Kalman-Filter-Tutorial

 (kalmanfilter.net)
4 Punkte von GN⁺ 2025-01-19 | 1 Kommentare | Auf WhatsApp teilen
  • Der Kalman-Filter ist ein Algorithmus, der verrauschte Sensormessungen und ein unvollständiges dynamisches Modell gemeinsam nutzt, um den aktuellen und den nächsten Zustand samt Unsicherheit zu schätzen.
  • Das Tutorial verwendet als Beispiel die Radarverfolgung eines Flugzeugs, setzt Entfernung (r) und Geschwindigkeit (v) als Zustandsvektor und geht numerisch durch, wie Vorhersage und Messung kombiniert werden.
  • Mit den Anfangsmesswerten (10,000m), (200m/s) und einem Abtastintervall von (5s) wird im Modell konstanter Geschwindigkeit die nächste Position als (11,000m) vorhergesagt; Messrauschen (R) und Prozessrauschen (Q) fließen in die Kovarianz ein.
  • Die zweite Messung (11,020m), (202m/s) ist unsicherer, doch der Kalman-Gain (K) kombiniert Vorhersage und Messung gewichtet und berechnet den aktualisierten Zustand als (11,009.37m), (201.43m/s).
  • Nach der Initialisierung wiederholt sich eine Vorhersage-Aktualisierungsschleife; in realen Implementierungen sollte man auch stabile Kovarianz-Updates wie die Joseph-Form und die Behandlung von Ausreißermessungen berücksichtigen.

Das Schätzproblem, das der Kalman-Filter löst

  • Der Kalman-Filter ist ein Algorithmus, der den Zustand eines Systems in einer Umgebung mit Unsicherheit schätzt und vorhersagt.
    • Sensordaten mit Messrauschen
    • Unbekannte externe Einflüsse
    • Abweichungen zwischen dynamischem Modell und tatsächlicher Bewegung
  • Er wird unter anderem für Objektverfolgung, Navigation, Robotik, Regelungstechnik, Finanzmarktanalyse und Wettervorhersage eingesetzt.
  • Auf die Schätzung der Spur einer Computermaus angewendet, kann er Rauschen reduzieren und Handzittern kompensieren, um eine stabilere Bewegungsbahn zu erzeugen.
  • Das Tutorial ist so aufgebaut, dass man den Kalman-Filter über numerische Beispiele und intuitive Erklärungen versteht, statt über komplexe mathematische Ausführungen.
  • Es enthält auch Beispiele dafür, wie ein Kalman-Filter bei falsch entworfenen Situationen ein Objekt nicht korrekt verfolgen kann, sowie Methoden zur Korrektur.

Lernpfad

  • Dieses Projekt ist so strukturiert, dass man den Kalman-Filter in drei Tiefenstufen lernen kann.
    • Einseitige Übersicht: Erklärt die Kernideen und wesentlichen Gleichungen ohne Herleitung und setzt grundlegende Statistik- und Lineare-Algebra-Kenntnisse voraus.
    • Kostenloses beispielbasiertes Web-Tutorial: Baut mit Zahlenbeispielen Intuition auf und behandelt schrittweise auch die Herleitung der Kalman-Filter-Gleichungen; es wird angegeben, dass kein Vorwissen nötig ist.
    • Kalman Filter from the Ground Up: Enthält 14 vollständig gelöste Zahlenbeispiele, Performance-Plots und Tabellen, Extended Kalman Filter, Unscented Kalman Filter, Sensorfusion und Implementierungsrichtlinien.

Warum Vorhersagen am Beispiel der Radarverfolgung nötig sind

  • Bei einem Radar, das ein Flugzeug verfolgt, ist das Flugzeug das System, und die zu schätzende Position ist der Systemzustand.
  • Da das Radar einen schmalen Strahl in Richtung des Flugzeugs lenkt, muss es die zukünftige Position vorhersagen, um zu entscheiden, wohin der nächste Strahl gerichtet wird.
    • Wenn die Vorhersage fehlschlägt, kann der Strahl in die falsche Richtung zeigen und die Verfolgung verloren gehen.
    • Dafür ist ein dynamisches Modell nötig, das die Systembewegung über die Zeit beschreibt.
  • In einem vereinfachten eindimensionalen Beispiel wird angenommen, dass sich das Flugzeug auf einer Geraden auf das Radar zu oder von ihm weg bewegt.
    • Das Radar berechnet die Entfernung (r) aus der Laufzeit gesendeter und empfangener Pulse.
    • Über den Doppler-Effekt kann es auch die Geschwindigkeit (v) messen.
  • Wenn bei (t_0) die Entfernung (10,000m) und die Geschwindigkeit (200m/s) sehr genau gemessen werden, das Abtastintervall (\Delta t=5s) beträgt und konstante Geschwindigkeit angenommen wird, liegt die nächste Position bei (11,000m).
    • (\Delta r = v \cdot \Delta t)
    • (r_{t_1}=10,000+200\cdot5=11,000m)

Messrauschen und Prozessrauschen

  • Reale Radarmessungen sind nicht vollkommen präzise; selbst mehrere Radare können zum selben Zeitpunkt leicht unterschiedliche Werte messen.
    • Diese Schwankung wird als Messrauschen beschrieben.
    • Man muss nicht nur den Zustandsschätzwert berechnen, sondern auch, wie vertrauenswürdig diese Schätzung ist.
  • Auch das dynamische Modell ist nicht perfekt.
    • Selbst wenn angenommen wird, dass sich das Flugzeug mit konstanter Geschwindigkeit bewegt, können äußere Einflüsse wie Wind die tatsächliche Bewegung verändern.
    • Solche unvorhersehbaren Einflüsse sind Prozessrauschen.
  • Der Kalman-Filter liefert gemeinsam die aktuelle Zustandsschätzung, die Vorhersage des zukünftigen Zustands und die jeweilige Unsicherheit.
  • Unter der Bedingung, dass System und Rauschen den Modellannahmen folgen, ist er ein optimaler Algorithmus, der die Unsicherheit der Zustandsschätzung minimiert.

Zustandsvektor und Initialisierung

  • Der Systemzustand im Beispiel besteht aus der Entfernung (r) und der Geschwindigkeit (v) des Flugzeugs.

[ \boldsymbol{x}= \begin{bmatrix} r\ v \end{bmatrix} ]

  • Der erste Messwert bei (t_0) lautet:

[ \boldsymbol{z}_0= \begin{bmatrix} 10{,}000\ 200 \end{bmatrix} ]

  • Da Messwerte unsicher sind, ist jeder Messung eine Messunsicherheit in Form einer Varianz zugeordnet.
    • Standardabweichung der Entfernungsmessung: (4m)
    • Standardabweichung der Geschwindigkeitsmessung: (0.5m/s)
    • Die Varianz ist das Quadrat der Standardabweichung.

[ \boldsymbol{R}_0= \begin{bmatrix} 16 & 0\ 0 & 0.25 \end{bmatrix} ]

  • In diesem Beispiel wird angenommen, dass die Messfehler von Entfernung und Geschwindigkeit nicht miteinander zusammenhängen; daher werden die Nichtdiagonalelemente der Kovarianzmatrix auf 0 gesetzt.
  • In der Initialisierungsphase können die ersten Messwerte als anfängliche Zustandsschätzung verwendet werden, weil Messung und Systemzustand dieselben physikalischen Größen (r), (v) darstellen.

[ \hat{\boldsymbol{x}}_{0,0}= \boldsymbol{z}_0= \begin{bmatrix} 10{,}000\ 200 \end{bmatrix} ]

  • Diese Methode kann nur in der Initialisierungsphase verwendet werden.

Vorhersageschritt: Zustand und Kovarianz fortschreiben

  • Die Vorhersage berechnet den Zustand zum nächsten Zeitpunkt anhand des aktuellen Zustands und der Zustandsübergangsmatrix (\boldsymbol{F}).
  • Im Modell konstanter Geschwindigkeit werden folgende Gleichungen verwendet:

[ v_1=v_0=v ]

[ r_1=r_0+v_0\Delta t ]

  • Die Zustandsvorhersage in Matrixform lautet:

[ \hat{\boldsymbol{x}}_{n+1,n}

\boldsymbol{F} \hat{\boldsymbol{x}}_{n,n} + \boldsymbol{G}\boldsymbol{u}_n ]

  • (\boldsymbol{u}_n): Eingangsvariable
  • (\boldsymbol{G}): Eingangsübergangsmatrix
  • In diesem einfachen Beispiel gibt es keinen Eingang, daher gilt (\boldsymbol{u}_n=0).
  • Bei (\Delta t=5s) ist die Zustandsübergangsmatrix wie folgt, und das Vorhersageergebnis beträgt (11,000m), (200m/s).

[ \boldsymbol{F}= \begin{bmatrix} 1 & 5\ 0 & 1 \end{bmatrix} ]

[ \hat{\boldsymbol{x}}_{1,0}

\begin{bmatrix} 11{,}000\ 200 \end{bmatrix} ]

  • Die Kovarianzvorhersage verwendet nicht einfach (\boldsymbol{F}\boldsymbol{P}), sondern (\boldsymbol{F}\boldsymbol{P}\boldsymbol{F}^T).

[ \boldsymbol{P}_{n+1,n}

\boldsymbol{F} \boldsymbol{P}_{n,n} \boldsymbol{F}^T + \boldsymbol{Q} ]

  • Ohne Prozessrauschen ergibt sich die vorhergesagte Kovarianz:

[ \boldsymbol{P}_{1,0}

\begin{bmatrix} 22.25 & 1.25\ 1.25 & 0.25 \end{bmatrix} ]

  • Die Geschwindigkeitsvarianz bleibt aufgrund des Modells konstanter Geschwindigkeit bei (0.25).
  • Die Entfernungsvarianz steigt von (16) auf (22.25), weil Geschwindigkeitsunsicherheit über die Zeit die Entfernungsunsicherheit vergrößert.

Prozessrauschen einbeziehen

  • Da die tatsächliche Flugzeuggeschwindigkeit durch unvorhersehbare externe Faktoren wie Wind beeinflusst werden kann, wird das Prozessrauschen (\boldsymbol{Q}) zur Kovarianzvorhersage addiert.
  • Im Beispiel wird die Standardabweichung der zufälligen Beschleunigung als (\sigma_a=0.2m/s^2) angenommen.
    • Die Varianz beträgt (\sigma_a^2=0.04m^2/s^4).
  • Bei (\Delta t=5s) lautet die Prozessrauschmatrix:

[ \boldsymbol{Q}

\begin{bmatrix} 6.25 & 2.5\ 2.5 & 1 \end{bmatrix} ]

  • Die vorhergesagte Kovarianz mit addiertem Prozessrauschen lautet:

[ \boldsymbol{P}_{1,0}

\begin{bmatrix} 28.5 & 3.75\ 3.75 & 1.25 \end{bmatrix} ]

Aktualisierungsschritt: gewichtete Kombination von Vorhersage und Messung

  • Bei (t_1) lautet der zweite Messwert:

[ \boldsymbol{z}_1= \begin{bmatrix} 11{,}020\ 202 \end{bmatrix} ]

  • Für diese Messung wird angenommen, dass sie wegen einer starken Rauschspitze ein niedrigeres Signal-Rausch-Verhältnis hat und damit unsicherer ist als die erste Messung.
    • Standardabweichung der Entfernung: (6m)
    • Standardabweichung der Geschwindigkeit: (1.5m/s)

[ \boldsymbol{R}_1= \begin{bmatrix} 36 & 0\ 0 & 2.25 \end{bmatrix} ]

  • Die Diagonalelemente der vorhergesagten Kovarianz (\boldsymbol{P}_{1,0}) sind kleiner als die der Messkovarianz (\boldsymbol{R}_1), daher ist die Unsicherheit der Vorhersage geringer.
  • Der Kalman-Filter verwendet nicht nur die Vorhersage oder nur die Messung, sondern kombiniert beide und gibt der Seite mit geringerer Unsicherheit ein höheres Gewicht.
  • Der gewichtete Mittelwert in eindimensionaler Form lautet:

[ \hat{x}_{1,1}

K_1 z_1 + (1-K_1)\hat{x}_{1,0} ]

  • (\boldsymbol{K}) ist der Kalman-Gain; er bestimmt die Gewichte von Messung und Vorhersage so, dass die Unsicherheit der aktualisierten Schätzung minimiert wird.

Innovation, Beobachtungsmatrix und Kalman-Gain

  • Die Zustandsaktualisierung kann als Vorhersagewert plus Korrekturterm geschrieben werden:

[ \hat{\boldsymbol{x}}_{1,1}

\hat{\boldsymbol{x}}_{1,0} + \boldsymbol{K}_1 ( \boldsymbol{z}_1

\boldsymbol{H}\hat{\boldsymbol{x}}_{1,0} ) ]

  • (\boldsymbol{z}1-\boldsymbol{H}\hat{\boldsymbol{x}}{1,0}) ist die Innovation oder das Residuum und stellt die Information dar, die die neue Messung liefert.
  • (\boldsymbol{H}) ist die Beobachtungsmatrix oder Messmatrix und bildet Zustandsvariablen auf die tatsächlich gemessenen physikalischen Größen ab.
    • In diesem Beispiel sind Zustand und Messung jeweils Entfernung und Geschwindigkeit, also gilt (\boldsymbol{H}=\boldsymbol{I}).
    • Allgemein können Messwert und Zustand in unterschiedlichen physikalischen Bereichen liegen, etwa bei einem digitalen Thermometer.
  • Der multivariate Kalman-Gain lautet:

[ \boldsymbol{K}_n

\boldsymbol{P}{n,n-1} \boldsymbol{H}^T ( \boldsymbol{H} \boldsymbol{P}{n,n-1} \boldsymbol{H}^T + \boldsymbol{R}_n )^{-1} ]

  • Der im Beispiel berechnete Kalman-Gain ist:

[ \boldsymbol{K}_1= \begin{bmatrix} 0.4048 & 0.6377\ 0.0399 & 0.3144 \end{bmatrix} ]

  • Die Berechnung der inversen Matrix ist mit MATLABs inv(A) oder Pythons numpy.linalg.inv(A) möglich; in realen Implementierungen ist es jedoch in der Regel besser, das lineare System direkt zu lösen, etwa mit A\b oder numpy.linalg.solve(A, b), statt die Inverse explizit zu bilden.

Aktualisierungsergebnis und verringerte Kovarianz

  • Die Innovation in diesem Beispiel lautet:

[ \boldsymbol{z}1-\hat{\boldsymbol{x}}{1,0}

\begin{bmatrix} 20\ 2 \end{bmatrix} ]

  • Berechnet man den Korrekturterm mit dem Kalman-Gain, ergibt sich:

[ \boldsymbol{K}_1 \begin{bmatrix} 20\ 2 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 9.37\ 1.43 \end{bmatrix} ]

  • Die aktualisierte Zustandsschätzung lautet:

[ \hat{\boldsymbol{x}}_{1,1}

\begin{bmatrix} 11{,}009.37\ 201.43 \end{bmatrix} ]

  • Für die multivariate Kovarianzaktualisierung wird häufig die numerisch stabile Joseph-Form verwendet.

[ \boldsymbol{P}_{n,n}

(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{K}n\boldsymbol{H}) \boldsymbol{P}{n,n-1} (\boldsymbol{I}-\boldsymbol{K}_n\boldsymbol{H})^T + \boldsymbol{K}_n \boldsymbol{R}_n \boldsymbol{K}_n^T ]

  • Auch die vereinfachte Kovarianz-Update-Gleichung ist in der Literatur häufig zu sehen.

[ \boldsymbol{P}_{n,n}

(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{K}n\boldsymbol{H}) \boldsymbol{P}{n,n-1} ]

  • Bei exakter Arithmetik liefern beide Formen dasselbe Ergebnis, doch in Computerimplementierungen ist die Joseph-Form im Allgemeinen numerisch stabiler.
  • Die mit der vereinfachten Gleichung berechnete aktualisierte Kovarianz im Beispiel lautet:

[ \boldsymbol{P}_{1,1}

\begin{bmatrix} 14.57 & 1.43\ 1.43 & 0.71 \end{bmatrix} ]

  • Die Diagonalelemente der aktualisierten Kovarianz sind kleiner als die der vorhergesagten Kovarianz ((28.5, 1.25)) und der Messkovarianz ((36, 2.25)).
  • Neue Information reduziert die Schätzunsicherheit, auch wenn sie selbst eine hohe Unsicherheit hat; theoretisch sollte eine neue Messung nicht ignoriert werden.
  • In realen Implementierungen kann es nötig sein, nicht vertrauenswürdige Messwerte zu verwerfen; Methoden zur Ausreißerbehandlung werden im Kapitel Outlier Treatment des Buchs behandelt.

Nächste Vorhersage und wiederholte Schleife

  • Der Vorhersageschritt von Iteration 1 ist derselbe wie in Iteration 0, aber der Ausgangspunkt ändert sich zu (\hat{\boldsymbol{x}}{1,1}) und (\boldsymbol{P}{1,1}).
  • Das Ergebnis der Zustandsvorhersage lautet:

[ \hat{\boldsymbol{x}}_{2,1}

\boldsymbol{F} \hat{\boldsymbol{x}}_{1,1}

\begin{bmatrix} 12{,}016.5\ 201.43 \end{bmatrix} ]

  • Das Ergebnis der Kovarianzvorhersage lautet:

[ \boldsymbol{P}_{2,1}

\begin{bmatrix} 52.86 & 7.47\ 7.47 & 1.71 \end{bmatrix} ]

  • Wenn Zeit ohne neue Messung vergeht, wächst die Unsicherheit natürlicherweise; daher steigt die Varianz im Vorhersageschritt wieder an.
    • Geschwindigkeitsunsicherheit vergrößert zusätzlich die Entfernungsunsicherheit.
    • Deshalb steigt die Entfernungsvarianz schneller als die Geschwindigkeitsvarianz.
  • Das Beispiel zeigt die drei Schritte des Kalman-Filters:
    • Initialisierung: wird zu Beginn einmal ausgeführt
    • Vorhersage: propagiert den nächsten Zustand und die Unsicherheit mit dem dynamischen Modell
    • Aktualisierung: kombiniert neue Messung und Vorhersage über den Kalman-Gain
  • Nach der Initialisierung arbeitet der Kalman-Filter fortlaufend als Vorhersage-Aktualisierungsschleife.

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1 Kommentare

 
GN⁺ 2025-01-19
Kommentare auf Hacker News

  • Ich sage immer wieder: Wenn man den Kalman-Filter isoliert lernt, ist die Reihenfolge verkehrt herum, und man verpasst leicht die große Erkenntnis, die sich aus der umgebenden Theorie ergibt.
    Um ihn richtig zu verstehen, sollte man sich der Reihe nach Least Squares (lineare Regression), rekursive Least Squares und den Informationsfilter (eine andere Formalisierung des KF) ansehen.
    Dann erkennt man, dass der KF im Grunde nur rekursive Least Squares ist, umformuliert mit Priorität auf Effizienz im Update-Schritt.
    Dieses PDF gibt einen knappen Überblick: http://ais.informatik.uni-freiburg.de/teaching/ws13/mapping/...

    • Ich weiß es zu schätzen, dass du helfen willst, Konzepte auf höherer Ebene zu verstehen, aber ohne klassischen Mathematik- oder Physik-Hintergrund ist schon die erste Zeile des verlinkten PDFs schwer zu verstehen, und mir ist auch nicht klar, wie man sich diesen Kontext erarbeitet.
      Intellektuelle Neugier habe ich trotzdem; ich brauche also einen Weg, auf dem ich diese Neugier behalte und mich Schritt für Schritt dem Verständnis nähere.
      Auch wenn ich The Six (Not So) Easy Pieces erneut lese und es nicht verstehe, ist es trotzdem wertvoll; und wenn man mit Arnolds Katze herumspielt, kann man mit einer Art nackter Primaten-Neugier, ganz ohne strenges wissenschaftliches Verfahren, Konzepte erleben, die ursprünglich hinter der Tür namens Kontext lagen.
      http://gerdbreitenbach.de/arnold_cat/cat.html
    • Der einfachste Weg hängt vom Vorwissen ab. Wenn man die Linearität der Gauß-Verteilung und die gaußsche Bayes-Posteriorverteilung versteht, wird der Kalman-Filter fast selbstverständlich.
      Eindimensional erhält man bei der linearen Vorhersage X'1 = X0*a + b die Prior-Verteilung; mean(X'1) = mean(X0)*a + b und var(X'1) = var(X0)*a^2, wobei a und b die angenommene Dynamik beschreiben.
      Die gaußsche Posteriorverteilung ist ein nach Präzision gewichtetes Mittel aus Prior-Verteilung und Beobachtung, also X1 = (1 - K)X'1 + YK, und K = (1/var(X'1))/(1/var(X'1) + 1/var(Y)); Y ist dabei eine gaußsche Beobachtung.
      Wiederholt man das, erhält man den Kalman-Filter; und wenn man die Linearität mehrdimensionaler Gauß-Verteilungen kennt, ist auch die Verallgemeinerung auf mehrere Dimensionen intuitiv.
      Allerdings sind die Linearität mehrdimensionaler Gauß-Verteilungen und die gaußsche Posteriorverteilung selbst vielleicht nicht gerade einfach.
    • Man kann das natürlich weiter so sagen, aber diese schwierige Mathematik ist für Leute, die den Filter tatsächlich implementieren, oft übertrieben.
    • Für das Verständnis des Kalman-Filters aus Bayes-Perspektive fand ich diesen Artikel sehr hilfreich: Meinhold, Richard J., and Nozer D. Singpurwalla. 1983. "Understanding the Kalman Filter." American Statistician 37 (May): 123–27
    • Das stimmt wahrscheinlich, aber viele, die diesem Rat folgen, werden vermutlich unterwegs aufgeben und nie beim KF ankommen.

  • Immer wenn dieses Thema auftaucht, wird auch diese Ressource genannt, und umgekehrt genauso: https://github.com/rlabbe/Kalman-and-Bayesian-Filters-in-Pyt...

    • Das ist eine meiner Lieblingsressourcen zum Kalman-Filter. Die Herleitung aus den Bayes-Prinzipien macht ihn viel intuitiver, und auch das Anpassen oder Abwandeln des Filters wird dadurch leichter verständlich.
      Dass Jupyter Notebooks verwendet werden, ist ebenfalls sehr gut.

  • Es scheint noch kein symbolisches Rechenwerkzeug für Wahrscheinlichkeitsverteilungen zu geben.
    Also etwa ein Tool, das zwei multivariate gaußsche Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen multipliziert und daraus die Kovarianzmatrix erhält, oder das, wenn man alle Komponenten eines Kalman-Filters definiert (Vorhersagemodell und Beobachtungsprozess), die benötigten Formeln wie lambdify in sympy ausgibt.

  • Wenn Q und R konstant sind, wie es meistens der Fall ist, konvergiert der Gain schnell, und der Kalman-Filter wird fast zu einem exponentiellen Filter mit vorgeschaltetem Vorhersageschritt.
    Für viele Menschen ist diese Erklärung deutlich leichter verständlich und passt auch gut zur tatsächlichen Nutzung.
    Denn normalerweise stellt man Q und R manuell so ein, bis es „gut aussieht“, und ändert sie danach nicht mehr.
    Außerdem muss man statt mehrerer Werte wie Q und R nur noch einen einzigen Gain manuell einstellen.

    • Genau der Teil, den ich beim Kalman-Filter wirklich nicht verstanden habe, ist: Wie wählt man Q und R aus?
      Dreht man einfach daran herum, bis das Ergebnis plausibel aussieht? Dann verstehe ich nicht, wie das selbst in Situationen, die nicht völlig overfitted sind, korrekt funktionieren soll.
      Wenn man zum Beispiel einen Vogel in einem Video verfolgt, kann man zwar irgendein Q wählen, aber die Rauschstatistik kann sich je nach Tageszeit ändern. Was macht man dann?

  • Verwandter Beitrag: Kalman filter from the ground up – https://news.ycombinator.com/item?id=37879715 – Oktober 2023, 150 Kommentare
    Ich frage mich auch, welches Jahr am besten in den obigen Titel passen würde.

  • Der Kalman-Filter ist in dem allgemeineren Thema enthalten, das David G. Luenberger in Optimization by Vector Space Methods, John Wiley and Sons, Inc., New York, 1969 behandelt.

  • Mir kam plötzlich folgender Gedanke: Könnte man Fälle, in denen es nur Zeugenaussagen gibt, irgendwie als Vektoren kodieren und dann mit einem Kalman-Filter behandeln, um den Beweiswert der Beobachtungen zu verstärken?
    Dabei würden sowohl Lügen als auch Ungenauigkeiten als „Fehler“ behandelt.
    Ich denke an die Phoenix Lights oder UFOs allgemein, Geister, Nahtoderfahrungen oder, alltäglicher, Vergewaltigungsvorwürfe.

    • Nur wenn man für solche Dinge ein lineares Modell erstellen kann.

  • Die beste Ressource ist fast immer diese hier: https://github.com/rlabbe/Kalman-and-Bayesian-Filters-in-Pyt...
    Auch für Leute, die kein Python verwenden, ist sie hervorragend und gibt wirklich einen sehr guten Überblick über das Ganze.

  • Hat sonst noch jemand beim Lernen dieses Themas die Kalman-Filter-Vorlesungen von Michael van Biezem mit der Fliege gesehen?
    https://www.youtube.com/watch?v=CaCcOwJPytQ&list=PLX2gX-ftPV...

    • Ich mag, wie er wirklich viele Themen und Fächer nur mit Arithmetik lehrt. Jede berechenbare Mathematik lässt sich auf Arithmetik zurückführen.

  • Der eine Satz, den man wirklich kennen sollte, lautet: „Dieser Filter ist nach Rudolf E. Kálmán (19. Mai 1930–2. Juli 2016) benannt. 1960 veröffentlichte Kálmán seine berühmte Arbeit, in der er eine rekursive Lösung für das lineare Filterproblem bei diskreten Daten beschrieb.“