Warum Gauß auf seinem Grabstein ein regelmäßiges Siebzehneck wollte

 (scientificamerican.com)
1 Punkte von GN⁺ 2024-09-18 | 1 Kommentare | Auf WhatsApp teilen
  • Johann Carl Friedrich Gauß bewies im Alter von 18 Jahren die Konstruierbarkeit des regelmäßigen Siebzehnecks und gab damit eine entscheidende Antwort auf ein antikes Geometrieproblem, das seit über 2.000 Jahren bestand
  • Die Wurzeln dieses Problems liegen in Euklids Konstruktionen mit Zirkel und Lineal: Entscheidend war, ob sich Figuren tatsächlich nur mit einem unmarkierten Lineal und einem Zirkel konstruieren lassen
  • Euklid konnte ein regelmäßiges Dreieck, Viereck und Fünfeck sowie deren Erweiterungen konstruieren, doch Figuren wie das regelmäßige Siebeneck und Elfeck blieben lange ungelöst
  • Gauß bewies die Konstruierbarkeit, indem er nicht die Figur direkt zeichnete, sondern die für das regelmäßige Siebzehneck benötigte Länge cosine(2π/17) ausschließlich mit den erlaubten algebraischen Operationen ausdrückte
  • Später kam Pierre Wantzels strenger Beweis hinzu, wodurch sich unterscheiden ließ, welche regelmäßigen Vielecke konstruierbar sind und welche nicht

Die Figur, die Gauß auf seinem Grabstein hinterlassen wollte

  • Johann Carl Friedrich Gauß (1777–1855) war unter seinen zahlreichen mathematischen Leistungen besonders stolz auf den Beweis zum regelmäßigen Siebzehneck
  • Mit 18 Jahren löste Gauß anhand dieser Figur ein klassisches Problem, das Mathematiker seit über 2.000 Jahren aufgehalten hatte
  • Das Problem verbindet die antike Geometrie, die Figuren tatsächlich konstruieren wollte, mit der modernen Sichtweise, die die Gleichungen analysiert, die Figuren bestimmen

Zirkel-und-Lineal-Konstruktionen im antiken Griechenland

  • In der antiken griechischen Geometrie war Konstruieren fast ein strenges Spiel, bei dem Figuren nur mit unmarkiertem Lineal und Zirkel erstellt werden durften
  • Der Zirkel dient dazu, bei zwei gegebenen Punkten einen Kreis mit einem Punkt als Mittelpunkt zu zeichnen, der durch den anderen Punkt verläuft; das Lineal dient dazu, eine Gerade durch zwei Punkte zu ziehen
  • Beide Werkzeuge haben keine Markierungen, sodass sich Abstände oder Winkel nicht direkt messen lassen
  • Diese Regeln gehen auf Euklids Elemente aus dem 3. Jahrhundert v. Chr. zurück
  • Euklid wollte die Existenz von Figuren nicht einfach voraussetzen, sondern sie aus den einfachen Bausteinen Linie und Kreis explizit konstruieren

Halbierung einer Strecke und gleichseitiges Dreieck

  • Hat man zwei Punkte A und B, zeichnet man einen Kreis mit Mittelpunkt A durch B und einen Kreis mit Mittelpunkt B durch A; die beiden Kreise schneiden sich in zwei Punkten
  • Verbindet man diese beiden Schnittpunkte mit dem Lineal, entsteht eine Gerade, die die ursprüngliche Strecke AB exakt halbiert
  • Dieselbe Konstruktion erzeugt auch einen rechten Winkel zwischen zwei Geraden, ein mit den eingeschränkten Werkzeugen keineswegs triviales Ergebnis
  • Verbindet man einige weitere Punkte, lässt sich ein gleichseitiges Dreieck konstruieren, bei dem alle Seiten gleich lang und alle Winkel gleich groß sind
    • Jede Seite des gleichseitigen Dreiecks ist der Radius eines gleich großen Kreises, daher sind alle drei Seiten gleich lang
    • Das entspricht dem ersten Satz in Buch I von Euklids Elemente

Der Stillstand bei der Konstruktion regelmäßiger Vielecke

  • Unter den Figuren, die sich mit Zirkel und Lineal konstruieren lassen, nehmen regelmäßige Vielecke eine besondere Stellung ein
  • Ein Vieleck ist eine von geraden Seiten begrenzte Figur; bei einem regelmäßigen Vieleck sind alle Seiten gleich lang und alle Winkel gleich groß
  • Ein beliebiges Dreieck zu zeichnen ist einfach, doch ein regelmäßiges Vieleck wie ein gleichseitiges Dreieck mit perfekter Symmetrie erfordert eine ausgefeiltere Konstruktion
  • Euklid kannte Konstruktionen für das regelmäßige Dreieck, Viereck und Fünfeck
  • Bei bereits konstruierten regelmäßigen Vielecken konnte man die Zahl der Seiten verdoppeln
    • Ein regelmäßiges Dreieck lässt sich zu einem regelmäßigen Sechseck, Zwölfeck usw. erweitern
    • Ein regelmäßiges Viereck führt zu einem regelmäßigen Achteck, Sechzehneck usw.
    • Ein regelmäßiges Fünfeck lässt sich zu einem regelmäßigen Zehneck, Zwanzigeck usw. erweitern
  • Euklid zeigte auch, wie man ein regelmäßiges Dreieck und ein regelmäßiges Fünfeck „multipliziert“, um ein regelmäßiges Fünfzehneck zu konstruieren
  • Ob sich jedoch ein regelmäßiges Siebeneck oder Elfeck allein mit Zirkel und Lineal konstruieren lässt, war unbekannt; diese Lücke blieb 2.000 Jahre lang bestehen

Gauß’ algebraische Wende

  • Bis 1796 kamen keine neu konstruierbaren regelmäßigen Vielecke hinzu, doch Mathematiker verstanden Zirkel-und-Lineal-Konstruktionen selbst immer besser
  • Gauß wusste, dass sich die Konstruktion regelmäßiger Vielecke auf das Problem der Konstruktion einer Strecke bestimmter Länge reduzieren lässt
  • Um ein regelmäßiges Siebzehneck zu konstruieren, wählt man auf dem Einheitskreis mit Radius 1 einen Punkt A und konstruiert dann einen Punkt B, der auf dem Kreisumfang genau um ein Siebzehntel weiterliegt
  • Kann man Punkt B konstruieren, lässt sich derselbe Vorgang rund um den gesamten Kreis wiederholen; verbindet man die Punkte mit dem Lineal, erhält man ein regelmäßiges Siebzehneck
  • Entscheidend ist letztlich, ob sich eine Strecke x bestimmter Länge zeichnen lässt; als Formel lautet sie x = cosine(2π/17)

Konstruierbare Längen und fünf Operationen

  • Zu Gauß’ Zeit war ein Kriterium dafür bekannt, welche Längen sich mit Zirkel und Lineal konstruieren lassen
  • Eine Länge ist genau dann konstruierbar, wenn sie sich aus ganzen Zahlen nur mit Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Quadratwurzeln ausdrücken lässt
  • Zum Beispiel ist √(99/5) konstruierbar, weil es sich aus 99 und 5 durch Division und Quadratwurzelbildung ergibt
  • π und die Kubikwurzel aus 2 lassen sich dagegen nicht allein mit diesen fünf Operationen ausdrücken und sind daher nicht konstruierbar
  • Die Handlungen, die die antiken griechischen Konstruktionswerkzeuge erlauben, greifen mit den natürlichen Operationen der modernen Algebra ineinander
  • Der Grund ist, dass die Gleichungen von Geraden und Kreisen nur diese fünf Operationen verwenden — eine Sichtweise, die für Euklid in der Zeit vor der Algebra kaum vorstellbar gewesen wäre

Der Beweis zum regelmäßigen Siebzehneck und die Klassifikation

  • Gauß hat das regelmäßige Siebzehneck tatsächlich nicht gezeichnet
  • Stattdessen drückte er die für das regelmäßige Siebzehneck benötigte Länge cosine(2π/17) nur mit den fünf algebraischen Operationen aus, die Zirkel und Lineal erlauben, und bewies damit, dass diese Figur prinzipiell konstruierbar ist
  • Der entsprechende Ausdruck ist komplex und zeigt, dass der jugendliche Gauß erhebliche Mühe in dieses Problem investierte
  • Darüber hinaus charakterisierte Gauß, welche regelmäßigen Vielecke konstruierbar sind und welche nicht
  • 1837 lieferte Pierre Wantzel einen strengen Beweis, dass Gauß’ Klassifikation keine Fälle ausließ
  • Daraus folgt, dass das regelmäßige Siebeneck und Elfeck nicht allein mit Zirkel und Lineal konstruiert werden können und dass es unendlich viele Figuren gibt, die auf dieselbe Weise unmöglich sind

Nicht auf dem Grabstein, aber auf dem Denkmal verewigt

  • Laut dem Biografen G. Waldo Dunnington war Gauß sehr stolz darauf, ein jahrtausendealtes Problem gelöst zu haben, und sagte einem Freund, er wolle ein regelmäßiges Siebzehneck auf seinem Grabstein abgebildet haben
  • Auf dem tatsächlichen Grabstein wurde kein regelmäßiges Siebzehneck eingraviert
  • Stattdessen ist auf der Rückseite eines Denkmals in Gauß’ Geburtsstadt Braunschweig in Deutschland ein Stern mit 17 Spitzen eingraviert
  • Der Steinmetz wählte die Sternform, weil er davon ausging, dass Menschen ein regelmäßiges Siebzehneck nicht von einem Kreis unterscheiden würden

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1 Kommentare

 
GN⁺ 2024-09-18
Hacker-News-Kommentare

  • Obwohl seit Gauß 200 Jahre vergangen sind und die Mathematik sich stark weiterentwickelt hat, weiß man immer noch nicht, welches theoretisch das größte regelmäßige Vieleck mit ungerader Seitenzahl ist, das sich euklidisch konstruieren lässt.
    Für alle, die es interessiert: Die Antwort lässt sich auf Kombinationen von Vielfachen von Fermat-Primzahlen zurückführen, und niemand weiß, ob es nach 3, 5, 17, 257 und 65537 weitere Fermat-Primzahlen gibt. Siehe: https://en.m.wikipedia.org/wiki/Constructible_polygon

  • Es gibt eine hervorragende zweiteilige YouTube-Serie zu diesem Beweis.
    Das Problem konstruierbarer regelmäßiger Vielecke und ein Überblick über den Beweis: https://www.youtube.com/watch?v=EX7U0DGBmbM
    Die vollständige Erklärung des Beweises: https://www.youtube.com/watch?v=Gdy1u4lsjDw

    • Vor ein paar Jahren habe ich die Konstruktion dieser Figur in einem Numberphile-Video gelernt: https://www.youtube.com/watch?v=87uo2TPrsl8
      Am Ende sieht man die Konstruktion an der Fassade des Gebäudes des Mathematical Sciences Research Institute (MSRI) in der 17 Gauss Way, UC Berkeley, wo sie anstelle der Hausnummer verwendet wird.

  • Interessant ist die Aussage: „Exakt konstruierbar sind nur Längen, die sich aus ganzen Zahlen durch Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Quadratwurzeln ausdrücken lassen.“
    Die Sichtweise ist, dass Lineal und Zirkel der alten Griechen genau deshalb mit den natürlichen Operationen der modernen Algebra +, –, ×, /, √ zusammenfallen, weil die Gleichungen von Geraden und Kreisen nur diese fünf Operationen verwenden. Dazu: https://en.wikipedia.org/wiki/CORDIC

    • Mich würde interessieren, warum nur Quadratwurzeln diesen Sonderstatus haben und nicht andere gebrochene Potenzen.

  • Ich empfehle jedem, ein paar Konstruktionen mit Zirkel und Lineal selbst auszuprobieren. Das kann ziemlich befriedigend und meditativ sein.
    Oliver Byrne hat eine unglaublich schöne Farbausgabe von Euklids Elementen erstellt, die online einsehbar ist. Man braucht nur Stift, Papier, eine Schnur zum Zeichnen von Kreisen und die Kante eines Buches zum Zeichnen gerader Linien und kann ab Proposition 1 so weit machen, wie man möchte: https://www.c82.net/euclid/book1/#prop1
    Es gibt auch eine physische Faksimile-Ausgabe von Byrnes Elements (ISBN:9783836577380). Sie ist eine der besten Ergänzungen meiner Bibliothek und wirklich wunderschön.

  • Mich würde interessieren, ob auf der Rückseite von Gauß’ Grabstein tatsächlich ein 17-zackiger Stern ist. Ich kann online keine Fotos finden.

    • Auf Gauß’ Grabstein ist tatsächlich ein Kreis[1]. Gauß wollte ein 17-Eck, aber der Steinmetz, der den Grabstein anfertigte, fand, es sehe einem Kreis ausreichend ähnlich und ein 17-Eck sei zu schwierig, und meißelte einfach einen Kreis ein.
      Ein Mann, den man wohl als einen der größten Mathematiker aller Zeiten bezeichnen kann[2], wollte eine besondere Würdigung für eine Leistung, die er als Teenager vollbracht hatte und mit der er ein über 2000 Jahre ungelöstes Problem löste; und jemand hat sie im Grunde aus Bequemlichkeit nicht umgesetzt. Die ganze Geschichte wird hier zusammen mit der vollständigen Konstruktion gut behandelt: https://www.youtube.com/watch?v=EX7U0DGBmbM
      [1] Foto: https://www.atlasobscura.com/places/grave-of-carl-friedrich-...
      [2] Meine Stimme ginge an Euler, aber viele würden Gauß wählen.
    • Auf dem Grabstein (https://de.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gau%C3%9F#/medi...) ist keiner. Es gibt einen Davidstern, aber ich konnte nichts dazu finden, dass Gauß Jude gewesen wäre.
      Es gibt allerdings eine Statue mit diesem Stern: https://de.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gau%C3%9F#/medi...
    • Am Ende des Artikels steht, dass es keinen gibt.

  • Interessant an diesem Ergebnis ist, dass es zeigt, wie die über Jahrhunderte entwickelte Algebra zurückkehrt und die euklidische Geometrie verbessert.
    Ohne Hintergrundwissen hätte ich wohl nicht einmal verstanden, warum dieses Problem interessant ist. Die Motivation ähnelt ziemlich dem Langlands-Programm.

  • Wenn man die meisten Mathematiktexte liest, kann der Eindruck entstehen, mittelalterliche Mathematiker hätten nichts beigetragen.
    Merkwürdigerweise lassen die Autoren die Beiträge griechischer Mathematiker wie Euklid nie aus, springen in Fällen wie diesem aber direkt zu Mathematikern der Zeit nach der Renaissance wie Gauß, der hier die Hauptfigur ist, und überspringen dabei bequem und ahnungslos fast ein Jahrtausend.

    • Dieses Phänomen lässt sich zumindest teilweise durch den Untergang des Weströmischen Reiches und die anschließende relative Unordnung in Mittel- und Westeuropa erklären.
      In diesem Zeitraum von etwa tausend Jahren waren Mathematiker aus Indien und dem Nahen Osten führend, und Personen wie Āryabhaṭa, Brahmagupta und Al-Chwarizmi leisteten wichtige Beiträge zu unserem heutigen Mathematikverständnis.

  • Wirklich faszinierend; ich würde gern jemanden fragen, der Gauß’ Beweis besser kennt: Warum lässt sich ein Fünfeck mit Zirkel und Lineal konstruieren, ein Siebeneck oder Elfeck aber nicht? Warum funktionieren manche Primzahlen und andere nicht?

  • Im Fall von 17 fand Gauss heraus, dass sich cos(360°/17) nur mit den Grundoperationen ausdrücken lässt: https://www.heise.de/imgs/18/2/1/2/3/3/6/4/siebzehneck-b95b5...
    Später bewies er, dass alle n-Ecke konstruierbar sind, wenn $n=2^k*p_1…*p_r$ gilt und die p_i Fermat-Primzahlen sind (Primzahlen der Form 2^(2^m)+1; derzeit sind nur 3, 5, 17, 257 und 65537 bekannt). Die Umkehrung, also dass alle übrigen n nicht konstruierbar sind, wurde erst einige Jahre später bewiesen. Sucht nach dem „Satz von Gauss-Wantzel“. Ich habe den Beweis nur überflogen, aber es scheint so, als würde er die Idee, den Kosinus eines Winkels zu konstruieren, mit der Galois-Theorie verallgemeinern. Edit: Oder siehe https://en.wikipedia.org/wiki/Constructible_polygon

    • Eine sehr schnelle und unvollständige Erklärung ist möglich, aber ihr müsst mir vertrauen und folgen
      In den komplexen Zahlen sind die Eckpunkte eines Fünfecks die Lösungen von z^5-1=0. Das lässt sich als (z^4+z^3+z^2+z+1)*(z-1)=0 faktorisieren, und der schwierige Teil ist, z^4+z^3+z^2+z+1=0 zu lösen
      Diese Gleichung lässt sich nicht weiter faktorisieren und hat Grad 4. Die Lösungen haben eine bestimmte Eigenschaft, die mit dem Grad der Gleichung zusammenhängt, und wichtig ist, dass diese Eigenschaft 4 ist
      Mit Zirkel und Lineal kann man nur Gleichungen vom Grad 2 lösen, also Dinge wie das Ziehen von Quadratwurzeln. Wiederholt man das, kann man einige Gleichungen vom Grad 4 lösen. Mit ein paar Tricks kann man daher die Gleichung lösen und ein Fünfeck zeichnen
      Im Fall von 17 lautet die Gleichung z^16+z^15+...+z+1=0. Die Eigenschaft ist also 16, und man muss mehrfach Quadratwurzeln verwenden. Jedes Mal verdoppelt sich die Eigenschaft der Lösungen: 1 -> 2 -> 4 -> 8 -> 16. In der Formel weiter unten im Artikel sieht man viele verschachtelte und wiederholte Quadratwurzeln
      Im Fall von 7 lautet die Gleichung z^6+z^5+...+z+1=0. Die Eigenschaft der Lösungen ist 6. Mit Quadratwurzeln kann man die Eigenschaft nur verdoppeln, also kommt man zu 1 -> 2 -> 4 -> 8 -> 16 -> 32 ..., erreicht aber niemals Lösungen mit der Eigenschaft 6
      Es gibt noch weitere technische Details. Zum Beispiel kann man zum Zeichnen eines 17-Ecks einige Gleichungen vom Grad 16 lösen, aber nicht alle Gleichungen vom Grad 16
    • Es hat mit Fermat-Primzahlen zu tun
    • Wenn ihr Interesse und Zeit habt, lohnt es sich, die zwei entsprechenden Videos des YouTube-Kanals Another Roof[1] anzusehen
      Seid nicht überrascht, wenn die Videos ziemlich lang sind, denn sie nehmen sich auch für einfache Inhalte Zeit, damit ein allgemeines Publikum die Grundlagen einigermaßen verstehen kann
      [1]: https://youtube.com/@anotherroof
    • In dem Video, das ich in einem anderen Kommentar gepostet habe, wird das recht zugänglich erklärt: https://www.youtube.com/watch?v=EX7U0DGBmbM

  • Ein Siebeneck kam mir nie wie ein so großes Problem vor
    Exakt geht es zwar nicht, aber bis zur gewünschten Genauigkeit schon. Zumindest bis man an die Präzisionsgrenzen von Zirkel und Lineal stößt
    Da 1/7 = 1/8 + 1/64 + 1/512 + 1/4096 + 1/32768... ist, erreicht man schnell die Grenzen menschlicher Präzision
    Allgemein lässt sich 1/(2^n - 1) als unendliche Summe bzw. als unendlich konvergierende Reihe darstellen. 1/(2^n - 1) ist die Summe von 1/(2 ^ (x * n)) für x von 1 bis unendlich. Und jeder weiß, wie man die Länge eines Kreisbogens in Brüche mit Zweierpotenzen aufteilt
    Man beginnt mit dem ganzen Kreis, nimmt das erste Stück, teilt dann das zweite Stück erneut und nimmt davon das erste Stück, addiert so immer kleinere Stücke und kommt 1/7 hinreichend nahe. Diese Länge kann man mit dem Zirkel abgreifen und den Rest wieder unterteilen; wenn man weit genug rekursiv vorgeht, muss man sich kaum Sorgen machen, dass die sechs weiteren Markierungen nicht fast wieder den Anfangspunkt treffen
    Trotzdem wäre es schon erstaunlich, mit Zirkel und Lineal auch nur eine Genauigkeit von 1/4096 zu erreichen, und 1/32768 wird absolut niemand schaffen

    • Das erinnert mich auch an eine andere Behauptung, die meiner Meinung nach aus dem gegenteiligen Grund falsch ist
      Die Behauptung lautet, die Hilbert-Kurve fülle das gesamte Quadrat aus; ein Quadrat enthält alle beschränkten Punkte der Form [reelle Zahl, reelle Zahl]. Bei der rationalen Konstruktion des rekursiven Eckpunktgenerators muss jedoch einer der beiden Werte jedes Koordinatenpaars rational sein. Er hat lediglich die Form eines Nenners mit einem unendlichen ganzzahligen Exponenten von 2
      Selbst wenn sie die gesamte Menge [reelle Zahl, rationale Zahl] + [rationale Zahl, reelle Zahl] abdecken würde, was tatsächlich nicht einmal der Fall ist, würde sie immer noch nicht die gesamte Menge [reelle Zahl, reelle Zahl] erreichen
      Im Grunde liegen 100 % der Ebene nicht auf der Kurve, und zugleich liegen 100 % der Ebene in infinitesimalem Abstand zur Kurve
      Ich finde das interessanter, als zu sagen, das Ganze sei darin enthalten. Denn tatsächlich ist es nicht darin enthalten
    • Das kann man zwar machen, aber hier geht es um eine exakte Konstruktion
      Wenn man unendliche Reihen erlaubt, kann man mit Taylor-Reihen alles approximieren
    • Ein Siebeneck ist zwar nicht „konstruierbar“, lässt sich aber leicht zeichnen. Ich habe an der Uni damit herumgespielt
      Man muss eine Strecke der Länge 2*sin(π/7) mal Radius finden. Der Wert ist 0,86777, und quadriert ergibt das 0,7530, was ziemlich nah an 0,75 liegt, also an 1 - (1/2)^2
      Wenn man also ein Dreieck baut, dessen Höhe die Hälfte des Radius und dessen Hypotenuse der Radius ist, ist die andere Seite 0,8660. Das liegt weniger als 0,001 vom tatsächlichen Wert entfernt und ist damit viel genauer, als ich es mit Lineal und Zirkel zeichnen könnte