Diskrete Mathematik – Offenes Einführungslehrbuch, 4. Auflage
(discrete.openmathbooks.org)- Die 4. Auflage von Discrete Mathematics: An Open Introduction, die sich direkt in einführenden Hochschulkursen zur Diskreten Mathematik einsetzen lässt, ist erschienen und als kostenloses Online-Lehrbuch sowie als PDF verfügbar
- Die neue Auflage stärkt den Aufbau: Sie beginnt mit Logik und Beweisen, übt Beweise anschließend anhand der Graphentheorie und führt dann zu Zählen und Folgen weiter
- Seit Frühjahr 2013 wurde das Buch an mehr als 200 Hochschulen weltweit als Hauptlehrbuch oder Begleitmaterial eingesetzt; es wurde von der AIM Open Textbook Initiative empfohlen und in der Open Textbook Library rezensiert
- Online-E-Book, PDF, Druckausgabe, GitHub-Quellen sowie Aufgabensets für Runestone Academy, Edfinity und WeBWorK senken die Hürde für den Einsatz im Unterricht
- Die Online-Version bleibt dauerhaft kostenlos; die 4. Auflage steht unter der Lizenz CC BY-NC-SA 4.0 und erlaubt nichtkommerzielle Nutzung, Druck und Bearbeitung
Veröffentlichung der 4. Auflage und Charakter des Lehrbuchs
- Die 4. Auflage von Discrete Mathematics: An Open Introduction ist online und über die Runestone Academy verfügbar
- Die 3. Auflage bleibt ebenfalls verfügbar
- Das Lehrbuch ist ein kostenloses Open-Source-Lehrbuch für Kurse in Diskreter Mathematik im 1. bis 2. Studienjahr von Mathematik- und Informatikstudiengängen
- Es eignet sich besonders gut für Lehrveranstaltungen mit forschend-entdeckendem Lernen
- Seit Frühjahr 2013 wurde es an mehr als 200 Hochschulen weltweit als Hauptlehrbuch oder Begleitmaterial verwendet
- Es wurde von der Open Textbook Initiative des American Institute of Mathematics empfohlen und ist auch in der Open Textbook Library rezensiert
Änderungen in der 4. Auflage
- Die neue Auflage ordnet die Inhalte deutlich neu an
- Zu Beginn werden Logik und Beweise behandelt
- Danach werden Beweise anhand der Graphentheorie geübt
- Im späteren Teil folgen Zählen und Folgen
- Das Kapitel zum Zählen enthält einen neuen Abschnitt zu Wahrscheinlichkeitsanwendungen
- Eingeflossen ist die Erfahrung der letzten Jahre, dass Studierende mit dieser Anordnung bessere Ergebnisse erzielten
- Auch der Schwerpunkt auf diskrete Strukturen wurde verstärkt
- Dazu gehören Mengen, Funktionen und Relationen
- Damit soll das Buch für Informatikstudierende nützlicher werden, ohne das für Mathematikstudierende und angehende Mathematiklehrkräfte nötige Verständnis mathematischer Konzepte aufzugeben
Interaktivität und Unterstützung für Hausaufgaben
- Die 4. Auflage enthält mehr interaktive Elemente
- Wird auf der Runestone Academy ein kursbasierter Kurs zum Lehrbuch erstellt, können interaktive Übungsaufgaben verwendet werden, die für Studierende bewertet werden können
- Für die Erkundung einiger Themen sind interaktive Code-Beispiele mit Sage und Python enthalten
- Online-Aufgabensets werden über mehrere Wege bereitgestellt
- Runestone Academy ist kostenlos
- Edfinity ist eine kostengünstige Option
- WeBWorK-Sets können beim Autor angefragt werden und sind auch im Contrib-Ordner von OPL enthalten
- Fehler oder Tippfehler können als GitHub-Issue eingereicht werden
Formate und Zugänglichkeit
- Das gesamte Lehrbuch ist als kostenloses interaktives Online-E-Book verfügbar
- Es ist so gestaltet, dass es auf allen Bildschirmgrößen einschließlich Smartphones gut funktioniert
- Auch die Nutzung mit Screenreadern für sehbehinderte Studierende wurde berücksichtigt
- Hinweise und Lösungen zu Beispielen und Übungsaufgaben sind verborgen und können per Klick auf einen Link angezeigt werden
- Bei einigen Übungsaufgaben können Antworten eingegeben und überprüft werden, sodass mehrere Versuche möglich sind, ohne die richtige Antwort sofort anzusehen
- Für die Offline-Nutzung gibt es außerdem ein kostenloses PDF
- Es eignet sich zum Lesen auf Tablets oder Computern
- Suche und Navigation über eingebettete Links sind möglich
- Hinweise und Lösungen sind durch Klick auf die Nummer der Übungsaufgabe erreichbar; ein Klick auf die Hinweis- oder Lösungsnummer führt zurück zur jeweiligen Übungsaufgabe
- Eine Druckausgabe erscheint bei CRC Press
- Die Online-Version bleibt weiterhin kostenlos verfügbar
Quellen, Lehrmaterialien und Community
- Die PreTeXt- und LaTeX-Quelldateien des Lehrbuchs sind auf GitHub verfügbar
- Es gibt auch Videomaterialien zum Lehrbuch
- Mathematical Visual Proofs: Videos, die Ideen aus dem Lehrbuch als Animationen zeigen
- Dr. Trevor Bazett's Course: eine vollständige Vorlesung auf Basis dieses Lehrbuchs
- Lehrende, die das Lehrbuch im Unterricht einsetzen, können Materialien für Lehrkräfte anfragen
- Wer Zugriff auf einen WeBWorK-Server hat, kann auch die WeBWorK-Aufgabensets anfordern
- Für Lehrende, die Diskrete Mathematik unterrichten, gibt es eine Google Group
Inhalt des Lehrbuchs und Einsatz im Unterricht
- Das Lehrbuch entstand aus Vorlesungsnotizen für einen Kurs in Diskreter Mathematik an der University of Northern Colorado
- Dieser Kurs ist sowohl eine Einführung in Themen der Diskreten Mathematik als auch ein Einführungskurs in Beweise für Mathematikstudierende
- Der Unterricht enthält viele Elemente studentischer Erkundung, und das Lehrbuch ist darauf ausgelegt, dies zu unterstützen
- Ursprünglich wurde es zur Unterstützung angehender Mathematiklehrkräfte entwickelt und verwendet einen zugänglichen, informellen Ton
- Es betont das Verständnis der behandelten Konzepte statt das Auswendiglernen von Verfahren
- Es wurde auch in Kursen für Informatikstudierende eingesetzt und konzentriert sich darauf, ein tieferes Verständnis zu fördern
- Die vier Hauptthemen sind Logik, Graphentheorie, Zählen und Folgen
- Zu den Beweismethoden gehören Widerspruchsbeweise, Induktionsbeweise und kombinatorische Beweise
- Weitere Themen sind erzeugende Funktionen und Zahlentheorie
- Das Buch bietet außerdem Funktionen, die den Einsatz als Hauptlehrbuch unterstützen
- Mehr als 750 Übungsaufgaben
- Viele Aufgaben mit Lösungen und Hinweisen
- Aufgaben von einfach bis ziemlich komplex
- Viele für Hausaufgaben geeignete Aufgaben
- Investigate!- und Vorschau-Aktivitäten zur Unterstützung aktiven und forschend-entdeckenden Lernens
- Vollständiger Index und Symbolverzeichnis
- Einheitliches Seitenlayout und Formatierung, darunter gekennzeichnete Beispiele sowie Boxen für Definitionen und Sätze
Lizenz
- Discrete Mathematics: an Open Introduction, 4th edition wird unter der Lizenz CC BY-NC-SA 4.0 verbreitet
- Für nichtkommerzielle Zwecke darf es heruntergeladen, genutzt und gedruckt werden
- Auch Änderungen am Text sind erlaubt
- Es können angepasste Ausgaben für Studierende erstellt werden
- Die Autorenschaft der verwendeten Teile muss angegeben werden
- Bearbeitete Fassungen müssen unter einer kompatiblen Lizenz verbreitet werden
- Wer das Buch mit Texten unter ähnlichen, aber anderen Lizenzen wie der GFDL kombinieren möchte, kann eine Genehmigung zur Lizenzanpassung anfragen
1 Kommentare
Meinungen auf Hacker News
Aus der Perspektive des Selbststudiums ohne „offiziellen“ CS-Abschluss wirkte Diskrete Mathematik wie ein Schlüssel, um in fortgeschrittenere Themen einzusteigen und praktische Programmierprobleme zu lösen, und tatsächlich hat sie mir mehrfach geholfen
Auch „A Primer of Discrete Mathematics“ von Finkbeiner II und Lindstrom aus dem Jahr 1987 https://archive.org/details/isbn_0716718154 gefällt mir. Es ist etwas älter und nicht kostenlos, aber immer noch gut, mit guten Übungsaufgaben und einigen Lösungen
Dieses Buch werde ich mir auf jeden Fall ebenfalls ansehen; es scheint ein modernerer Ansatz mit interaktiven Übungsaufgaben zu sein und ist zudem komplett kostenlos, was gut klingt
Das Buch ist ziemlich dick, aber der Stoff ist recht zugänglich. Ich komme ebenfalls aus dem Selbststudium und belege jetzt in meinen Dreißigern formale Mathematik-/Physikkurse, um Lücken zu schließen
Die California Community Colleges waren ebenfalls eine hervorragende Ressource. Alle Mathematiklehrkräfte, die ich bisher getroffen habe, waren erstaunlich engagiert, und in den meisten Mathekursen gibt es asynchrone/Online-Sektionen, sodass Erwachsene sie häufig aus Spaß oder zur persönlichen Weiterbildung besuchen
Der Abschnitt „Logik“ hat mich angezogen und hat nicht enttäuscht. Man kann es kostenlos von der Website herunterladen
Es hieß „etwas älter und leider nicht kostenlos“; falls jemand danach sucht, es gibt es auch bei Anna's Archive
Ich wünschte, besonders kostenlose Lehrmaterialien wie die verlinkten würden mehr Lösungen bereitstellen. Ein Buch mit zu wenigen Lösungen erzeugt für mich ein zirkuläres Problem
Um zu wissen, ob meine Lösung richtig ist, muss ich das Konzept wirklich verstanden haben. Wenn ich das Konzept aber wirklich verstanden hätte, müsste ich die Aufgabe überhaupt nicht lösen. Ich weiß nicht, wie man ohne Feedback lernen soll
Dank PreTeXt habe ich viele interaktive Übungsaufgaben verwendet, die sich leicht in den Text einbauen lassen und bei denen Studierende eine Antwort eingeben und Feedback bekommen können, ob sie richtig ist. Für Rechenaufgaben passt das gut
Bei beweisbasierten oder theoretischen Aufgaben habe ich versucht, genügend Beispiele mit vollständigen Erklärungen bereitzustellen und auch einige Übungen mit Lösungen aufzunehmen. Gleichzeitig wollte ich denjenigen, die offenere Aufgaben ohne Lösungen möchten, diese Möglichkeit lassen
Damit andere Professoren dieses Buch sinnvoll im Unterricht einsetzen können, sind auch Aufgaben ohne Lösungen wichtig, die sich für benotete Leistungsnachweise verwenden lassen. Jedenfalls hoffe ich, dass dieses Material hilfreich ist
Wenn man außerhalb eines Klassenzimmers ohne externes Feedback aus einem Lehrbuch lernen will, muss man das Material deutlich aktiver lesen
Man kann jede Aussage im Text als informelle Übung betrachten. Wenn eine Behauptung auftaucht, ob Satz oder Aussage in einer Erklärung, sollte man versuchen, sie selbst zu beweisen oder zu rechtfertigen, bevor man weiterliest
Zum Beispiel sind die Theoreme 2.3.1 und 2.3.2 sehr ähnlich. Wenn man den Beweis von 2.3.1 verstanden hat, kann man 2.3.2 selbst versuchen. Wenn man stecken bleibt, liest man ein paar Sätze aus dem enthaltenen Beweis wie Hinweise; wenn man den Beweis abgeschlossen hat, vergleicht man ihn mit dem Beweis im Text
Wenn man aktiv genug liest, kann man den Stoff ziemlich gut lernen, ohne Aufgaben zu lösen. Es heißt oft, man brauche formale Problemlösung, um Mathematik zu lernen, aber das stimmt nicht. Viele Mathematiklehrbücher auf höherem Niveau haben gar keine formalen Übungen oder Aufgaben, und trotzdem lernen Menschen gut daraus
Natürlich ist das Lesen von Mathematik an sich eine eigene Fähigkeit, und man sollte nicht erwarten, dass es von Anfang an leicht ist. Ein persönlicher Lehrer wäre am besten, aber dieses Glück haben nur wenige
Zuerst von Hand lösen und dann mit einem Tool wie Mathematica oder OR-Tools modellieren, um zu prüfen, ob dieselbe Lösung herauskommt
Bei Mathematik auf niedrigerem Niveau wie Algebra oder Analysis funktioniert das noch besser. Für viele Aufgaben kann man Mathematica mit der Funktion
Solve[]verwenden und so sehen, ob man richtig oder falsch lagIn Algorithmuskursen ist derselbe Ansatz möglich. Man schreibt selbst ein naives Programm, das Testfälle einfach, aber zuverlässig löst, und vergleicht dann mit den Ergebnissen eines ausgefeilteren Algorithmus. Oder man verwendet eine Referenzimplementierung aus einer anderen Bibliothek. Zum Beispiel kann man die Ergebnisse eines eigenen Graphalgorithmus mit den Ergebnissen vergleichen, die Neo4j zurückgibt
Wenn es weniger ist, taugt es kaum mehr als Referenzbuch für Lehrende. Denn Lehrende müssen überprüfen, ob eine Lösung wirklich vollständig und korrekt ist
Als ich vor Jahrzehnten Ingenieurwesen und Wirtschaftswissenschaften studierte, wären meine Lösungen ohne Erklärungen oft unvollständig gewesen und hätten Details oder bestimmte Fälle ausgelassen
Auch PreTeXt, die XML-basierte Technologie, mit der dieses Buch erstellt wurde, könnte interessant sein: https://pretextbook.org/
Es ist schön, solch hervorragendes Material zu sehen. Besonders dankbar bin ich allen Autorinnen und Autoren, einschließlich der Lehrbuchautoren, die ihre Arbeit kostenlos online zugänglich machen.
Ihr Engagement ist deutlich zu erkennen. Dank solcher kostenlosen oder nahezu kostenlosen Materialien können viele Menschen ihre Bildung fortsetzen, darunter Selbstlernende oder Menschen mit begrenzten Ressourcen.
Ich hoffe, die Autoren wissen, dass ihre Arbeit wirklich sehr geschätzt wird.
Etwas spät, aber ich kann Susanna Epps Discrete mathematics with applications sehr empfehlen.
Es gibt ein paar Bücher mit ähnlichem Titel, aber Epps Buch ist erstaunlich gut geschrieben. Es steckt enorm viel Sorgfalt und Liebe zum Detail in diesem Lehrbuch, und das merkt man. Auch zum Selbststudium ist es hervorragend geeignet.
The Math Sorcerer hat auch ein Video über eine ältere Ausgabe gemacht; es ist eher eine liebevolle Hymne auf das Buch. Er scheint wirklich begeistert zu sein: https://www.youtube.com/watch?v=FPr5-X9nZc4
Wie viele Lehrbücher zur Diskreten Mathematik gibt auch der Abschnitt zur Methode der charakteristischen Wurzeln bei mehrfachen Wurzeln keinen Beweis für die Formel.
rist, entwickelt manx^2 - 2r + r^2und vergleicht die Terme, wodurch mana = 2r,b = -r^2erhält. Die Rekursion wird also zua(n) = 2r a(n-1) - r^2 a(n-2).Teilt man durch
r^n, ist das äquivalent zuc(n) = 2c(n-1) - c(n-2), wobeic(n) = a(n)/r^ngilt.Das ist die Rekursion mit konstanter Differenz
c(n) - c(n-1) = c(n-1) - c(n-2).Daher ist
c(n)eine arithmetische Folgec(n) = x*n + yfür gewisse durch die Anfangsbedingungen bestimmtex,y. Die ursprüngliche Folge ista(n) = c(n) r^n = (x*n + y) r^n.Mit linearer Algebra gibt es zum Beispiel einen recht knappen Beweis; ein Teil davon sieht so aus. Mir gefällt dieser Beweis, weil er nicht mit der angenommenen Form beginnt, sondern die Formel aus ersten Prinzipien herleitet.
Nehmen wir an, es gibt eine Folge
x_n, definiert durch die Rekursionx_{n+1} = a * x_{n-1} + b * x_n.Definiert man eine Vektorfolge aus jeweils zwei aufeinanderfolgenden Elementen
[x_0; x_1],[x_1; x_2],[x_2; x_3], ..., lässt sich die Beziehung als Matrix/Vektor-Produkt schreiben.[x_1; x_2] = [[0 1], [a b]] [x_0; x_1]Nennen wir die Vektorfolge
y_nund die MatrixM, dann gilty_1 = M * y_0.Der nächste Term ergibt sich als
y_2 = M * y_1 = M * (M * y_0) = M^2 * y_0, und per Induktion erhält many_n = M^n * y_0.Das charakteristische Polynom von
Mistr^2 - br - a = 0, und die Wurzeln sindr_1 = (b - c)/2,r_2 = (b + c)/2,c = √(b^2 + 4a).Durch Diagonalisierung erhält man daher
y_n = S * [[r_1^n 0], [0 r_2^n]] * S^(-1) * y_0, wobeiSdie Matrix der Eigenvektoren ist.Von hier aus kann man den Existenz- und Eindeutigkeitsbeweis über Existenz und Eindeutigkeit der Eigenwerte von
Mabschließen.Knuth fand geschlossene Formen rekursiver Folgen mit erzeugenden Funktionen, und wenn ich mich richtig erinnere, behandelte er kaum andere Methoden. Mein Kurs ging auf erzeugende Funktionen nicht ein, und die meisten anderen Lehrbücher, die ich gelesen hatte, ebenfalls nicht.
Interessant, dass dieses Buch das Thema behandelt. „Diskrete Mathematik“ kann offenbar sehr vieles sein.
Ich wünschte, ich würde mein Fachgebiet so sehr lieben, wie die Leute, die dieses kostenlose Lehrbuch schreiben, ihr eigenes lieben.
Das war mein Lieblingsfach an der Uni. Im ersten Jahr gefiel mir Diskrete Mathematik so gut, dass ich Mathematik und KI als Doppelstudium gewählt habe; Mathematik habe ich wegen formaler Verifikation gewählt.
Dort steht: „Das PDF wird bis zum 15. August verfügbar sein“, aber in der Seitenleiste steht nur „PDF coming soon“ :(
Wenn man sich für Kryptografie interessiert, ist Diskrete Mathematik dann ein guter Ausgangspunkt? Sicher besser als Analysis, oder?