- In einem unendlichen quadratischen Gitter, in dem alle benachbarten Knoten durch einen Widerstand R verbunden sind, beträgt der effektive Widerstand zwischen zwei benachbarten Knoten aufgrund von Symmetrie und Überlagerung R/2
- Diese Berechnung addiert ein Feld, in dem Strom in einen Knoten eingespeist wird, und ein Feld, in dem Strom aus einem benachbarten Knoten entnommen wird, und nutzt die diskrete Laplace-Gleichung, nach der die Spannung jedes Knotens dem Mittelwert der vier umliegenden Knoten folgt
- Die Erklärung, dass „der Strom ins Unendliche abfließt“, ist jedoch nicht streng; der Widerstand von einem Knoten bis ins Unendliche divergiert wie eine ungerade harmonische Reihe
- Um die Lösung festzulegen, sind daher asymptotische Randbedingungen nötig, etwa als Grenzwert eines großen endlichen Gitters; in einem wirklich unendlichen Gitter ohne Bedingungen kann die Lösung beliebig sein
- Der Widerstand zwischen zwei allgemeinen Knoten wird über Differenzengleichungen und die Überlagerung von Fourier-Reihen berechnet; bezogen auf Einheitswiderstände beträgt der Widerstand diagonal benachbarter Knoten 2/π
Symmetrische Berechnung des Widerstands benachbarter Knoten
- Angenommen, zwischen jedem benachbarten Knotenpaar eines quadratischen Gitters liegt ein Widerstand R, und das Gitter erstreckt sich in alle Richtungen unendlich weit
- Die zentrale Frage ist, wie man den effektiven Widerstand zwischen zwei benachbarten Knoten oder allgemeiner zwischen zwei beliebigen Gitterknoten bestimmt
- Die Standardlösung für benachbarte Knoten zerlegt das Stromfeld in zwei Felder und addiert sie
- ein Gitter, in das an einem Knoten Strom eingespeist wird
- ein Gitter, aus dem an einem anderen, benachbarten Knoten derselbe Strom entnommen wird
- Die Spannung jedes Knotens folgt der diskreten Laplace-Gleichung, bei der sie dem Mittelwert der Spannungen der vier Nachbarknoten entspricht; wegen der Linearität lassen sich Lösungen überlagern
- Speist man zum Beispiel 4 A in einen Knoten ein, kann man aufgrund der Symmetrie annehmen, dass durch die Widerstände in die vier Richtungen jeweils 1 A fließt
- Addiert man dazu ein Stromfeld, in dem am benachbarten Knoten 4 A entnommen werden, fließen durch die direkte Verbindung zwischen den beiden Knoten insgesamt 2 A
- Da auch die übrigen Pfade im Gitter denselben Strom anteilig tragen, ist der effektive Widerstand des direkten Links gleich dem des restlichen Gitters
- Weil der direkte Link und der Rest des Gitters parallel liegen, beträgt der gesamte effektive Widerstand R/2
Die Falle der Randbedingungen im Unendlichen
- Das Symmetrieargument ist intuitiv und liefert auch mit anderen Methoden dieselbe Antwort, behandelt aber nicht eindeutig, wohin der in einen Knoten eingespeiste Strom im unendlichen Gitter fließt
- Die bloße Erklärung, es sei „im Unendlichen geerdet“, reicht nicht aus
- Betrachtet man konzentrische quadratische Pfade um den Mittelpunktknoten, steigt die Zahl der Links nach außen wie 4, 12, 20, 28, …
- Der daraus resultierende Gesamtwiderstand bis ins Unendliche hat näherungsweise die Form einer ungeraden harmonischen Reihe und divergiert
- Um von einem Knoten Strom ins Unendliche fließen zu lassen, wäre zwischen dem Knoten und dem „Unendlichen“ eine unendliche Spannung erforderlich
- Ein strengerer Ansatz besteht darin, zunächst ein großes endliches Gitter zu betrachten und zu prüfen, ob man im Grenzfall wachsender Gittergröße zum gewünschten Ergebnis gelangt
- Die Grenzfälle eines endlichen Gitters um den positiven Stromknoten und eines endlichen Gitters um den negativen Stromknoten müssen zu zueinander passenden Randbedingungen konvergieren; dabei muss der Nettostrom ins Unendliche 0 sein
- Eine verwandte Diskussion findet sich in einer anderen Notiz; ein wirklich unendliches Gitter bleibt ohne asymptotische Randbedingungen unbestimmt
Physikalische Idealisierung und Nicht-Eindeutigkeit der Lösung
- Die Annahme, dass das Stromfeld eines unendlichen Gitters bereits vollständig bis ins Unendliche ausgebildet ist, lässt sich als realer physikalischer Prozess nicht in endlicher Zeit herstellen
- Das Gitter in diesem Problem wird so betrachtet, als enthalte es nur ideale Widerstände und keine Kapazitäten oder Induktivitäten; die Dynamik der Schaltung wird daher nicht berücksichtigt
- Treibt man diese Idealisierung konsequent weiter, landet man bei einer Schlussfolgerung, wonach sich das Stromfeld augenblicklich bis ins Unendliche ausbilden könnte; das passt jedoch nicht zur endlichen Ausbreitungsgeschwindigkeit realer Schaltungen
- Alle realen Schaltungen besitzen Kapazitäten und Induktivitäten, daher kann die Ausbreitungsgeschwindigkeit nicht unendlich sein
- Der Grund, warum die Antwort eindeutig zu sein scheint, liegt darin, dass implizit ein physikalisch plausibles asymptotisches Verhalten angenommen wird, wie es aus dem Grenzfall großer endlicher Gitter mit lokalen Quellen entsteht
Verallgemeinerung mit Differenzengleichungen
- Der Widerstand zwischen zwei allgemeineren Knoten wird durch Überlagerung von Lösungen der grundlegenden Differenzengleichung bestimmt
- In einem eindimensionalen Gitter aus Einheitswiderständen erhält man, wenn am Ursprung 1 A entnommen wird und der Nettostrom an den anderen Knoten 0 ist, eine Spannungslösung, die proportional zum Betrag des Abstands ist
- Daraus folgt für den effektiven Widerstand zweier Knoten, die in einer Dimension um k Widerstände voneinander entfernt sind, erwartungsgemäß kR
- Im zweidimensionalen Gitter wird der Nettostrom am Knoten
(m,n)durch die Spannungsdifferenzen zu seinen vier Nachbarn ausgedrückt; Knoten mit Nettostrom 0 erfüllen eine zweidimensionale Differenzengleichung - Die Lösung kann durch Überlagerung von Komponenten der Form
μ^m ν^naufgebaut werden, wobei zwischenμundνeine charakteristische Gleichung besteht - Setzt man
μ = exp(iα)undν = exp(iβ), lässt sich eine Lösung in Fourier-Form durch Integration überlagern - Nimmt man die Beträge der Indizes, um eine Lösung zu konstruieren, bei der am Ursprung 1 A entnommen wird, ergibt sich in der Nähe des Ursprungs
V(1,0) = 1/4, was dem Widerstand benachbarter Knoten von 1/2Ω entspricht - Um unerwünschte Ströme auf den Achsen zu eliminieren, werden mehrere Lösungen über α integriert, und die Gewichtungsfunktion wird per Fourier-Reihe festgelegt
Widerstandsformeln für diagonale und beliebige Knoten
- Der Widerstand zwischen dem Ursprung und
(m,n)wird als das Doppelte der Spannungsdifferenz relativ zum Ursprung ausgedrückt und in einer Integralform zusammengefasst - Der Widerstand des diagonal um ein Feld entfernten Knotens
(1,1)beträgt bei Einheitswiderständen 2/π - Dieses Ergebnis lässt sich auch rein algebraisch ohne Fourier-Reihen herleiten; Details stehen in einer separaten Notiz
- Kennt man den Widerstand benachbarter Knoten
1/2und den Widerstand diagonal benachbarter Knoten2/π, lassen sich die Widerstände vieler umliegender Knoten allein mit der grundlegenden Differenzengleichung berechnen - Die allgemeine Formel lässt sich vereinfachen, indem
cos(mα)als trigonomisches Polynom ins = cos(α)dargestellt wird - Konzentriert man sich auf die Achsenrichtung
R(0,n), kann das Integral weiter reduziert werden, und durch Substitutionen lassen sich mehrere Werte berechnen - Eine andere Substitution setzt
α = r+s,β = r-sund nutzt die Beziehungcos(r)cos(s)=1, um das Integral neu auszudrücken - Der Widerstand des diagonalen Knotens
(m,m)ergibt sich bei Einheitswiderständen als2/πmultipliziert mit1 + 1/3 + ... + 1/(2m-1) - Die Widerstände der übrigen Knoten lassen sich über die grundlegende Rekursionsbeziehung berechnen
1 Kommentare
Hacker-News-Kommentare
Aus Sicht von jemandem, der sowohl Mathematiker als auch Elektroingenieur ist: Elektroingenieure sagen, man könne nichts messen, ohne Strom fließen zu lassen; und nachdem man Strom fließen lässt, fragen sie wegen verteilter Induktivität und Kapazität sowie der Ausbreitungsgeschwindigkeit der Felder: „Wann misst du?“
Der Mathematiker hört das und geht in die Kneipe, um etwas Hochprozentiges zu trinken.
Denn weit genug entfernt gibt es an manchen Knoten pro Sekunde null oder ein bewegtes Elektron, also einen Stromfluss von 0 oder 1.
Danach kann der Ingenieur am Rand weitere Widerstände anlöten, bis das Forschungsbudget aufgebraucht ist oder die Abgabefrist für den Physikeraufsatz näher rückt.
Die wirklich schwierige Frage ist, wie viel Prozent Lötfehler im Gitter man in welcher Entfernung zulassen kann, bevor ein Fluke-Messgerät über dem mittleren Quadrat den Fehler erkennt.
Ich habe schon davon gehört, entfernte Risse in leitfähigen Strukturen – etwa in einem U-Boot-Rumpf aus Kohlefaser – über lokale Widerstandsänderungen zu erkennen; insofern könnte das tatsächlich eine sinnvolle Fragestellung sein.
Die eine ist, dass die Bauteile im Schaltplan physische Objekte darstellen: Ein Widerstand hat etwas Induktivität, Nichtlinearität, Kapazität gegenüber der Massefläche usw. Schaltpläne in Tools wie OrCad sind normalerweise in diesem Sinn gemeint.
Die andere Interpretation ist, dass ein Widerstand ein ideales ohmsches Bauelement ist und Leitungen weder Induktivität noch Ausbreitungsverzögerung noch Widerstand haben. Eine Spannungsquelle mit einer Leitung kurzzuschließen wird dann so ähnlich wie eine Division durch null.
Manchmal überführt man die erste Interpretation in die zweite, indem man explizit Widerstände, Induktivitäten usw. hinzufügt, um das reale Leitungsverhalten zu modellieren. Wenn man es nicht selbst tut, übernimmt SPICE das unter Umständen.
Das unendliche Widerstandsgitter existiert nur in der zweiten Interpretation.
Dann geht das Gitter in den stationären Zustand über und wird zur echten Entsprechung des Schaltplans.
Man hält das leicht für irrelevant für reale Probleme, aber tatsächlich gibt es einen Bezug. Nur ist nicht jede Berechnung daran nützlich.
Von einem lokalen Punkt in einer integrierten Schaltung aus betrachtet ist der Siliziumsubstratwiderstand im Grunde einem unendlich großen Gitter aus Einheitswiderständen ähnlich.
Das Siliziumsubstrat ist oft stark p-dotiert, und die Informationen, die man von der Foundry bekommt, bestehen meist nur aus dem spezifischen Widerstand; typischerweise liegt er zwischen 1 und 100 Ω·cm. Bei modernsten Prozessknoten sind es häufig 10 Ω·cm.
Wenn man ein Gefühl für Rauschkopplung durch das Substrat bekommen will, sollte man eher in Gittern denken, statt nur den Widerstand zwischen Punkt A und Punkt B zu berechnen. Auch Substratkontakt-Gitter müssen verteilt angeordnet werden, um Rauschströme einzusammeln; am Ende taucht das Gitter also wieder auf.
Aus didaktischer Sicht halte ich es für viel nützlicher, nach dem Ersatzwiderstand zwischen gegenüberliegenden Ecken eines Würfels aus 1-Ω-Widerständen zu fragen.
Das hilft, Intuition für Schaltungssymmetrien und das Kirchhoffsche Stromgesetz aufzubauen.
Das unendliche Gitter sieht so aus, als könne man es in einer Einführungsvorlesung zur Schaltungstechnik lösen, ist tatsächlich aber eher ein viel zu schwieriges mathematisches Problem.
Genau dieses Problem habe ich im Elektrotechnikstudium gehasst.
Es war ein Gedankenexperiment, das Professoren mochten.
Im Kurs hatten wir zwar unendliche Leiter-Widerstandsnetzwerke behandelt, aber damals fühlte es sich nach einem ziemlich großen Sprung an, dieses Wissen auf dieses Problem anzuwenden.
Was ich an der einfachen symmetriebasierten Lösung nicht verstehe, ist die Voraussetzung: „Wenn man akzeptiert, dass man die Stromfelder für den positiven und den negativen Knoten getrennt behandeln kann“.
Ich frage mich, warum die Ströme der Zwei-Knoten-Lösung, also einer nicht symmetrischen Lösung, die einfache Summe zweier Ein-Knoten-Lösungen, also symmetrischer Lösungen, sein sollen.
Natürlich gibt es auch in der Zwei-Knoten-Lösung einige Symmetrien, aber nicht die ursprüngliche Symmetrie, aus der man folgern konnte, dass die Ströme in alle Richtungen gleich sind.
Das ist dieselbe Logik, aus der Interferenz oder optische Gitter funktionieren.
Bei der Erklärung von Symmetrie und Superpositionsprinzip verstehe ich eine Sache nicht.
Ich weiß nicht, warum die benachbarten Knoten alpha-beta-alpha sind und nicht alpha-alpha-alpha. Also warum genau eine Richtung unterschieden wird und die beiden anderen als gleich gelten.
Da das Problem aber bezüglich der vertikalen Achse symmetrisch ist, kann man die Zeichnung spiegeln; die Ströme durch die gespiegelten Pfade müssen dieselben sein wie vor der Spiegelung, also kann man notieren, welche i jeweils gleich sind.
Dasselbe macht man für die horizontale Achse und für die 90-Grad-Rotationssymmetrie.
Am Ende entstehen mehrere Gruppen gleicher i, und sie lassen sich zu zwei unterscheidbaren Gruppen zusammenfassen. Diese Gruppen kann man alpha und beta nennen.
Anders gesagt: Mit den gegebenen Symmetrieoperationen kann man nicht von einem alpha zu einem beta gelangen. Zwischen alphas oder zwischen betas geht das hingegen.
Im Physikstudium habe ich in einem Teamprojekt mit Perkolationstheorie experimentiert.
Wir stellten mehrere Gitter mit leitfähiger Tinte her, wobei jeweils eine bestimmte Anzahl von Links, also Kanten des Graphen, fehlte.
Es war schwierig, leitfähige Tinte mit gleichmäßigem Fluss herzustellen, und ich schrieb die komplette Software für den XY-Plotter, die die Befehle zum Zeichnen rechteckiger und dreieckiger Gitter ausgab.
Anschließend maßen wir den Widerstand von einer Seite zur anderen.
Meine Mathematik ist nicht stark genug, um dem ganzen Artikel zu folgen, aber aus Sicht meiner Arbeit in der Elektronik ist meine Intuition: Wenn ein quantisiertes System mit der Unendlichkeit interagiert, wird diese Unendlichkeit durch die Größe der quantisierten Elemente begrenzt.
Ladung ist quantisiert. Da weniger als ein Elektron nicht durch einen Knoten laufen kann, fühlt sich ein unendliches Widerstandsgitter für mich so an, als verhalte es sich wie ein endliches Widerstandsgitter, dessen Größe von der in das System eingebrachten Ladungsmenge abhängt.
Elektronen sind auch Wellen, und diese Wellen können sich über das ganze Gitter ausbreiten.
Interessant ist außerdem, dass es in einem unendlichen Gitter irgendwo immer spontan eine Hochspannung gibt. Vermutlich sehr weit entfernt, aber trotzdem seltsam.
In vielen Fällen interessiert nur ein Mittelwert über Zeit und Raum. Die makroskopische Strömung von Wasser verhält sich zum Beispiel ziemlich anders als die Geschwindigkeiten einzelner Moleküle.
Die einzigen Menschen, bei denen die Chance, eine Intuition für Unendlichkeit zu entwickeln, zumindest nicht völlig gering ist, sind Mathematiker.
Das ist der diskrete Fall des Flächenwiderstands. [1]
In diesem Fall ist der Widerstand zwischen beliebigen zwei Punkten, hier also Knoten, gleich.
Früher wurde das im Elektrotechnik-Curriculum an der Universität behandelt, aber die Herleitung der Lösung weiß ich nicht mehr.
[1] https://en.m.wikipedia.org/wiki/Sheet_resistance
Nebenbei: Veritasium hatte ein hervorragendes Video zu etwas Ähnlichem im Zusammenhang mit dem Weg, den Licht nimmt.
Ich verlinke die Stelle mit der besten Physik-Demonstration, die ich gesehen habe.
https://www.youtube.com/watch?v=qJZ1Ez28C-A&t=1500
Natürlich erklärt dieselbe zugrunde liegende Theorie auch, dass es an endlichen Grenzen immer Beugung gibt und dass dadurch eine Realität entsteht, die von einer Welt, in der Licht tatsächlich alle möglichen Wege nimmt, nicht zu unterscheiden ist.
Aber zu behaupten, dass Licht das tatsächlich tut, ist möglicherweise eher Metaphysik als Physik.
Außerdem liegt die Beugungsleistung des Lasers sehr wahrscheinlich weit von den physikalischen Grenzen entfernt, was die Überzeugungskraft der Demonstration weiter schwächt.
Ein zynischer Beobachter würde sagen: „Ist das nicht einfach ein Teil des Laserlichts, der von der Achse abweicht?“ – und tatsächlich stimmt das. Nach den Gesetzen der Physik weicht immer ein Teil des Lichts von der Achse ab, aber diese Demonstration beweist diese Tatsache nicht.