- Tom Leinster hat die Materialien zur Galois-Theorie, die er in seinen Bachelor-Vorlesungen in Edinburgh von 2021 bis 2023 verwendete, über arXiv und seine Website veröffentlicht
- Die Materialien bestehen aus Vorlesungsnotizen, rund 40 kurzen Erklärvideos, Übungsaufgaben und fast 500 Multiple-Choice-Fragen und eignen sich damit auch zum Selbststudium
- Diese Notizen scheinen mehr Aufmerksamkeit erhalten zu haben als seine zuvor veröffentlichten Materialien zu Fourier analysis, general topology, linear algebra und category theory; eine Ausnahme sind die Category-Theory-Notizen, die auch als Buch erschienen sind
- Die erste Vorlesung fand während des vollständigen Covid-Lockdowns statt, wodurch persönliche Interaktion schwierig war; deshalb waren sorgfältigere Anleitung und Struktur als üblich nötig
- Neben der inhaltlichen Sorgfalt dürften auch die visuelle Gestaltung mit Farben und kleinen Icons die Zugänglichkeit erhöht haben; Notizen, Videos und Aufgaben bleiben als nützliche öffentliche Lernmaterialien erhalten
Vorlesungsmaterialien zur Galois-Theorie in Edinburgh veröffentlicht
- Tom Leinster hat seine Vorlesungsnotizen zur Galois theory für Bachelor-Studierende in Edinburgh auf arXiv gestellt
- Die Vorlesung wurde von 2021 bis 2023 gehalten
- Die Notizen waren bereits zuvor auf seiner Website verfügbar, doch die arXiv-Einreichung verzögerte sich, weil er den Großteil der übrigen Kursmaterialien gemeinsam veröffentlichen wollte
- Die veröffentlichten Materialien sind unter Galois theory course materials zu finden
- In sich abgeschlossene und eigenständige Vorlesungsnotizen
- Rund 40 kurze Erklärvideos
- Viele Übungsaufgaben
- Fast 500 Multiple-Choice-Fragen
Unterschiede zu früher veröffentlichten Materialien
- Leinster hat auch früher schon mehrere Vorlesungsnotizen veröffentlicht
- Die Notizen zur Galois-Theorie scheinen mehr Aufmerksamkeit erhalten zu haben als diese
- Eine Ausnahme bilden die Category theory-Notizen, aus denen auch ein Buch wurde
Sorgfältige Struktur durch die Lockdown-Situation
- Die erste Vorlesung fand während des vollständigen Covid-Lockdowns statt
- Die Studierenden hatten keine Möglichkeit zu persönlicher Interaktion
- Leinster kam zu dem Schluss, dass die Studierenden mehr Anleitung als üblich brauchten
- Zu den Gründen für die Aufmerksamkeit für die Notizen könnte neben der sorgfältigen inhaltlichen Struktur auch das ansprechende Erscheinungsbild gehören
- Farben
- Kleine Icons
- Insgesamt eine visuelle Gestaltung, die leichter lesbar ist
Ziel der veröffentlichten Materialien
- Leinster hofft, dass die veröffentlichten Notizen, Videos und Aufgaben den Menschen Freude bereiten
1 Kommentare
Hacker-News-Kommentare
Ich habe Elektrotechnik studiert, aber an der Universität Galois-Theorie gelernt, eher zufällig in Edinburgh. Im vierten Jahr habe ich Advanced Mathematics als eine Art Selbstkasteiung gewählt; der Kurs war sehr klein, und unterrichtet wurde er von einem „echten Mathematiker“, der jeden Tag aus dem Mathe-Fachbereich herüberkam
Ich hatte viel Mathematikausbildung, aber das war wohl das einzige Mal, dass ich direkt von jemandem unterrichtet wurde, der neue Mathematik erschafft und Arbeiten veröffentlicht. Er lehrte Galois-Theorie anhand von Anwendungen in der Codierungstheorie, und ehrlich gesagt war das ein Wendepunkt in meinem Leben
Über die Konstruktion des regelmäßigen 17-Ecks habe ich danach nie wieder nachdenken müssen, und Duelle sowie Montparnasse meide ich jetzt definitiv auch. Scherz beiseite: Es fühlte sich an, als ginge mir ein Licht auf, und später war es für meine Karriere sehr hilfreich, wenn ich Leuten begegnete, die mit ECC oder ZKP klug wirken wollten. Es war genau das Gegenteil von den Leuten, die sagen: „Nichts von dem, was ich an der Uni gelernt habe, habe ich je benutzt.“
Das Buch von Ian Stewart ist hervorragend fürs Selbststudium und enthält auch einen interessanten historischen Hintergrund
https://www.taylorfrancis.com/books/mono/10.1201/97810032139...
Später in diesem Jahr, wahrscheinlich im Winter, möchte ich, wenn ich gut vorankomme, einen Buchclub zu diesem Buch starten. Wenn jemand Lust hat, so ein Buch gemeinsam zu lesen und den Fortschritt zu teilen, würde ich euch gern in den IRC- und Matrix-Kanal #bitwise einladen. Die beiden Kanäle sind gebridged, ihr könnt also auf beiden Wegen dazukommen
In dem Kanal sind HN-Nutzer und Leute aus anderen Kanälen wie ##math, ##physics und #cs; es ist ein Online-Ort, um Fortschritte und Inhalte zu Mathematik- und Computerbüchern, die man gerade liest, miteinander zu teilen
[1] https://web.libera.chat/#bitwise
[2] https://app.element.io/#/room/#bitwise:matrix.org
https://bookstore.ams.org/view?ProductCode=STML/95
Die Art, wie Theorien heute gelehrt werden, ist oft durch die Weiterentwicklung mathematischen Denkens und der Notation rekonstruiert worden; deshalb war es auch sehr spannend, die ursprünglichen Arbeiten aus der Zeit davor zu lesen. Dafür kann ich Peter Neumanns The mathematical writings of Evariste Galois sehr empfehlen (https://ems.press/books/hem/102). Es enthält den französischen Originaltext und eine wörtliche englische Übersetzung nebeneinander sowie Anmerkungen, die den Kontext und mögliche Gedankengänge erklären. Ich habe damals gerade Französisch gelernt, daher machte es zusätzlich Spaß, mehr Französisch zu lesen
Kapitel 1 ist hervorragend
Ich sage seit Jahren, dass Mathematikvorlesungen mehr Kontext brauchen. Man kann X, Y und Z beweisen, und dieser Kurs lehrt genau das, aber das motivierende Problem, das uns überhaupt dazu gebracht hat, X, Y und Z zu können, wird nur im Vorbeigehen behandelt.
Wenn man etwas gelöst hat, kann man es wieder in eine allgemeinere Form bringen, und diese Rekonstruktion wird selbst zu einem Gegenstand. Dass sich die Entwicklung auf diese Weise fortsetzt, ist großartig, aber für Lehrzwecke bleibt es viel besser im Kopf, wenn man nicht nur das Ziel, sondern auch die Reise lehrt. Wenn man in Analysis I einbauen würde, welches Problem Newton zu lösen versuchte und warum, könnte man Studierende viel stärker einbinden. Es gäbe dann eine Geschichte, der man folgen kann, und einen Grund, etwas zu lernen.
Dem Autor von Kapitel 1 gebührt großes Lob. Der Rest ist vermutlich auch gut, aber ich hatte bisher nur Zeit, Kapitel 1 zu überfliegen. Ich denke, das gilt nicht nur für Mathematik, sondern für fast alle Fächer.
Im Studium habe ich bei einer Mathe-Nachhilfeeinrichtung gearbeitet, wo die Analysis-Kurse in Varianten für Ingenieur- und Naturwissenschaften sowie für Management und Wirtschaft aufgeteilt waren. Wenn Newtonsche Mechanik spannend ist oder zum Studienfach passt, ist so ein Ansatz sehr gut, aber bei Studierenden aus Fächern wie Biologie oder Wirtschaftsingenieurwesen habe ich oft gesehen, dass ihnen gerade die physikalischen Anwendungen im Lehrbuch zusätzliche Schwierigkeiten bereiteten.
Die Studierenden kamen mit einem einzigen Problem: „Analysis ist schwer“, und plötzlich hatten sie zwei Probleme, weil sie zum Verständnis der Analysis auch noch Physik verstehen mussten. Es gab Studierende, die mit Differentiation und Integration selbst gut zurechtkamen, aber blockierten, sobald physikalische Aufgaben hineingemischt wurden. Die Fähigkeit, reale Probleme in Mathematik zu übersetzen, ist wichtig, aber wenn sich ein bestimmtes Fachgebiet einmischt, das einen nicht interessiert, wird es zu einem noch größeren Hindernis.
Bei BWL-Studierenden war es ähnlich. Die meisten Tutor:innen kamen aus Ingenieurfächern und hatten deshalb Schwierigkeiten, BWL-Studierenden zu helfen, die Lehrbücher mit vielen Beispielen verwendeten, für die grundlegende Finanzkenntnisse nötig waren. Finanzgrößen sind oft nicht kontinuierlich, sondern diskret, was die Verwirrung der Tutor:innen noch vergrößerte.
Wenn man eine Anwendung finden kann, die die Studierenden interessiert, sollte man diesen Ansatz natürlich verwenden. Aber in einem allgemein einsetzbaren Lehrbuch behindert die Wahl einer bestimmten Anwendung das Lernen vieler Studierender, die daran kein Interesse haben.
Wenn man lernt, wie sich Mathematik im Lauf der Zeit entwickelt hat und wie Menschen früher wichtige Probleme gelöst haben, hilft das dann dabei, heute andere Probleme zu lösen? Vor ein paar Jahren habe ich mir das dreibändige Set Mathematical Thought from Ancient to Modern Times gekauft, aber ich hatte nie Zeit, über die ersten Kapitel hinauszukommen. Falls jemand Empfehlungen für solche großen Werke zur Mathematikgeschichte hat, wäre ich interessiert.
Seltsamerweise habe ich es nach der Lektüre von David Foster Wallaces Everything and More viel besser verstanden. Dort werden die Paradoxien und Sackgassen erklärt, auf die Mathematiker stießen, bevor Cauchy und andere die Sache rigoros machten. Wallace war ein postmoderner Romanautor; warum er Unendlichkeit so klar erklären konnte, weiß ich nicht. Seine anderen Werke haben mir nicht gefallen.
Mit einem Programmiererhirn muss ich, egal ob ich t^3 = 2 löse oder t^100 + t + 1 = 7 numerisch löse, in beiden Fällen Iterationsverfahren wie das Newton-Verfahren verwenden. „Es gibt einen n-te-Wurzel-Knopf“ ist kein Argument. Man hätte ja auch einen allgemeineren Newton-Knopf einbauen können.
Die beiden Fälle wirken nicht grundlegend verschieden. Warum ist es wichtig, ob etwas durch Wurzeln lösbar ist? Es fühlt sich fast genauso willkürlich an wie zu fragen, ob man es lösen kann, ohne die Zahl 2 zu verwenden. Mich würden eher andere Bedeutungen von Lösbarkeit interessieren, etwa durch Iterationsverfahren, das Newton-Verfahren oder quadratische Konvergenz.
Ich habe mit Studierenden einiger anderer Universitäten gesprochen, und sie hatten ähnliche Erfahrungen. Damals mochte das niemand. Mein Professor hat mindestens zwei Vorlesungen damit verbracht, nur Geschichte an die Tafel zu schreiben, und wir fanden das ziemlich langweilig. Allerdings waren wir Mathematik-Doktorand:innen und brauchten keine Motivation.
Die Galois-Theorie ist, finde ich, die Erklärung und der Höhepunkt theoretischer Mathematik, über deren Motivation und Inhalt man sogar mit Menschen sprechen kann, die Mathematik nicht mögen, etwa am Abendbrottisch
Wenn man mit der Mitternachtsformel beginnt, erinnern sich fast alle noch an irgendetwas. Dann spricht man darüber, x in Polynomen zu lösen, und geht dazu über, ob man x immer lösen kann und was das überhaupt bedeutet. Wenn man ein Polynom zeichnet, schneidet es die x-Achse, also gibt es eine Lösung, aber bedeutet das auch, dass man es mit einer Formel in den Koeffizienten lösen kann? Das deutet auf den Fundamentalsatz der Algebra hin, dass jedes Polynom n-ten Grades über den komplexen Zahlen n Lösungen hat.
Es ist allerdings schwer zu erklären, wie das Lösen durch Wurzeln damit zusammenhängt, dass es eine Formel für x in den Koeffizienten des Polynoms gibt.
Das Ergebnis ist, dass es für allgemeine Polynome fünften Grades und höher keine Formel für x gibt, die in den Koeffizienten ausgedrückt ist und nur die vier Grundrechenarten sowie das Ziehen von Wurzeln verwendet. Die Galois-Theorie beweist das.
Dass Galois dafür Anerkennung bekommt, liegt daran, dass es enorme Vorstellungskraft erforderte, überhaupt darüber nachzudenken, wie man „es gibt keine Formel“ formalisieren und beweisen könnte. Der Kern ist, was es bedeutet, dass es keine Formel gibt, und wie man das sauber aufstellt und beweist.
Die Galois-Theorie liefert viel mehr Einsichten und macht verständlich, warum manche Gleichungen fünften Grades durch Wurzeln lösbar sind und so weiter. Aber Galois sollte nicht die Anerkennung für den Beweis erhalten, dass es keine Formel für die Quintik gibt. Zumindest war er nicht der Erste.
In meinen Kursen zur abstrakten Algebra an der Universität blieb die Galois-Theorie immer als eine Art Schlussakkord in Erinnerung. Galois war ein brillanter mathematischer Kopf, und ich frage mich, was er noch beigetragen hätte, wenn er nicht mit 20 in einem Duell gestorben wäre
https://en.wikipedia.org/wiki/%C3%89variste_Galois
Vor einigen Jahren habe ich mit Charles C. Pinters A Book of Abstract Algebra eine Lerngruppe geleitet. Am Ende führte das zur Galois-Theorie, und es war eines der besten Bücher, die ich je in einer Mathematik-Lerngruppe verwendet habe
Ich erinnere mich auch an die Galois-Abschnitte im hinteren Teil des Buches. Dort gab es auch interessante Teile über die Geschichte der Lösung polynomialer Gleichungen, insbesondere über die Geschichte der Lösung von Gleichungen beliebigen Grades
Aus der Perspektive eines Nicht-Mathematikers frage ich mich, ob dieser Artikel in Simple Wikipedia ungefähr richtig ist. Als bescheidener Ingenieur habe ich Galois-Theorie immer in Listen von Mathematikvorlesungen gesehen und mich gefragt, was das eigentlich ist
https://simple.m.wikipedia.org/wiki/Galois_theory
Galois’ brillante Einsicht war die fundamentale Verbindung zwischen Körpern und Gruppen, aber das ist eher eine „Technik“ zum Lösen von Problemen. Warum man das überhaupt machen will, ist etwas komplizierter, aber kurz gesagt wollte Galois Kriterien aufstellen, um zu entscheiden, ob ein bestimmtes Polynom über einem bestimmten Körper lösbar ist oder nicht
Zum Beispiel wissen wir, dass x^2 = -1 über den komplexen Zahlen C mit x = i lösbar ist, über den reellen Zahlen aber nicht. Die Frage ist, ob man so einen Beweis so weit verallgemeinern kann, dass er sich für beliebige Körper und beliebige Polynome mechanisch durchführen lässt
Ich habe versucht, die Fragen, die zur Galois-Theorie führen, unter https://news.ycombinator.com/item?id=41258726 so zu motivieren, dass auch praktisch orientierte Programmierer und Ingenieure einen Zugang dazu finden
Im zweiten Algebra-Semester gab es eine Einheit zur Galois-Theorie, aber damals fühlte sie sich wie abstruser abstrakter Kram an, und ich habe sie nicht verstanden. Ich würde dieses Material gern durcharbeiten, um zu sehen, ob sich meine Sichtweise inzwischen geändert hat
Die Hauptmotivation der Galois-Theorie war der Beweis der Unmöglichkeit einer allgemeinen Lösung für Gleichungen fünften Grades. Die allgemeine Formel zur Lösung quadratischer Gleichungen ax^2 + bx + c = 0 war schon seit Jahrtausenden bekannt, und mit viel Mühe fanden Mathematiker später auch Formeln für kubische und quartische Polynome. Aber eine geschlossene Formel für Gleichungen fünften Grades fand niemand
Galois und Abel bewiesen schließlich, dass es keine Formel fünften Grades gibt. Zumindest keine, die sich mit Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division, Potenzierung und Wurzeln ausdrücken lässt. Man kann sogar konkrete Gleichungen wie x^5 - x + 1 identifizieren, deren Wurzeln sich nicht in dieser Form ausdrücken lassen
Ich habe eine ganze Vorlesung besucht, die diesen Beweis behandelte, und tatsächlich war sie sehr interessant. Man etabliert eine tiefe Entsprechung zwischen Gruppen und Körpern, so dass sich Theorie über Gruppen in Theorie über Körper und umgekehrt übersetzen lässt. Außerdem liefert sie ein sehr mächtiges Werkzeug zur Analyse von Symmetrien
Der eigentliche Beweis ist fast schon ernüchternd. Wenn man erst einmal einen großen Stapel tiefer Beweise über die Struktur der Wurzeln polynomialer Gleichungen aufgebaut hat, sieht man am Ende nur noch, dass die Symmetriestruktur eines bestimmten Polynoms fünften Grades wie x^5 - x + 1 nicht zu den Symmetrien der grundlegenden Rechenoperationen passt. Wörtlich gesagt entspricht der Lösungskörper dieses Polynoms keiner auflösbaren Gruppe: https://en.wikipedia.org/wiki/Solvable_group
Auf fast genau demselben Weg beweist man auch, dass eine Winkeldreiteilung nur mit Zirkel und Lineal unmöglich ist. Dieses Problem hat Mathematiker über Jahrtausende beschäftigt. Fast ein wenig enttäuschend ist, dass, nachdem man ein Semester lang „abstrusen abstrakten Kram“ wie Gruppen, Körper und Körpererweiterungen definiert hat, der Beweis der Unmöglichkeit einer allgemeinen Lösung fünften Grades nur 10 Minuten dauert – und der Beweis der Unmöglichkeit der Winkeldreiteilung ebenso
Es gibt einige interessante Berührungspunkte der Galois-Theorie mit Compilern und Programmierung
Die abstrakte Interpretation bildet potenziell unendliche Mengen von Programmverhalten auf einfachere, oft endliche, korrekt approximierende und leichter zu analysierende Modelle ab. Dabei verwendet man Galois-Verbindungen, was sich als Analogie zur Galois-Theorie sehen lässt, die unendliche Körper mit endlichen Gruppen verknüpft. Bei Value Numbering denke ich oft an solche Dinge
Und vielleicht ist das etwas weit hergeholt, aber es ist auch interessant, die Erweiterung eines Berechnungsbereichs wie der ganzen Zahlen um zusätzliche Werte wie Fehlerwerte als eine Art Körpererweiterung zu sehen. Wie bei Körpererweiterungen entstehen dabei manchmal unerwartete Komplexitäten, etwa der Verlust eindeutiger Faktorisierung oder Dinge wie LLVMs poison und undef oder NaN
Im Kern erlaubt sie eine korrekte Approximation der erreichbaren Zustandsmengen eines Programms. Dadurch kann man prüfen, ob bestimmte schlechte Zustände unerreichbar sind oder ob bestimmte Prüfungen nutzlos sind und entfernt werden können. Eine weitere Anwendung ist der neue Borrow Checker von Rust, der auf mehreren Dataflow-Pässen beruht, um für jeden Programmpunkt zu bestimmen, welche Variablen lebendig und ausgeliehen sind
Zur Aussage „Es gibt keine Möglichkeit,
iund-izu unterscheiden“: Ich weiß bis heute nicht, wie man rein algebraisch ein linkshändiges Koordinatensystem von einem rechtshändigen unterscheidet.Ist die Basis
[(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)]linkshändig oder rechtshändig? Ohne Zeichnung weiß ich es nicht. Würde mich interessieren, ob das jemand weiß.„Links“ und „rechts“ sind ein Dipol. Das eine existiert nicht ohne das andere, und sie sind zueinander symmetrisch. Das ist dasselbe Problem wie bei den Konjugierten, die in der Galois-Theorie diskutiert werden.
Tatsächlich kann es aus algebraischer Sicht — also nicht aus der Perspektive von Ordnung, Arithmetik oder Analysis — irreführend sein, die Konjugierten von Körpererweiterungen wie
sqrt2oderiüberhaupt mit+und-zu bezeichnen. Für solche Konjugiertenpaare wären Left und Right eigentlich bessere Namen als+und-. Erst wenn man eine arithmetische Ordnung einführt, wird die Schreibweise+und-sinnvoll. Zum Beispiel kann man, wennxeine positive reelle Zahl ist, sagen:-sqrt(x) < 0 < +sqrt(x).Wenn
xeine negative reelle Zahl ist, wird das Problem sofort sichtbar.-iundilassen sich durch eine Ordnung bezüglich 0 nicht trennen.Komplexe Zahlen sind ihrem Wesen nach die Theorie eines zweidimensionalen Raums. Die Frage betrifft einen dreidimensionalen Raum. Der zitierte Satz sagt uns theoretisch, dass man oben und unten nicht unterscheiden kann.
In jedem dreidimensionalen Raum steckt ein zweidimensionaler Raum. Es gibt verschiedene Arten, das zu sehen, aber am einfachsten ist es, die z-Koordinate wegzulassen.
Wenn man in einem dreidimensionalen Raum links- und rechtshändig unterscheiden könnte, gäbe es damit auch eine Möglichkeit, in dem darin enthaltenen zweidimensionalen Raum oben und unten zu unterscheiden. Aber weil diese Unterscheidung im zweidimensionalen Raum nicht möglich ist, kann man auch im dreidimensionalen Raum links- und rechtshändig nicht unterscheiden.