- Die Finite-Elemente-Methode (FEM) entwickelte sich aus gitter-, dreieckigen Teilgebieten- und variationsbasierten Diskretisierungen der frühen 1940er Jahre und etablierte sich bis zu ihrem 80. Jubiläum im Jahr 2021 als zentrale Methode der Computertechnik
- FEM weitete sich über Material- und Strukturmechanik hinaus zur rechnerischen Grundlage für Strömungen, Wärmeleitung, Elektromagnetik, Halbleiterschaltungen und Chip-Design, additive Fertigung, medizinische Diagnostik und Operationsplanung sowie allgemein für mit PDE beschreibbare Probleme aus
- Es folgten Beiträge von Hrennikof, Courant, Argyris, Turner, Clough, Zienkiewicz, Kang Feng und anderen; 1960 prägte Clough den Namen Finite Element Method, womit sich der Begriff etablierte
- Von 1966 bis 1991 entwickelten sich Konvergenztheorie, gemischte Variationsprinzipien, Zeitintegration, Navier-Stokes-Lösungsverfahren, Netzerzeugung, nichtlineare Strukturmechanik, Fluid-Struktur-Interaktion, stochastische FEM und Kontaktanalyse weiter, wodurch sich FEM zu einem industriellen Simulationswerkzeug ausweitete
- Seit 1992 verschob sich der Fokus mit Fehlerabschätzung, hp FEM, X-FEM, phase-field fracture, isogeometric analysis, multiscale FEM, VEM, kommerzieller und Open-Source-Software sowie der Verbindung mit Machine Learning und Modellen reduzierter Ordnung hin zu Echtzeit- und datenbasiertem Rechnen
Umfang der FEM und Einteilung von 80 Jahren Entwicklung
- 2021 ist das 80. Jubiläumsjahr der Erfindung der finite element method (FEM)
- FEM hat sich als rechnerische Grundlage in folgenden Bereichen etabliert
- Material- und Strukturmechanik
- Strömungen und Wärmeleitung
- biologische Prozesse für medizinische Diagnostik und Operationsplanung
- Elektromagnetik
- Entwurf und Analyse von Halbleiterschaltungen und Chips
- additive Fertigung
- der gesamte Bereich von Problemen, die sich durch partielle Differentialgleichungen (PDE) beschreiben lassen
- FEM hat wissenschaftliche Modellierung und technische Entwurfsverfahren für Automobile, Flugzeuge, Offshore-Strukturen, Brücken, Autobahnen und Hochhäuser grundlegend verändert
- Mit der Entwicklung der FEM wuchs auch das ingenieurwissenschaftliche Feld computational mechanics beziehungsweise computational science and engineering
- Die Entwicklungsgeschichte wird in vier Perioden unterteilt
- 1941–1965: Frühphase
- 1966–1991: goldenes Zeitalter
- 1992–2017: großskalige industrielle Anwendungen und Fortschritte in der Materialmodellierung
- seit 2018: aktuelle und zukünftige moderne FEM-Technologien
- Der Schwerpunkt liegt vor allem auf Anwendungen in der Festkörper- und Strukturmechanik und den damit verbundenen Entwicklungen; Strömungsmechanik, Wärmeübertragung und Fluid-Struktur-Interaktion werden nur begrenzt behandelt
- Die Entwicklung der FEM ist über viele Perioden hinweg verflochten und lässt sich daher nicht leicht streng chronologisch ordnen
1941–1965: Gitter, Variationsmethoden und das Aufkommen dreieckiger Elemente
- Der Ursprung des numerischen Modellierungsparadigmas der FEM reicht in die frühen 1940er Jahre zurück
- 1941 veröffentlichte A. Hrennikof von der University of British Columbia eine Arbeit, in der membrane and plate model mithilfe eines lattice framework behandelt wurden
- Das Lösungsgebiet wurde als Netz einer lattice structure diskretisiert
- Diese Arbeit ist eine frühe Form der mesh discretization
- Im selben Jahr veröffentlichte R. Courant ein Verfahren zur numerischen Behandlung der aus dem Saint-Venant-Problem der Zylindertorsion entstehenden PDE zweiter Ordnung mit Variationsmethoden
- Dabei wurden trial function auf endlichen dreieckigen Teilgebieten und die Rayleigh-Ritz-Methode systematisch eingesetzt
- Diese Darstellung wurde 1943 als Fachaufsatz publiziert
- Auch in den Arbeiten von McHenry, Prager and Synge sowie Synge and Rheinboldt finden sich ähnliche Diskretisierungen und Variationsformulierungen
- Anfang der 1950er Jahre entwickelten mehrere Ingenieure und Wissenschaftler diese frühen Ansätze weiter und begannen, reale Probleme aus Luftfahrt- und Bauingenieurwesen zu lösen
- J.H. Argyris und M.J. Turner verfolgten parallel unterschiedliche Schwerpunkte in der Entwicklung; zu Turner stießen R.W. Clough und H.C. Martin hinzu
- Die von ihnen entwickelte Methode ist heute als frühe Form der FEM bekannt
- Damals wurde sie Matrix Stiffness Method genannt
- R.W. Clough prägte in einem 1960 vorgestellten Fachaufsatz den Ausdruck Finite Element Method, und dieser Name wurde schnell übernommen
- Turner, Clough, Martin und Topp entwickelten FEM-Interpolanten für triangular elements, die für Strukturbauteile beliebiger Form geeignet waren
- Die Erfindung des triangle element wird aus manchen Blickwinkeln als „quantum leap“ bezeichnet
- In vielen Ingenieur-Communities gilt die Arbeit von Turner et al. aus dem Jahr 1956 als Ausgangspunkt der FEM
Berkeley, Boeing, Norfork Dam und die frühe Verbreitung
- M. Jon Turner von Boeing benötigte eine verlässliche Methode, um vorab beurteilen zu können, ob ein Flugzeugentwurf den realen Spannungen standhalten würde, und lud Ray Clough und Harold Martin zu sommerlichen faculty internships bei Boeing ein
- Die Zusammenarbeit von Turner, Clough und Martin führte zu einer Methode der Strukturanalyse, mit der sich durch umfangreiche Computerberechnungen die reale Leistungsfähigkeit vorhersagen ließ
- Clough baute an der UC Berkeley eine FEM-Forschungsgruppe auf und nutzte FEM für verschiedenste Analysen und Experimente
- Auslegung von Gebäuden und Bauwerken gegen Kernexplosionen oder Erdbeben
- Analyse struktureller Anforderungen von Raumfahrzeugen
- Analyse von Tiefsee-Offshore-Bohrstrukturen
- Im Herbst 1957 hängte Clough einen Aushang aus, in dem er Studierende suchte, die sich für finite element research zur Analyse von membrane, plate, shell und solid structures interessierten
- Damals gab es keine Forschungsförderung, doch Graduiertenstudierende mit anderen Finanzierungsquellen meldeten sich
- Der frühe digitale Computer in Berkeley war der 1951 produzierte, auf Elektronenröhren basierende IBM 701; die maximal lösbare Zahl linearer Gleichungen lag bei 40
- 1959 wurde auf dem Berkeley Campus ein IBM 704 installiert
- Er verfügte über 32K 32-bit memory und eine floating-point arithmetic unit, die etwa 100-mal schneller war als die des IBM 701
- Dadurch wurde es möglich, praktische Strukturen mit feinen Netzen zu berechnen
- Cloughs Analyse des Norfork Dam von 1962 zeigte die frühe Praxistauglichkeit der FEM
- Beim 250 Fuß hohen Norfork Dam in Arkansas traten 1942 während des Baus vertikale Risse auf
- Die FEM-Analyse sagte Ort und Größe der durch Temperaturänderungen verursachten Risse korrekt voraus
- Sie lieferte realistische Verschiebungen und Spannungen im Damm und im Fundament unter gravity und verschiedenen hydrostatic load-Bedingungen
- Clough stellte das FORTRAN listing eines finite element analysis computer program zur Bewertung von Verschiebungen und Spannungen in zweidimensionalen ebenen Strukturen frei zur Verfügung
- Es konnte für 2D plane structures mit anderer Geometrie sowie anderen Material- und Lastbedingungen eingesetzt werden
- Dadurch konnten professionelle Ingenieure FEM leicht nutzen, um stress distributions in Problemen des Bauingenieurwesens zu bestimmen
- Für seine Beiträge zur Erfindung und Weiterentwicklung der FEM erhielt R.W. Clough 1994 von dem damaligen US-Vizepräsidenten Al Gore die National Medal of Science
Frühe Persönlichkeiten und theoretische Grundlagen
- Nach heutigem Konsens trugen nach den mathematischen Grundlagenbeiträgen von R. Courant vor allem J.H. Argyris, R.W. Clough und O.C. Zienkiewicz maßgeblich zur Entstehung und frühen Entwicklung der FEM bei.
- Anfang der 1960er Jahre schlug Kang Feng von der Chinese Academy of Science unabhängig eine auf Variationsprinzipien basierende Diskretisierungs- und numerische Methode zur Lösung elliptischer PDEs vor.
- Peter Lax bewertete Kang Fengs Arbeit dahingehend, dass er die FEM-Theorie unabhängig von den parallelen Entwicklungen im Westen entwickelt habe.
- Kang Fengs Arbeit gilt als eine der frühen convergence studies der FEM.
- E.L. Wilson wird als die erste Person genannt, die finite element open-source software entwickelte.
- 1958 begann er unter der Leitung von Clough bei Boeing mit der Entwicklung eines automatisierten finite element program auf Basis eines rectangular plane stress finite element.
- J.T. Oden und G.C. Best schrieben einen der frühen general purpose FEM computer codes.
- Er umfasste Elemente für 3D-Elastizität, 2D-Ebenenelastizität, 3D-Balken- und Stabelemente, composite layered plate and shell elements sowie Elemente für allgemeine composite materials.
- Er wurde über Jahre hinweg für aircraft analysis and design in der Luft- und Raumfahrt- sowie Verteidigungsindustrie eingesetzt.
- Bis 1965 war die FEM-Forschung weltweit zu einem sehr aktiven Feld geworden, und die Zahl der in der Literatur veröffentlichten Arbeiten überstieg 1000.
- Das Hellinger–Reissner-Variationsprinzip und das Hu-Washizu-Variationsprinzip bildeten später die Grundlage für die Entwicklung gemischter FEM.
- 1964 erkannte Pian die Möglichkeit, mixed variational principles in FE formulations auf Basis der Galerkin weak form einzusetzen, und schlug die assumed stress FEM vor.
1966–1991: Konvergenztheorie, Dynamik, Fluide, nichtlineare Analyse
- Seit Ende der 1960er Jahre entwickelte sich eine strenge Approximationstheorie, die die FEM untermauerte.
- Das Cea lemma und das Bramble-Hubert lemma gelten als wichtige Resultate beim Beweis der FEM-Konvergenz.
- Nitsches Studie zu L∞-Abschätzungen für allgemeine lineare elliptische Probleme war ein wichtiger Beitrag zu den mathematischen Grundlagen der FEM in den 1970er Jahren.
- Praktische Ingenieure verwendeten nichtkonforme FEM-Interpolatoren oder numerische Quadratur, die gegen die Standard-Variationsform verstieß.
- G. Strang nannte solche numerischen Techniken variational crimes.
- B. Iron und R. Melosh entwickelten den frühen FEM patch test, der eine wichtige Rolle dabei spielte, die Konvergenz zur korrekten Lösung sicherzustellen.
- In FEM auf Basis gemischter Variationsprinzipien trat die Babuska-Brezzi-Bedingung oder LBB condition als zentrales Resultat hervor.
- Sie liefert eine hinreichende Bedingung dafür, dass ein saddle point problem eine eindeutige Lösung besitzt, die stetig von den Eingabedaten abhängt.
- Sie diente als Leitlinie für die Konstruktion von shape functions in FEM auf Basis gemischter Variationsprinzipien.
- In den 1970er Jahren verlagerte sich der Schwerpunkt der FEM-Entwicklung auf die Simulation des dynamischen Verhaltens von Strukturen, einschließlich der crashworthiness in der Automobilindustrie.
- Es wurden die Newmark-beta method, die Wilson-theta method, die Hilbert-Hughes-Taylor alpha method, der Houbolt integration algorithm und explicit time integration algorithm entwickelt.
- Explicit time integration wurde in der Automobilindustrie zum game changer und machte die FEM zu einem zentralen Werkzeug für Pkw-Design und Crashsicherheitsanalyse.
- Bis Ende der 1980er Jahre standen bei den drei großen US-Automobilherstellern Tausende Workstations, auf denen FEM-Codes auf Basis von explicit time integration liefen.
- Eines der wichtigsten Forschungsthemen der FEM in den 1980er Jahren war die Lösung der Navier–Stokes-Gleichungen mit FEM.
- Hughes und seine Mitforscher entwickelten die streamline upwind/Petrov Galerkin method, Stabilized Galerkin FEM, space–time FEM und variational multiscale FEM.
- Von 1986 bis 1991 verfassten Hughes und L.P. Franca unter anderem eine zehnteilige Aufsatzreihe über FEM formulations für die numerische Strömungsmechanik.
- Mitte der 1980er Jahre entwickelte sich fortgeschrittene FEM mesh generation durch die Kombination von interactive computer graphics, adaptive mesh generator und solid-modeling-Techniken.
- J. Simos Beiträge waren eines der wichtigsten Highlights der technischen Entwicklung der FEM in den 1980er Jahren.
- consistent tangent operator für computational plasticity
- geometrically exact beam and shell theories
- assumed strain oder enhanced strain methods
Fluid-Struktur-Wechselwirkung, probabilistische FEM, Kontaktanalyse
- Von Mitte der 1970er bis Anfang der 1990er Jahre bestand in der Luft- und Raumfahrt sowie im Bauingenieurwesen ein großer Bedarf an Technologien zur Lösung großskaliger fluid–structure interaction(FSI)-Probleme.
- Die Arbitrary Lagrangian–Eulerian(ALE) fluid–structure FEM formulation von Hughes-Liu-Zimmermann behandelt Probleme mit bewegten Randbedingungen.
- Beim ALE kann sich das Rechen-mesh im Inneren des Gebiets beliebig bewegen, um die Elementform zu optimieren.
- Das mesh an Gebietsgrenzen und interfaces bewegt sich mit dem Material mit, sodass Grenzen und interfaces in multi-material systems präzise verfolgt werden können.
- C. Farhat wird als die erste Person genannt, die FSI-Probleme mit einem large-scale parallel ALE-FEM solver berechnete.
- Die Farhat-Gruppe entwickelte die finite element tearing and interconnecting method, um großskalige Gleichungssysteme skalierbar zu lösen.
- Die FSI-Forschung mit FEM legte Mitte der 1990er Jahre die Grundlage für patientenspezifische Modellierung von Gefäßerkrankungen und für FEM-basierte predictive medicine.
- W.K. Liu und T. Belytschko entwickelten Ende der 1980er Jahre erstmals probabilistic FEM beziehungsweise random field FEM.
- Dabei werden Unsicherheiten bei Lastbedingungen, Materialverhalten, geometrischer Konfiguration sowie Lagerungs- oder Randbedingungen berücksichtigt.
- Sie kann auf die Struktursicherheitsanalyse angewendet werden.
- Anfang der 1980er Jahre entwickelten M.E. Botkin vom General Motors Research Lab und die Gruppe von N. Kikuchi an der University of Michigan eine structural shape optimization FEM für die Automobilindustrie.
- Die 1976 erschienene Arbeit von Hughes, Taylor, Sackman, Curnier und Kanoknukulchai ist eine der frühesten FEM-Analysen der computational contact mechanics.
- Sie gilt als eine der ersten Studien zur FEM-Modellierung von dynamic contact and impact problems.
- Als Beispiele werden sheet metal forming, target impact and penetration sowie die Wechselwirkung von pavement und tire genannt.
- Die Forschung zu Kontaktalgorithmen blieb bis Ende der 1990er Jahre ein aktives Forschungsthema.
1992–2017: Fehlerschätzung, Risse, netzfreie Methoden
- Das erste wichtige Ereignis in der Entwicklung der FEM von 1992 bis 2017 war die Formulierung des Zienkiewicz-Zhu a-posteriori-Fehlerschätzers
- Er ermöglicht die Qualitätskontrolle von FEM-Lösungen, indem Rechenressourcen durch adaptive Netzverfeinerung optimal genutzt werden
- Heute reicht die Qualitätsverbesserung durch a-posteriori-Fehlerschätzung bis auf das Niveau von Bayesian inference und Bayesian update
- Dieses Thema ist eng mit Validation and Verification verbunden
- Szabo und Babuska entwickelten die hp-FEM, die h und p gemeinsam verwendet
- Bei der Netzverfeinerung zeigt sie durch die Kombination geeigneter h-Refinement- und p-Refinement-Verfahren exponentielle Konvergenz
- Dies steht im Gegensatz zu den meisten anderen FEM-Verfahren, die mit algebraischer Geschwindigkeit konvergieren
- 1994 entwickelten Xu und Needleman das FEM-cohesive zone model (CZM), mit dem sich Risswachstum ohne Remeshing simulieren lässt
- Belytschko und W.K. Liu entwickelten meshfree particle methods, um das Problem der Netzverzerrung bei der Modellierung von Materialbruch und -schädigung zu mindern
- Typische Beispiele sind die element-free Galerkin method und die reproducing kernel particle method
- RKPM bietet im Vergleich zur SPH method Konsistenz und verbessert die Konvergenz
- 2001 schlugen J.S. Chen und Mitforschende für meshfree RKPM die stabilized conforming nodal integration method vor
- Sie ist einfach, stabil und mit der schwachen Galerkin-Formulierung variational konsistent
- Die partition of unity finite element method wurde später als generalized finite element method bezeichnet
- Sie ist eine Verallgemeinerung der h-, p- und hp-Versionen der FEM
- Analytische Lösungen können in die FEM-Diskretisierung eingebettet werden
- In den späten 1990er Jahren entwickelten Belytschko, Black, Moes, Dolbow u. a. die X-FEM
- Sie erfasst Rissgeometrien ohne Remeshing durch enriched discontinuous shape functions
- Sie wurde zu einem wichtigen Durchbruch in der rechnergestützten Bruchmechanik und bei FEM-Refinement-Techniken
- Um das Jahr 2000 entwickelten Bourdin, Francfort und Marigo den phase-field approach zur Modellierung von Materialbruch
- Mit Galerkin-FEM lassen sich die Bewegungsgleichungen des Kontinuums und die Phasengleichung gemeinsam lösen, sodass Risslösungen ohne Spannungssingularitäten und ohne Remeshing gefunden werden können
CAD-Integration, Multiskalenverfahren, virtuelle Elemente
- Ein wesentlicher Grund für den großen Erfolg der FEM ist ihre breite Anwendbarkeit auf technische Analyse und Konstruktion in vielen wissenschaftlichen Bereichen
- T.J.R. Hughes, J.A. Cottrell, Y. Bazilevs u. a. entwickelten die isogeometric analysis (IGA) FEM
- Dabei werden NURBS-Funktionen als FEM-shape-functions verwendet
- FEM wird in bestehende NURBS-basierte CAD-Werkzeuge integriert, ohne dass eine Datenkonvertierung zwischen CAD- und FEA-Paketen nötig ist
- Mit dem Aufkommen der Nanotechnologie wurden Multiskalenmethoden entwickelt, die atomistische Methoden mit der FEM auf Kontinuumsskala verbinden
- Erwähnt werden molecular dynamics, density functional theory und ab initio methods
- Wichtige Beiträge sind die hand-shake method, die quasi-continuum FEM und die bridging scale method
- 2007 entwickelten Gavini, Bhattacharya und Ortiz die quasi-continuum orbital-free DFT-FEM für DFT-Berechnungen mit mehreren Millionen Atomen
- Seit den späten 1990er Jahren hat sich die computational homogenization method rasch weiterentwickelt
- Dazu zählen die multiscale computational homogenization für Verbundwerkstoffe mit periodischer Mikrostruktur
- sowie die computational micromechanics method, die sich vor allem mit Verbundwerkstoffen mit zufälliger Mikrostruktur befasst
- 2013 schlug ein italienisches Forschungsteam unter Leitung von L. Beirão da Veiga und F. Brezzi die virtual element method (VEM) vor
- Sie ist eine Erweiterung der bestehenden FEM für beliebige Elementformen
- Sie erlaubt polytopale Diskretisierungen wie 2D-Polygone oder 3D-Polyeder
- Der Name „virtual“ rührt daher, dass die lokale shape-function-Basis nicht explizit berechnet werden muss
- Bei Problemen mit komplexer Geometrie, bei denen sich nur schwer hochwertige Netze erzeugen lassen, und bei Problemen mit lokalem Refinement hat sie vorteilhafte Eigenschaften gegenüber der klassischen FEM
Ausbildung und Softwareindustrie
- 1957 führte R. Clough an der UC Berkeley den ersten FEM-Graduiertenkurs ein
- Danach wurden FEM-Kurse auf Graduierten- und Bachelor-Niveau in die ingenieurwissenschaftlichen Curricula führender Universitäten und Hochschulen weltweit aufgenommen
- Bis Ende 2015 waren weltweit Hunderte FEM-Monografien und Lehrbücher in Dutzenden Sprachen erschienen
- Die FEM-Lehrbücher von Zienkiewicz and Taylor beziehungsweise Zienkiewicz et al. hatten vermutlich großen Einfluss auf die Popularisierung der FEM-Technologie
- Der von Taylor verfasste Forschungscode FEAP für FEM-Computerprogramme wurde im Anhang des Buchs aufgenommen
- Dadurch entstand eine unmittelbare Anleitung zur Implementierung der FEM auf dem Computer
- Die Entwicklung der FEM-Softwaretechnologie begann Anfang der 1960er Jahre
- 1963 entwickelten E.L. Wilson und R. Clough das Symbolic Matrix Interpretive System (SMIS)
- Auf Basis von SMIS begann und entwickelte Wilson das Structural Analysis Program (SAP)
- K.J. Bathe entwickelte auf Grundlage von SAP IV und NONSAP den nichtlinearen FEM-Code ADINA
- NASA entwickelte den eigenen FEM-Code NASTRAN
- Die erste Version, COSMIC Nastran, erschien 1969
- 1971 brachte MSC Software mit MSC Nastran eine kommerzielle Version von Nastran auf den Markt
- J.A. Swanson entwickelte den frühen ANSYS-FEM-Code
- ANSYS ist heute eine der weltweit führenden kommerziellen FEM-Softwares
- DYNA3D wurde von J.O. Hallquist am Lawrence Livermore National Laboratory entwickelt
- Es wird широко für Stoß-, dynamische Kontakt- und Bruchanalysen von Strukturen verwendet
- Daraus entwickelte sich später LS-DYNA
- Nach der Übernahme von Livermore Software Technology durch ANSYS im Jahr 2018 wurde LS-DYNA als ANSYS LS-DYNA Teil von ANSYS
- ABAQUS ist eine umfangreiche kommerzielle FEM-Software, die von HKS, gegründet von Hibbitt, Karlsson und Sorenson, veröffentlicht wurde
- Sie erlaubt benutzerdefinierte Subroutinen und erleichtert es Forschenden damit, Standard-FEM-Solver für ihre Forschung zu nutzen
- Von Ende der 1990er bis Anfang der 2000er Jahre wurde die FEM-Softwareindustrie zu einem Milliardengeschäft
- Als bekannte FEM-Software werden ANSYS, ABAQUS, ADINA, LS-DYNA, NASTRAN, COMSOL Multiphysics und CSI genannt
- Es gibt auch Open-Source-FEM-Software wie FreeFEM, OpenSees, Elmer, FEBio, FEniCS Project und DUNE
Seit 2018: Machine Learning, datengetriebene FEM und Modelle reduzierter Ordnung
- Moderne FEM kann große und komplexe Industrieprobleme routinemäßig lösen und ermöglicht prädiktive Analysen sowie ein grundlegendes Verständnis für das Produktdesign
- Da bei neuen Erfindungen große Datenmengen über Raum, Zeit und den Raum der Entwurfsparameter hinweg erzeugt werden, kann die Entwicklung wissenschaftlicher Prinzipien mitunter nicht mit dem Tempo der Erfindung Schritt halten
- FEM-Forschende untersuchen dafür FEM auf Basis von machine learning und deep learning
- Mechanistic Data Science (MDS) FEM kombiniert bekannte wissenschaftliche Prinzipien mit neu erhobenen Daten und ist eine wichtige Forschungsrichtung für neue Erfindungen
- Dabei kommen Methoden wie active deep learning und hierarchische neuronale Netze zum Einsatz
- Es übernimmt die Verarbeitung von Eingabedaten, die Extraktion mechanistischer Merkmale, Dimensionsreduktion, Regression und Klassifikation sowie die Bereitstellung von Wissensdatenbanken
- Mit den jüngsten Fortschritten bei machine learning und deep learning hat sich der Ansatz, FEM mit deep neural networks zu lösen, als Stand der Technik etabliert
- Physics-Informed Neural Networks lösen hochdimensionale PDEs in strong form und verwenden Nebenbedingungen, die natürliche und wesentliche Randbedingungen aufnehmen
- Methoden wie Deep Ritz Method, Deep Galerkin Method, physics-constrained deep learning und partition of unity network, die FEM-Strukturen mit neuronalen Netzen kombinieren, werden erforscht
- Zhang et al. veröffentlichten eine Arbeit zur Konstruktion von FEM-Shape-Funktionen auf Grundlage der hierarchischen Eigenschaften von DNNs und nannten dies HiDeNN
- Sie zeigen verschiedene Konstruktionen von deep-learning-Interpolationsfunktionen wie RKPM, NURBS und IGA
- HiDeNN-AI kann verschiedene data-driven tools integrieren und bietet einen allgemeinen Ansatz zur Lösung wissenschaftlicher und ingenieurwissenschaftlicher Probleme mit wenig oder keinem physikalischen Vorwissen und hohem Rechenbedarf
- Zur Senkung der Rechenkosten von FEM wurde eine zweistufige datengetriebene Methode vorgeschlagen, bei der in der Offline-Phase eine FEM-Datenbank aufgebaut und in der Online-Phase die endgültige Lösung berechnet wird
- FE-SCA gruppiert mit unsupervised machine learning Materialpunkte und löst die reduced-order Lippmann–Schwinger micromechanics equation, um die Rechenkosten der Multiskalenanalyse zu senken
- Reduced order modeling entspricht dem industriellen Bedarf an schnellen, nahezu Echtzeit-Simulationen
- Online-Regelung dynamischer Systeme
- Structural Health Monitoring
- Vehicle Health Monitoring
- Online-Feedback-Regelung in der fortgeschrittenen Fertigung
- Regelung und Entscheidungsfindung für automatisiertes Fahren
- Praktische optimale Regelung kann verlässliche Vorhersagen im Millisekunden- oder Submillisekundenbereich erfordern
- Reduced-order-machine-learning-Methoden können ein physics-data combined model ermöglichen, das Engpässe sowohl der Modellreduktion als auch rein datengetriebener machine-learning-Ansätze überwindet
1 Kommentare
Meinungen auf Hacker News
Ich arbeite seit 15 Jahren Vollzeit als FEM-Analyst. Der Artikel selbst ist in Ordnung, aber er zeichnet die letzten 20 Jahre aus meiner Sicht deutlich rosiger, als sie tatsächlich waren.
Der praktische Einsatz von FEM in der realen Arbeit hat ziemlich lange stagniert. Es gab Verbesserungen bei der Stabilität numerischer Algorithmen, die stark nichtlineare Probleme etwas leichter machen, stärker optimierte Solver und deutlich bessere Hardware; insbesondere Flash-Speicher war eine große Hilfe.
Aber die fortgeschrittenen und Next-Gen-Technologien, die der Artikel hervorhebt, sind bei realen Problemen fast alle gescheitert. Bei sehr einfachen Laborproblemen liefern sie ordentliche Ergebnisse, aber bei Problemen aus der Praxis ist die Genauigkeit oft miserabel. Ein Zylinder unter einfacher Zugbelastung passt zum Beispiel gut, aber wenn man Biegung hinzufügt, geht es stark schief.
Es gibt immer noch nichts Besseres als FEM, aber im Rückblick ist es erstaunlich, dass ich praktisch auf dieselbe Weise arbeite wie damals als Engineer 1. Es ist nicht so, dass es keine Versuche gegeben hätte; ich habe unzählige Entwicklungsprojekte erlebt, die vielversprechend aussahen, aber die Validierung in der Realität nicht bestanden haben.
Der Fokus der Industrie hat sich vielmehr sehr viel stärker auf Verifikation und Validierung (ASME V&V 10/20/40) verlagert, wodurch viele Fallstricke und Grenzen sichtbar wurden. Die akademische Forschung und Softwareanbieter waren wenig daran interessiert, die Probleme erneut zu betrachten, die wir finden und die supposedly als „gelöst“ galten.
FEEC sah, als ich zuletzt darüber gelesen habe, ziemlich vielversprechend aus, scheint sich in der breiteren FEM-Welt aber nicht besonders verbreitet zu haben.
Es gab Fortschritte bei Kontaktelementen, Schraubenvorspannung, Modellierung einzelner Verbundwerkstofffasern, Delamination und progressivem Versagen von Laminaten, der Modellierung von Materiallagen mit einer Dicke von Tausendstel Zoll sowie bei der Designoptimierung.
ANSYS Workbench ist eher FEA für Einsteiger, und es gibt noch mehr Beispiele.
Sie wirken wie ein heißer Kandidat, der künftig bessere Ergebnisse liefern könnte.
Zu Beginn meiner Karriere habe ich mit ANSYS und NASTRAN Finite-Elemente-Modellierung und -Analyse gemacht, und manchmal vermisse ich diese Zeit.
Es hat immer Spaß gemacht, darüber nachzudenken, wie man reale Probleme so weit vereinfacht, dass sie mit den verfügbaren Rechenressourcen lösbar sind. Außerdem hatte es fast etwas Meditatives, stundenlang Viereckselemente herumzuschieben, bis das Mesh gut genug war. Allerdings bin ich nicht übermäßig motiviert, neue Software oder Sprachen zu lernen.
Überraschenderweise scheint sich in dem Bereich nicht viel grundlegend verändert zu haben. ANSYS wirkt immer noch wie der führende Anbieter für allgemeine Simulation und Multiphysik, und NASTRAN ist ebenfalls noch weit verbreitet. Eine praktikable Open-Source-Alternative gibt es immer noch nicht.
Der einzige neue Player scheint COMSOL zu sein; ich frage mich, ob es jemand benutzt hat. Lohnt sich ein Versuch für jemanden, der ANSYS und NASTRAN gut kennt?
Jedes Jahr kämpfe ich mehr mit der Software, und es ist offensichtlich, dass der Vertrieb am Steuer sitzt.
Sie kaufen „vertikal integrierte“ Software, integrieren sie und lassen sie dann langsam sterben. Für ein Produkt, das sie vor 10 Jahren übernommen haben, wurde angekündigt, dass es nächstes Jahr eingestellt wird, um ein Konkurrenzprodukt zu pushen, das nur 20 % der Funktionen hat.
NASTRAN habe ich etwa halb so lange verwendet, aber es ist nicht viel besser. Alles ist vertriebsgetrieben.
Abaqus habe ich ein wenig ausprobiert, und es wirkte ganz ordentlich. Vielleicht liegt das nur daran, dass ich es nur kurz genutzt habe.
Ich will einfach nur meine Arbeit machen, aber diese Firmen verschieben Funktionen zwischen Lizenzstufen hin und her und betreiben so schnell, wie sie damit durchkommen, Froschkochen.
Mit intuitiv ist hier gemeint, dass es ziemlich nah an der Mathematik bleibt, nicht dass es auf Oberstufenniveau wäre.
[1]: https://fenicsproject.org/
[2]: https://jsdokken.com/dolfinx-tutorial/chapter2/linearelastic...
Wenn man Struktur-Fluid-Kopplung oder elektromagnetisch-mechanische Kopplung machen möchte, gehört es vermutlich zu den am einfachsten nutzbaren Optionen.
Betrachtet man einzelne physikalische Domänen für sich, ist es nicht besonders herausragend. Für Mechanik, numerische Strömungsmechanik und elektromagnetische Solver gibt es deutlich bessere Werkzeuge, aber sie stammen alle von unterschiedlichen Anbietern und greifen nicht gut ineinander.
Das deal in deal.II steht für Differential Equation Analysis Library.
Sie ist in C++ geschrieben, nutzt viele Templates und wird seit 2000 entwickelt. Sie ist weniger speziell für Festkörpermechanik oder Fluidmechanik gedacht, sondern als Bibliothek für FEM-Lösungen allgemeiner partieller Differentialgleichungen.
Die Dokumentation ist umfangreich, es gibt viele Beispiele, und sie lässt sich auch mit anderen Bibliotheken wie Petsc und Trilinos verbinden. Ergebnisse können in verschiedenen Formaten ausgegeben werden.
Soweit ich weiß, wurde die Unterstützung für Dreiecks- und Tetraederelemente erst kürzlich hinzugefügt. Trotzdem ist eine Besonderheit der Bibliothek, dass sie Meshes „triangulations“ nennt.
Während meiner Industriepromotion habe ich ein objektorientiertes Programmier-Framework für Simulationen von großräumiger Luftverschmutzung (LSAP) erstellt.
Dieses Framework basierte auf Petrov-Galerkin-FEM und behandelte sowohl echtes 2D als auch „geschichtetes“ 3D.
Vor meiner Promotion verwendeten die Leute, mit denen ich arbeitete, Spektralmethoden und alternierende Richtungs-FEM, also Verfahren, die 2D durch 1D approximieren.
Auf einigen Konferenzen und in Interviews sagten manche Wissenschaftler, FEM-Programmierung für LSAP sei einfach. Ich stimmte meistens zu und fragte dann, wie oft sie das schon gemacht hätten. Eine Antwort bekam ich nicht — weder für LSAP noch für etwas anderes.
Um FEM auf reale Probleme anzuwenden, muss man unter Umständen ziemlich viele kleine, praktische, aber zugleich theoretische Fallstricke und Bugs lösen.
Für praktische Probleme eine analytische Lösung zu finden, die sowohl die Randbedingungen als auch das Gebiet erfüllt, ist faktisch unmöglich. FEM tauscht Genauigkeit gegen Approximation ein: Bei den vorgegebenen Randbedingungen kann es exakt sein, aber sowohl in der Gebietsdarstellung als auch in der Lösung ist es eine Näherung.
Dafür hat es die gute Eigenschaft, dass bei verfeinerter Approximation der Näherungsfehler gegen die exakte Lösung konvergiert. Der Preis dafür ist, dass die Rechenkosten exponentiell wachsen.
Ich habe FEM im Bachelor- und Master-/Promotionsstudium gelernt. Es hat etwas sehr Befriedigendes, ein schwer lösbares reales Problem in eine vereinfachte Simulationsrealität aus endlichen Einheiten zu zerlegen und dann eine ausdrücklich unvollkommene, aber nützliche Antwort zu erhalten.
An diesen Ansatz muss ich oft denken.
Damals gab es einen Thread mit 45 Kommentaren: https://news.ycombinator.com/item?id=33480799
Vorherzusagen, wie sich Dinge in Raum und Zeit entwickeln, ist ein grundlegendes Bedürfnis.
Die Finite-Elemente-Methode verdient die Ehre, ganz oben auf der HN-Liste zu stehen. Für mein früheres Modell hatte ich die „orthogonale Kollokationsmethode“ gewählt, weil sie schneller war und besser zum damaligen Problem passte. Einige Kollegen nutzten FEM, und in den 90ern war es definitiv ein großer Trend.
Zusammenfassung aus „Chaos researchers can now predict perilous points of no return“ (2022) https://news.ycombinator.com/item?id=32862414
FEM: Finite Element Method: https://en.wikipedia.org/wiki/Finite_element_method
FEM ist die Finite-Elemente-Methode zum Lösen gekoppelter partieller Differentialgleichungen, und FEA ist die Finite-Elemente-Analyse, also die Anwendung von FEM.
Finite Element Analysis in awesome-mecheng: https://github.com/m2n037/awesome-mecheng#fea
Außerdem gibt es einen Thread zur „relaxation technique“ aus „Learning quantum Hamiltonians at any temperature in polynomial time“ (2024) https://arxiv.org/abs/2310.02243: https://news.ycombinator.com/item?id=40396171
Eine interessante Perspektive. Ich war gerade auf einer Konferenz zur isogeometrischen Analyse (IGA), die auch in diesem Artikel kurz erwähnt wurde.
Der mehrfach erwähnte Tom Hughes ist inzwischen de facto der führende Kopf der IGA-Forschungsgemeinschaft. IGA hat großes Potenzial, viele Schmerzpunkte von FEM zu lösen. Im Allgemeinen bietet es bessere Konvergenzraten, erlaubt größere Zeitschritte in expliziten Solvern und stellt bessere Methoden bereit, um Stabilität bei Problemen wie inkompressiblen Festkörpern zu gewährleisten.
Besonders interessant ist, dass es eingebettete Ansätze ermöglicht: Man muss die Geometrie nur in ein Hintergrundgitter legen, das leicht zu vernetzen ist, wodurch das Mesh-Generierungsproblem nahezu verschwindet. Bis zur industriellen Einführung ist noch viel zu tun, aber es ist wahrscheinlich die Zukunft von FEM.
Wenn ich mich richtig erinnere, ist die Konvergenzrate exakt gleich, und der Ansatz bildet nicht korrekt ab, dass die Geometrie und die Felder der interessierenden physikalischen Größen — außer am Rand — nicht dieselbe räumliche Verteilung haben.
IGA gibt es schon lange, aber es ist nie über den Trick „verwenden wir CAD-Funktionen wieder“ hinaus konkret geworden. Am Ende macht es das Problem nur komplizierter, ohne gegenüber gewöhnlicher P-Verfeinerung einen echten Nutzen zu bringen. Daher frage ich mich, welches Potenzial da noch übrig ist.
Den Namen Tom Hughes kenne ich. Ich habe auch sein FEM-Buch, und er war lange Zeit, vielleicht jahrzehntelang, fast der Einzige, der dieses Konzept vorangetrieben hat. Der Grund ist, dass die gesamte Computational-Mechanics-Community es gesehen und interessant gefunden hat, aber am Ende nicht für den Aufwand wert hielt. Es gibt bei FEM viel interessantere und vielversprechendere Ideen, als Splines zur Elementerzeugung zu verwenden.
Ich habe im Bachelor einen Kurs dazu belegt und bin im Graduate-Studium wieder damit in Berührung gekommen, aber ich kann die Galerkin-Herleitung oder die Variationsherleitung immer noch absolut nicht nachvollziehen.
In meinem Kopf läuft es so ab: 1. partielle Differentialgleichung in starker Form, 2. schwache Form, 3. diskretisierte schwache Form, 4. numerische Berechnung der Integrale auf jedem Element, 5. Zusammenbau des linearen Systems, 6. Lösung des linearen Systems.
Wenn dich eine moderne Implementierung interessiert: SELF ist eine Spektrale-Elemente-Bibliothek in objektorientiertem Fortran[1].
Die Entwickler von Fluid Numerics werden demnächst Benchmarks auf MI300A-Systemen und anderer interessanter Hardware veröffentlichen.
[1] https://github.com/FluidNumerics/SELF