernen, um sie für Kopfrechnen zu nutzen.
    Dadurch bekommt man unerwartete Fähigkeiten.
    Der Text, mit dem ich begonnen habe, ist hier: https://entropicthoughts.com/learning-some-logarithms

    • Der Blog ist gut.
      Interessanterweise ist auch Gedächtnisverfall selbst im Kern logarithmisch/exponentiell.
      Logarithmen mit Spaced Repetition zu lernen, ist ziemlich meta.
    • Ich frage mich, welche Erkenntnisse es nach einem Jahr tatsächlicher Anwendung seit diesem Beitrag gab.
      Nebenbei: Dieser Blog ist wirklich einer meiner Lieblingsblogs.

  • Auch logarithmisches Differenzieren ist ein überraschend grundlegendes Konzept.
    (ln(f))' = f'/f
    In der Funktionentheorie verwendet man es ständig, aber vielen fällt gar nicht auf, dass es mit Logarithmen zusammenhängt.
    Die Funktionen, bei denen logarithmisches Differenzieren schön aufgeht, sind ebenfalls viel interessanter, als man erwarten würde.
    Die Natur ist voll von Gompertz-Funktionen, und sobald man sich daran gewöhnt hat, sieht man sie überall.

  • Früher hatte es praktischen Wert, im Kopf grundlegende Logarithmen-Approximationen durchführen zu können.
    In Zeiten ohne Taschenrechner erledigte man so schnelle Multiplikation, Division oder Potenzierung.
    In Feynmans „Surely You're Joking“ gibt es eine Geschichte darüber, wie Wissenschaftler in Los Alamos Wettkämpfe im schnellen Kopfrechnen mit Logarithmen veranstalteten.

  • Der Vater der Logarithmen, John Napier – also das N in ln –, ließ fast eine menschliche Rechnerwerkstatt laufen und ungefähr 20 Jahre lang Logarithmentafeln erstellen.
    Das war für die astronomische Navigation sehr wichtig.
    Es gab eine hohe Belohnung für die Person, die eine Methode entwickelte, sicher über das Meer zu navigieren, und das führte auch zur Erfindung der Taschenuhr.

    • Steht das n in ln nicht für „natural“, also „logarithm natural“?

  • In einem Kurs, den Huffman, bekannt durch die Huffman-Kompression, unterrichtete, lernte ich, wie man mit Addition und Lookup-Tabellen multipliziert.
    In der Prüfung durften wir keine Taschenrechner benutzen.
    Mein Lieblingstrick ist aber die Basisumrechnung: https://www.khanacademy.org/math/algebra2/x2ec2f6f830c9fb89:...
    Mit etwas Übung kann man im Kopf näherungsweise zwischen Zweierpotenzen, Zehnerpotenzen und e umrechnen.