Neuer Rekord für Kugelpackungen kommt aus unerwarteter Richtung
(quantamagazine.org)- In dem hochdimensionalen Problem der Kugelpackung veröffentlichte Boaz Klartag im April online ein kurzes Manuskript mit der größten Effizienzsteigerung seit Claude Ambrose Rogers im Jahr 1947
- Die neue Methode beginnt mit einem beliebigen Gitter, erzeugt daraus ein größeres Ellipsoid und konstruiert dann mit Rogers’ Verfahren eine dichte Kugelpackung, womit ein lange verdrängter geometrischer Ansatz wiederbelebt wird
- Klartags Konstruktion kann in Dimension d etwa d-mal mehr Kugeln packen als viele frühere Resultate; das entspricht in 100 Dimensionen etwa dem 100-Fachen und in 1 Million Dimensionen etwa dem 1-Millionen-Fachen
- Anders als die Diskussionen über ungeordnete Packungen, die nach dem nicht-gitterbasierten Rekord von 2023 an Fahrt aufgenommen hatten, zeigt dieses Resultat, dass Ordnung und Symmetrie für optimale hochdimensionale Packungen weiterhin aussichtsreich sein könnten
- Für Anwendungen in Kryptografie und Kommunikation ist das Kugelpackungsproblem wichtig, doch das neue Resultat lässt sich nicht unmittelbar anwenden; es könnte jedoch erneut eine Verbindung zwischen konvexer Geometrie und Gittertheorie herstellen
Großer Fortschritt bei hochdimensionalen Kugelpackungen
- Das Kugelpackungsproblem fragt danach, wie sich Kugeln in einem hochdimensionalen Raum möglichst effizient anordnen lassen
- Das Problem fasziniert Mathematiker seit Jahrhunderten und hat potenziell wichtige Anwendungen in Kryptografie und Fernkommunikation
- Anfang des 17. Jahrhunderts zeigte Johannes Kepler, dass sich dreidimensionale Kugeln wie Orangen im Supermarkt so stapeln lassen, dass sie etwa 74 % des Raums füllen, und vermutete, dass dies optimal ist
- Diese Vermutung wurde erst fast 400 Jahre später bewiesen
- In höheren Dimensionen kennt man die optimale Lösung bis heute nur für die 8. und 24. Dimension
- Mathematiker suchen seit Langem nach besseren Packungen, doch Fortschritte waren klein und selten
- In einem im April veröffentlichten kurzen Manuskript übertraf Boaz Klartag den bisherigen Rekord deutlich, und einige Forscher halten das Resultat für möglicherweise nahe am Optimum
Eine alte Idee, die vom Gitter zum Ellipsoid führt
- 1905 etablierte Hermann Minkowski die Sicht auf Kugelpackungen über Gitter (lattices)
- Dabei erzeugt man eine sich im Raum wiederholende Punktanordnung und zeichnet um jeden Punkt eine Kugel
- Das Problem, in einer bestimmten Dimension die optimale Kugelpackung zu finden, wird so zum Problem, das Gitter mit der effizientesten Punktanordnung zu finden
- In zwei Dimensionen ist das hexagonale Gitter optimal
- 1947 stellte Claude Ambrose Rogers eine andere Perspektive vor
- Man kann auch von einem beliebigen, nicht optimalen Gitter ausgehen
- Statt um jeden Punkt Kugeln zu zeichnen, zeichnet man um einen Punkt ein Ellipsoid, dessen Oberfläche andere Gitterpunkte berührt, aber nicht überschreitet
- Ausgehend von diesem Ellipsoid gab er einen Algorithmus an, um eine dichte Kugelpackung zu konstruieren
- Der Vorteil von Rogers’ Methode liegt darin, dass das Startgitter nicht besonders effizient sein muss
- Mit dem richtigen Ellipsoid lässt sich dennoch eine effiziente Kugelpackung erzeugen
- Ellipsoide sind jedoch schwerer zu handhaben als Kugeln
- Eine Kugel ist durch einen einzigen Radius bestimmt, ein Ellipsoid dagegen durch mehrere Achsen unterschiedlicher Länge
- Mit steigender Dimension wächst die Zahl der Streckrichtungen und möglichen Formen rapide
- Mathematiker kehrten schließlich zum Gitteransatz nach Minkowski zurück und konzentrierten sich stärker auf Gittertheorie, wodurch Rogers’ geometrischer Ansatz in den Hintergrund geriet
- Auch diese Strategie verbesserte hochdimensionale Kugelpackungen, meist jedoch weniger stark als Rogers’ Packungen
Ein Forscher der konvexen Geometrie belebt Rogers’ Ansatz wieder
- Klartag ist Mathematiker am Weizmann Institute of Science und arbeitet vor allem zur konvexen Geometrie (convex geometry)
- Konvexe Körper sind Formen ohne Einbuchtungen nach innen
- In hohen Dimensionen umfassen sie vielfältige Symmetrien, und Klartag betrachtet solche Formen als mächtige mathematische Werkzeuge
- Er interessierte sich zwar für Gitter und Kugelpackungen, hatte aber keine Zeit gehabt, das Gebiet tiefgehend zu lernen
- Nachdem im vergangenen November ein größeres Projekt abgeschlossen war, bat er Barak Weiss von der Tel Aviv University um Mentoring, um ein neues Gebiet zu erlernen
- Weiss begann daraufhin ein kleines Seminar, in dem er zusammen mit Klartag und einigen anderen die Literatur las
- Klartag studierte dabei die Kugelpackungsmethoden von Minkowski und Rogers im Detail
- Als er las, wie Rogers Ellipsoide in Kugelpackungen überführt, fragte sich Klartag, warum Mathematiker diese Methode aufgegeben hatten
- Ellipsoide sind konvexe Körper, und Klartag verfügte über ausgefeilte Methoden, sie zu manipulieren
- Er hielt Rogers’ Ausgangsellipsoid zwar für intuitiv, aber für ineffizient
- Wenn sich ein Ellipsoid mit größerem Volumen konstruieren ließe, könnte man mit Rogers’ ursprünglichem Verfahren einen neuen Packungsrekord erzielen
Größere Ellipsoide durch zufälliges Wachstum
- Klartag begann mit einer ihm vertrauten Methode, bei der die Grenze eines Ellipsoids entlang jeder Achse durch einen Zufallsprozess vergrößert und verkleinert wird
- Sobald sich die Grenze weit genug ausgedehnt hat, um einen neuen Gitterpunkt zu berühren, stoppt das Wachstum in dieser Richtung
- So bleibt dieser Punkt außerhalb des Ellipsoids
- In anderen Richtungen bläht es sich weiter auf, bis es einen weiteren Punkt berührt
- Dabei stoppt und bewegt sich das Ellipsoid ruckartig und erkundet den umgebenden Raum allmählich
- Mit der Zeit wächst das Volumen des Ellipsoids im Mittel an
- Klartags zentrale Frage war, ob dieses Volumenwachstum ausreicht, um Rogers’ intuitives Ellipsoid zu übertreffen
- Da der Zufallsprozess bei jedem Durchlauf ein anderes Ellipsoid erzeugte, untersuchte Klartag die mögliche Spannweite der Ellipsoidvolumina
- Zunächst fand er kein einzelnes Ellipsoid, das groß genug gewesen wäre, um Rogers’ Ellipsoid klar zu übertreffen
- Nachdem er die Details des zufälligen Wachstumsprozesses angepasst hatte, bewies er innerhalb von ein bis zwei Wochen, dass gelegentlich Ellipsoide entstehen, die groß genug für einen neuen Rekord sind
Die mathematische Bedeutung einer Verbesserung um etwa den Faktor d
- Klartags Beweis wurde überprüft, und die Umwandlung seines neuen Ausgangsellipsoids in eine Kugelpackung liefert die größte Effizienzsteigerung seit Rogers’ Arbeit von 1947
- In einer gegebenen Dimension d kann Klartags Methode etwa d-mal mehr Kugeln packen als viele frühere Resultate
- In einem 100-dimensionalen Raum sind das ungefähr 100-mal mehr Kugeln
- In einem 1-millionendimensionalen Raum ungefähr 1 Million Mal mehr Kugeln
- Klartag studierte das Gebiet der Kugelpackung nur einige Monate, schrieb den Beweis in wenigen Wochen nieder und brachte damit eines seiner zentralen Probleme deutlich voran
- Seine Erfahrung mit konvexer Geometrie half ihm direkt dabei, Techniken auf das Kugelpackungsproblem anzuwenden, die gewöhnlich als zu einem anderen Gebiet gehörig betrachtet werden
- Gil Kalai bezeichnete das Resultat als einen „wirklich erstaunlichen Durchbruch“ und als Erfolg zu einem Problem, das Mathematiker seit fast 100 Jahren begeistert
Die Debatte über Ordnung und Unordnung
- Klartags Resultat belebt die Debatte über die Natur optimaler hochdimensionaler Packungen neu
- Lange gingen Mathematiker davon aus, dass gitterbasierte Packungen mit hoher Symmetrie die beste Möglichkeit seien, Kugeln maximal dicht anzuordnen
- 2023 wurde jedoch eine Packung gefunden, die nicht sauber auf einem periodischen Gitter beruht und vor Klartag den Rekord hielt
- Einige Mathematiker sahen darin einen Hinweis, dass für die Suche nach optimalen Kugelpackungen mehr Unordnung nötig sein könnte
- Klartags Arbeit stützt nun wieder die Vorstellung, dass Ordnung und Symmetrie aussichtsreich bleiben könnten
- Wie dicht Kugelpackungen letztlich werden können, ist weiterhin umstritten
- Einige Mathematiker halten Klartags Packung für sehr nahe am Optimum
- Andere sehen noch Raum für Verbesserungen
- Marcus Michelen von der University of Illinois Chicago sagte, er wisse derzeit nicht, was man glauben solle, und alle Möglichkeiten blieben offen
Größere Verbindung zwischen Fachgebieten statt unmittelbarer Anwendung
- Die Antwort auf das Kugelpackungsproblem ist wegen möglicher Anwendungen in Kryptografie und Kommunikation wichtig
- Der Informationstheoretiker Or Ordentlich von der Hebrew University sagte, das Problem sei für Ingenieure bedeutsam, doch es habe nur wenig Fortschritt gegeben, weshalb dieses Resultat so viel Begeisterung auslöse
- Allerdings ist Klartags Resultat für solche Anwendungen nicht sofort nützlich
- Klartag hofft, dass seine Arbeit dazu beiträgt, zu einer Zeit wie der von Rogers zurückzukehren, in der konvexe Geometrie und Gittertheorie enger miteinander verbunden waren
- Er glaubt, dass das heutige Verständnis konvexer Körper nicht nur für Kugelpackungen, sondern auch für Gitterprobleme nützlich sein kann
- Klartags Ziel ist es, die Trennung zwischen beiden Gebieten geringer zu machen als heute
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Hacker-News-Kommentare
Es ist schon schwer genug, meinen Eltern zu erklären, dass meine Arbeit ein echter Beruf ist; sich vorzustellen, ihnen zu erklären, dass ich „nur Formen untersuche, die keine herausstehenden und nach innen gehenden Bereiche haben“, ist noch schwieriger.
Im Grunde gibt es nur drei Möglichkeiten. Wenn man es kurz in Worten erklärt, die das Gegenüber versteht, wirkt die Arbeit leicht, und die Leute denken: „Wie kann man dafür bezahlt werden?“
Wenn man in verständlichen Worten erklärt, was man tut und warum es wichtig ist, wird es so lang, dass es langweilig wird und sie bereuen, gefragt zu haben.
Oder man erklärt es kurz mit Fachbegriffen, die das Gegenüber nicht kennt; das ist zwar langweilig, macht aber Eindruck. Unter den schlechten Optionen ist das die beste.
Ich habe noch keinen Weg gefunden, normalen Leuten auch nur ansatzweise verständlich zu erklären, worum es in meinem Geschäft geht. Alles ist zu abstrakt und mehrere Schritte vom Alltag entfernt.
Es ist nicht unbedingt kompliziert, aber es gibt zu viele Details, mit denen durchschnittliche Menschen nie vertraut in Berührung gekommen sind, und kaum alltagsnahe Analogien.
Bei konvexen Körpern kenne ich mich nicht aus.
Eine Ausdrucksweise, die zu sehr nach Details klingt, kann eine abstoßende Wirkung auf Menschen haben.
Man kann es etwa so erklären: „Man will XYZ tun, aber es ist so schwer, dass es frustrierend ist, also stellt man eine einfache Vermutung an. Es ist handhabbar, das Problem auf diese grobe Weise zu betrachten, und weil man ABC kennt, baut man ABC. Und wenn man das benutzt, kommt man näher daran, dass es besser funktioniert als alles, was man bisher ausprobiert hat, und das ist spannend.“
Für Nichttechniker funktionieren auch Erklärungen mit Emotionen völlig gut. Sie sind vielleicht eher daran gewöhnt, emotional zu denken, während wir tief in der Logik und manchmal in der Mathematik unserer Arbeit stecken. Deshalb müssen wir die Emotion wieder in die Erklärung hineinbringen.
Als ich es meiner Familie so erklärt habe, konnten sie folgen und haben es tatsächlich verstanden.
Im Artikel hieß es, dass „seine Methode in einem 100-dimensionalen Raum ungefähr 100-mal mehr Kugeln unterbringt und in einem Raum mit einer Million Dimensionen ungefähr eine Million Mal mehr“. Das ist ein gutes Beispiel dafür, wie seltsam hochdimensionale Räume sind.
Wenn kluge Leute versucht haben, möglichst viele 100-dimensionale Orangen in eine 100-dimensionale Kiste zu packen, heißt das offenbar: Bisher haben sie nicht einmal 1 % des Raums gefüllt, und obwohl sie jahrzehntelang gesucht haben, fanden sie keinen Platz für auch nur eine weitere.
Betrachtet man eine von einem Einheitswürfel umschlossene Einheits-n-Kugel, verschwindet der Anteil, den die Kugel einnimmt, mit wachsendem n. Nebenbei ist diese Beziehung seltsamerweise nicht monoton, sondern erreicht bei n=6 ihr Maximum.
Bei n=100 beträgt das Volumen der Einheits-100-Kugel ungefähr 10^-40, und in diesen Würfel passt natürlich keine zweite Kugel. Daher ist es nicht überraschend, dass der Gewinn durch eine Verbesserung der Packung so groß ausfallen kann.
Viele Leute sagen, sie könnten sich 4 Dimensionen vorstellen, aber ich habe noch niemanden gesehen, der das tatsächlich kann. Darunter sind auch viele Mathematiker; diejenigen, die so etwas behaupten, sind allerdings meist keine Mathematiker.
Ich mag die Animation[0] in diesem Math-Overflow-Beitrag, weil darin viel verborgene Komplexität steckt, an die die meisten nicht denken. Diese Animation ist eigentlich eine optische Täuschung, und wir sehen eine „Halluzination“. Die obere Abbildung projiziert einen Würfel auf eine Ebene? Eigentlich ist das kein Würfel. Es ist bereits eine Projektion eines Würfels in 2 Dimensionen. Technisch ist sie dreidimensional, aber die dritte Dimension ist keine Raumdimension, sondern die Zeitdimension. Das ist für sich genommen eine gute Lektion darin, Dimensionsabstraktion zu lernen.
Wir halluzinieren also einen rotierenden Würfel, sehen eine Projektion auf eine Ebene und halluzinieren dann erneut, dass sie Tiefe hat, statt ein unverzerrtes Quadrat zu sein. Schon das ist ziemlich merkwürdig.
Tatsächlich fällt uns sogar die Vorstellung von 2 Dimensionen schwer. Die meisten behaupten, sie könnten sich 2 Dimensionen vorstellen, und diese Behauptung wird meist nicht widerlegt.
Wenn ihr Flatland[1] noch nicht gelesen habt, würde ich es allen empfehlen. Viele lesen es falsch. Gewöhnlich liest man es als Analogie mit einer Dimension weniger: Wir als dreidimensionale Wesen entsprechen zweidimensionalen Wesen, und vierdimensionale Wesen wären für uns so verwirrend, wie dreidimensionale Wesen für Flatlander verwirrend sind. Das stimmt, aber darin steckt ein Trick. Wir glauben, dass das Verständnis von 2 Dimensionen sehr einfach sei. Aber ich garantiere, dass das, was ihr euch gerade im Kopf ausmalt, falsch ist. Ehrlich gesagt ist auch das Buch nicht völlig exakt.
Man muss sich wirklich in die Lage eines Flatlanders versetzen. Nicht in die Lage im Buch, sondern in die eines tatsächlichen Flatlanders. Stellt euch vor, ihr seid ein quadratischer Flatlander und seht ein Dreieck: Was würdet ihr sehen? Vermutlich stellt ihr euch eine Linie vor, aber das ist falsch. Ihr habt ihr Dicke gegeben und damit eine dritte Dimension eingeführt. Versucht es noch einmal, fügt mehr Tiefe hinzu und fordert euch selbst heraus, euch ein echtes Flatland vorzustellen; dann merkt ihr, dass ihr es nicht könnt.
Stattdessen können wir einen in 3 Dimensionen eingebetteten 2-dimensionalen Raum visualisieren und darüber nachdenken. Man könnte sagen, das sei Haarspalterei; aber wenn nicht, müsste es völlig in Ordnung sein, dies[2,3] nicht als Darstellung eines 4-dimensionalen Hyperwürfels, sondern als 4-dimensionalen Hyperwürfel selbst zu bezeichnen.
Ich glaube, wenn man das versteht, hilft es enorm beim Verständnis sehr hoher Dimensionen. Wenn man sich der enormen Schwierigkeit stellt, eine um eins erhöhte oder verringerte Dimension korrekt zu visualisieren, ist die Gefahr geringer, sich beim Nachdenken über viel höhere Dimensionen selbst zu täuschen.
Wie Feynman sagte: Das erste Prinzip ist, sich nicht selbst zu täuschen, und die Person, die man am leichtesten täuschen kann, ist man selbst.
[0] https://math.stackexchange.com/a/2286226
[1] http://www.geom.uiuc.edu/~banchoff/Flatland/
[2] [https://en.wikipedia.org/wiki/Tesseract#/media/File:8-cell-s...](https://en.wikipedia.org/wiki/Tesseract#/media/File:8-cell-simple.gif)
[3] Ein gutes Video, in dem Carl Sagan die dreidimensionale Projektion eines Hyperwürfels, also seinen Schatten, in die Hand nimmt und erklärt. Was auch immer gezeigt wird, es kann nur in 2 Dimensionen eingebettet sein. Er hebt ihn ab 6:20 auf: https://www.youtube.com/watch?v=UnURElCzGc0
Interessant. Ich habe einen Monat lang einen Kugelpackungsansatz ausprobiert, um einen besseren Kompressionsalgorithmus zu entwickeln.
Ich hatte viele Vektoren, die per Clustering gruppiert waren, kam aber zu dem Schluss, dass der theoretische Ansatz nur bei gleichmäßig verteilten Daten richtig funktioniert und für reale Daten nicht gut passt.
Angenommen zum Beispiel, die Daten haben eine hochdimensionale Struktur, sind lokal aber gleichmäßig. Das ist häufig und entsteht durch rauschverursachende Prozesse. Wenn man Schwerpunkte berechnet und speichert, sind diese gleichmäßiger als die Rohdaten und außerdem nicht so zahlreich, sodass sie ohnehin kein großes Problem darstellen.
Jeder Vektor wird als Schwerpunktindex und Vektor-Offset gespeichert. Dabei verwendet man SoA, nicht AoS. Die Indizes lassen sich mit dem bevorzugten entropiebasierten Integer-Verfahren komprimieren; wenn die Reihenfolge nicht erhalten bleiben muss, geht es unter Umständen noch besser.
Die Offsets sind der Annahme nach nun ungefähr gleichmäßig, daher kann man die bevorzugte Kugelstrategie aus der Literatur verwenden.
Natürlich vielleicht auch nicht, wenn die tatsächlichen Anwendungsfälle zu heterogen sind, als dass eine allgemeine Methode wirksam wäre.
Mathematiker sollten einige Jahre nach der ersten Promotion die Möglichkeit haben, einen zweiten Abschluss auf Promotionsniveau in einem angrenzenden Fachgebiet zu machen, auch wenn es nicht exakt ihr eigenes Gebiet ist.
Viele Forschende qualifizieren sich während der Postdoc-Zeit oder danach in angrenzenden Gebieten neu oder erweitern ihre Forschungsinteressen. Ab diesem Punkt ist es einfach Forschung.
In der heutigen akademischen Umgebung dürfte es allerdings nicht einfach sein, das zu versuchen.
Besonders Verbindungen zwischen verschiedenen Bereichen der Mathematik können sehr wirkungsvoll sein.
Zumindest in Deutschland kommt es dem Beschriebenen ziemlich nahe.
Klartag sagt, dass sich für eine gegebene Dimension d d-mal so viele Kugeln packen lassen wie in den meisten früheren Ergebnissen.
Das hieße also in 100 Dimensionen ungefähr 100-mal so viele, in einer Million Dimensionen ungefähr eine Million Mal so viele Kugeln – das klingt nach enormen Zahlen. Bedeutet das für verschiedene Kommunikationssysteme mehrere Größenordnungen mehr Bandbreite oder weniger Stromverbrauch?
Daher hilft es nur bei Objekten, die von Natur aus hochdimensional sind. Digitale Objekte haben keine natürliche Dimension, also keine Bytelänge, sodass man kleine Dimensionen wählen kann.
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Sphere_packing
Klartag ist seiner Ausbildung nach zwar kein Spezialist für Kugelpackungen, aber er ist einer der herausragenden Problemlöser in diesem Umfeld.
Anfang dieses Jahres hat er die Hyperplane Conjecture gelöst und er hat zu Fortschritten bei Problemen der Konvexitätstheorie wie der KLS Conjecture, der Mahler Conjecture und dem zentralen Grenzwertsatz für konvexe Körper beigetragen.
Auch die Arbeiten seines Schülers Eldan zur stochastischen Lokalisierung (Stochastic Localization) haben sich als zentral für Log-konkave Sampling-Algorithmen erwiesen; das hängt mit der KLS Conjecture zusammen und wurde auch beim ICM vorgetragen.
Außerdem sind Werkzeuge aus der konvexen Geometrie, insbesondere einige Werkzeuge der harmonischen Analysis, auch für die Forschung zu Kugelpackungen ziemlich nützlich.
Daher ist es schwer, das als „unerwartet“ zu bezeichnen.
Ich stimme zu, dass Klartag konvexe Körper für ein unterschätztes mathematisches Werkzeug hält. Ich bin kein Mathematiker, aber ich habe gesehen, wie Convex-Hull-Algorithmen Probleme an Stellen lösen, an denen man es überhaupt nicht erwartet hätte.
Zum Beispiel hätte man wohl nicht damit gerechnet, dass in einer Arbeit zur automatischen Palettenzerlegung von Bildern Convex-Hull-Algorithmen verwendet werden.
https://www.rose-hulman.edu/class/cs/csse451/Papers/DILvGRB....
Anfängerfrage: Hat die optimale Kugelpackung eine Korrelation mit regulären Gittern? In 2D und 3D ist das doch so, oder? Wenn ja, lässt sich das auf n Dimensionen erweitern?
Das wurde 2017 von Maryna Viazovska bewiesen; an der zweiten Arbeit waren Koautoren beteiligt. https://doi.org/10.4007/annals.2017.185.3.7 https://doi.org/10.4007/annals.2017.185.3.8
Auch das ist lesenswert: https://www.ams.org/journals/notices/201702/rnoti-p102.pdf
In anderen Dimensionen ist es ein offenes Problem, und im Allgemeinen scheint es eher unwahrscheinlich, dass es stimmt. In manchen Dimensionen sind die dichtesten bekannten irregulären Packungen dichter als die dichtesten bekannten regulären Packungen.
Sie haben allerdings alle dieselbe Dichte wie das FCC-Gitter. Solche Packungen kann man erzeugen, indem man die horizontalen Schichten des FCC horizontal gegeneinander verschiebt.
In höheren Dimensionen gibt es die Vermutung, dass die dichtesten Packungen immer Nicht-Gitter-Packungen sind. Der Grund ist, dass solche Räume nicht genug Symmetrie besitzen.
Heute gab es weiter oben einen Beitrag darüber, dass Neandertaler Fett ausgelassen haben.
Es ging darum, dass Anthropologen nicht wussten, dass Kochen auch vor der Erfindung von Keramik möglich war, und dass Naturwissenschaftslehrer diese Möglichkeit kannten, weil sie so etwas im Unterricht ausprobieren.
Schließlich ging es darum, dass in unterschiedlichen Fachgebieten dieselben Dinge wiederentdeckt werden, so wie jemand, der Glukose untersuchte, die Trapezregel der Integration wiederentdeckte.
Das hier ist ein weiteres Beispiel dafür, wie Expertise aus einem anderen Bereich hilfreich sein kann.
Ein einziges YouTube-Video, das eine Methode für Überlebenssituationen zeigt, reicht schon. Ähnliches dürfte es viele geben: https://www.youtube.com/shorts/0zun_UxO2vU
Zugegeben, ich kenne den Kontext nicht, aber ohne Quelle für eine derart erstaunliche Behauptung ergibt das keinen Sinn. Das besteht nicht einmal den „Lachtest“.