Warum wollte dieser große Mathematiker ein 17-Eck auf seinem Grabstein?
- Der Mathematiker Gauss hinterließ zahlreiche mathematische Leistungen.
- Unter ihnen wollte er besonders ein „regelmäßiges 17-Eck“ auf seinem Grabstein eingraviert sehen.
- Mit 18 Jahren löste Gauss mithilfe des regelmäßigen 17-Ecks ein Problem, das Mathematiker 2.000 Jahre lang beschäftigt hatte.
Geometrie im antiken Griechenland
- Die antiken Griechen waren hervorragend in der Geometrie und legten den Schwerpunkt auf Konstruktionen mit Zirkel und Lineal.
- Der Zirkel ist ein Werkzeug, mit dem man Kreise um zwei Punkte als Mittelpunkte zeichnen kann, und das Lineal dient zum Zeichnen gerader Linien.
- Mit diesen Werkzeugen lassen sich weder Entfernungen messen noch Winkel abtragen.
- Solche geometrischen Konstruktionen gehen auf Euklids Elemente zurück.
- Euklid versuchte, die gesamte Geometrie aus einem Minimum an Annahmen herzuleiten.
Beispiele für geometrische Konstruktionen
- Wie man den Mittelpunkt einer gegebenen Strecke findet
- Mit dem Zirkel zeichnet man Kreise um die beiden Endpunkte.
- Verbindet man die Schnittpunkte der beiden Kreise mit dem Lineal, kann man den Mittelpunkt bestimmen.
- Diese Konstruktion halbiert nicht nur die Strecke, sondern erzeugt auch einen rechten Winkel.
- Verbindet man noch einige weitere Punkte, kann man ein gleichseitiges Dreieck konstruieren.
Das Hindernis
- Ein regelmäßiges Polygon ist eine Figur, bei der alle Seiten und Winkel gleich sind.
- Euklid fand Wege, ein regelmäßiges Dreieck, Quadrat und Fünfeck zu konstruieren.
- Er entdeckte auch Methoden, die Seitenzahl regelmäßiger Polygone zu verdoppeln.
- Doch ein regelmäßiges Siebeneck und ein regelmäßiges Elfeck ließen sich nicht konstruieren.
- Dieses Problem blieb 2.000 Jahre lang ungelöst.
Die Rettung durch die Mathematik des 18. Jahrhunderts
- Bis 1796 wurde kein neues regelmäßiges Polygon entdeckt.
- Gauss reduzierte das Problem der Konstruktion regelmäßiger Polygone auf das Problem, Strecken bestimmter Länge zu konstruieren.
- Um ein regelmäßiges 17-Eck zu konstruieren, muss eine Strecke einer bestimmten Länge konstruiert werden.
- Diese Länge lässt sich als x = cos(2π/17) ausdrücken.
- Längen, die sich mit Zirkel und Lineal konstruieren lassen, sind solche, die sich durch Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Quadratwurzeln ausdrücken lassen.
- Gauss bewies, dass das regelmäßige 17-Eck konstruierbar ist.
- Gauss klärte vollständig, welche regelmäßigen Polygone überhaupt konstruierbar sind.
- Er bewies, dass das regelmäßige Siebeneck und das regelmäßige Elfeck nicht konstruierbar sind.
Das Vermächtnis von Gauss
- Gauss wollte ein regelmäßiges 17-Eck auf seinem Grabstein eingraviert haben.
- Tatsächlich wurde es dort jedoch nicht eingraviert.
- Auf dem Gauss-Denkmal in Braunschweig in Deutschland ist stattdessen ein 17-zackiger Stern eingraviert.
Zusammenfassung von GN⁺
- Gauss löste mit 18 Jahren mithilfe des regelmäßigen 17-Ecks ein Problem, das 2.000 Jahre lang ungelöst geblieben war.
- Dies zeigt den Zusammenhang zwischen den geometrischen Konstruktionsmethoden des antiken Griechenlands und der modernen Algebra.
- Gauss’ Leistung bestimmte die Grenzen der mit Zirkel und Lineal konstruierbaren Figuren.
- Sie regt die mathematische Neugier an und hilft, die tiefe Verbindung zwischen Geometrie und Algebra zu verstehen.
- Ähnliche Projekte mit vergleichbaren Funktionen sind Wolfram Alpha und GeoGebra.
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