Mit vier Zweien jede ganze Zahl bilden

 (eli.thegreenplace.net)
1 Punkte von GN⁺ 2025-02-24 | 1 Kommentare | Auf WhatsApp teilen

Mit vier Zweien jede ganze Zahl bilden

  • Einführung in das Mathematikrätsel

    • Gegeben sind vier Ziffern 2 und eine Ziel-Naturzahl; das Rätsel besteht darin, die Zielzahl ohne andere Ziffern, aber mit verschiedenen mathematischen Operationen zu bilden.
    • Beispiele, die sogar Grundschulkinder lösen können:
      • 1 = (2+2) / (2+2)
      • 2 = (2/2) + (2/2)
      • 3 = 2×2 - (2/2)
      • 4 = 2 + 2 + 2 - 2
      • 5 = 2×2 + (2/2)
      • 6 = 2×2×2 - 2

  • Mathematik auf Mittelschulniveau

    • Wenn man Exponenten und Fakultäten lernt, erweitert sich der Bereich:
      • 18 = 2^(2^2) + 2
      • 28 = (2+2)! + 2 + 2
      • 256 = (2+2)^(2+2)
      • 65536 = 2^(2^(2^2))

  • Fortgeschrittene mathematische Tricks

    • Man kann verschiedene Tricks verwenden, etwa 22 als zwei Zweien zu zählen:
      • 26 = 22 + 2 + 2
      • 11 = 22 / √(2+2)
      • 444 = 222×2

  • Einsatz fortgeschrittener mathematischer Werkzeuge

    • Mit fortgeschrittenen mathematischen Werkzeugen wie der Gammafunktion lässt sich 7 leicht bilden:
      • 7 = Γ(2) + 2 + 2 + 2

  • Komplexe Zahlen und höhere Mathematik

    • Beispiel mit komplexen Zahlen:
      • 12 = |2 + 2√(-2)|^2

  • Paul Diracs allgemeine Lösung

    • Paul Dirac fand eine allgemeine Lösung für alle Zahlen.
    • Mit verschachtelten Quadratwurzeln lassen sich alle Zahlen darstellen:
      • √2 = 2^(1/2) = 2^(2^-1)
      • √√2 = 2^(1/4) = 2^(2^-2)
      • √√√2 = 2^(1/8) = 2^(2^-3)

  • Allgemeine Formel

    • n = -log_2(log_2(√√...√2))
    • Diese Formel verwendet drei Zweien, kann aber mit 2 = √(2+2) auf vier angepasst werden:
      • n = -log_√(2+2)(log_2(√√...√2))

  • Eine Lösung im Sinne der Rätselregeln

    • Diese Methode entspricht den Regeln des Rätsels und kann alle Zahlen darstellen.
    • Zum Beispiel eine weitere Darstellung von 7:
      • 7 = -log_√(2+2)(log_2(√√√√√√√2))

  • Weiterführende Quelle

    • Diese Geschichte stammt aus Graham Farmelos Buch The Strangest Man: The Hidden Life of Paul Dirac, Quantum Genius.

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1 Kommentare

 
GN⁺ 2025-02-24
Hacker-News-Kommentare

  • Wenn man die Verwendung von Funktionen erlaubt, hat man das Gefühl, dass der Geist des Spiels verloren geht

    • Zum Beispiel ist die Gammafunktion gleich (n-1)!
    • Damit kann man mit vier Zweien und einer Eins die 7 bilden
    • Wenn man Zahlen in Funktionsaufrufen verstecken kann, ist es immer leicht, erfolgreich zu sein

  • Wenn man mathematische Operationen verwenden darf

    • lässt es sich durch die anschließende Verwendung von Funktionen leicht lösen
    • Beispiel: S(n) = n+1
      • 6 = 2*2*2-2
      • 7 = S(2*2*2-2)
      • 8 = S(S(2*2*2-2))

  • Donald Knuth schrieb im Alter von 26 Jahren 1964 den Text "Representing numbers using only one 4"

    • Dabei werden die einzelne Ziffer 4 und drei Operationen verwendet (√x, ⌊x⌋, x!)
    • Er endet mit der ungelösten Vermutung, ob sich auf diese Weise alle ganzen Zahlen darstellen lassen
    • Im Anhang wird außerdem die 1962 von J. H. Conway und M. J. T. Guy verfasste Arbeit "π in Four 4's" erwähnt

  • Es wirkt wie eine merkwürdige Entscheidung, sqrt(2*2) oder sqrt(2^2) statt sqrt(2+2) zu schreiben

    • Dadurch wird unnötigerweise verborgen, dass 2=sqrt(2+2) gilt

  • Ich bevorzuge Kürze

    • Ich habe eine Stack-Maschine mit Ein-Zeichen-Befehlen gebaut
    • Es durften nur die Ziffern 0 bis 9 verwendet werden
    • Um die Zahl 23 darzustellen, musste man etwas wie 45*3+ verwenden
    • Man musste das Problem lösen, jede ganze Zahl mit der kleinsten Zahl von Zeichen zu kodieren

  • Das erinnert mich an das Mobile Game Tchisla

    • Man muss mit vorgegebenen Zahlen und nur wenigen Operatoren Zahlen bis maximal 1000 (oder 10000) bilden
    • Es macht sehr viel Spaß und führt dazu, dass man Strategien entwickelt
    • Die UX ist einfach und effizient
    • Es ist extrem zeitaufwendig

  • Es gibt ein kleines Problem mit der Verwendung von drei Zweien

    • Die Wurzelschreibweise versteckt den Exponenten 1/2
    • Es gibt viele versteckte Zweien

  • Es gibt das klassische Spiel "four fours"

    • Ich habe als Kind im Buch "The Man Who Counted" davon erfahren

  • Die Verwendung der Quadratwurzel einer beliebigen Zahl wirkt fast wie Schummeln

    • Die Quadratwurzel ist im Grunde nur ein weiteres Symbol für "2"

  • Meiner Meinung nach ist es wirklich schwierig, die 7 zu definieren

    • 7 = 2/2 + 2 + 2 + 2