Visualisierung, entstanden aus Neugier auf eine sphärische Helix

• Einführung in das Konzept, Objektbewegungen im 3D-Raum mit parametrischen Funktionen auszudrücken
• Erläuterung des Prozesses, von Kreis, Spirale bis hin zu einer sphärischen Helix-Bahn schrittweise komplexere Pfade mathematisch zu konstruieren
• Durch die Definition jeder Koordinatenachse (x, y, z) als Funktion der Zeit lassen sich vielfältige Bewegungen umsetzen
• Besonders bei der sphärischen Helix wird durch die Multiplikation trigonometrischer Funktionen mit variierendem Radius eine dreidimensionale Spiralbahn erzeugt
• Dies ist ein kreatives Beispiel dafür, dass sich Objekte auf beliebigen Pfaden bewegen lassen

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Erkundung der Objektbewegung im 3D-Raum

Dieser Beitrag ist das Ergebnis einer persönlichen Erkundung verschiedener Methoden, Objekte im 3D-Raum zu bewegen, und insbesondere, wie sich ein sphärischer Helix-Pfad (spherical helix) mathematisch definieren und umsetzen lässt.

Grundlagen von Helix und dreidimensionaler Bewegung

• Eine Helix bezeichnet eine dreidimensionale Struktur, die sich wie eine Feder drehend windet

• Eine sphärische Helix ist das Konzept einer spiraligen Bewegung entlang der Oberfläche einer Kugel

• Die Position eines Objekts im 3D-Raum wird durch die Koordinaten der drei Achsen x, y und z bestimmt

  • x-Achse: zuständig für die Bewegung nach links und rechts
  • y-Achse: entspricht der Auf- und Abbewegung
  • z-Achse: Veränderung in Vorwärts-/Rückwärtsrichtung (Tiefe)

• Wenn die Position eines Objekts mithilfe mathematischer Funktionen in Abhängigkeit von der Zeit (t) definiert wird, entsteht eine Bewegungsbahn

Parametrische Funktionen und einfache Pfadbeispiele

• Beispiel: Definiert man die x-Position als 10 * cos(πt/2), ergibt sich eine Cosinus-Wellenbewegung, die alle 2 Sekunden zwischen -10 und 10 hin- und herläuft

• Auf die gleiche Weise lässt sich auch eine vertikale Hin-und-her-Bewegung erzeugen, wenn die y-Position als 10 * cos(πt/2) festgelegt wird

• Verwendet man für x und y unterschiedliche Funktionen (z. B. x = 10 * cos(πt/2), y = 10 * sin(πt/2)), entstehen Bewegungen mit Phasenverschiebung; kombiniert man beide, ergibt sich ein kreisförmiger Pfad

• Multipliziert man die Funktion mit einem zur Zeit proportionalen Term (z. B. x = 0.03 * t * cos(πt/2)), kann man ein Muster mit allmählich größer werdendem Radius erzeugen, also einen Spiralpfad (spiral)

Erzeugen eines sphärischen Helix-Pfads (spherical helix)

• Anders als eine Spirale in der Ebene benötigt eine sphärische Helix einen dreidimensionalen Pfad

  • Für den z-Wert kann man z. B. 10 * cos(0.02 * πt) verwenden, um die Position nach vorn und hinten schrittweise zu verändern

• Für x und y kann durch den Einsatz eines Produkts trigonometrischer Funktionen wie sin(0.02 * πt) ein Effekt erzeugt werden, bei dem der Radius in der Mitte am größten und an beiden Enden kleiner ist

• Wendet man dieses Produkt sowohl auf x als auch auf y an, lässt sich ein Pfad erzeugen, der sich kreisförmig bewegt und dabei entlang der Kugeloberfläche, also dreidimensional, einer Spirale folgt

• Mit einer solchen Kombination von Funktionen ist die mathematische Umsetzung eines sphärischen Helix-Pfads vollständig

Zusammenfassung und Anwendung

• Jeder 3D-Pfad lässt sich erzeugen, indem x, y und z jeweils als parametrische Funktionen der Zeit definiert werden
• Das bedeutet, dass sich von einfachen Kreisen und Spiralen bis hin zu komplexen Pfaden alles mathematisch festlegen lässt
• Mit diesem Ansatz lässt sich visuell verstehen, dass selbst komplex wirkende Bewegungen in Wirklichkeit keine Unordnung, sondern klar definierte mathematische Pfade sind

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visualrambling.space ist ein persönliches Projekt von Damar, in dem verschiedene Themen lernend und visuell erzählt werden