Erste Form entdeckt, die nicht durch sich selbst hindurchpassen kann

• Mathematiker haben erstmals eine dreidimensionale Form entdeckt, die nicht durch sich selbst hindurchpassen kann – eine Entdeckung, die die bisherige geometrische Intuition erschüttert.
• Die meisten Polyeder können durch eine bestimmte Kombination aus Drehung und Verschiebung, den sogenannten Rupert passage, eine Kopie ihrer selbst durch sich hindurch bewegen; bei dieser neuen Form wurde bestätigt, dass dies in keiner einzigen Orientierung möglich ist.
• Die Forschenden haben Hunderte Millionen von Polyedern algorithmisch erzeugt und überprüft; in fast allen Fällen fanden sie einen Durchgang, doch es gab eine winzige Zahl von Ausnahmen.
• Zwei Mathematiker entwickelten, inspiriert von einem YouTube-Video, einen eigenen Algorithmus und vermuteten bereits in einer Arbeit von 2021, dass ein bestimmtes Polyeder undurchdringbar sein könnte; die aktuelle Studie stärkt diese Möglichkeit.
• Die Entdeckung weist auf neue Richtungen in der Forschung zu geometrischer Symmetrie und Algorithmen zur Durchsuchung von Räumen hin und gilt als Beispiel dafür, dass grundlegende Grenzen mathematischer Formen sichtbar werden.

---

Seltenheit der Nopert-Form und der Suchprozess

• Die Forschenden bestätigten, dass Kandidaten für Nopert (Formen, die sich nicht selbst durchdringen können) extrem selten sind.
  • Murphy erzeugte und testete seit 2023 Hunderte Millionen von Polyedern.
  • Dazu gehörten zufällige Polyeder, Anordnungen von Ecken auf einer Kugel, Polyeder mit symmetrischen Strukturen sowie Formen, bei denen einige Ecken gezielt verändert wurden.
• Sein Algorithmus fand bei fast allen Formen leicht einen Rupert passage, bei einigen Formen konnte jedoch letztlich kein Durchgang gefunden werden.
  • Ob diese Ausnahmeformen echte Noperts sind oder ob der Durchgang lediglich schwer zu finden ist, bleibt noch unklar.
• Diese Ergebnisse deuten unter Mathematikern stark auf die Möglichkeit real existierender Noperts hin.
  • Vor August 2024 gab es dafür jedoch noch keinen gesicherten Beleg.

„No Passage“ — Entdeckung einer Form ohne Durchgang

• Steininger (30) und Yurkevich (29) sind befreundete Forschungspartner und ehemalige Teilnehmer derselben Mathematik-Olympiade, die auch nach dem Verlassen der akademischen Laufbahn gemeinsam an ungelösten Problemen arbeiten.
  • Ihre Leidenschaft wurde in einem Interview mit der Bemerkung beschrieben: „Noch vor drei Stunden haben wir Pizza gegessen und fast nur über Mathematik gesprochen.“
• Vor fünf Jahren sahen die beiden ein YouTube-Video, in dem ein Würfel durch einen anderen Würfel hindurchgeht, und waren davon so fasziniert, dass sie sich mit dem Rupert-Problem beschäftigten.
  • Danach entwickelten sie einen eigenen Algorithmus zur Suche nach Rupert passages und gewannen die Überzeugung, dass einige Formen nicht hindurchpassen können.
• In einer Arbeit von 2021 vermuteten sie, dass das rhombicosidodecahedron (Rhombenikosidodekaeder) keine Rupert-Form sei.
  • Das gilt als die erste Hypothese eines „undurchdringbaren Körpers“ und entstand noch vor den jüngsten Studien von Murphy und Grimmer.
• Steininger sagte: „Unsere Arbeit war die erste, die vermutete, dass es Körper geben könnte, die diese Eigenschaft nicht haben.“

Mathematische Bedingungen für den Beweis eines Nopert

• Um zu beweisen, dass eine Form ein Nopert ist, muss gezeigt werden, dass für alle möglichen Richtungen und Rotationskombinationen kein Rupert passage existiert.
  • Jede Richtung kann als Menge von Drehwinkeln dargestellt werden.
  • Diese Winkelmenge lässt sich als Punkt in einem hochdimensionalen Parameterraum (parameter space) auffassen.
• Damit reduziert sich der Beweis auf das Problem, den gesamten Parameterraum zu durchsuchen und das Fehlen eines Durchgangs zu bestätigen.
  • Das ist rechnerisch äußerst komplex, und für einen vollständigen Beweis müssten unendlich viele Richtungskombinationen berücksichtigt werden.
• Die bisherigen Ergebnisse beruhen auf der Überprüfung endlich vieler durch Computersuche zugänglicher Fälle; ein vollständiger mathematischer Beweis ist noch in Arbeit.

[GN⁺]

Hacker-News-Kommentare

• Es ist interessant, dass man, weil man nicht alle Fälle testen kann, einen auswählt und dann viele Möglichkeiten in dessen Umgebung ausschließt.
  Ich habe neulich ein tolles Video zum Thema Rupert/Nopert gesehen, und weil der Zeitpunkt mit dieser Forschung zusammenfällt, wirkte das wie ein lustiger Zufall.
  • Eigentlich ist das gar kein so großer Zufall. Im Artikel wird auch tom7 erwähnt, und am Ende seines Videos verweist er direkt auf diese Arbeit. Das heißt, tom7 hat ebenfalls versucht, dasselbe Problem zu beweisen.
• Der Titel ist etwas missverständlich. Genauer gesagt waren andere Formen wie die Kugel (sphere) schon seit Langem bekannt; neu ist hier, dass es sich um das erste Polyeder handelt, das nicht durch sich selbst hindurchpasst.
  • Genauer gesagt ist ein konvexes Polyeder gemeint. Trotzdem ist die Kritik am Titel berechtigt.
  • Eine Kugel kann durch ein Polyeder angenähert werden. Im Allgemeinen würde man erwarten, dass solche Polyeder die Rupert-Eigenschaft haben, aber dieses Nopert unterscheidet sich dadurch, dass die Ecken nahe den oberen und unteren Ebenen im Verhältnis zur vertikalen Achse flachere Winkel haben.
    Ich frage mich, ob man ein T-förmiges Tetromino durch sich selbst hindurchbekommen könnte.
  • Aus Sicht von Nichtfachleuten wäre ein Titel wie „erste Form ohne Kurven entdeckt“ vielleicht klarer gewesen.
  • Ich frage mich, warum eine Kugel nicht durch sich selbst hindurchpassen soll. Wenn man sie als Schatten projiziert, scheint sie doch einen Durchmesser derselben Größe zu haben, also müsste es möglich sein.
• Weil es zwei flache Flächen gibt, taugt es nicht als D&D-Würfel. Ich halte weiterhin zum rhombicosidodecahedron.
• Mir gefiel der Detailgrad im Artikel. Er verlor sich nicht in mathematischen Feinheiten und war dennoch ausführlich genug, um die Forschung tatsächlich zu verstehen.
• Ich kannte Prince Rupert nur wegen der nach ihm benannten „Prince Rupert’s drops“, aber offenbar war er in vielen Bereichen aktiv.
  Mehr dazu gibt es auf Wikipedia.
• Ich kann kaum glauben, dass es für so eine Eigenschaft noch keinen Begriff wie anisotransient gibt.
• Wenn schon das Auffinden eines einzigen solchen Beispiels so schwierig war, dann lautet das nächste Resultat vielleicht: „Fast alle konvexen Polyeder können nicht durch sich selbst hindurchpassen.“
• Muss es unbedingt geradlinig hindurchgehen? Ich kann mir auch vorstellen, dass es sich beim Hindurchgehen dreht, wie bei Blockpuzzles oder einem Sofa, das man um eine Ecke manövriert.
  Im Artikel ist es auf geradliniges Hindurchgehen beschränkt, und der Großteil der Analyse verwendet auch Schattenprojektions-Techniken, also gilt das Geradlinigkeits-Kriterium. Aber die ursprüngliche Wette lautete einfach, eine Kopie hindurchzubekommen, daher könnte eine Rotation ebenfalls ein zulässiger Ansatz sein.
  • Da dieses Problem aber auf konvexe Polyeder beschränkt ist, scheint eine Rotation wohl nicht zu helfen.
• Ich frage mich, warum man dafür Zeit aufwendet. Ist es bloß Neugier, oder ergibt sich irgendwann ein praktischer Nutzen? Es wirkt eher wie Kunst.
  • Das Problem selbst mag unpraktisch sein, aber die zu seiner Lösung entwickelten Methoden könnten in anderen Bereichen anwendbar sein.
    Außerdem ist Forschung aus reiner Neugier für sich genommen schon wertvoll genug.
  • Zum Beispiel wurden jahrzehntelang abstrakte mathematische Themen wie Matrixtransformationen und Oberflächennormalen erforscht, die in den 1980er-Jahren zu Schlüsseltechnologien der Computergrafik wurden.
  • Solche Forschung führt manchmal auch zu praktischen Erfindungen wie Klettverschluss oder selbstverriegelnden Mechanismen. Wenn jemand die Verbindung erkennt, kann das die Welt Stück für Stück verändern.
• Aus Sicht von Laien wirken die Nopert-Kandidaten doch wie Formen, die einer Kugel immer ähnlicher werden. Eine Kugel kann schließlich keinen Rupert-Tunnel haben.
  • Stimmt. Mit zunehmender Zahl der Flächen sehen sie einer Kugel immer ähnlicher. Aber eine Kugel ist trivialerweise non-Rupert, und die interessantere Frage ist, ob ein konvexes Polyeder non-Rupert sein kann.
  • Ich frage mich, bis zu welchem Punkt das Hindurchpassen möglich bleibt, wenn man immer mehr Flächen hinzufügt. Vielleicht geht es unendlich lange weiter, vielleicht tauchen zwischendurch Noperts auf. Oder vielleicht werden es nach und nach immer mehr Noperts und sie sind dadurch schwerer zu finden. Ich würde das gern selbst ausprobieren.
  • Aber wichtig ist, dass sie nicht dasselbe wie eine Kugel sind.