J. Kenji López-Alts Lösung für das Zwiebelproblem (2021)

• Die mathematische Modellierung des Problems des radialen Schneidens, um Zwiebeln in gleich große Stücke zu schneiden, ergibt, dass die Messerspitze nicht auf den Kehrwert des Goldenen Schnitts 0.61803398875… zielen sollte, sondern auf einen Punkt 55,73066 % unterhalb des Radius
• Das Modell vereinfacht die Zwiebel zu einer halbkreisförmigen Scheibe mit Radius 1 und nimmt unendlich viele Schichten und unendlich viele Schnitte an, sodass sich das Problem mit kontinuierlicher Mathematik und mehrdimensionaler Analysis behandeln lässt
• Der Kern der Berechnung ist die Jacobi-Determinante, mit der die relative Fläche infinitesimal kleiner Stücke bestimmt wird; anschließend wird die Tiefe h gesucht, bei der die Varianz dieser Flächen minimal wird
• Wendet man in Mathematica numerische Integration und numerische Minimierung an, zeigt sich die minimale Varianz in der Nähe von h ≈ 0.55, und die „true onion constant“ wird zu 0.5573066…
• Dieser Wert gilt für eine idealisierte Zwiebel mit unendlich vielen Schichten; bei realen Zwiebeln mit endlich vielen Schichten kann die optimale Tiefe anders ausfallen

---

Das Problem beginnt mit dem Rat, auf 60 % unterhalb zu zielen

• In einem YouTube-Video von Chef Kenji López-Alt erzählt ein befreundeter Mathematiker, man solle beim Zwiebelschneiden radial auf einen Punkt unterhalb des Zentrums zielen, nämlich auf 60 % des Radius
• Dieser Wert wird als mit dem Kehrwert des Goldenen Schnitts 0.61803398875… verbunden vorgestellt
• Daraus entstand die Frage, warum beim tatsächlichen Schneiden einer Zwiebel gerade so ein Wert mathematisch herauskommt
• Nach zwei Monaten ohne größere Fortschritte wurden in zwei Tagen intensiver Rechnungen schließlich die Werte gefunden, die als „true onion constant“ bezeichnet werden

Ein berechenbares Zwiebelmodell

• Die Zwiebel wird zu einer halbkreisförmigen Scheibe mit Radius 1 vereinfacht, deren Mittelpunkt im Ursprung liegt und die in der oberen Halbebene liegt
  • Die tatsächliche 3D-Struktur und Schnittform einer realen Zwiebel bleiben unberücksichtigt
  • Diese Vereinfachung ist eine Näherung, die das Problem handhabbar macht
• Da die Anzahl der Schichten die Lösung beeinflusst, wird eine Zwiebel mit unendlich vielen Schichten angenommen
  • Bei einer einschichtigen Zwiebel ist es optimal, zum Zentrum hin zu schneiden
  • Bei einer Zwiebel mit zehn Schichten sollte man auf einen Punkt unterhalb des Zentrums zielen
  • Mit unendlich vielen Schichten lassen sich auch unendlich viele Schnitte natürlich mit einbeziehen
• Dadurch verlagert sich das Problem in den Bereich der kontinuierlichen Mathematik, sodass Analysis anwendbar wird

Die Gleichmäßigkeit der Stücke mit der Jacobi-Determinante messen

• Bei der gewöhnlichen Umrechnung in Polarkoordinaten wird die kleine Fläche dx dy zu r dr dθ, wobei r die Rolle der Jacobi-Determinante spielt
• Dieser Wert dient als Maß dafür, wie groß die infinitesimal kleinen Zwiebelstücke im Vergleich zueinander sind
  • Stücke nahe am Zentrum sind kleiner, weil r klein ist
  • Stücke nahe am Rand sind größer, weil r groß ist
• Die Gleichmäßigkeit der Stücke wird über die Varianz dieser infinitesimalen Flächengewichte gemessen
  • Ist die Varianz groß, sind die Stücke weniger gleichmäßig
  • Ist die Varianz klein, sind die Stücke gleichmäßiger
• Zuerst werden der mittlere Flächenfaktor und die Varianz für Schnitte zum Zentrum hin berechnet, danach wird für Schnitte, die auf einen Punkt unterhalb des Zentrums zielen, ein neues Koordinatensystem eingeführt

Ein Koordinatensystem, das auf einen Punkt unterhalb des Zentrums zielt

• Der Zielpunkt der Schnitte wird bei (0, -h) unterhalb des Ursprungs gesetzt, und dafür wird ein Koordinatensystem mit h > 0 definiert
• In diesem Koordinatensystem wird der Winkel θ von (0, -h) aus gemessen, während der Radius r vom Ursprung (0, 0) aus gemessen wird
  • Der radiale Anteil modelliert die Zwiebelschichten relativ zum Ursprung
  • Die Winkelrichtung modelliert, dass das Messer geradlinig in Richtung (0, -h) geführt wird
• Dieses Koordinatensystem funktioniert ohne Probleme nur in der oberen Halbebene, was hier genügt, da das gesamte Zwiebelmodell dort liegt
• Aufgrund der Symmetrie reicht es aus, nur die rechte Hälfte zu analysieren
  • Der Bereich ist 0 ≤ θ ≤ arctan(1/h)
  • Der Radiusbereich ist h tan(θ) ≤ r ≤ 1
• Mit dem Kosinussatz wird die Beziehung zwischen (x, y) und (r, θ) bestimmt, und daraus die Jacobi-Determinante für eine gegebene Tiefe h berechnet
• Auf dieser Grundlage werden der mittlere Flächenfaktor A(h) und die Varianz v(h) definiert

Rechenergebnis: die true onion constant

• Da sich v(h) von Hand nur sehr schwer oder gar nicht integrieren lässt, wird in Mathematica numerische Integration verwendet
• Trägt man die Varianz in Abhängigkeit von h auf, erscheint das Minimum in der Nähe von h = .55
• Die numerische Minimierung ergibt für die idealisierte Zwiebel mit unendlich vielen Schichten die „true onion constant“ 0.5573066…
• Für die gleichmäßigsten radialen Schnitte sollte das Messer also auf einen Punkt unterhalb des Zwiebelzentrums zielen, bei 55,73066 % des Radius
• Dieser Wert liegt nahe bei den im Video genannten 61.803 %, ist aber nicht identisch
• Bei realen Zwiebeln mit endlich vielen Schichten kann der Wert anders ausfallen
  • Bei einer Schicht ist die optimale Tiefe 0
  • Bei unendlich vielen Schichten ist sie 0.5573066…
  • Für eine Zwiebel mit zehn Schichten wird erwartet, dass die optimale Tiefe zwischen 0 und 0.5573066… liegt, wurde aber nicht näher untersucht

Späteres Update: geschlossene Form und Name

• Später wurde es möglich, v(h) in geschlossener Form zu berechnen
• Da man in der Analysis zur Minimierung einer Funktion ihre Ableitung gleich 0 setzt, wird v'(h) berechnet
• Im Intervall (0, 1) ist die einzige Nullstelle dieser Ableitung die Zwiebelkonstante
  • Dieser Punkt ist ein kritischer Punkt von v(h)
  • Das Vorzeichen von v'(h) wechselt dort von negativ zu positiv, also handelt es sich um ein Minimum
• Auf diese Weise lässt sich die Zwiebelkonstante mit beliebiger Genauigkeit berechnen; auch eine Dezimalentwicklung bis auf 1000 Stellen ist enthalten
• Als Name für diese mathematische Konstante wurde der hebräische Buchstabe samekh gewählt
  • Der Grund für die Wahl ist, dass der Buchstabe wie eine Zwiebel aussieht

[GN⁺]

Kommentare auf Hacker News

• Ich bin der Autor des Blogposts. Es freut mich, dass der Beitrag Interesse findet; die Folien, in denen ich die Problemstellung, die Mathematik und sogar dreidimensionale Zwiebeln behandle, habe ich hier abgelegt: https://drspoulsen.github.io/Onion_Marp/index.html
  Ein formales Manuskript mit den Details des Problems und der Lösung habe ich außerdem bei einem Journal für Unterhaltungsmathematik eingereicht, und Fragen beantworte ich gern.

  • Es wirkt, als nehme die Lösung an, dass alle Schnitte auf einen einzigen Punkt zielen müssen. Ich frage mich, ob ich übersehe, warum eine optimalere Lösung nicht darin bestehen könnte, die Zieltiefe h der Schnitte nach außen hin zu vergrößern.
  • Es geht darum, einen Kreis in der Ebene, genauer einen Halbkreis in der Ebene, zu lösen; dabei beschäftigt mich seit Langem ein Punkt im Zusammenhang mit Dimensionsreduktion.
    Einen Kreis kann man in Polarkoordinaten leicht in gleiche Bögen aufteilen, etwa 120 Bögen zu je 3 Grad. Dasselbe auf einer Kugeloberfläche mit Kugelkoordinaten zu tun, ist dagegen miserabel, und nach meinem Verständnis ist ein ähnlicher Effekt, die Kugeloberfläche mit ein und derselben Form zu kacheln, unmöglich.
    Das Problem kam mir in den Sinn, als ich über ein Koordinatensystem nachdachte, bei dem jedes „Quadrat“ auf einer Karte trotz Verzerrung auf der Kugel denselben Flächeninhalt hat. Es scheint auch damit zusammenzuhängen, inwieweit das zweidimensionale Analogon des Zwiebelproblems die ursprüngliche dreidimensionale Frage beantwortet.
  • Es wäre interessant, umgekehrt ein Modell zu konstruieren, bei dem die Antwort 1/φ wird. Mit einem nichtuniformen Maß auf der Zwiebel scheint das möglich zu sein, und ich frage mich, wie es aussieht, wenn man die Zwiebel als Halbkugel betrachtet. Beim Kochen ist in Wirklichkeit allerdings vor allem die Dicke wichtig.

• Ich frage mich, warum man eine halbe Zwiebel als „Hälfte einer Kreisscheibe mit Radius 1“ modelliert. Eine halbe Zwiebel ähnelt eher einer Halbkugel; ich weiß nicht, warum man erwarten sollte, dass die Lösung dieselbe ist.
  Wenn man die beiden Enden der Zwiebel betrachtet, also die äußeren Querschnitte nahe dem Absatz und der Spitze des Messers, schneidet man zu den Enden hin immer senkrechter. In dem Maß, in dem die Außenseite senkrecht geschnitten wird, müsste man den mittleren Querschnitt wohl etwas flacher schneiden; deshalb halte ich es vermutlich für falsch, das eine echte Zwiebelkonstante zu nennen.

  • Die Lösung kommt weiter hinten im Artikel. Die zentrale Einsicht stammt aus der Jacobi-Determinante, und die Struktur ist keine uniforme Halbkreisscheibe, sondern eine, bei der Punkte mit größerem Abstand von der Y-Achse stärker gewichtet werden.
    Man kann es sich so vorstellen, als wollte man aus einer mit Farbe bemalten Form jeweils dieselbe Menge Tinte einsammeln. Anders als bei einer uniformen Scheibe ist die gewichtete Scheibe im Artikel oben und unten dunkler und in der Mitte heller; tatsächlich ändert sich die Schattierung allmählich, nicht in Streifen wie in der ASCII-Grafik.
  • Außerdem wird ignoriert, dass die Zwiebelschichten viel dünner werden, je weiter sie vom Zentrum entfernt sind. Deshalb halte ich diese Analyse selbst bei einer perfekt symmetrischen Zwiebel für ziemlich daneben.
  • Auch wenn eine Zwiebel nicht perfekt symmetrisch ist, kann man sie als Struktur betrachten, die entlang einer einzelnen Achse oder Linie durch die Mitte optimal wächst oder radial verläuft. Steckt man einen Zahnstocher in eine Kugel und nimmt ihn als Achse, dann ergeben Schnitte senkrecht zu dieser Achse in der Kugel Kreise; bei einer halben Zwiebel ergeben sie Halbkreisscheiben.
    Ich persönlich bin faul und schneide eine halbe Zwiebel senkrecht zur Achse; radiale Schnitte für mehr Gleichmäßigkeit mache ich nicht.
  • Ich dachte kurz, das „Zwiebelproblem“ sei ein schwieriges Problem aus Topologie oder Gruppentheorie, bis ich die Verbindung herstellte, dass Kenji Lopez-Alt kein Mathematiker, sondern Koch ist.
  • Ich habe ähnliche Bedenken. Eine Zwiebel scheint eher ein bauchiger Zylinder zu sein, bei dem die Schichtdicke stärker zur Mitte hin konzentriert ist, und jede Schicht reicht von der Wurzel bis zum Stiel.

• Umgekehrt betont der Food-YouTuber Adam Ragusea sehr deutlich, dass Heterogenität wichtig ist. Eine Optimierung auf Gleichmäßigkeit ist nicht unbedingt immer die beste Strategie.
  https://www.youtube.com/watch?v=5cWRCldqrxM

  • Wie Ragusea bevorzuge ich es, wenn jeder Bissen ein wenig neu und anders ist.
    Ein Tipp für Caesar Salad: Legt einen Beutel mit Croutons flach auf den Tisch und zerdrückt ihn wiederholt mit dem Boden einer Pfanne. So entsteht eine Mischung aus Croutonstücken verschiedener Größe, kieselartigen Bröseln und Pulver. Seit ich das in einem gehobenen Restaurant so gegessen habe, mache ich es immer so.
  • Adam hat im Grunde ein anderes Problem gelöst. Kenjis Punkt ist eine einfache Regel, die sich jeder merken und befolgen kann und die auch ohne große Präzision zu guten Schnitten führt.
    Diese Regel bringt einen nahe genug an die Gleichmäßigkeit von Zutaten wie Zwiebeln heran, die in den meisten Rezepten erwartet wird; Ragusea würde als Lösung für genau diese Problemstellung wahrscheinlich ebenfalls zustimmen.
  • Ich habe einmal gelesen, dass klassisch ausgebildete Köche großen Wert auf Konsistenz beim Schneiden legen. Adam Ragusea verwendet ziemlich viele nischige und eigenwillige Methoden, die nicht wirklich zur professionellen Praxis passen; so wie Bill Nye eher ein Wissenschaftsvermittler ist, ist er eher ein Kochvermittler als ein Profikoch.
  • Die Argumentation in diesem Video ist allerdings schwer zu widerlegen.
  • Es gibt nicht wirklich eine eindeutig richtige oder falsche Methode. Wenn man zu weit zu einem der Extreme geht, wird das Essen wahrscheinlich langweilig oder weniger gelungen.
    Allerdings haben sich viele von Raguseas Ansichten im Lauf der Zeit nicht so gut gehalten, und einige davon hat er selbst auch eingeräumt.

• Marco Pierre-White empfiehlt, Zwiebeln zu reiben; damit umgeht er das ganze Problem geschickt.
  Sozusagen zerreibt er den gordischen Knoten.
  https://youtu.be/glIUUrh6qtQ?t=40

  • Für Tomatensauce ergibt Reiben Sinn, aber ich würde es nicht zur Standardmethode für die Zwiebelvorbereitung machen wollen.
  • Das ist die MPW-Methode: https://www.youtube.com/watch?v=UBj9H6z6Uxw
    „Perfektion ist vieles Kleine, gut gemacht.“
  • Es umgeht das Problem, abgesehen davon, dass am Ende ein Reststück übrig bleibt, das man nicht reiben kann, ohne die Finger zu gefährden.
    Bei Knoblauch bevorzuge ich in vielen Rezepten das Zerdrücken. Dadurch entstehen gröbere Konturen, er verbindet sich besser mit dem Essen und wird beim Anbraten auch schön knusprig.
  • An dem Punkt könnte man ihn doch einfach in der Küchenmaschine zerkleinern, oder?
  • „Sie können die Zwiebel reiben oder auch nicht. Letztlich liegt die Entscheidung bei Ihnen.“

• Ich frage mich, ob es irgendwo eine schriftliche Erklärung des Problems gibt. Das Original scheint dem Video überlassen zu sein, und im Text werden offenbar nur eine in einem anderen Video vorgeschlagene Lösung und die neue Lösung behandelt, sodass ich nicht weiß, was eigentlich gelöst wird.

  • Das Problem besteht darin, eine Zwiebel so zu schneiden, dass die Abweichung bei Größe und Form der geschnittenen Stücke minimiert wird. Üblicherweise mit dem Ziel, dass die Stücke gleichmäßig garen.
  • Es geht darum, eine halbierte Zwiebel so zu schneiden, dass die Volumenvarianz der Stücke minimiert wird. Danach wird das Problem zu einer Schnittaufgabe vereinfacht, bei der die Varianz der Querschnittsflächen an der breitesten Stelle der Zwiebel minimiert wird.
  • Die Frage lautet: „Wie schneidet man eine kugelförmige Zwiebel mit gleichmäßigen Schichten in Stücke gleichen Volumens?“ Das ist weniger ein praktisches kulinarisches Problem als eher ein geometrisches Gedankenexperiment.
  • Schriftlich ist es nicht besonders gut erklärt. Es gibt nur Fragmente wie „die Stücke möglichst ähnlich halten“, „der Jacobi-Faktor r dr dθ misst die relative Größe infinitesimal kleiner Stücke“ und „die Varianz beschreibt die Gleichmäßigkeit der Stücke gut“.
  • Es geht um eine Methode, eine Zwiebel in ungefähr gleich große Stücke zu schneiden. Wenn man zur Mitte hin schneidet, werden die inneren Stücke viel kleiner als die äußeren.

• Ich bin überrascht, dass Kenji immer noch horizontale Schnitte macht. Wenn man vertikale Schnitte schräg ansetzt, wirken horizontale Schnitte für mich völlig überflüssig.
  Vor ein paar Jahren habe ich mir beim horizontalen Einschneiden einer Zwiebel auch einmal die Haut wie bei einer flap avulsion aufgerissen.

  • Noch seltsamer ist, dass die horizontalen Schnitte nach den vertikalen Schnitten gemacht werden. Tatsächlich machen das die meisten Köche so, die Zwiebeln würfeln, aber für mich fühlt es sich genau umgekehrt an.
    In eine intakte Zwiebelhälfte lassen sich horizontale Schnitte sicher und einfach setzen; nachdem sie bereits vertikal eingeschnitten wurde, ist es deutlich schwieriger.
  • Wenn man die horizontalen Schnitte nach unten angewinkelt setzt, lässt sich dieses Problem gut handhaben. Schließlich braucht man horizontale Schnitte hauptsächlich nur an der unteren Seite der Zwiebel.
  • Kenji sagt in seiner Erklärung, dass er die schrägen Schnitte in der Praxis nicht wirklich macht, es aber ein interessantes mathematisches Problem gewesen sei.
  • Es lohnt sich, in schnittfeste Handschuhe zu investieren. Für ein paar Dollar kann man sich viel verlorene Zeit ersparen, und sie lassen sich auch mit der Mandoline verwenden.
    Allerdings ist es vielleicht besser, zuerst einen Hotdog in den Fingerbereich zu stecken und sie zu testen.

• Überraschend, und ich habe mich wirklich gefreut, dass es für das Integral eine geschlossene Form gibt. Ich bin sehr neugierig, wie das im diskreten Fall aussehen würde, und es dürfte auch recht einfach sein, das als Simulation zu programmieren.

• Die Methode von Chef Jean-Pierre ist besser. Sie hält es einfach und zeigt auch, warum horizontale Schnitte wenig Sinn ergeben.
  [1] https://www.youtube.com/watch?v=QjZ1LFqNWRM&list=PLnujfCpADf...

  • Stimmt. Ich nutze diese Methode seit 15 Jahren und bereue es nicht. Erstaunlich, dass er immer noch Videos macht.

• In der gehobenen Küche gibt es auch ganz wörtlich das Konzept des perfekten Würfels. Dabei löst man die ganzen Schichten der Zwiebel ab, drückt sie flach wie ein Blatt und schneidet dann Rechtecke in einem Raster zu Würfeln.

  • https://www.youtube.com/watch?v=UBj9H6z6Uxw