Claude Fable erstellt ein Gegenbeispiel zur Jacobi-Vermutung

• Eine als von Claude Fable erstellt vorgestellte polynomiale Abbildung hat eine konstante Jacobi-Determinante von -2 und bildet drei verschiedene Punkte auf denselben Punkt ab; sie ist damit ein Gegenbeispiel zur Jacobi-Vermutung
• Diese Abbildung ist auf ℂ³ → ℂ³ definiert, und alle drei Komponenten bestehen aus Polynomen in x, y und z
• Die unterschiedlichen Punkte (0, 0, -1/4), (1, -3/2, 13/2) und (-1, 3/2, 13/2) werden alle auf (-1/4, 0, 0) abgebildet, die Abbildung ist also nicht injektiv
• Die Jacobi-Determinante und die Funktionswerte zweier Eingabepunkte lassen sich jeweils über die verlinkten Wolfram|Alpha-Berechnungen überprüfen
• Obwohl die Abbildung eine konstante, von 0 verschiedene Jacobi-Determinante hat, ist sie nicht injektiv; die angegebenen Formeln widerlegen damit die Jacobi-Vermutung in ℂ³

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Polynomiale Abbildung und Jacobi-Determinante

• Die Abbildung ℂ³ → ℂ³ besteht aus den folgenden drei polynomialen Komponenten
  • Erste Komponente: (1+xy)^3z + y^2(1+xy)(4+3xy)
  • Zweite Komponente: y + 3x(1+xy)^2z + 3xy^2(4+3xy)
  • Dritte Komponente: 2x - 3x^2y - x^3z
• Die Jacobi-Determinante dieser Abbildung ist -2
• In der Wolfram|Alpha-Berechnung lässt sich der Determinantenwert überprüfen

Drei Eingabepunkte, die die Injektivität verletzen

• Die folgenden drei Punkte sind verschieden, werden aber alle auf (-1/4, 0, 0) abgebildet
  • (0, 0, -1/4)
  • (1, -3/2, 13/2)
  • (-1, 3/2, 13/2)
• Auch die Funktionswerte des ersten und zweiten Eingabepunkts lassen sich über die verlinkte Wolfram|Alpha-Berechnung überprüfen
• Daher ist diese polynomiale Abbildung nicht injektiv und wird, zusammen mit der Bedingung einer konstanten und von 0 verschiedenen Jacobi-Determinante, zu einem Gegenbeispiel zur Jacobi-Vermutung

[GN⁺]

Meinungen auf Hacker News

• Vor gut zehn Jahren traf ich einmal einen Postdoc, der glaubte, etwas gefunden zu haben, das einem Gegenbeispiel zur Jacobi-Vermutung nahekam. Er und ein Kollege nutzten binäre Bäume für die Koeffizientenabbildung und gingen per Brute Force Polynome mit etwa 16 Variablen und jeweils 80 bis 700 Termen durch.
  Damals erwartete man, dass die untere Schranke für (\max(\deg(P),\deg(Q))) eines Gegenbeispiels ((P,Q)) bis auf 200 steigen würde. Dass Claude Fable nun ein Gegenbeispiel vom Grad 7 gefunden hat, ist kaum zu glauben; es fühlt sich wirklich nach einer neuen Ära an.

  • Hier wurden wohl der Fall mit 2 Variablen und der mit 3 Variablen verwechselt. Ersterer wurde tatsächlich bis Grad 150 und darüber hinaus geprüft; dieses Gegenbeispiel betrifft 3 Variablen.
  • Ich frage mich, ob dieses Gegenbeispiel damals nicht auch im Suchraum enthalten gewesen wäre.

• Der erstaunliche Mathematiker Yitang Zhang investierte sieben Jahre darauf, diese Vermutung zu beweisen. Sein Betreuer Moh schrieb, Zhang sei mit dem Beweis der Jacobi-Vermutung „kläglich gescheitert“, habe nach seinem Weggang von Purdue „keinen einzigen Aufsatz über algebraische Geometrie veröffentlicht“ und „sieben Jahre seines Lebens und meine Zeit verschwendet“.
  https://newyorker.com/magazine/2015/02/02/pursuit-beauty
  https://x.com/aminkarbasi/status/2079129649830137989
  https://en.wikipedia.org/wiki/Yitang_Zhang

  • Das ist T.T. Mohs Bericht über Zhangs Zeit in Purdue: https://www.math.purdue.edu/~ttm/ZhangYt.pdf
    Schon dass so ein Dokument tatsächlich existiert, ist erstaunlich.

• Ein seltener Fall, in dem man einem LLM bahnbrechende Informationen gibt und stattdessen das LLM in geistige Verwirrung gerät. Als ich es in Claude Code eingab, verifizierte es das Ganze auf sieben verschiedene Arten, um zu 100 % sicherzugehen, und zeigte sich dann entsetzt; das war ziemlich beeindruckend.

  • Ich gab ChatGPT ohne jeden Kontext nur die Abbildung und sagte: „Erzähl mir etwas über diese Funktion.“ Es berechnete die Jacobi-Matrix und Ähnliches, bemerkte dann die Tragweite dessen, was es sah, prüfte die Arithmetik viermal nach und verdächtigte schließlich sogar SymPy, manipuliert worden zu sein, woraufhin es die Sache mit einem spontanen symbolischen Prüfer manuell verifizieren wollte.
  • Ich habe bestätigt, dass Claude entsetzt reagiert. Gemini suchte zuerst im Web und zitierte bereits die Nachricht; Kimi ließ sich kaum überzeugen.
  • Wer hätte gedacht, dass „DOES NOT COMPUTE“ einmal zur Realität wird.
  • Das wirkt wie das mathematische Pendant zum Einhorn-Emoji-Phänomen, wenn ein LLM unwiderlegbare Belege gegen eine Aussage erhält, an die es „zutiefst geglaubt“ hat.
  • Ich habe gehört, dass Mathematiker einen ähnlichen Prozess durchlaufen, wenn ein seltsamer Beweis aus einer dubiosen Quelle oder sogar von ihnen selbst am Ende doch korrekt ist. Weil sie ständig unsinnige Beweise von Amateuren bekommen, ist die Wahrscheinlichkeit eines fatalen Fehlers überwältigend hoch; und bei eigenen Beweisen gibt es den blinden Fleck, dass man die eigenen gedanklichen Sprünge nur schwer kritisch betrachtet.
    Daher verdächtigt man sich ständig, etwas übersehen zu haben, prüft wieder und wieder auf verschiedene Arten und ist fast am Zusammenbrechen, bevor man öffentlich vorsichtig die Möglichkeit eines neuen Durchbruchs anspricht.

• Der Vorteil solcher mathematischen Aufräumarbeiten ist, dass jetzt niemand mehr Zeit damit verschwenden muss, die Wahrheit der Vermutung zu beweisen. Als Nächstes wäre es schön, wenn ein LLM die Collatz-Vermutung löst und damit die enorme Zahl an Personenjahren spart, die ahnungslose Opfer hineingesteckt haben.

  • Der Grund, warum dieses Problem „leicht“ war, liegt darin, dass die Vermutung falsch war. Wenn die Collatz-Vermutung, wie die meisten Mathematiker erwarten, wahr ist, dürfte sie wesentlich schwerer zu beweisen sein als ein durchschnittliches Erdős-Problem.
  • Damit ist es nicht vorbei. Der nächste Schritt ist herauszufinden, für welche Arten von Polynomen die Jacobi-Vermutung wahr ist und für welche sie falsch ist.
  • Um die Jahrhundertwende war ich ein junger Mathematiker; die Formulierung „Zeit damit verschwenden, etwas zu beweisen“ ist MBA-Denke, nach der man ständig Ergebnisse und Papers produzieren muss.
    Wer sich an schwierigen Problemen versucht, versteht selbst bei einem Scheitern viele Ergebnisse und Werkzeuge tiefer und kann sie auf andere Probleme anwenden; das ist überhaupt keine Zeitverschwendung. Extreme Fälle, in denen man viele Jahre auf ein einziges Problem verwendet, sind die Ausnahme.

• Es gibt sicherlich Probleme damit, per LLM massenhaft Code oder Beweise von fragwürdiger Qualität zu erzeugen, und ich verstehe die endlosen Debatten. Aber bei der Suche nach Gegenbeispielen ist Brute Force ohnehin schon üblich; ein LLM wie eine weiterentwickelte Form von Brute Force einzusetzen, scheint genau der richtige Ansatz zu sein, und ich verstehe schwer, warum die Reaktionen so feindselig sind.

  • Wenn Maschinen in Bereichen, in denen früher nur das menschliche Gehirn etwas taugte, immer geschickter werden, wird das für viele sehr schwer werden. In der Feindseligkeit mischen sich meiner Ansicht nach die Haltung „Vor dem Beweis kann alles Unsinn sein“ und die Angst, „viel von dem zu verlieren, was uns Menschen als erstaunlich erscheinen ließ“.
    In den kommenden Jahren wird Mitgefühl enorm wichtig werden; wir werden innerlich wie äußerlich darunter leiden.
  • Ohne das Reasoning-Protokoll von Fable gesehen zu haben, das zu diesem Ergebnis führte, es als fortgeschrittene Brute Force einzuordnen, wirkt wie ein Sprung.

• Ich betreibe seit einigen Monaten Vibe Coding für Mathematik mit KI, und es ist erstaunlich einfach möglich. Der schwierige Teil ist, die Ergebnisse selbst zu prüfen und ihre Gültigkeit zu bestätigen; mit einer kleinen Entdeckung habe ich eine Vermutung widerlegt und mein erstes Paper geschrieben.
  Die nächsten Entdeckungen sind in Quanten-Topologie und Physik ziemlich substanziell, daher prüfe ich sie sehr streng und bereite die Veröffentlichung vor. Die Zeit für die Verifikation war länger als die Entdeckung selbst.
  Falls dich Zahlentheorie interessiert, ist mein erstes Paper hier: https://arxiv.org/abs/2607.09793

  • Ich habe Physik studiert und früher auch Papers veröffentlicht, bin aber schon lange aus der Wissenschaft raus. Als ich mit Claude Probleme aus der Physik löste, die Mathematik und Simulationen vermischen, geriet einiges ziemlich durcheinander.
    Die Fähigkeit, ein Problem aufzusetzen und Ansätze vorzuschlagen, an die ich nicht gedacht hatte, ist erstaunlich, aber die Fähigkeit zur Interpretation der Ergebnisse war deutlich schwächer.
  • Mich interessiert, bis zu welchem Grad du beim Arbeiten versuchst, es selbst zu verstehen. Ich würde gern wissen, wie viele Abstraktionsebenen hinunter du dein eigenes Verständnis bringst, verglichen mit einem Vorgehen nach Bauchgefühl an der Oberfläche.
  • Ich mache dasselbe in der Typentheorie.

• Da der Poster bei Anthropic arbeitet, hat er sehr wahrscheinlich internen Zugriff auf die nächste Fable-Generation. Die internen Modelle sind in Mathematik unglaublich stark und dürften auch in bald erscheinenden Benchmarks neue Rekorde bei der Mathematikleistung aufstellen.
  Das könnte auch der Grund sein, warum er die tatsächlichen Prompts und Reasoning-Protokolle nicht offenlegen will. Bis das Modell offiziell erscheint, fällt es vermutlich unter eine Geheimhaltungsvereinbarung.

• Die Schlussfolgerung scheint einen zu großen Sprung zu machen. Da Sol denselben Gegenbeispiel unabhängig finden kann, gibt es keinen Grund zu schließen, dass ein Fable 6 existiert, das die Benchmarks überwältigend schlägt.
  [1]: https://x.com/aaron_lou/status/2079218392452530249

  • Nicht besonders aufregend. Zu der Party mit Zugang zur besten KI war ich nicht eingeladen, und ich sehe auch kaum, dass die Eingeladenen meine Interessen gut vertreten.

• Es ist erstaunlich, dass die Leute nicht fragen: Wie hat Fable dieses Gegenbeispiel gefunden? Ich frage mich, ob es mehrere Polynomfamilien vermutet und dann in jeder Familie mögliche Lösungen gesucht hat, ob es eine clevere Suche war oder ob etwas anderes dahintersteckte.

  • In dieser Claude-Unterhaltung gibt es einige Vermutungen: https://claude.ai/share/22abed98-d9af-43c5-9881-b19e009a07b0
    Die Quelle ist hier: https://x.com/b_shrir/status/2079094004885668003?s=20
    Kurz gesagt: In der bestehenden Literatur gibt es ein fehlerhaftes Gegenbeispiel, das bis auf einen Pol fast überall gilt. Fable scheint dieses Polynom als Grundlage genommen und es unter Bewahrung der Struktur so erweitert zu haben, dass der Pol entfernt wird.
  • Alle logischen Schritte werden in eine formale Verifikation mit Lean übertragen. Durch eine schnelle Feedback-Schleife zwischen der von der KI geschriebenen Erklärung und den Verifikationsfehlern bzw. Warnungen von Lean lässt sich logische Konsistenz sicherstellen.
    Was weiterhin bleibt, ist die Frage, ob die Beweisidee wirklich die gewünschte Aussage beweist und wie das erhaltene Ergebnis zu interpretieren ist. Abgesehen davon ist alles innerhalb des vom Kernel geprüften Codes logisch konsistent.

• Dass das Gegenbeispiel so klein ist, zeigt gut, in welchem Bereich künftig viele interessante Ergebnisse entdeckt werden dürften. Nicht weil das Problem extrem schwierig wäre, sondern weil Intelligenz schwer zu skalieren war und sich vor der Zeit, in der Computer das übernehmen können, nur wenige ernsthaft in solche Probleme vertieft haben.
  Ich bin sehr gespannt, welche Auswirkungen dieser Effekt in Wissenschaft, Medizin und anderen Bereichen haben wird.

• Da ich mich mit Mathematik nicht gut auskenne, könnte mein Verständnis auf dem Niveau eines Fünfjährigen hilfreich sein oder korrigiert werden. Diese Vermutung bedeutet, dass man einen bestimmten Prozess immer rückwärts laufen lassen kann, um die ursprüngliche Eingabe herauszufinden; dieser Beweis zeigt, dass mehrere Eingaben dieselbe Ausgabe erzeugen.
  Daher kann man aus der Ausgabe die Eingabe nicht zurückrechnen, womit die Vermutung falsch wird.

  • Damit eine Umkehrfunktion existiert, gibt es die Voraussetzung eines von null verschiedenen konstanten Jacobi-Determinanten, und diese Umkehrfunktion muss außerdem eine bestimmte Form haben, nämlich ebenfalls ein Polynom sein. Dieses Gegenbeispiel erfüllt die Voraussetzung und schickt zugleich zwei verschiedene Eingaben auf dieselbe Ausgabe, sodass unabhängig davon, ob sie polynomial ist oder nicht, überhaupt keine Umkehrfunktion existieren kann.
    Das ist vielleicht schon eine Erklärung auf dem Niveau eines Siebenjährigen.
  • Die Vermutung betrifft nur eine bestimmte Art von Prozessen. Fable hat einen konkreten Prozess gefunden, der zu dieser Klasse gehört, sowie drei konkrete Eingaben, die dieselbe Ausgabe liefern. Natürlich würden auch zwei ausreichen.
    „Konkret“ bedeutet hier, dass sie sich als endliche Zeichenkette darstellen lassen.
  • Dass sie im allgemeinen Fall falsch ist, war bereits bekannt. Es gibt viele Probleme, die allgemein falsch sind, aber wahr werden, wenn man sie auf Polynome beschränkt.