Mit vier Zweien jede ganze Zahl bilden

Das Rätsel, mit nur viermal der Ziffer 2 eine Zielzahl zu bilden, erweitert den darstellbaren Bereich stark, je mehr mathematische Operationen erlaubt sind
Mit den vier Grundrechenarten lassen sich 1 bis 6 bilden; fügt man Exponenten, Fakultät und Quadratwurzel hinzu, sind auch Werte wie 18, 28, 256 und 65536 darstellbar
Wenn man die Schreibweise 22 als zwei Zweien zählt und zusätzlich die Gammafunktion, Integrale, periodische Dezimalzahlen, den Kombinationsoperator und sogar komplexe Zahlen erlaubt, werden die Lösungen deutlich vielfältiger
Paul Diracs allgemeine Lösung bildet mit verschachtelten Quadratwurzeln und dem Logarithmus zur Basis 2 jede beliebige natürliche Zahl n; n ist dabei keine in der Formel verwendete Zahl, sondern die Anzahl der Quadratwurzel-Wiederholungen
Die ursprüngliche allgemeine Formel verwendet die Zahl 2 nur dreimal, aber wenn man eine 2 durch √(2+2) ersetzt, erhält man eine Form mit genau vier Zweien

Wie sich das Vier-Zweien-Rätsel erweitert

Die Regel besteht darin, mit genau viermal der Ziffer 2 und mathematischen Operationen eine Ziel-Naturzahl zu bilden
Schon mit den Grundrechenarten auf Grundschulniveau lassen sich kleine Zahlen direkt bilden
- 1 = (2+2)/(2+2)
- 2 = 2/2 + 2/2
- 3 = 2·2 - 2/2
- 4 = 2+2+2-2
- 5 = 2·2 + 2/2
- 6 = 2·2·2 - 2
Wenn Exponenten und Fakultät erlaubt sind, wächst der darstellbare Bereich stark
- 18 = 2^(2^2) + 2
- 28 = (2+2)! + 2 + 2
- 256 = (2+2)^(2+2)
- 65536 = 2^(2^(2^2))
Auch die Schreibweise, 22 als zwei Zweien zu zählen, kann verwendet werden
- 26 = 22 + 2 + 2
- 11 = 22 / √(2+2)
- 444 = 222 · 2
Die 7 gilt als schwer darstellbar, aber wenn man die Gammafunktion zulässt, ergibt sich 7 = Γ(2) + 2 + 2 + 2
Mit einem noch breiteren Werkzeugkasten gibt es wie im Math StackExchange thread auch Lösungen mit Integralen, periodischen Dezimalzahlen und dem Kombinationsoperator
Ein Beispiel mit komplexen Zahlen ist 12 = |2 + 2√(-2)|²

Schon Mathematiker in den 1920er Jahren hatten Freude an diesem Rätsel, und Paul Dirac fand eine allgemeine Lösung für alle Zahlen
Der Kern besteht darin, auf die 2 wiederholt die Quadratwurzel anzuwenden
- √2 = 2^(1/2) = 2^(2^-1)
- √√2 = 2^(1/4) = 2^(2^-2)
- √√√2 = 2^(1/8) = 2^(2^-3)
Wendet man die Quadratwurzel n-mal an, erhält man die Form √√...√2 = 2^(2^-n)
Wendet man darauf zweimal den Logarithmus zur Basis 2 an, erhält man -n
- log₂(2^(2^-n)) = 2^-n
- log₂(log₂(2^(2^-n))) = -n
Daraus ergibt sich die allgemeine Formel
- n = -log₂(log₂(√√...√2))
- Dabei wird die Quadratwurzel n-mal wiederholt
Da diese Formel die Zahl 2 nur dreimal verwendet, kann man die 2 in der Basis durch √(2+2) ersetzen, um genau vier Zweien zu verwenden
- n = -log_{√(2+2)}(log₂(√√...√2))
Zum Beispiel lässt sich 7 ausdrücken, indem man die Quadratwurzel siebenmal verschachtelt
- 7 = -log_{√(2+2)}(log₂(√√√√√√√2))
In dieser Methode ist n keine Zahl, die direkt in der Formel auftaucht, sondern ein Wert, der die Anzahl der Quadratwurzel-Wiederholungen zählt; die verbleibende Aufgabe besteht darin, so viele Quadratwurzelzeichen zu zeichnen, wie benötigt werden